第5節(jié) 古典概型、概率的基本性質(zhì)

第5節(jié)古典概型、概率的基本性質(zhì)考試要求1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的樣本點(diǎn)及事件發(fā)生的概率.3.當(dāng)直接求某一事件的概率較為復(fù)雜時(shí)，可轉(zhuǎn)化為求幾個(gè)互斥事件的概率之和或其對(duì)立事件的概率.知識(shí)診斷·基礎(chǔ)夯實(shí)【知識(shí)梳理】1.古典概型具有以下特征的試驗(yàn)叫做古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.2.古典概型的概率公式設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(n（A）,n（Ω）).其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).3.概率的性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A，都有0≤P(A)≤1；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件A，因?yàn)??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).[常用結(jié)論]概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，當(dāng)A∩B＝?，即A，B互斥時(shí)，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此時(shí)P(A∩B)＝0.【診斷自測(cè)】1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其樣本點(diǎn)是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.()(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三個(gè)結(jié)果是等可能事件.()(3)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率.()(4)概率為0的事件一定是不可能事件.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析對(duì)于(1)，發(fā)芽與不發(fā)芽不一定是等可能，所以(1)不正確；對(duì)于(2)，三個(gè)事件不是等可能，其中“一正一反”應(yīng)包括“正反”與“反正”兩個(gè)樣本點(diǎn)，所以(2)不正確；對(duì)于(4)，概率為0的事件有可能發(fā)生，所以(4)不正確.2.(必修二P237例7改編)單項(xiàng)選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)正確答案.如果考生掌握了考查的內(nèi)容，他可以選擇唯一正確的答案.假設(shè)考生有一題不會(huì)做，他隨機(jī)地選擇一個(gè)答案，答對(duì)的概率是________.答案eq\f(1,4)解析選擇一個(gè)答案有選A，選B，選C，選D共4種等可能的結(jié)果，故答對(duì)的概率P＝eq\f(1,4).3.袋中裝有大小、形狀完全相同的6個(gè)白球，4個(gè)紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為________.答案eq\f(3,5)解析完全相同的6個(gè)白球，4個(gè)紅球，從中任取一球，一共有Ceq\o\al(1,10)＝10種取法，取到白球有Ceq\o\al(1,6)＝6種取法，則取到白球的概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).4.拋擲一枚骰子，記A為事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，B為事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”，則P(A∪B)＝________，P(A∩B)＝________.答案eq\f(2,3)eq\f(1,6)解析拋擲一枚骰子，樣本空間出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是{1，2，3，4，5，6}，事件A∪B包括出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是{1，3，5，6}這4個(gè)樣本點(diǎn)，故P(A∪B)＝eq\f(2,3)；事件A∩B包括出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是{3}這1個(gè)樣本點(diǎn)，故P(A∩B)＝eq\f(1,6).考點(diǎn)突破·題型剖析考點(diǎn)一古典概型例1(1)(2022·新高考Ⅰ卷)從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)答案D解析從7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有Ceq\o\al(2,7)＝21(種)取法，取得的2個(gè)數(shù)互質(zhì)的情況有{2，3}，{2，5}，{2，7}，{3，4}，{3，5}，{3，7}，{3，8}，{4，5}，{4，7}，{5，6}，{5，7}，{5，8}，{6，7}，{7，8}，共14種，根據(jù)古典概型的概率公式，得這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為eq\f(14,21)＝eq\f(2,3).(2)(2023·大連測(cè)試)五行學(xué)說是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，是華夏文明的重要組成部分.