第05講三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（原卷版）

第05講三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1．用“五點法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))))值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]遞減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]對稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ一．三角函數(shù)的定義域例1．（1）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．（2）函數(shù)的定義域為（）A． B．且C． D．或（3）函數(shù)的定義域為()A． B．C． D．（4）函數(shù)的定義域為()A． B．C． D．（5）函數(shù)的定義域是_____________________.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：一些三角函數(shù)的定義域可以借助函數(shù)圖象直觀地觀察得到，同時要注意區(qū)間端點的取舍.（6）求函數(shù)的定義域為_______.（7）求下列函數(shù)的定義域：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④．=5\*GB3⑤；=6\*GB3⑥.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：用三角函數(shù)圖象解三角不等式的步驟(1)作出相應(yīng)的正弦函數(shù)或余弦函數(shù)在[0,2π]上的圖象；(2)寫出不等式在區(qū)間[0,2π]上的解集；(3)根據(jù)公式一寫出定義域內(nèi)的解集．二．三角函數(shù)的值域例2．（1）函數(shù)在區(qū)間上的值域為（

）A． B． C． D．（2）函數(shù)的最大值是（

）A． B．0 C．2 D．3（3）若，則函數(shù)的值域是___________.（4）函數(shù)的值域為_____________．（5）已知函數(shù)，，則的值域為______.（6）求下列函數(shù)的值域：=1\*GB3①；=2\*GB3②．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到以下幾種類型(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．求三角函數(shù)取最值時相應(yīng)自變量x的集合時，要注意考慮三角函數(shù)的周期性．(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)，x∈D的函數(shù)的值域或最值時，通過換元，令t＝sinx(或cosx)，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，利用配方法求值域或最值即可．求解過程中要注意t＝sinx(或cosx)的有界性．(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)．三．三角函數(shù)的周期性例3．（1）下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．（2）下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．（3）函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C． D．（4）函數(shù)的最小正周期為______．（5）設(shè)，則__________.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：求三角函數(shù)周期的方法(1)定義法：即利用周期函數(shù)的定義求解．(2)公式法：對形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A≠0，ω≠0)的函數(shù)，T＝eq\f(2π,|ω|)；對形如y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A≠0，ω≠0)的函數(shù)，．形如y＝|Asinωx|(或y＝|Acosωx|)的函數(shù)的周期T＝eq\f(π,|ω|).(3)觀察法：即通過觀察函數(shù)圖象求其周期．四．三角函數(shù)的奇偶性例4．（1）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點的是（

）A． B． C． D．（2）下列函數(shù)中為周期是的偶函數(shù)是（

）A． B．C． D．（3）（多選）下列函數(shù)中周期為且為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：三角函數(shù)周期性與奇偶性的解題策略(1)探求三角函數(shù)的周期，常用方法是公式法，即將函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．(2)判斷函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具備奇偶性，關(guān)鍵是看它能否通過誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為y＝Asinωx(Aω≠0)或y＝Acosωx(Aω≠0)其中的一個．（4）函數(shù)是（

）A．周期為的奇函數(shù) B．周期為的偶函數(shù)C．周期為的奇函數(shù) D．周期為的偶函數(shù)（5）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)（6）已知函數(shù)，若，則__________.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)判斷函數(shù)奇偶性應(yīng)把握好的兩個方面：一看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱；二看f(x)與f(－x)的關(guān)系．(2)對于三角函數(shù)奇偶性的判斷，有時可根據(jù)誘導(dǎo)公式先將函數(shù)式化簡后再判斷．提醒：研究函數(shù)性質(zhì)應(yīng)遵循“定義域優(yōu)先”的原則．五．三角函數(shù)的對稱性例5．（1）若函數(shù)的最小正周期為，則它的一條對稱軸是（

）A． B．C． D．（2）函數(shù)的一個對稱中心是（

）A． B． C． D．（3）若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則___________.（4）已知函數(shù)的一個對稱中心是，則的值為______.（5）定義在R上的函數(shù)滿足以下兩個性質(zhì)：①，②，滿足①②的一個函數(shù)是______.（6）函數(shù)圖像的對稱中心為___________（7）函數(shù)圖像的一個對稱中心為，其中，則點對應(yīng)的坐標(biāo)為______________.（8）已知函數(shù)，對，成立，則_______.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)對于可化為f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函數(shù)，如果求f(x)的對稱軸，只需令ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z))，求x即可．(2)對于可化為f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函數(shù)，如果求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx＋φ＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，求x即可．六．三角函數(shù)的單調(diào)性命題點1求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例6．（1）下列區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間的是（

