矩陣的秩在數(shù)學(xué)知識(shí)中的作用

矩陣的秩在數(shù)學(xué)知識(shí)中的作用

1矩陣績效理論1.1矩陣行向量組的秩定義1：向量組的最大無關(guān)組中包含的向量數(shù)該向量組的屬性。定義2:矩陣列向量組的秩稱為矩陣的列秩,矩陣行向量組的秩稱為矩陣的行秩。矩陣的秩的兩個(gè)等價(jià)定義:1)矩陣行秩等于矩陣列秩,統(tǒng)稱為矩陣的秩。2)矩陣中最大階非零子式的階數(shù)稱為矩陣的秩。1.2矩陣與紀(jì)律的相關(guān)性2矩陣的秩和行列公式2.1等價(jià)條件條件:a,n矩陣a的乘子更新,a定理1:n×n矩陣A的行列式為零的充分必要條件A的秩小于n。通過定理1的陳述可以得到否命題,即n×n矩陣A的秩等于n的充分必要條件是A的行列式不為零。從而有以下一些等價(jià)條件:1)n×n矩陣A的行列式的秩等于n。2)A的行列式不為零。3)矩陣A是可逆矩陣。4)齊次線性方程組AX=0只有零解。5)矩陣A能表示成一些初等矩陣的乘積的形式,即A=Q1Q2…Qn。6)矩陣A的所有特征值均不為零。有了這些等價(jià)條件,在解決一些具體問題的時(shí)候是十分方便的。2.2各r級(jí)子式都為零的原因定理2:矩陣A的秩是r的充分必要條件是矩陣A中有一個(gè)r級(jí)子式不為零,同時(shí)所有的r+1級(jí)子式全為零。以上給出了n×n矩陣的秩與行列式的關(guān)系,一般矩陣的秩與行列式的關(guān)系。3矩陣的階乘數(shù)用于解方程3.1線性組合的條件定理1:齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣A的秩小于n。定理2(線性方程組有解判別定理):線性方程組AX=B有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣A與增廣矩陣有相同的秩。定義1:齊次線性方程組AX=0(*)的一組解η1,η2,…ηt稱為(*)的一個(gè)基礎(chǔ)解系,如果1)(*)的任意一個(gè)解都能夠表示成η1,η2,...ηt的線性組合的形式。2)η1,η2,…ηt線性無關(guān)。定理3:在齊次線性方程組有非零解的情況下,它有基礎(chǔ)解系,并且基礎(chǔ)解系所含解的個(gè)數(shù)等于nr,這里n是齊次線性方程組中未知量的個(gè)數(shù),r表示系數(shù)矩陣的秩,n-r就是自由未知量的個(gè)數(shù)。3.2別微分方程是否有解利用矩陣的秩判斷方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)的線性方程組解的情況十分簡單易行的,方法是首先判斷線性方程組的系數(shù)矩陣A的行列式|A|是否為零,如果|A|≠0,則利用克拉默法則進(jìn)行求解;如果|A|=0,利用定理1的結(jié)論,即看r(A)是否等于r(A,b)來判別方程組是否有解。例題1:設(shè)A、B、C是n三個(gè)階方陣,求證:若r(A)=r(BA),則r(AC)=r(BAC)。證明:設(shè)方程組AX=0與方程組(BA)X=0的解空間分別為V1,V2,因?yàn)榉匠探MAX=0的解一定是方程組(BA)X=0的解。此即V1?V2,dimV1=n-秩(A),dimV2=n-秩(BA),由于秩(A)=秩(BA),所以dimV1=dimV2,即V1=V2,也就是說方程組AX=0與方程組(BA)X=0同解。顯然,方程組(AC)X=0的解是方程組(BAC)X=0的解。如果X是方程組(BAC)X=0的解,令CX=X1,則(BA)X1=0,所以X1也是方程組AX=0的解,即AX1=0也就是(AC)X=0,所以方程組(AC)X=0與方程組(BAC)X=0有相同的解,從而r(AC)=r(BAC)。4矩陣的屬性用于線性空間和線性變換4.1線性空間的維數(shù)定義1:如果在線性空間V中有n個(gè)線性無關(guān)的向量,但是沒有更多數(shù)目的線性無關(guān)的向量,那么V就稱為n維的;如果在V中可以找到任意多個(gè)線性無關(guān)的向量,那么V就稱為無限維的。定義2:在n維線性空間V中,n個(gè)線性無關(guān)的向量ε1,ε2,…,εn稱為V的一組基。設(shè)α是V中任一向量,于是ε1,ε2,…,εn,α線性相關(guān),因此α可以被基ε1,ε2,…,εn線性表出:α=a1ε1+a2ε2+…+anεn,其中系數(shù)a1,a2,…,an是被向量α和基ε1,ε2,…,εn唯一確定的,這組數(shù)就稱為α在基ε1,ε2,…,εn下的坐標(biāo),記為(a1,a2,…,an)。