古人認(rèn)為，天下萬物皆由金、木、水、火、土五種屬性的物質(zhì)組成，如圖，分別是金、木、水、火、土這五行彼此之間存在的相生相克的關(guān)系.若從這五行中任選不同的兩行，則這兩行相克的概率為________.答案eq\f(1,2)解析依題意，從這五行中任選不同的兩行，共有Ceq\o\al(2,5)＝10(種)，其中兩行相克的有土木、金木、水火、火金、水土，共5種，則這兩行相克的概率為eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).感悟提升求樣本空間中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)枚舉法：適合于給定的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的問題.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題，注意在確定樣本點(diǎn)時(shí)(x，y)可看成是有序的，如(1，2)與(2，1)不同，有時(shí)也可看成是無序的，如(1，2)與(2，1)相同.(3)排列組合法：在求一些較復(fù)雜的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可利用排列或組合的知識(shí).訓(xùn)練1(1)(2023·濟(jì)南質(zhì)檢)在一個(gè)不透明的容器中有6個(gè)小球，其中有4個(gè)黃球，2個(gè)紅球，它們除顏色外完全相同，如果一次隨機(jī)取出2個(gè)球，那么至少有1個(gè)紅球的概率為()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(7,15) D.eq\f(8,15)答案B解析一次隨機(jī)取出2個(gè)球，樣本點(diǎn)總數(shù)為Ceq\o\al(2,6)＝15，至少有1個(gè)紅球包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,2)＝9，所以至少有1個(gè)紅球的概率P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).(2)(2023·長沙聯(lián)考)一個(gè)盒子里裝有除顏色外完全相同的6個(gè)小球，其中有編號(hào)分別為1，2，3，4的紅球4個(gè)，編號(hào)分別為4，5的白球2個(gè)，從盒子中任取3個(gè)小球(假設(shè)取到任何一個(gè)小球的可能性相同).則在取出的3個(gè)小球中，小球編號(hào)最大值為4的概率是________.答案eq\f(9,20)解析基本事件總數(shù)n＝Ceq\o\al(3,6)＝20，若編號(hào)為4的球有一個(gè)被取到，有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,3)＝6種取法；若編號(hào)為4的兩個(gè)球都被取到，有Ceq\o\al(1,3)＝3種取法.故小球編號(hào)最大值為4的基本事件數(shù)為9，所以小球編號(hào)最大值為4的概率為eq\f(9,20).考點(diǎn)二概率基本性質(zhì)的應(yīng)用例2從甲地到乙地沿某條公路行駛一共200公里，遇到紅燈個(gè)數(shù)的概率如表所示：紅燈個(gè)數(shù)0123456個(gè)及6個(gè)以上概率0.020.1a0.350.20.10.03(1)求表中字母a的值；(2)求至少遇到4個(gè)紅燈的概率；(3)求至多遇到5個(gè)紅燈的概率.解(1)由題意可得0.02＋0.1＋a＋0.35＋0.2＋0.1＋0.03＝1，解得a＝0.2.(2)設(shè)事件A為遇到紅燈的個(gè)數(shù)為4，事件B為遇到紅燈的個(gè)數(shù)為5，事件C為遇到紅燈的個(gè)數(shù)為6個(gè)及6個(gè)以上，則事件“至少遇到4個(gè)紅燈”為A∪B∪C，因?yàn)槭录嗀，B，C互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＋0.03＝0.33，即至少遇到4個(gè)紅燈的概率為0.33.(3)設(shè)事件D為遇到6個(gè)及6個(gè)以上紅燈，則至多遇到5個(gè)紅燈為事件D.則P(D)＝1－P(D)＝1－0.03＝0.97.感悟提升復(fù)雜事件概率的求解方法(1)對(duì)于一個(gè)較復(fù)雜的事件，一般將其分解成幾個(gè)簡單的事件，當(dāng)這些事件彼此互斥時(shí)，原事件的概率就是這些簡單事件的概率的和.(2)當(dāng)求解的問題中有“至多”“至少”“最少”等關(guān)鍵詞語時(shí)，常?？紤]其對(duì)立事件，通過求其對(duì)立事件的概率，然后轉(zhuǎn)化為所求問題.訓(xùn)練2(多選)(2023·廣東名校聯(lián)考)中國籃球職業(yè)聯(lián)賽中，某男籃球運(yùn)動(dòng)員在最近幾次參加的比賽中的得分情況如下表：投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)1005518記該運(yùn)動(dòng)員在一次投籃中，投中兩分球?yàn)槭录嗀，投中三分球?yàn)槭录﨎，沒投中為事件C，則()A.P(A)＝0.55 B.P(B)＝0.18C.P(C)＝0.27 D.P(B∪C)＝0.55答案ABC解析由題意可知P(A)＝eq\f(55,100)＝0.55，P(B)＝eq\f(18,100)＝0.18，∵事件A∪B為事件C的對(duì)立事件，且事件A，B，C兩兩互斥，∴P(C)＝1－P(A∪B)＝1－P(A)－P(B)＝0.27，∴P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.45.