復(fù)變函數(shù)的發(fā)展

復(fù)變函數(shù)發(fā)展及應(yīng)用背景

（莫里斯克萊恩

）(1908-1992)(《古今數(shù)學(xué)思想》(MathematicalThoughtfromAncienttoModernTimes)的作者,美國(guó)數(shù)學(xué)史家)指出:從技術(shù)觀點(diǎn)來(lái)看,十九世紀(jì)最獨(dú)特的創(chuàng)造是單復(fù)變函數(shù)的理論.這個(gè)新的數(shù)學(xué)分支統(tǒng)治了十九世紀(jì),幾乎象微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)那樣.這一豐饒的數(shù)學(xué)分支,一直被稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受.它也被歡呼為抽象科學(xué)中最和諧的理論之一.的概念,從而建立了復(fù)變函數(shù)理論.為了建立代數(shù)方程的普遍理論，人們引入復(fù)數(shù)

復(fù)變函數(shù)理論可以應(yīng)用于計(jì)算某些復(fù)雜的實(shí)函數(shù)的積分.(1)

代數(shù)方程

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解.

（阿達(dá)馬）說(shuō):實(shí)域中兩個(gè)真理之間的最短路程是通過(guò)復(fù)域.(3)復(fù)變函數(shù)理論可以應(yīng)用于流體的平面平行流動(dòng)等問(wèn)題的研究.函數(shù)理論證明了應(yīng)用復(fù)變(4)應(yīng)用于計(jì)算繞流問(wèn)題中的壓力和力矩等.(5)應(yīng)用于計(jì)算滲流問(wèn)題.

例如：大壩、鉆井的浸潤(rùn)曲線.(6)應(yīng)用于平面熱傳導(dǎo)問(wèn)題、電(磁)場(chǎng)強(qiáng)度.

例如：熱爐中溫度的計(jì)算.

最著名的例子是飛機(jī)機(jī)翼剖面壓力的計(jì)算,

從而研究機(jī)翼的造型問(wèn)題.(4)應(yīng)用于計(jì)算繞流問(wèn)題中的壓力和力矩等.(5)應(yīng)用于計(jì)算滲流問(wèn)題.

例如：大壩、鉆井的浸潤(rùn)曲線.(6)應(yīng)用于平面熱傳導(dǎo)問(wèn)題、電(磁)場(chǎng)強(qiáng)度.

例如：熱爐中溫度的計(jì)算.

最著名的例子是飛機(jī)機(jī)翼剖面壓力的計(jì)算,

從而研究機(jī)翼的造型問(wèn)題.變換應(yīng)用于頻譜分析和信號(hào)處理等.(8)復(fù)變函數(shù)理論也是積分變換的重要基礎(chǔ).

積分變換在許多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用，如電力工程、通信和控制領(lǐng)域以及信號(hào)分析、圖象處理和其他許多數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域．

頻譜分析是對(duì)各次諧波的頻率、振幅、相位之間的關(guān)系進(jìn)行分析.隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，語(yǔ)音、圖象等作為信號(hào)，在頻域中的處理要方便得多.(9)變換應(yīng)用于控制問(wèn)題.

在控制問(wèn)題中，傳遞函數(shù)是輸入量的Laplace變換與輸出量的Laplace變換之比.(11)Z變換應(yīng)用于離散控制系統(tǒng).(12)小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛,如信號(hào)分析和圖象處理、語(yǔ)音識(shí)別與合成、醫(yī)學(xué)成像與診斷、地質(zhì)勘探與地震預(yù)報(bào)等等.(13)復(fù)變函數(shù)與積分變換的計(jì)算可以使用為科學(xué)和工程計(jì)算設(shè)計(jì)的軟件(10)平面彈性復(fù)變方法、斷裂力學(xué)等

平面彈性力學(xué)，柱狀，板狀、殼狀的力學(xué)性能研究.(15)準(zhǔn)晶材料、壓電材料等新型復(fù)合斷裂和力學(xué)性能研究.(16)積分方程和奇異積分方程的研究方法和技術(shù).(17)復(fù)變函數(shù)與積分變換的計(jì)算可以使用為科學(xué)和工程計(jì)算設(shè)計(jì)的軟件，無(wú)損檢測(cè)、彈性波散射等方面應(yīng)用(14)

從二次方程談起解方程此公式早于公元前400年，已被巴比倫人發(fā)現(xiàn)和使用。在中國(guó)的古籍《九章算術(shù)》中，亦有提及與二次方程有關(guān)的問(wèn)題。由二次方程到三次方程由于實(shí)際應(yīng)用上的需要，亦由于人類求知欲的驅(qū)使，很自然地，人類就開始尋找三次方程的解法。

即尋找方程

一般根式解。很可惜，經(jīng)過(guò)了差不多二千年的時(shí)間，依然沒有很大的進(jìn)展！怪杰卡丹諾

(GirolamoCardano;1501

1576)一個(gè)多才多藝的學(xué)者,

?一個(gè)放蕩不羈的無(wú)賴

他精通數(shù)學(xué)、醫(yī)學(xué)、語(yǔ)言學(xué)、天文學(xué)、占星學(xué)