從以上定義可以看出,線性空間的維數(shù)就是這個(gè)線性空間的一組基所含向量的個(gè)數(shù),這就把一個(gè)相對(duì)抽象的維數(shù)的概念轉(zhuǎn)化到討論向量的個(gè)數(shù),即討論向量組的秩。從上面敘述可以知道,如果把矩陣的每一行看成一個(gè)向量,那么矩陣就可以認(rèn)為是由這些行向量組成的,而矩陣的行向量組的秩稱為行秩,也就是矩陣的秩。設(shè)a1,a2,…,an是線性空間V中的一組向量,稱L(a1,a2,…,an)為由a1,a2,…,an生成的子空間,L(a1,a2,…,an)的維數(shù)等于向量組a1,a2,…,an的秩。根據(jù)以上的分析,就可以把求線性空間的維數(shù)問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的求矩陣的秩。由此可以看出,秩(α1,α2,α3)=3,dimW1=秩(α1,α2,α3)=3,且α1,α2,α3為W1的一組基。在線性空間中,齊次線性方程組的全部解向量組成一個(gè)子空間,這個(gè)子空間叫做齊次線性方程組的解空間,解空間的基就是方程組的基礎(chǔ)解系,它的維數(shù)等于n-r,其中r為系數(shù)矩陣的秩。例題3:設(shè)方陣A與A2的秩相等,證明:n元齊次方程組AX=0與A2X=0同解。證明:設(shè)AX=0與A2X=0的解空間分別為V1,V2,因?yàn)锳X=0的解一定是A2X=0的解,此即V1?V2,dimV1=n-秩A,dimV2=n-秩A2。由于秩A=秩A2,所以dimV1=dimV2,即V1=V2。由此可知齊次方程組AX=0與A2X=0同解。4.2有一個(gè)基中一個(gè)n的矩陣為了討論矩陣的秩在線性空間中的應(yīng)用,首先引入一個(gè)重要的概念。定義1:設(shè)V是數(shù)域P上n維線性空間,ε1,ε2,…,εn是V的一組基,A*是V中的線性變換,基向量的象可以被基線性表出:A*(ε1,ε2,…,εn)=(A*ε1,A*ε2,…A*εn)=(ε1,ε2…,εn)A,其中矩陣A稱為A*在基ε1,ε2,…,εn下的矩陣。由上面的定義可以知道,只要取定一組基之后,就能建立由數(shù)域P上的線性變換到數(shù)域P上的n×n矩陣的1-1對(duì)應(yīng)。線性變換的和對(duì)應(yīng)矩陣的和,線性變換的乘積對(duì)應(yīng)矩陣的乘積,可逆的線性變換對(duì)應(yīng)可逆的矩陣,且逆變換和逆矩陣對(duì)應(yīng)。同樣線性變換的秩對(duì)應(yīng)矩陣的秩,這樣就把一個(gè)抽象的問題轉(zhuǎn)換為具體問題,從而使問題得到簡化。例題4:設(shè)A為線性空間V的線性變換σ關(guān)于某組基的矩陣,求證σ2V?σV。當(dāng)且僅當(dāng)V=σV⊕σ-1(0)。證明:設(shè)α1,α2,…,αn是V的一組基,σ在這組基下的矩陣為A,則線性變換V在這組基下的矩陣為A2,且σV=L(σα1,σα2,…,σαn)=L(σαi1,σαi2,…,σαis),其中σαi1,σαi2,…,σαis是σV的一組基。于是σ2V=L(σ2αi1,σ2αi2,…,σ2αis)。設(shè)r(A2)=r(A),邊e=(u,v)∈T,易知λ(H-e)=λ0,故H-e有一個(gè)頂點(diǎn)割S,|S|≤λ0。但S∪{u}就是H的一個(gè)頂點(diǎn)割,即由歸納法原理知,對(duì)任何λ,結(jié)論成立。5結(jié)論、論證與解釋例5:設(shè)A是G的鄰接矩陣,證明Ak的(i,j)元素等于G中聯(lián)結(jié)vi和vj的長為k的途徑的數(shù)目。證明:對(duì)k用歸納法。當(dāng)k=0時(shí)A0=I為p價(jià)單位矩陣。從任一頂點(diǎn)vi到自身有一條長為0的途徑,任何兩個(gè)不同的頂點(diǎn)間沒有長為0途徑,故當(dāng)k=0時(shí)結(jié)論成立。今設(shè)結(jié)論對(duì)k成立,由Ak+1=AAk,故有由于ail是聯(lián)結(jié)vi與vl的長為1的途徑的數(shù)目,是聯(lián)結(jié)vl與vj長為k的途徑的數(shù)目。所以表示由vi經(jīng)過一條到vl,再經(jīng)過一條長為k的途徑到vj的總長為k+1的途徑的數(shù)目,對(duì)所有