考點(diǎn)三古典概型的綜合應(yīng)用例3(2023·濟(jì)南調(diào)研)某學(xué)校團(tuán)委組織了一次“奧運(yùn)會(huì)”知識(shí)講座活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后隨機(jī)抽取120名學(xué)生對(duì)講座情況進(jìn)行調(diào)查，其中男生與女生的人數(shù)之比為1∶1，抽取的學(xué)生中男生有40名對(duì)講座活動(dòng)滿意，女生中有30名對(duì)講座活動(dòng)不滿意.(1)完成下面2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α＝0.10的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否以此推斷對(duì)講座活動(dòng)是否滿意與性別有關(guān)；性別滿意情況合計(jì)滿意不滿意男生女生合計(jì)120(2)從被調(diào)查的對(duì)講座活動(dòng)滿意的學(xué)生中，利用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取7名學(xué)生，再在這7名學(xué)生中抽取3名學(xué)生談?wù)勛约郝犞v座的心得體會(huì)，求其中恰好抽中2名男生與1名女生的概率.參考數(shù)據(jù)：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解(1)2×2列聯(lián)表如表所示.性別滿意情況合計(jì)滿意不滿意男生402060女生303060合計(jì)7050120零假設(shè)為H0：對(duì)講座活動(dòng)是否滿意與性別無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得χ2＝eq\f(120×（40×30－20×30）2,60×60×70×50)＝eq\f(24,7)≈3.429＞2.706＝x0.10，根據(jù)小概率值α＝0.10的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為對(duì)講座活動(dòng)是否滿意與性別有關(guān).(2)由(1)知，在樣本中對(duì)講座活動(dòng)滿意的學(xué)生有70人，從中抽取7人，“男生滿意”的人中占40×eq\f(7,70)＝4(人)，“女生滿意”的人中占30×eq\f(7,70)＝3(人)，記“恰好抽中2名男生與1名女生”為事件A，則P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(18,35)，所以恰好抽中2名男生與1名女生的概率為eq\f(18,35).感悟提升有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的一個(gè)重要題型.概率與統(tǒng)計(jì)的結(jié)合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖等給出的信息，準(zhǔn)確從題中提煉信息是解題的關(guān)鍵.復(fù)雜事件的概率可將其轉(zhuǎn)化為互斥事件或?qū)α⑹录母怕蕟栴}.訓(xùn)練3某城市100戶居民的月平均用電量(單位：千瓦時(shí))以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分組的頻率分布直方圖如圖.(1)求直方圖中x的值；(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；(3)在月平均用電量為[240，260)，[260，280)，[280，300]的三組用戶中，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6戶居民，并從抽取的6戶中任選2戶參加一個(gè)訪談節(jié)目，求參加節(jié)目的2戶來自不同組的概率.解(1)由(0.0020＋0.0095＋0.0110＋0.0125＋x＋0.0050＋0.0025)×20＝1得x＝0.0075，所以直方圖中x的值是0.0075.(2)月平均用電量的眾數(shù)是eq\f(220＋240,2)＝230.因?yàn)?0.0020＋0.0095＋0.0110)×20＝0.45<0.5，且(0.0020＋0.0095＋0.0110＋0.0125)×20＝0.7>0.5，所以月平均用電量的中位數(shù)在[220，240)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，由(0.0020＋0.0095＋0.0110)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5，解得a＝224，所以月平均用電量的中位數(shù)是224.(3)月平均用電量為[240，260)的用戶有0.0075×20×100＝15(戶)，月平均用電量為[260，280)的用戶有0.005×20×100＝10(戶)，月平均用電量在[280，300]的用戶有0.0025×20×100＝5(戶).所以在[240，260)，[260，280)，[280，300]中分別抽取3戶、2戶和1戶.設(shè)參加節(jié)目的2戶來自不同組為事件A，則P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(11,15).分層精練·鞏固提升【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1.(多選)下列試驗(yàn)是古典概型的是()A.在適宜的條件下種一粒種子，發(fā)芽的概率B.口袋里有2個(gè)白球和2個(gè)黑球，這4個(gè)球除顏色外完全相同，從中任取一球?yàn)榘浊虻母怕蔆.向一個(gè)圓面內(nèi)部隨機(jī)地投一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)落在圓心的概率D.