專題四第3講-空間向量與立體幾何

第3講空間向量與立體幾何壽縣迎河中學(xué)龍如山基礎(chǔ)要點整合一、構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)1．熟記證明六種線面位置關(guān)系的向量方法設(shè)直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分別為μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)，常數(shù)k≠0.(1)線線平行：l∥m?a∥b?_______?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(2)線線垂直：l⊥m?a⊥b?_________?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.二、梳理基礎(chǔ)知識a＝kba·b＝0(3)線面平行：l∥α?a⊥μ?a·μ＝0?a1a3＋b1b3＋c1c3＝0.(4)線面垂直：l⊥α?______?a＝kμ?a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3.(5)面面平行：α∥β?μ∥v?μ＝kv?______________________.(6)面面垂直：α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0?__________________.a∥μa3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4a3a4＋b3b4＋c3c4＝02．掌握利用向量求空間角的三個公式(1)向量法求異面直線所成的角若異面直線a，b的方向向量分別為a，b，異面直線所成的角為θ，則cos

θ＝___________＝__________.(2)向量法求線面所成的角求出平面的法向量n，直線的方向向量a，設(shè)線面所成的角為θ，則sinθ＝___________＝____________.|cos〈a，b〉||cos〈n，a〉|(3)向量法求二面角求出二面角α－l－β的兩個半平面α與β的法向量n1，n2，若二面角α－l－β所成的角θ為銳角，則cos

θ＝_______________＝__________；若二面角α－l－β所成的角θ為鈍角，則cos

θ＝________________＝___________.|cos〈n1，n2〉|－|cos〈n1，n2〉|[考情一點通]考點一：利用空間向量證明空間線面位置關(guān)系考點核心突破題型解答題難度中檔或偏上考查內(nèi)容此類問題常以多面體(特別是棱柱、棱錐或其組合體)為載體，考查空間中平行與垂直的判定或證明問題，常出現(xiàn)在解答題的第(1)問.【例1】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點，作EF⊥PB于點F，求證：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.[自主解答]如圖所示，建立空間直角坐標系，D為坐標原點，設(shè)DC＝a.【拓展歸納】利用空間向量證明線面位置關(guān)系思路及注意點(1)利用空間向量證明空間線面位置關(guān)系的思路有兩個：一是把線面平行或垂直的判定定理向量化，利用向量證明線面的平行與垂直；二是求出線面的法向量，利用線面與法向量的關(guān)系證明其位置關(guān)系．(2)利用空間向量證明線面的位置關(guān)系時，要建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼担⑶矣嬎惚仨殰蚀_無誤．1．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點．求證：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面EGF∥平面ABD.【考點集訓(xùn)】證明

(1)以B為坐標原點，BA，BC，BB1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，[考情一點通]考點二：利用空間向量求空間角題型解答題難度中檔或偏上考查內(nèi)容此類問題常以多面體(特別是棱柱、棱錐或其組合體)為載體，考查空間角(主要是線面角和二面角)的計算.[自主解答]

(1)證明

E、F分別是AB、AP的中點．EF是△PAB的中位線，∴EF∥PB.由已知可知PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC.∵AC⊥BD，∴AC⊥面POB，PB?面POB，∴AC⊥PB，∴AC⊥EF.【拓展歸納】運用空間向量求空間角的一般步驟(1)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系；(2)求出相關(guān)點的坐標；(3)寫出向量坐標；(4)結(jié)合公式進行論證、計算；(5)轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論．【易錯提示】(1)兩條異面直線所成的角α不一定是直線的方向向量的夾角β，即cos

α＝|cos

β|.(2)兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能兩法向量夾角的補角為所求．2．(2013·大興區(qū)一模)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是等邊三角形，D是BC的中點．(1)求證：A1B∥平面ADC1；(2)若AB＝BB1＝2，求A1D與平面AC1D所成角的正弦值．【考點集訓(xùn)】解析

(1)證明因為三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以四邊形A1ACC1是矩形．連接A1C交AC1于O，則O是A1C的中點．又D是BC的中點，所以在△ADC1中，OD∥A1B.因為A1B?平面ADC1，OD?平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.(2)因為△ABC是等邊三角形，D是BC的中點，所以AD⊥BC.以D為原點，建立如圖所示空間坐標系D－xyz.函數(shù)與方程的思想方法[考情一點通]

考點三：利用空間向量解決探索性問題題型解答題難度中檔或偏上考查內(nèi)容綜合空間線面位置關(guān)系的證明、空間角和空間距離的計算，已知結(jié)論尋求成立的條件，或判斷是否存在使已知結(jié)論成立的條件.[自主解答]

(1)證明四邊形ADD1A1為正方形，設(shè)O是AD1的中點，點E為AB的中點，連接OE.∴EO為△ABD1的中位線，∴EO∥BD1.又∵BD1?平面A1DE，OE?平面A1DE，∴BD1∥平面A1DE.(2)證明正方形ADD1A1中，A1D⊥AD1，由已知可得：AB⊥平面ADD1A1，A1D?平面ADD1A1，∴AB⊥A1D，AB∩AD1＝A，∴A1D⊥平面A1DE.∵D1E?平面AD1E，∴A1D⊥D1E.【拓展歸納】運用函數(shù)與方程的思想解決探索性問題(1)空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問題，它無需進行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標運算進行判斷．(2)解題時，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問題的解決更簡單、有效，應(yīng)善于運用這一方法．3．(2013·西城區(qū)一模)在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝2BC，∠ABC＝60°，AC⊥FB.【考點集訓(xùn)】(1)求證：AC⊥平面FBC；(2)求BC與平面EAC所成角的正弦值；(3)線段ED上是否存在點Q，使平面EAC⊥平面QBC？證明你的結(jié)論．(2)因為AC⊥平面FBC，所以AC⊥FC.因為CD⊥FC，所以FC⊥平面ABCD，所以CA，CF，CB兩兩互相垂直，建立如圖空間直角坐標系C－xyz.解題規(guī)范流程答題模板九應(yīng)用空間向量求空間的角(1)證明：A′O⊥平面BCDE；(2)求二面角A′－CD－B的平面角的余弦值．[解題流程]第一步：細研題干，提取關(guān)鍵信息第二步：逆審設(shè)問，突破解題切點(1)要證明A′O⊥平面BCDE?需要證明A′O垂直平面BCDE內(nèi)兩不相交的直線?猜想OD，OE應(yīng)為目標?計算OD，OE的大小，驗證垂直關(guān)系?[突破口](2)要求二面角A′－CD－B的平面角的余弦值?需求二面角兩半平面的法向量?建系求法向量?求法向量的夾角的余弦值?查看法向量的夾角與所求二面角的關(guān)系?下結(jié)論第三步：規(guī)范答題，杜絕無謂失分答題模板第一步：證明．通過證明直線和平面垂直，為下一步建系做準備，并得到二面角其中一個半平面的法向量．第二步：建系．由(1)的證明以及三角形ABC為等腰直角三角形，可建立空間直角坐標系．第三步：求法向量．設(shè)出法向量，利用垂直關(guān)系求解．第四步：求余弦．求出二面角兩個半平面的法向量夾角的余弦值．第五步：下結(jié)論．觀察圖形，根據(jù)兩平面所成角的范圍，確定法向量的夾角與二面角的關(guān)系.

1．(2013·崇明模擬)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD中點．(1)求證：B1E⊥AD1；(2)若AB＝2，求二面角A－B1E－A1的大?。S堂演練訓(xùn)練高效提能2．(2013·豐臺區(qū)一模)如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且NB＝1，M