全等三角形的性質(zhì)與判定

第1講全等三角形的性質(zhì)與判定經(jīng)典?考題?賞析【例1】如圖，AB//EF//DC,∠ABC=90。,AB=CD，那么圖中有全等三角形（ ）A.5對B.4對C.3對D.2對【解法指導(dǎo)】從題設(shè)題設(shè)條件出發(fā)，首先找到比較明顯的一

對全等三角形，并由此推出結(jié)論作為下面有用的條件，從而推出

第二對，第三對全等三角形.這種逐步推進的方法常用到.解：⑴?.?AB//EF//DC,∠ABC=90.Λ∠DCB=90.在^ABC和^DCB中帥=DC<∠ABC=∠DCB :、△ABC0.必DCB(SAS)Λ∠A=∠DBC=CB⑵在△ABE和△DCE中∠A=∠D<∠AED=∠DEC.?.△ABE^Λ^DCE ：.BE=CE、AB=DC⑶在Rt△EFB和Rt△EFC中BE=CEEF=EF.?.Rt△EFB0Rt△EFC（HL）故選C.【變式題組】01．（天津）下列判斷中錯誤的是（）A.有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等B.有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等C.有兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等D.有一邊對應(yīng)相等的兩個等邊三角形全等02.（麗水）已知命題：如圖，點A、D、B、E在同一條直線上，且AD=BE,∠A=∠FDE,

則4ABC/△DEF.判斷這個命題是真命題還是假命題，如果是真命題，請給出證明；如03.（上海）已知線段AC與BD相交于點O,連接AB、DC,E為OB的中點，F(xiàn)為OC的中點，連接EF（如圖所示）.⑴添加條件NA=ND,∠OEF=NOFE，求證：AB=DC；⑵分別將“NA=ND”記為①，“NOEF=NOFE”記為②，“AB=DC”記為③，添加①、③，以②為結(jié)論構(gòu)成命題1;添加條件②、③，

論構(gòu)成命題2.命題1是命題，命題2是題（選擇“真”或“假”填入空格）.【例2】已知AB=DC,AE=DF,CF=FB.求證：AF=DE.【解法指導(dǎo)】想證AF=DE,首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在^AFB和^AEF中，而DE在^CDE和^DEF中，因而只需證明^ABF/△DCE或4AEF/△DFE即可.然后再根據(jù)已知條件找出證明它們?nèi)鹊臈l件.證明：?「FB=CE.?.FB+EF=CE+EF，即BE=CF產(chǎn)=DC在^ABE和^DCF中，彳AE=DFBE=CF.△ABE04DCF(SSS).NB=NC(AB=DC在^ABF和^DCE中,<NB=NC .?.△ABF0^DCE.AF=DEBF=CE【變式題組】01.如圖，AD、BE是銳角△ABC的高，相交于點O,若BO=AC，BC=7，CD=2，則AO的長為（ ）A.2B.3 C.4 D.502.如圖，在△ABC中，AB=AC,NBAC=90°,AE是過A點的一條直線，AE⊥CE于E,BD⊥AE于D,DE=4cm,CE=2cm,則UBD=.\03.（北京）已知：如圖，在△ABC中，NACB=90°,CD⊥AB于點D,點E在AC上，CE=BC,過點E作AC的垂線，交CD的延長線于點F.求證：AB=FC.【例3】如圖①，△ABC/△DEF，將△ABC和^DEF的頂點B和頂點E重合，把△DEF繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，這時AC與DF相交于點0.⑴當(dāng)△DEF旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，點B（E）、C、D在同一直線上時，NAFD與NDCA的數(shù)量關(guān)系是；⑵當(dāng)△DEF繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時，⑴中的結(jié)論成立嗎？請說明理由.【解法指導(dǎo)】⑴/AFD=NDCA⑵NAFD=NDCA理由如下：由△ABC/△DEF,ΛAB=DE,BC=EF,NABC=NDEF,N

BAC=NEDF.'.NABC—NFBC=NDEF-NCBF,ΛNABF=NDEC'AB=DE在^ABF和^DEC中，,NABF=NDEC、BF=EC.△ABF04DECNBAF=NDECΛNBAC-NBAF=NEDF-NEDC,ΛNFAC=NCDF

?.?NA0D=NFAC+NAFD=NCDF+NDCA.NAFD=NDCA【變式題組】01.（紹興）如圖，D、E分別為△ABC的AC、BC邊的中點，將此三角形沿DE折疊，使點C落在AB邊上的點P處.若NCDE=48°,則NAPD等于（ ）A.42° B.48° C.52°D.58°02.如圖，Rt△ABC沿直角邊BC所在的直線向右平移得到△DEF,下列結(jié)論中錯誤的是（）A.△ABC0^DEFAC=DFB.NDEF=90°EC=CF03.一張長方形紙片沿對角線剪開，得到兩種三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如下圖形式，使點B、F、C、D在同一條直線上.⑴求證：AB⊥ED；⑵若PB=BC,找出圖中與此條件有關(guān)的一對全等三角形，并證明.【例4】（第21屆江蘇競賽試題）已知，如圖，BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB邊上的高，點P在BD的延長線，BP=AC,點Q在CE上，CQ=AB.求證：⑴AP=AQ；⑵AP⊥AQ【解法指導(dǎo)】證明線段或角相等，也就是證線段或角所在的兩三角形全等.經(jīng)觀察，證AP=AQ,也就是證^APD和^AQE,或△APB和^QAC全等，由已知條件BP=AC,CQ=AB,應(yīng)該證△APB/△QAC,E具備兩組邊對應(yīng)相等，于是再證夾角NI=N2即可.證AP⊥AQ,即證NPAQ=90°,∠PAD+ZQAC=90°就可以.證明：⑴???BD、CE分別是△ABC的兩邊上的高，.?.NBDA=NCEA=90°,.?.N1+NBAD=90°,N2+NBAD=90°,ΛN1=N2.1二QC在^APB和^^AC中，JNl=N2.?.△APB04QAC,