老師從甲、乙、丙三名學(xué)生中任選兩人做典型發(fā)言，甲被選中的概率答案BD解析A中，在適宜的條件下種一粒種子，發(fā)芽的概率，不符合等可能性；B中，從中任取一球的事件有限，且任取一球?yàn)榘浊蚧蚝谇虻母怕适堑瓤赡艿?；C中，向一個(gè)圓面內(nèi)部隨機(jī)地投一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)落在圓心的概率，不符合有限性；D中，老師從甲、乙、丙三名學(xué)生中任選兩人的事件有限，甲、乙、丙被選中的概率是等可能的.2.一枚硬幣連擲2次，恰好出現(xiàn)1次正面的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,4) D.0答案A解析一枚硬幣連擲2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4個(gè)，而只有1次出現(xiàn)正面的包括(正，反)，(反，正)，故其概率為eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).3.(2023·湖南名校聯(lián)考)甲、乙、丙三人被系統(tǒng)隨機(jī)預(yù)約到A，B，C三家醫(yī)院接種疫苗，每家醫(yī)院恰有1人預(yù)約.已知A醫(yī)院接種的是只需要打一針的腺病毒載體疫苗，B醫(yī)院接種的是需要打兩針的滅活疫苗，C醫(yī)院接種的是需要打三針的重組蛋白疫苗，則甲不接種只打一針的腺病毒載體疫苗且丙不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的概率等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,9)答案C解析甲、乙、丙三人被系統(tǒng)隨機(jī)預(yù)約到A，B，C三家醫(yī)院接種疫苗，每家醫(yī)院恰有1人預(yù)約的情況有Aeq\o\al(3,3)種.則甲只能去醫(yī)院B或C，丙只能去醫(yī)院A或B，當(dāng)甲去醫(yī)院B時(shí)，丙只能去醫(yī)院A；當(dāng)甲去醫(yī)院C時(shí)，丙可以去醫(yī)院A也可以去醫(yī)院B.所以滿足條件的情況有3種，所求的概率P＝eq\f(3,Aeq\o\al(3,3))＝eq\f(1,2).4.(2023·重慶診斷)已知王大爺養(yǎng)了5只雞和3只兔子，晚上關(guān)在同一間房子里，清晨打開房門，這些雞和兔子隨機(jī)逐一向外走，則恰有2只兔子相鄰走出房子的概率為()A.eq\f(5,28) B.eq\f(5,14)C.eq\f(15,56) D.eq\f(15,28)答案D解析5只雞和3只兔子走出房子，共有Aeq\o\al(8,8)種不同的走出方案，其中恰有2只兔子相鄰走出房子共有Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,6)種走出方案，所以恰有2只兔子相鄰走出房子的概率P＝eq\f(Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,6),Aeq\o\al(8,8))＝eq\f(15,28).5.(2023·南京模擬)有5個(gè)形狀大小相同的球，其中3個(gè)紅色、2個(gè)藍(lán)色，從中一次性隨機(jī)取2個(gè)球，則下列說法正確的是()A.“恰好取到1個(gè)紅球”與“至少取到1個(gè)藍(lán)球”是互斥事件B.“恰好取到1個(gè)紅球”與“至多取到1個(gè)藍(lán)球”是互斥事件C.“至少取到1個(gè)紅球”的概率大于“至少取到1個(gè)藍(lán)球”的概率D.“至多取到1個(gè)紅球”的概率大于“至多取到1個(gè)藍(lán)球”的概率答案C解析對(duì)于A、B，兩事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，A、B錯(cuò)誤；對(duì)于C，“至少取到1個(gè)紅球”的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝0.9，“至少取到1個(gè)藍(lán)球”的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝0.7，故C正確；對(duì)于D，“至多取到1個(gè)紅球”的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝0.7，“至多取到1個(gè)藍(lán)球”的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝0.9，故D錯(cuò)誤.6.北斗導(dǎo)航系統(tǒng)由55顆衛(wèi)星組成，于2020年6月23日完成全球組網(wǎng)部署，全面投入使用.北斗七星自古是我國人民辨別方向判斷季節(jié)的重要依據(jù)，北斗七星分別為天樞、天璇、天璣、天權(quán)、玉衡、開陽、搖光，其中玉衡最亮，天權(quán)最暗.一名天文愛好者從七顆星中隨機(jī)選兩顆進(jìn)行觀測(cè)，則玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為()A.eq\f(10,21) B.eq\f(11,21)C.eq\f(11,42) D.eq\f(5,21)答案B解析因?yàn)橛窈夂吞鞕?quán)都沒有被選中的概率為P＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，所以玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為1－eq\f(10,21)＝eq\f(11,21).7.