）A． B． C． D．（2）函數(shù)的的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．（3）函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．（4）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增（5）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A．， B．，C．， D．，【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：求函數(shù)y＝tan(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間的方法y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的單調(diào)區(qū)間的求法是把ωx＋φ看成一個整體，解－eq\f(π,2)＋kπ<ωx＋φ<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z即可．當(dāng)ω<0時，先用誘導(dǎo)公式把ω化為正值再求單調(diào)區(qū)間．（6）下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（

）A．最小正周期為B．圖像關(guān)于點成中心對稱C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．圖像關(guān)于直線成軸對稱【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：解答正切函數(shù)圖象與性質(zhì)問題應(yīng)注意的兩點(1)對稱性：正切函數(shù)圖象的對稱中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)，不存在對稱軸．(2)單調(diào)性：正切函數(shù)在每個eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的，但不能說其在定義域內(nèi)是遞增的．（7）已知函數(shù)，則它的單調(diào)遞增區(qū)間是_________【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω<0，可借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯．(2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)．先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解．命題點2根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)例7．（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為（

）A．B．C．D．（2）（多選）已知函數(shù)（其中），恒成立，且在區(qū)間上單調(diào)，則（

）A．是偶函數(shù)．B．C．是奇數(shù)D．的最大值為3（3）函數(shù)y＝cosx在區(qū)間[－π，a]上為增函數(shù)，則a的取值范圍是________（4）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值是____.（5）函數(shù)，已知且對于任意的都有，若在上單調(diào)，則的最大值為______.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)問題的求解思路：（1）將函數(shù)解析式變形為或的形式；（2）將看成一個整體；（3）借助正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)（如定義域、值域、最值、周期性、對稱性、單調(diào)性等）解決相關(guān)問題.1．函數(shù)的定義域為（）A．， B．，C．， D．，2．函數(shù)f（x）=sinxcos(x+)的值域為（）A．[2,2] B．[,] C．[1,1] D．[,]3．已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于點對稱C．的最大值為 D．的圖象關(guān)于直線對稱4．函數(shù)的最大值為（）A．4 B．5 C．6 D．75．函數(shù)在上的值域為（

）A．B．C．D．6．若，且，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則在上的值域是（

）A． B． C． D．8．若關(guān)于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．若關(guān)于x的方程在有兩個不等實根，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．下列函數(shù)中最小正周期為的是（

）①；②；③；④A．①② B．②④ C．①③④ D．①②④11．已知，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，若，則（

）A． B．2 C．5 D．713．下列函數(shù)中，在其定義域上是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．14．下列四個函數(shù)中，在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．15．對于函數(shù)，有以下四種說法：①函數(shù)的最小值是②圖象的對稱軸是直線③圖象的對稱中心為④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．其中正確的說法的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．416．關(guān)于函數(shù)的敘述中，正確的有（

）①的最小正周期為；②在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；③是偶函數(shù)；④的圖象關(guān)于點對稱.A．①③ B．①④ C．②③ D．②④17．已知，（），若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不存在對稱軸，則的范圍為（

）A． B．C． D．18．已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，其圖象的一條對稱軸方程為，則的值不可能是（

）A． B． C．1 D．19．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，且是的一個對稱中心，則的值可以是（

）A．6 B． C．9 D．20．設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+)，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．f(x)的一個周期為?2π B．y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對稱C．f(x+π)的一個零點為x= D．f(x)在(,π)單調(diào)遞減21．已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸是直線，則函數(shù)的圖象（

）對稱A．關(guān)于直線對稱 B．關(guān)于點對稱C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于點對稱22．已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于y軸對稱C．的圖象不關(guān)于對稱D．的圖象關(guān)于對稱23．下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（

）A． B． C． D．24．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．25．（多選）下列函數(shù)中最小正周期為，且為偶函數(shù)的是（

）A． B．C． D．26．（多選）下列函數(shù)中，在定義域上既是增函數(shù)，又是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．27．（多選）已知函數(shù)，且對任意都有，則以下正確的有（

）A．的最小正周期為 B．在上單調(diào)遞減C．是的一個零點 D．28．（多選）下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．最小正周期是C．圖象關(guān)于點成中心對稱 D．圖象關(guān)于直線對稱29．（多選）下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．