2012屆新課標(biāo)數(shù)學(xué)考點預(yù)測29轉(zhuǎn)化與化歸思想方法

例1.xaf(xsinxg(x)cosxM，NMN的最大值為 3 3分析:xa與函數(shù)f(xsinxg(x)cosxM，N兩點,橫坐標(biāo)相同，那么MN就是縱坐標(biāo)之差，即MNsinxcosx求最值。 4解:MNsinxcosxsinx4 2．（2008湖北卷，理14）已知函數(shù)f(x2x等差數(shù)列{ax的公差為2f(a2a4a6a8a10)4,則log2[f(a1)f(a2)f(a3)f(a10)] a2a4a6a8a10而所求的為log2f(a1f(a2f(a3f(a10可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列{ax}10項之和，根據(jù)公差，可以把前10項之和轉(zhuǎn)化為用a2a4a6a8a10表示出來，從而求得。f(x2x和f(aaaaa4知aaaaa2 log2[f(a1)f(a2)f(a3)=a1a2a3 a102a2a4a6a8a1052等差數(shù)列{ax}10a2a4a6a8a10表示出來，比較快捷，減少計3（200部分表示的集合．若x,yR,Ax|y2xx2，By|y3xx0，則A#B A．x|0x B．x|1xC．x|0x1或x D．x|0x1或x分析：A#B轉(zhuǎn)化為原有的運算應(yīng)該是表示為eABAB，所以需ABAB，借助數(shù)軸求出并集與交集。

By|y Bx1x2，根據(jù)運算，得A#B=eAB

a,a4（200 b,afxcos2xsinx5，且x0,，則函數(shù)fx的最大值是 2 2 4

D．4分析：fx的解析式，需要比較cos2xsinx5的大小關(guān)系4即需要求cos2xsinx

x 2解：設(shè)ycos2xsinxsin2xsinx1 125sin 2 x0,0sinx1，∴1y5，即1cos2xsinx52 fxcos2xsinxx0,2xxx15224∴ 2

sx

x

2 例5（2008山東卷，文15）已知f(3x)4xlog23233，則f(2)f(4)f(8)f(28)的值等于 分析：本題中的函數(shù)不是以為整體，而是以3x為整體給出的解析式，所以要求函數(shù)值，需 f(3x4xlog32334log3x233ft4logt233，則f(2)f(4)f(8)f 4log222334log242334log28233 4log2284123 882336（20087）f(x1x2bln(x2)在(-1,+)上是減函數(shù)，則b2取值范圍是 A.[1, B.(1, C.(, D.(,f(x)1x2bln(x2)在(-1,+2

f'xx

0f(x)1x2bln(x2)在(-1,+)27（2008的圖象可能是 解：令F(x)f(xg(x)，則F(x)f(xg(x)，當(dāng)xx0f(x)g(x)，即F(x)0F(x)是增函數(shù)，則答案Ａ，Ｃ錯，當(dāng)xx0時，f(x)g(xF(x)0F(x是減函數(shù)，則答案Ｂ錯，故選8（20094的正方體，則V，n的值是 V32,n

V

,n3C．V

,n3

D．V16,n39（2008邊長為2的正三角形，俯視圖為正六邊形，那么該幾何體的側(cè)視圖的面積為（ 正視 側(cè)視 俯視3 2

D． 解：有三視圖可知，此幾何體為正六棱錐，如圖，其中正視 OM B則高為3MNAF,CD的中點，則PMNMN ，∴側(cè)視圖的面積為13 3，故選A 10（2008（xy

2t22

解：曲線C的極坐標(biāo)方程是x

化為直角坐標(biāo)方程為x2y24x0，即2tx22y2 l的參數(shù)方程

y 22

1212=1411（2009）f(xx33xa有三個不同的零點，則實數(shù)a的取(2, B.[2, C.(, D.(1,解:由函數(shù)f(x)x33xa有三個不同的零點,則函數(shù)fx有兩個極值點,且有f'x3x233x1x10x1,x1fx a2f1a2f1a2,結(jié)合圖象,應(yīng)該有a202a2答案12f(x)ax33x2a1)x1,其中a f(xx1處取得極值，求af'(xx2xa1a(0,x的取值范圍。分析：（）中不等式f'(xx2xa1a(0,都成立，可以轉(zhuǎn)化為的不等a(0,都成立，從而變?yōu)榈囊淮魏瘮?shù)由單調(diào)性來解答；也可以將分化出來，轉(zhuǎn)化為的不等式在a(0,)恒成立，研究右邊函數(shù)的最值。解 (1)f'(x)ax23x(a1)，由于函數(shù)f(x)在x1時取得極值，所以f'(1)即a3a10,∴a(2)ax23xa1)x2xa1對任意a(0,都成立即a(x22)x22x0a(0,)都成立設(shè)g(aa(x22)x22x(aR,xR，g(a為單調(diào)遞增函數(shù)(aa(0g(a0g(0)即x22x0，∴2x0x的取值范圍是x|2xax23xa1x2xa1對任意a(0,都成立即a(x22)x22x0a(0,)都成立于是a