(多選)若隨機(jī)事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實(shí)數(shù)a的值可以是()A.eq\f(13,12) B.eq\f(5,4)C.eq\f(4,3) D.eq\f(31,24)答案CD解析由題意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜P（A）＜1，,0＜P（B）＜1，,P（A）＋P（B）≤1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜2－a＜1，,0＜4a－5＜1，,3a－3≤1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＜a＜2，,\f(5,4)＜a＜\f(3,2)，,a≤\f(4,3)，))解得eq\f(5,4)＜a≤eq\f(4,3).故選CD.8.(2022·全國乙卷)從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為________.答案eq\f(3,10)解析從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，有Ceq\o\al(3,5)種情況，其中甲、乙都入選有Ceq\o\al(1,3)種情況，所以甲、乙都入選的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(3,10).9.(2023·八省八校聯(lián)考)某學(xué)校為落實(shí)“雙減”政策，在課后服務(wù)時(shí)間開展了豐富多彩的興趣拓展活動(dòng).現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人，乒乓球、籃球、足球、羽毛球、網(wǎng)球五項(xiàng)活動(dòng)，由于受個(gè)人精力和時(shí)間限制，每人只能等可能的從中選擇一項(xiàng)活動(dòng)，則四人中恰有兩人參加同一活動(dòng)的概率為________.答案eq\f(72,125)解析根據(jù)題意，每個(gè)人有5種選擇，四人共54種選法，其中恰有兩人參加同一種活動(dòng)，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,4)種選法，故四人中恰有兩人參加同一種活動(dòng)的概率為eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,4),54)＝eq\f(72,125).10.(2023·沈陽檢測(cè))某次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，甲、乙兩個(gè)班的同學(xué)共同在一社區(qū)進(jìn)行民意調(diào)查.參加活動(dòng)的甲、乙兩班的人數(shù)之比為5∶3，其中甲班中女生占eq\f(3,5)，乙班中女生占eq\f(1,3)，則該社區(qū)居民遇到一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率是________.答案eq\f(1,2)解析依題意，設(shè)甲、乙兩班的人數(shù)分別為5n，3n，則甲班中女生人數(shù)為5n×eq\f(3,5)＝3n，乙班中女生人數(shù)為3n×eq\f(1,3)＝n，則該社區(qū)居民遇到一位民意調(diào)查的同學(xué)是女生的概率是eq\f(3n＋n,5n＋3n)＝eq\f(1,2).11.2021年，我國施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72，108，120人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況.(1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn).享受情況如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪.員工項(xiàng)目ABCDEF子女教育○○×○×○繼續(xù)教育××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；②設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事件M發(fā)生的概率.解(1)由已知得老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10，由于采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人、9人、10人.(2)①從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的樣本空間為{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))}，共15個(gè)樣本點(diǎn).②由表格知，符合題意的樣本空間為{(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))}，共11個(gè)樣本點(diǎn)，所以事件M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(11,15).12.某中學(xué)組織了一次數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平模擬測(cè)試，學(xué)校從測(cè)試合格的男、女生中各隨機(jī)抽取100人的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，分別制成了如圖所示的男生和女生數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖.注：分組區(qū)間為[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100](1)若得分大于或等于80認(rèn)定為優(yōu)秀，則男、女生的優(yōu)秀人數(shù)各為多少？(2)在(1)中所述的優(yōu)秀學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5人，從這5人中任意選取2人，求至少有一名男生的概率.