24.7 第1課時 弧長與扇形面積

24.7弧長與扇形面積第1課時弧長與扇形面積1．經歷弧長和扇形面積公式的探求過程；2．會利用弧長和扇形面積的計算公式進行計算(難點)．一、情境導入在我們日常生活中，弧形隨處可見，大到星體運行軌道，小到水管彎管，操場跑道，高速立交的環(huán)形入口等等，你有沒有想過，這些弧形的長度應該怎么計算呢？二、合作探究探究點一：與弧長有關的計算【類型一】求弧長如圖，⊙O的半徑為6cm，直線AB是⊙O的切線，切點為點B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，則劣弧eq\o(BC,\s\up8(︵))的長為________cm.解析：連接OB、OC，∵AB是⊙O的切線，∴AB⊥BO.∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°.∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.在等腰△OBC中，∠BOC＝180°－2∠OBC＝180°－2×60°＝60°.∴eq\o(BC,\s\up8(︵))的長為eq\f(60×π×6,180)＝2π.方法總結：根據(jù)弧長公式l＝eq\f(nπR,180)，求弧長應先確定圓弧所在圓的半徑R和它所對的圓心角n的大?。兪接柧殻阂姟秾W練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第1題【類型二】利用弧長求半徑或圓心角(1)已知扇形的圓心角為45°，弧長等于eq\f(π,2)，則該扇形的半徑是________；(2)如果一個扇形的半徑是1，弧長是eq\f(π,3)，那么此扇形的圓心角的大小為________．解析：(1)若設扇形的半徑為R，則根據(jù)題意，得eq\f(45×π×R,180)＝eq\f(π,2)，解得R＝2.(2)根據(jù)弧長公式得eq\f(n×π×1,180)＝eq\f(π,3)，解得n＝60，故扇形圓心角的大小為60°.方法總結：逆用弧長的計算公式可求出相應扇形的圓心角和半徑．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第6題【類型三】求動點運行的弧形軌跡如圖，Rt△ABC的邊BC位于直線l上，AC＝eq\r(3)，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由現(xiàn)在的位置向右無滑動地翻轉，當點A第3次落在直線l上時，點A所經過的路線的長為________(結果用含π的式子表示)．解析：點A第1次落在直線l上所經歷的路線的長為一個半徑為2，圓心角為120°的扇形弧長，此后每落在直線l上一次，都會經歷一個半徑長為2，圓心角為120°的扇形弧長和一個半徑為eq\r(3)，圓心角為90°的扇形弧長之和，故點A第3次落在直線l上所經過的路線的長為三個半徑為2，圓心角為120°的扇形弧長與兩個半徑為eq\r(,3)，圓心角為90°的扇形弧長之和，即l＝3×eq\f(120π×2,180)＋2×eq\f(90π×\r(3),180)＝4π＋eq\r(3)π.故填(4＋eq\r(3))π.方法總結：此類翻轉求路線長的問題，通過歸納探究出這個點經過的路線情況的規(guī)律，并以此推斷整個運動途徑，從而利用弧長公式求出運動的路線長．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第7題探究點二：與扇形面積相關的計算【類型一】求扇形面積一個扇形的圓心角為120°，半徑為3，則這個扇形的面積為________(結果保留π)．解析：把圓心角和半徑代入扇形面積公式S＝eq\f(nπr2,360)＝eq\f(120×32π,360)＝3π.方法總結：扇形面積公式中涉及三個字母，只要知道其中兩個，就可以求出第三個．扇形面積還有另外一種求法S＝eq\f(1,2)lr，其中l(wèi)是弧長，r是半徑．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第7題【類型二】求運動形成的扇形面積如圖，把一個斜邊長為2且含有30°角的直角三角板ABC繞直角頂點C順時針旋轉90°到△A1B1C，則在旋轉過程中這個三角板掃過圖形的面積是()A．πB.eq\r(3)C.eq\f(3π,4)＋eq\f(\r(3),2)D.eq\f(11π,12)＋eq\f(\r(3),4)解析：在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴BC＝eq\f(1,2)AB＝1.由于這個三角板掃過的圖形為扇形BCB1和扇形ACA1，∴S扇形BCB1＝eq\f(90·π·12,360)＝eq\f(π,4)，S扇形ACA1＝eq\f(90·π·（\r(3)）2,360)＝eq\f(3π,4)，∴S總＝eq\f(π,4)＋eq\f(3π,4)＝π.故選A.方法總結：此題考查了旋轉的性質、直角三角形的性質以及等邊三角形的性質，注意掌握旋轉前后圖形的對應關系，利用數(shù)形結合思想把掃過的面積分成兩個扇形的面積與一個三角形面積是解題的關鍵．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第2題【類型三】求陰影部分的面積如圖，半徑為1cm、圓心角為90°的扇形OAB中，分別以OA、OB為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為()A．πcm2B.eq\f(2,3)πcm2C.eq\f(1,2)cm2D.eq\f(2,3)cm2解析：設兩個半圓的交點為C，連接OC，AB，根據(jù)題意可知點C是半圓eq\o(OA,\s\up8(︵))，eq\o(OB,\s\up8(︵))的中點，所以eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(OC,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，所以BC＝OC＝AC，即四個弓形的面積都相等，所以圖中陰影部分的面積等于Rt△AOB的面積，又OA＝OB＝1cm，即圖中陰影部分的面積為eq\f(1,2)cm2，故選C.方法總結：求圖形面積的方法一般有兩種：規(guī)則圖形直接使用面積公式計算；不規(guī)則圖形