x22a(0,

x2x22∴2x0x的取值范圍是x|2x（湖北理f(x)1x22axg(x3a2lnxb，其中a02yf(xyg(x用a表示b，并求bf(xg(x)（x0（）yf(x)yg(x)(x0)在公共點(x0，y0∵f(x)x2a，g(x)3a2，由題意f(x) 1x2

x3a2lnx

g(x0)，f(x0 g(x0)即2

x02axx0ax03a（舍去0000即有b1a22a23a2lna5a23a2lna h(t5t23t2lnt(t0h(t2t(13lnt21當(dāng)t(13lnt0，即0te3h(t)01當(dāng)t(13lnt0，即te3h(t)0 1 1 3

e32（Ⅱ）F(xf(xg(x)1x22ax3a2lnxb(x02 (xa)(x則F(x)x2a

(x0)F(x在(0，∞F(aF(x0f(x0g(x00x0f(xg(x)≥0x0時，f(x)g(x)．13（2009萊陽高三理若數(shù)列a11d(nNd為常數(shù)，則稱數(shù)列a 1x為調(diào)和數(shù)列。已知數(shù)列 為調(diào)和數(shù)列，且x1x2…+x20200，則x5x16 xn解：根據(jù)調(diào)和數(shù)列的定義知：數(shù)列a為調(diào)和數(shù)列，則11d(nNd為常數(shù) 1 1也就是數(shù)列為等差數(shù)列，現(xiàn)在數(shù)列 an xnx1x2…+x20200x1x2…+x2010x5x16200x5x16x n n，例14（2008陜西卷，文20）已知數(shù)列{a}的首項a2， n， a

1,2,3,nnn（Ⅰ）證明：數(shù)列

列求出數(shù)列{a}的通項公式，然后進(jìn)一步判斷數(shù)列n的類型，從而求出其前nS n2an

na n（Ⅰ）

a 2 1 111(11)，又a2，1111

數(shù)列11}11 （Ⅱ）由（Ⅰ）知

11 1，即 11，nnn

22 22 設(shè)T … 1T12n1n2

1(11由①②得1T11…1n 2nn11n2 1 2T21n．又123nn(n1) 2 n(n n2n n數(shù)列

}的前n項和Sn2

x

1通過點M(cos，sin)，則 A.a2b2 B.a2b2

D. xy1 xy1x2y21

1

1b2≥11m=(cossinn(,)

sina 由mn≤mn可得1 答案:2001)ykx(k0)ABDE、FED6DF，求kyBFDOAEyBFDOAEEF為公共邊求出224

y2xAB，EFx2y2ykx(k0)且x，x滿足方程(14k2)x24，故xx 由ED6DF知xx6(xx)，得x1(6xx)5x 7由D在AB上知x2kx2，得x 1 1化簡得24k225k60k2k3 解法一：根據(jù)點到直線的距離公式和①式知，點E，F(xiàn)AB的距離分別為22AB22

，h2x22kx2x22kx2

AB(h1h2

4(1

2(12k ≤22 5(14k2 14k當(dāng)2k1，即當(dāng)k1時，上式取等號．所以S的最大值為 2故四邊形AEBF的面積為S x2y

x2x24y24x2(x24y2

22當(dāng)x22y2時，上式取等號．所以S的最大值為 .17.（2008江蘇海頭高級中學(xué)）如圖，有一圓柱形的開口容器（下表面密封這只螞蟻取得米粒所需經(jīng)過的最短路程為_．APABBP3AP這是解決問題的轉(zhuǎn)化與化歸思想

,OA底面ABCD 4OA2M為OANBC 分析：要證線面平行,MN的平行線,取OD的中點,通過

D C線平行證出,也可以找平面的平行平面通過面面平行證出;AB與MD所成角可以通過平移轉(zhuǎn)化為平面角求出;而（Ⅲ）中點B到平面OCD的距離不易找出,可以利用線AB面OCD轉(zhuǎn)化為點A到平面OCD的距離求出.還可以用向量法通過計算解答各題.

DAPCD于P∵ADP ,∴DP=

MD

P ∴cosMDP

1,MDCMDP

所以ABMD341∵AQOP,∴AQ平面OCD,AQ41OD2OAOD2OA2AD2

32，APDP ∴AQ

OA

2

3 2(1)MN22,1),(1)MN22,1),OP 2,2), 22442222y2z

A(0,0,A(0,0,0),B(1,0,0),2, 22,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N 2222244