解(1)由題可得，男生優(yōu)秀人數(shù)為100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生優(yōu)秀人數(shù)為100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是eq\f(5,30＋45)＝eq\f(1,15)，所以樣本中包含的男生人數(shù)為30×eq\f(1,15)＝2，女生人數(shù)為45×eq\f(1,15)＝3.則從5人中任意選取2人共有Ceq\o\al(2,5)＝10種，抽取的2人中沒有一名男生有Ceq\o\al(2,3)＝3種，則至少有一名男生有Ceq\o\al(2,5)－Ceq\o\al(2,3)＝7種.故至少有一名男生的概率為P＝eq\f(7,10).【B級(jí)能力提升】13.(多選)(2023·武漢質(zhì)檢)為弘揚(yáng)文明、和諧的社區(qū)文化氛圍，更好地服務(wù)社區(qū)群眾，武漢市某社區(qū)組織開展了“黨員先鋒”“鄰里互助”兩個(gè)公益服務(wù)項(xiàng)目，其中某個(gè)星期內(nèi)兩個(gè)項(xiàng)目的參與人數(shù)(單位：人)記錄如下：日期星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日黨員先鋒24272625377672鄰里互助11131111127132143對(duì)于該星期內(nèi)的公益服務(wù)情況，下列說法正確的有()A.“黨員先鋒”項(xiàng)目參與人數(shù)的極差為52，中位數(shù)為25B.“鄰里互助”項(xiàng)目參與人數(shù)的眾數(shù)為11，平均數(shù)為64C.用頻率估計(jì)頻率，“黨員先鋒”項(xiàng)目連續(xù)3天參與人數(shù)均不低于25的概率為eq\f(4,7)D.用頻率估計(jì)概率，“鄰里互助”項(xiàng)目連續(xù)2天參與人數(shù)均不低于該項(xiàng)目參與人數(shù)的平均數(shù)的概率為eq\f(1,3)答案BD解析對(duì)于A，將“黨員先鋒”項(xiàng)目該星期內(nèi)的參與人數(shù)從小到大排列，即24，25，26，27，37，72，76，則“黨員先鋒”項(xiàng)目參與人數(shù)的極差為76－24＝52，中位數(shù)為27，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，“鄰里互助”項(xiàng)目參與人數(shù)的眾數(shù)為11，平均數(shù)為eq\f(1,7)×(11＋13＋11＋11＋127＋132＋143)＝64，故B正確；對(duì)于C，在該星期內(nèi)任意抽取連續(xù)的3天，易知共有5種情況，其中“黨員先鋒”項(xiàng)目連續(xù)3天參與人數(shù)均不低于25的情況有(星期二、星期三、星期四)，(星期三、星期四、星期五)，(星期四、星期五、星期六)，(星期五、星期六、星期日)，共4種情況，故所求概率為eq\f(4,5)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B可知，“鄰里互助”項(xiàng)目參與人數(shù)的平均數(shù)為64，在該星期內(nèi)任意抽取連續(xù)的2天，易知共有6種情況，其中“鄰里互助”項(xiàng)目連續(xù)2天參與人數(shù)均不低于64的情況有(星期五、星期六)，(星期六、星期日)，共2種情況，故所求概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，故D正確.14.(2023·佛山檢測(cè))為了解本地區(qū)義務(wù)教育階段學(xué)生中抄襲過作業(yè)的學(xué)生比例，對(duì)隨機(jī)抽出的2000名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，因問題涉及隱私，調(diào)查中使用了兩個(gè)問題.問題1：你的陽歷生日日期是不是偶數(shù)？問題2：你是否抄襲過作業(yè)？調(diào)查者設(shè)計(jì)了一個(gè)隨機(jī)化裝置，這是一個(gè)裝有除顏色外完全一樣的50個(gè)白球和50個(gè)紅球的不透明袋子.每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)從袋中摸取1個(gè)球，摸出的球看到顏色后放回袋中，只有摸球者自己才能看到摸出球的顏色.要求摸到白球的學(xué)生如實(shí)回答第一個(gè)問題，摸到紅球的學(xué)生如實(shí)回答第二個(gè)問題，答案為“是”的人從盒子外的小石子堆中拿一個(gè)石子放在盒子中，回答“否”的人什么都不做.由于問題的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪個(gè)問題也是別人不知道的，因此被調(diào)查者可以毫無顧慮地給出符合實(shí)際情況的答案.調(diào)查結(jié)果為2000人中共有612人回答“是”，則本地區(qū)義務(wù)教育階段學(xué)生中抄襲過作業(yè)的學(xué)生所占百分比最接近(提示：假設(shè)一年為365天，其中日期為偶數(shù)的天數(shù)為179)()A.10.2% B.12.2%C.24.4% D.30.6%答案B解析由題意可知，每個(gè)學(xué)生摸出白球或紅球的可能性都是eq\f(1,2)，即大約有1000人回答了第一個(gè)問題，另1000人回答了第二個(gè)問題，在摸出白球的情況下，回答“是”的概率為eq\f(179,365)≈0.490，所以在回答第一個(gè)問題的1000人中，大約有490人回答了“是”，所以可以推測(cè)在回答第二個(gè)問題的1000人中，大約有612－490＝122(人)回答了“是”，即估計(jì)抄襲過作業(yè)的學(xué)生所占百分比為eq\f(122,1000)＝12.2%.15.(2023·鄭州一模)現(xiàn)有5名師范大學(xué)畢業(yè)生