利用分塊方法處理矩陣問題

利用分塊方法處理矩陣問題

0塊的方法的運用在矩陣的一些操作中，對于具有高級別的矩陣，通常使用塊法將矩陣劃分為幾個小矩陣，并在操作過程中將矩陣視為元素來處理矩陣，這往往簡化。本文通過一些例子來說明分塊矩陣的一些應用.1預備知識矩陣的分塊技巧性較強,要根據(jù)不同的問題進行不同的分塊,常見的分法有四種:(1)列向量分割方法A=(a1,a2,…,an),ai(i=1,2,…,n)為A的列向量。(2)行向量分割法(3)分為兩部分A=(A1,A2),其中A1,A2分別為A的若干列,或其中B1,B2分別為B的若干行.(4)分塊陣的交換對分塊陣可以進行廣義初等變換,廣義初等變換分為三種:(1)交換分塊陣的兩行(或列);(2)用一可逆陣乘以分塊陣的某一行(或列);(3)用某一矩陣乘某一行(或列)加到另一行(或列).根據(jù)廣義初等變換的類型對應三種廣義初等陣:2主要應用2.1a,b、b、c求矩陣的逆矩陣可以用伴隨矩陣或初等變換的方法來解決,而此類方法對于級數(shù)較高的矩陣運算量較大,對某些矩陣可以適當分塊后再進行運算,可起到事半功倍的作用.分析:可以將矩陣A分成四塊,其中,根據(jù)分塊陣的性質(zhì),,而A1,A2為二級矩陣,其逆矩陣易求出,分別為例2.已知矩陣,求A-1.分析:可以將矩陣A分成四塊,其中,根據(jù)分塊陣的性質(zhì),,而A1,A2,A3為二級矩陣,其逆矩陣易求出,分別為2.2根據(jù)矩陣初等變換進行的廣義初等變換例4.設(shè)A,B都是n階方陣,AB=0,證明R(A)+R(B)≤n(R(A)表示矩陣A的秩,下同).證明:構(gòu)造分塊陣,對進行廣義初等變換,則根據(jù)矩陣初等變換的性質(zhì)有,而,所以R(A)+R(B)≤n.例5.證明R(A+B)≤R(A)+R(B).證明:構(gòu)造分塊陣,對進行廣義初等變換,則根據(jù)矩陣初等變換的性質(zhì)有,而(B),所以R(A+B)≤R(A)+R(B).例6.設(shè)A,B分別為s×n,n×m階矩陣,則R(A)+R(B)≤R(AB)+n.證明:構(gòu)造分塊陣,對進行廣義初等變換,,根據(jù)矩陣初等變換的性質(zhì)有R,而,所以R(A)+R(B)≤R(AB)+n.2.3類屬性的相關(guān)加先給出如下結(jié)論:設(shè)A,B分別為m與n階方陣,則(1)當A可逆時,有;例7.求2n階方陣的行列式.解:將矩陣D分塊為,其中A=可逆,由結(jié)論(1)有|D|=|A||A-BA-1B|,而A-,所以|A-BA-1B|=(a-a-1b2)n,|D|=an(a-a-1b2)n=(a2-b2)n.例8.求矩陣的行列式,其中ai≠0,i=1,2,…,n.解:先對進行加邊,然后將加邊后的行列式的第一行乘以-1加到其余各行得,令A=(1),D=(11…1)2.4可逆矩陣乘子法例9.設(shè)A為m×n階矩陣,且R(A)=r,r>0,證明A可分解成兩個秩為r的m×r,r×n階矩陣的乘積.證明:因為R(A)=r,所以存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q,使其中,且R(A