數(shù)學(xué)專題講義-數(shù)列(完整資料)

word資料，下載后可編輯等差、等比數(shù)列的基本理論=1\*GB2⑴等差、等比數(shù)列：數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義遞推公式；；通項(xiàng)公式（）前項(xiàng)和公式重要性質(zhì)=2\*GB2⑵判定一個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：=1\*GB3①=2\*GB3②2()=3\*GB3③(為常數(shù)).=3\*GB2⑶判定一個(gè)數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下三種方法：=1\*GB3①=2\*GB3②(，)=3\*GB3③(為非零常數(shù)).=4\*GB2⑷數(shù)列{}的前項(xiàng)和與其通項(xiàng)之間的關(guān)系：在等差數(shù)列中，。求解：法一：因?yàn)樗苑ǘ阂驗(yàn)槎栽诘缺葦?shù)列中，，。求解：因?yàn)樗怨龋ㄊ聦?shí)上，若，則，此時(shí)顯然不滿足題設(shè)條件）于是有又在等差數(shù)列中，。求解：法一：法二：因?yàn)樗栽O(shè)數(shù)列滿足，，。求，解：因?yàn)樗允且詾槭醉?xiàng)，為公比的等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列滿足，，，。求，解：因?yàn)樗杂衷O(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且公比為正數(shù)，。求解：設(shè)的公差為，的公比為則由，有即；亦即①又由，有即；亦即②①-②，得（﹡）將代入①，得化簡(jiǎn)整理，得將代入（﹡），得故；例7.已知等差數(shù)列中，。求解：因?yàn)樗杂梢阎?，有又是一元二次方程的兩個(gè)根或者當(dāng)時(shí)，有此時(shí)；當(dāng)時(shí)，有此時(shí)二．?dāng)?shù)列求和一般地，數(shù)列求和常見(jiàn)的方法有以下幾種：（1）公式法；（i）等差數(shù)列求和公式：（ii）等比數(shù)列求和公式：（2）分組求和法；注：“分組求和法”通過(guò)把數(shù)列的通項(xiàng)分解成幾項(xiàng)，從而出現(xiàn)幾個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列，再根據(jù)公式進(jìn)行求和。（3）倒序求和法；注：“倒序求和法”是推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法。（4）錯(cuò)位相減法；注：“錯(cuò)位相減法”是推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的方法，常應(yīng)用于形如的數(shù)列求和,其中為等差數(shù)列,為等比數(shù)列。（5）裂項(xiàng)相消法；注：“裂項(xiàng)相消法”通過(guò)把數(shù)列中的每一項(xiàng)都拆成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)的差，從而產(chǎn)生一些可以相消的項(xiàng)，最后剩下有限的幾項(xiàng)。關(guān)于裂項(xiàng)相消法，常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式有：；；；；求的和。解：（分組求和法）求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：（分組求和法）令數(shù)列的前項(xiàng)和為，則例3.求的和。解：（倒序求和法）令①則②①+②，得故設(shè)，求的和。解：（倒序求和法）由可得，令①則②①+②，得故求的和。解：（錯(cuò)位相減法）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，令則，得故求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：（裂項(xiàng)相消法）令則故數(shù)列的前項(xiàng)和設(shè)數(shù)列中，，，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；設(shè)數(shù)列滿足，。求；設(shè)。證明：.證：（1）由①可得，②①-②，得即；亦即又；即故數(shù)列數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列解：（2）由（1）知，又于是有將以上個(gè)式子迭加，得又故證：（3）由可得，故三．遞推數(shù)列（1）一階遞推公式：；特點(diǎn)：已知前一項(xiàng)可求得后一項(xiàng)（2）一階遞推公式：特點(diǎn)：已知前兩項(xiàng)可求得后一項(xiàng)在數(shù)列中，，設(shè)。求求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)樗?＊)而由(＊)式，有，這里于是有將以上個(gè)式子迭加，得故（2）數(shù)列的前項(xiàng)和令①則②①-②，得故設(shè)數(shù)列滿足，，（1）設(shè).證明：數(shù)列是等比數(shù)列（2）求數(shù)列的通項(xiàng).證：（1）因?yàn)棰偎寓冖?①，得于是有（＊）又因?yàn)樗杂桑ǎ┦?，有即又，即故?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列解：（2）由（1）知，上式兩端同時(shí)除以，得令，則有又是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列故已知等差數(shù)列的公差，設(shè)，，其中，若，，。求若，成等比數(shù)列。求若。證明：解：（1）由，，，有故解：（2）因?yàn)樗杂忠驗(yàn)槌傻缺葦?shù)列所以（＊）又，，由（＊）式，有，而于是有又故證：（3）左端=因?yàn)椋?所以；.四．高考真題解析 1.（2010年陜西文數(shù)12分）已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列。（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（Ⅰ）因?yàn)槌傻缺葦?shù)列所以化簡(jiǎn)整理，得又故解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由此可知，數(shù)列即為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列故數(shù)列的前項(xiàng)和2.（2009年陜西文數(shù)5分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.解：由，有解得：，故3.（2009年陜西文數(shù)12分）已知數(shù)列滿足：，，，.(Ⅰ)令,證明：是等比數(shù)列；(Ⅱ)求的通項(xiàng)公式.證：(Ⅰ)由，可得：而故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列解：(Ⅱ)由(Ⅰ)知，于是有將以上個(gè)式子迭加，得故4.（2008年陜西數(shù)學(xué)5分）已知是等差數(shù)列，，，求該數(shù)列的前10項(xiàng)和等于（B）A.64B.100解：由，解得：故5.（2008年陜西文數(shù)12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，,（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和.證：(Ⅰ)由可得：又故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列解：（Ⅱ）由(Ⅰ)知，于是數(shù)列的前項(xiàng)和令①則②①-②，得故6.（2008年陜西理數(shù)14分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，,（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：對(duì)于任意的，；（Ⅲ）證明：.解：（Ⅰ）由可得：又是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列于是有故證：（Ⅱ）對(duì)任意的，我們有證：（Ⅲ）由及，我們有令則7.（2007年陜西文數(shù)5分）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則等于（C）A.12B.18解：(法一)由，，有解得：故(法二)因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和所以成等差數(shù)列于是有解得：8.（2007年陜西