、BP=CA：.AP=AQ⑵?「△APB/△QAC,ΛNP=NCAQ,ΛNP+NPAD=90°VNCAQ+NPAD=90°,ΛAP⊥AQ【變式題組】01.如圖，已知AB=AE,NB=NE,BA=ED,點F是CD的中點，求證：AF⊥CD02．（湖州市競賽試題）如圖，在一個房間內(nèi)有一個梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離MA為am,此時梯子的傾斜角為75°,如果梯子底端不動，頂端靠在對面的墻上，此時梯子頂端距地面的垂直距離NB為bm，梯子傾斜角為45°，這間房子的寬度是（ ）a+b m2A．B.a—bmC.bmD.am203．如圖，已知五邊形ABCDE中，/ABC=∠AED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=2,則五邊形ABCDE的面積為演練鞏固?反饋提高01.（海南）已知圖中的兩個三角形全等，則∠a度數(shù)是（ ）02.如圖，△ACB/△A/C/B/,∠BCB/=30°,則∠ACA/的度數(shù)是（ ）A.20°B.30° C.35°D.40°03.（牡丹江）尺規(guī)作圖作∠AOB的平分線方法如下：以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧交OA、OB于C、D，再分別以點C、D為圓心，以大于1CD長為半徑畫弧，兩弧交于點P,作射線OP,由作法得^OCP/△ODP的根據(jù)是（ ）A.SASB.ASA C.AASD.SSS04.（江西）如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC/△ADC的是（）A.CB=CD B.∠BAC=∠DACC.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90°05.有兩塊不同大小的等腰直角三角板aABC和^BDE,將它們的一個銳角頂點放在一起，將它們的一個銳角頂點放在一起，如圖，當(dāng)A、B、D不在一條直線上時，下面的結(jié)論不正確的是（）A.△ABE04CBD B.∠ABE=∠CBDC.∠ABC=∠EBD=45° D.AC//BE06.如圖，△ABC和共頂點A,AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E.BC交AD于M,DE交AC于M小華說：“一定有^ABC/△AED.”小明說：“△ABM/△AEM”那么（ ）A.小華、小明都對 B.小華、小明都不對C.小華對、小明不對 D.小華不對、小明對07.如圖，已知AC=EC,BC=CD,AB=ED,如果∠BCA=119°,∠ACD=98°,那么∠ECA的度數(shù)是 .08.如圖，△ABC0^ADE,BC延長線交DE于F,∠B=25°,∠ACB=105°,∠DAC=10°,則∠DFB的度數(shù)為.09.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,DE⊥AB于D,BC=BD.AC=3,那么AE+DE=.如圖，BA⊥AC,,CD/AB.BC=DE,且BC⊥DE,若AB=2,CD=6,則UAE=..如圖，AB=CD,AB/CD.BC=12cm,同時有P、Q兩只螞蟻從點C出發(fā)，沿CB方向爬行，P的速度是0.1cm/s,Q的速度是0.2cm/s.求爬行時間t為多少時，△APB/△QDC..如圖，△ABC中，∠BCA=90°,AC=BC,AE是BC邊上的中線，過C作CF⊥AE,垂足為F,過B作BD⊥BC交CF的延長線于D.⑴求證：AE=CD；⑵若AC=12cm,求BD的長..（吉林）如圖，AB=AC,AD⊥BC于點D,AD等于AE,AB平分∠DAE交DE于點F,請你寫出圖中三對全等三角形，并選取其中一對加以證明.14.如圖，將等腰直角三角板ABC的直角頂點C放在直線l上，從另兩個頂點A、B分別作l的垂線，垂足分別為D、E.15.培優(yōu)升級?奧賽檢測01.如圖，在△ABC中，AB=AC,E、F分別是AB、AC上的點，且AE=AF,BF、CE相交于點。，連接AO并延長交BC于點D，則圖中全等三角形有（ ）A.①②B.②③ C.①③D.①②③03.如圖，A在DE上，F(xiàn)在AB上，且AC=CE,∠1=∠2=∠3,則UDE的長等于（）A.DC B.BC C.AB D.AE＋AC04.下面有四個命題,其中真命題是（）A.兩個三角形有兩邊及一角對應(yīng)相等，這兩個三角形全等B.兩邊和第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等有一角和一邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等兩邊和第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等05.在△ABC中，高AD和BE所在直線相交于H點,且BH=AC,則∠ABC=.06.如圖，EB交AC于點M,交FC于點D,AB交FC于點N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.給出下列結(jié)論：①∠1=∠2;②BE=CF;③^ACN/△ABM;④CD=DB，其中正確的結(jié)論有 .（填序號）07.如圖，AD為在△ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于點F,且有BF=AC,FD=CD.⑴求證：BE⊥AC；⑵若把條件"BF=AC”和結(jié)論“BE⊥AC”互換，這個命題成立嗎？證明你的判定.08.如圖，D為在△ABC的邊BC上一點，且CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中線.求證：AC=2AE.09.如圖，在凸四邊形ABCD中，E為^ACD內(nèi)一點，滿足AC=AD,AB=AE,∠BAE+∠BCE=90°,∠BAC=∠EAD.求證：∠CED=90°.10.（沈陽）將兩個全等的直角三角形A