一生充滿傳奇，人們稱他為「怪杰」。

1545年，卡丹諾在他的著作《大術(shù)》（ArsMagna）中，介紹了解三次方程的方法。從此，解三次方程的方法，就被稱為「卡丹諾公式」。

解方程

公式：

例解

x3+6x=20注意：m=

6、n=20

x==21、1545年，意大利數(shù)學(xué)家Cardan在解三次方程時(shí)，首先產(chǎn)生了負(fù)數(shù)開平方的思想。后來(lái)，數(shù)學(xué)家引進(jìn)了虛數(shù)，這在當(dāng)時(shí)是不可接受的。這種狀況隨著17、18世紀(jì)微積分的發(fā)明和給出了虛數(shù)的幾何解析而逐漸好轉(zhuǎn)。

2、1777年，瑞士數(shù)學(xué)家Euler建立了系統(tǒng)的復(fù)數(shù)理論，發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)之間的關(guān)系，創(chuàng)立了復(fù)變函數(shù)論的一些基本定理，并開始把它們應(yīng)用到水力學(xué)和地圖制圖學(xué)上。用符號(hào)i表示虛數(shù)單位，也是Euler首創(chuàng)的。

3、19世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家Cauchy、德國(guó)數(shù)學(xué)家Riemann和Weierstrass經(jīng)過(guò)努力，建立了系統(tǒng)的復(fù)變函數(shù)理論，這些理論知識(shí)直到今天都是比較完善的。

4、20世紀(jì)以來(lái)，復(fù)變函數(shù)理論形成了很多分支，如整函數(shù)與亞純函數(shù)理論、解析函數(shù)的邊值問(wèn)題、復(fù)變函數(shù)逼近論、黎曼曲面、單葉解析函數(shù)論等等，并廣泛用于理論物理、彈性物理和天體力學(xué)、流體力學(xué)、電學(xué)等領(lǐng)域。LeonhardEuler(1707.4.15-1783.9.18)偉大的瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家.出生于牧師家庭,自幼受父親的教育.13歲時(shí)入讀巴塞爾大學(xué).在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi),18世紀(jì)可以稱為是Euler的世紀(jì).他對(duì)數(shù)學(xué)的研究非常廣泛,在半個(gè)多世紀(jì)的研究生涯中,寫下了浩如煙海的書籍和論文,幾乎每一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到Euler的名字,作出了非凡貢獻(xiàn).28歲時(shí),過(guò)度的工作使他右眼失明.

年近花甲時(shí),雙目失明.Euler完全失明以后，仍然以驚人的毅力,憑著記憶和心算進(jìn)行研究,直到逝世,竟達(dá)17年之久．他在物理、天文、建筑等方面也取得了輝煌的成就.Gauss說(shuō):“研究歐拉的著作永遠(yuǎn)是了解數(shù)學(xué)的最好方法.”Laplace說(shuō):“讀讀Euler,他是我們大家的老師.”生于法國(guó),1688年移居英國(guó).在概率論、復(fù)數(shù)理法國(guó)數(shù)學(xué)家.在分析學(xué)、代數(shù)學(xué)和幾何學(xué)等方面都有很大的成就.1887年給出曲線的第一個(gè)定義.AbrahamdeMoivre(1667.5.26-1754.11.27)論等領(lǐng)域做了一些出色的工作.CamilleJordan(1838.1.5-19221.21)AugustinLouisCauchy

(1789.8.21-1857.5.23)法國(guó)數(shù)學(xué)家,歷史上有數(shù)的大分析學(xué)家.1805年入理工科大學(xué),1816年成為那里的教授.他給出了微積分的嚴(yán)密基礎(chǔ),同時(shí)其工作遍及數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域,而且在天文學(xué)、光學(xué)、彈性力學(xué)等方面也做出了突出的貢獻(xiàn).他的論文超過(guò)了七百篇,在數(shù)量上僅次于Euler.他甚至研究過(guò)詩(shī)歌.GeorgFriedrichBernhardRiemann(1826.9.17-1866.7.20)德國(guó)數(shù)學(xué)家.1846年入哥廷根大學(xué),成為Gauss晚年的學(xué)生.1851年以論文“復(fù)變函數(shù)論的基礎(chǔ)”取得博士學(xué)位,Gauss在審閱這篇論文時(shí)給予極高的評(píng)價(jià).1854年寫出了將函數(shù)表示成三角級(jí)數(shù)的一篇重要論文,同年另一篇論文開辟了幾何學(xué)的新領(lǐng)域.1859年成為哥廷根大學(xué)教授,同年提出著名的Riemannz函數(shù).

積分變換就是通過(guò)積分運(yùn)算把一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)，同時(shí)，將函數(shù)的微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，把復(fù)雜、耗時(shí)的運(yùn)算簡(jiǎn)單、快速完成。但變換不同于化簡(jiǎn)，它必須是可逆的，即必須有與之匹配的逆變換。

復(fù)變函數(shù)與積分變換在應(yīng)用方面，涉及的面很廣，有很多復(fù)雜的計(jì)算都是用它來(lái)解決的。比如物理學(xué)上有很多不同的穩(wěn)定平面場(chǎng)，所謂場(chǎng)就是每點(diǎn)對(duì)應(yīng)有物理量的一個(gè)區(qū)域，對(duì)它們的計(jì)算就是通過(guò)復(fù)變函數(shù)來(lái)解決的。

再比如俄國(guó)的茹柯夫斯基在設(shè)計(jì)飛機(jī)的時(shí)候，就用復(fù)變函數(shù)解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，他在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問(wèn)題上也做出了貢獻(xiàn)。

復(fù)變函數(shù)不但在其他學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多分支也都應(yīng)用了它的理論。它