,即

2x

2y2z

取z ,解得n(0, MNn 2 210,4,2)0MN‖平面 設(shè)AB與MD所成的角為,∵AB(1,0,0),MD 2 2, ∴cos

1,∴

,ABMD所成角的大小為AB ABBOCDd,d為OBn0,4,2)上的投影的絕對值3OBnOB10,2,d

3為平面問題,將空間問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算從而證得求出PAEPD AEPD比較容易證出,可以轉(zhuǎn)化為線面垂直證明出,（Ⅱ）HPD上的動點,HD所成最大角不太容易找到,根據(jù)（Ⅰ）就要轉(zhuǎn)化為AD的距離最短,然后求出確定位置.另外,對于點的位置不確定而且比較容易建立直角坐標(biāo)系時,用坐標(biāo)計算比較簡單。而PA平面PAD，AD平面PAD且PAADA 所以AE平面PAD．又PD平面PAD，所以AEPD （Ⅱ）解：設(shè)AB2，H為PD上任意一點，連接AH，EH 由（Ⅰ）知AE平面PAD，則EHA為EH與平面PAD所成的角． B在Rt△EAH中，AE ，所以當(dāng)AH最短時，EHA最大B即當(dāng)AHPD時，EHA最大．此時tanEHAAE 6

O因此AH 2．又AD2，所以ADH45，所以PA2為二面角EAFC的平面角，在Rt△AOE中，EOAE AOAEcos303，又F是PC的中點，在Rt△ASO中，SO 2EO2又EO2

，在Rt△ESO43cosESOSO 15，即所求二面角的余弦值為15 4坐標(biāo)系，又E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點，所以(0，B(0D(0)，PE0)，F(xiàn)

zP 3x mAE因此3

則mAF

x 1

z1 取z11，則m(0，2，1)，因為BDAC，BDPA，PA ACA， )mB

5所以所求二面角的余弦值 5（1）.（2008廣東）m,nm2sinmcos1,n2sinncos1則過點m2m和n2n的直線與單位圓的位置關(guān)系為（） 過觀察就可以把已知的方程轉(zhuǎn)化為所求直線的方程,從而判斷直線與圓的位置關(guān)系m,nm2sinmcos1,n2sinncos1,所以點m2m和n2nxsinycos1,xsinycos1,原點到此直線的距離為d1,所以直線與圓相切.故選A答案評注:不要直接由兩點式寫方程,要注意觀察并把已知條件轉(zhuǎn)化,減少計算量（2）.（08屆莆田四中）M是ABC內(nèi)一點,且ABAC23,BAC30,MBCMABMAC1x、y14的最小值是（ B. C. D.分析:已知條件為向量的數(shù)量積與夾角,可以得到兩邊之積,再由兩邊與夾角求得ABC的面積,另一方面,ABC的面積又為MBCMABMAC1xy,2ABAC23,BAC30ABAC4S

1ABACsin3012又因為ABC的面積為MBC、MAB、MAC1xyxy 4 xy 4x

y y 2 y y

102 18當(dāng)且僅當(dāng)xy時

yn

f(n)n n

2(n

2(n

(n1)(n解 函fxx2

f(xxmax的導(dǎo)數(shù)f(x2xfnn23n

知m2,a ,

}(nN*)的前n項和 f(n) n23n n f(n) 為1 n 2(n答案式,然后求出前項的和x1444

53（t為參數(shù)）

y 的弦長分析:本題給出的是參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程,要求弦長,就要轉(zhuǎn)化為普通方程x1444解將方程

5 ,

2cos()分別化為普通方程：3x4y10y 2xyxy0,圓心2

，－），半徑 弦長 75評注:對于參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的方程,可以直接求解,也可以轉(zhuǎn)化為普通方程求解出.原創(chuàng)f(xx22x,f(x1)fy1f(xfy0,P(x所形成的區(qū)域的面積 A.4 B.4 C.2 D.2 分析:首先分析由f(x1)fy1)f(xfy)0所確定的平面區(qū)域,再根據(jù)區(qū)域的形解:由f(x)f(y)0,得x22xy22y0,即(x1)2(y1)22,所表示的區(qū)域為以C(1,1)為圓心,以 為半徑的圓面.由f(x1)f(y1)f(x)f(y),得(x1)22(x1y1)22y1)x22xy22yxy10所表示的區(qū)xy10的左下方.P(xy所形成的區(qū)域如圖陰影部分所示C(1,1)到直線xy10的距離為d 2,又AC ,故ACB2AB,22,扇形ABC 扇形

122 2 1又ABC的面積為 2 2 ,故陰影部分的面積 2 3.即點P(x,y)所形成的區(qū)域的面積為2 3.選 y 評注:考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,點到直線的距離,一元二次方程表示平面區(qū)域,扇形的面積以及函數(shù)的表示等知識.考查運算能力和化歸思想.函數(shù),不等式的內(nèi)容都是比較容易與其它知識相結(jié)合的知識點,本題在形式上是函數(shù)和不等式問題,但剖析之后可以發(fā)現(xiàn),其實質(zhì)是圓與線性規(guī)劃相結(jié)合的問題.高考中,知識的交匯試題是主流,很多題目都是以一個知識點為載體考查另一個知識點,解題時一定要善于分析,透過表面看透問題的實質(zhì),從而合理轉(zhuǎn)化,尋求問題的解決途徑.4求直線l的方程,PQ的長 解:y1x39的導(dǎo)函數(shù)為y3x2,其圖象為開口向上的拋物線,l