第14講 橢圓離心率6種常考題型（解析版）

第14講橢圓離心率6種?？碱}型【知識點梳理】橢圓的離心率，【題型目錄】題型一：利用，利用橢圓定義去轉(zhuǎn)換，利用焦距表示題型二：利用與建立一次二次方程不等式題型三：利用相似、垂直、平行等幾何關(guān)系求離心率題型四：利用焦半徑的取值范圍為，求離心率范圍題型五：利用最大頂角求離心率范圍問題題型六：利用不等式、二次函數(shù)等方法解決離心率范圍綜合問題【典型例題】題型一：利用，利用橢圓定義去轉(zhuǎn)換，利用焦距表示在處理問題的時候一定要注意定義優(yōu)先原則，用上橢圓定義，再結(jié)合平面幾何、三角函數(shù)、不等式、以及函數(shù)的內(nèi)容，往往可以解決諸多離心率問題．【例1】（四川高二期末（文））橢圓的左右焦點分別是，，以為圓心的圓過橢圓的中心，且與橢圓交于點，若直線恰好與圓相切于點，則橢圓的離心率為（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，，所以，所以，所以離心率為．故選：C．【例2】（2022·全國·高二課時練習）過橢圓的右焦點作橢圓長軸的垂線，交橢圓于A，B兩點，為橢圓的左焦點，若為正三角形，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】因為為正三角形，所以結(jié)合橢圓的定義可得，所以橢圓的離心率，代入即可得出答案.【詳解】圖所示，易知，．由橢圓的定義可得，則該橢圓的離心率．故選：A.【例3】已知橢圓的左、右焦點分別為，直線與相交于兩點（在第一象限）.若四點共圓，且直線的傾斜角為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)四點共圓，且直線的傾斜角為，利用橢圓定義可得，進而求得橢圓的離心率【詳解】根據(jù)題意四邊形為平行四邊形，又由四點共圓，可得平行四邊形為矩形，即又直線的傾斜角為，則有則，，則，即則橢圓的離心率故選：B【例4】已知橢圓：的左、右焦點分別是，，是橢圓上的動點，和分別是的內(nèi)心和重心，若與軸平行，則橢圓的離心率為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】連接PO，則三點共線，延長交軸于點，則由平行于軸得，從而可得，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可得，從而可得離心率．【詳解】∵是的中點，G是的重心，∴三點共線，延長交軸于點，則由平行于軸知，，則,設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則，∴橢圓的離心率為．故選：A﹒【題型專練】1.（2022·新疆克拉瑪依·三模（理））已知橢圓的上焦點為，過原點的直線交于點，且，若，則的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的對稱性、橢圓的定義，結(jié)合直角三角形的判定方法、平行四邊形的性質(zhì)、橢圓的離心率公式進行求解即可.【詳解】設(shè)橢圓的上焦點為，顯然，因為過原點的直線交于點，所以有，因此四邊形是平行四邊形，又因為，所以有，因此三角形是以為斜邊的直角三角形，因為，所以，因為是平行四邊形，所以，由橢圓的定義可知：，故選：A2.已知分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上一點，且，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用橢圓定義和勾股定理可構(gòu)造齊次方程求得離心率.【詳解】設(shè)，則，由橢圓定義知：；，，即，，，橢圓的離心率.故選：C.3.過橢圓的左、右焦點，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理確定的邊角關(guān)系，結(jié)合橢圓的定義及離心率的定義求離心率的值.【詳解】在中，由正弦定理可得所以，所以該橢圓的離心率，故選：C．4.（2019全國II文20）已知是橢圓的兩個焦點，P為C上一點，O為坐標原點．（1）若為等邊三角形，求C的離心率；【解析】（1）連結(jié)，由為等邊三角形可知在中，，，，于是，故的離心率是．題型二：利用與建立一次二次方程不等式在處理此類問題的時候，一般要用到余弦定理，或者帶入橢圓，總之就是找到之間的關(guān)系【例1】（黃岡天有高級中學(xué)高二月考）已知是橢圓的兩個焦點，過且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于兩點，若是等腰直角三角形，則這個橢圓的離心率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨設(shè)橢圓方程為，焦點，離心率為e，將代入可得，所以,又是等腰直角三角形，所以，所以即，所以，解得（負值舍去）.故選：C.【例2】（2023·全國·高三專題練習）已知是橢圓的兩個焦點，為上一點，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的定義以及焦點三角形中的余弦定理即可建立齊次式求解.【詳解】在橢圓中，由橢圓的定義可得，因為，所以，在中，，由余弦定理得，即所以所以的離心率.故選：C【例3】（2022·湖北武漢·高三開學(xué)考試）已知橢圓：的兩個焦點為，，過的直線與交于A，B兩點.若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件以及橢圓的定義,將,用a表示出,再在三角形中利用余弦定理建立方程,即可求解.【詳解】設(shè),則,.由橢圓的定義可知,所以,所以,.在△ABF1中,.所以在△AF1F2中,,即整理可得：,所以故選：C【例4】（2022·全國·高二）已知橢圓的左頂點為A，上頂點為B，直線與直線的交點為P，若的面積是面積的2倍（O為坐標原點），則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定的三角形面積關(guān)系，可求得，即可求得離心率.【詳解】由題可知，故，所以與直線的交點P坐標為，由的面積是面積的2倍知，，．所以．故選：C【例5】（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知橢圓的左、右焦點分別為、，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對變形得到，進而得到以，結(jié)合橢圓定義可求出，，，由余弦定理求解關(guān)系式，求出離心率.【詳解】因為，所以，如圖，在上取一點M，使得，連接，則，則點I為AM上靠近點M的三等分點，所以，所以，設(shè)，則，由橢圓定義可知：，即，所以，所以，，故點A與上頂點重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以橢圓離心率為.故選：A【點睛】對于求解圓錐曲線離心率問題，要結(jié)合題目中的條件，直接求出離心率或求出的齊次方程，解出離心率，本題的難點在于如何將進行轉(zhuǎn)化，需要作出輔助線，結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)得到三角形三邊關(guān)系，求出離心率.【題型專練】1．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高二期末（文））橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線l交橢圓C于A，B兩點，若，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由橢圓的定義及題設(shè)，求出、、，利用，由余弦定理建立方程化簡即可得解.【詳解】因為，由橢圓定義知，又，所以，再由橢圓定義，因為，所以，所以由余弦定理可得，即，化簡可得，即，解得或（舍去）.故選：D2.（2015屆四川省成都市高三第一次診斷性檢測理科數(shù)學(xué)試卷（帶解析））已知橢圓，是橢圓的右焦點，為左頂點，點在橢圓上，軸，若，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為點在橢圓上，且軸，所以代入橢圓方程可得，又因為且若，所以，即，則，應(yīng)選答案A．3.已知是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)的中點為，根據(jù)向量的線性運算法則及數(shù)量積的定義可得，從而得到，根據(jù)得到，再根據(jù)橢圓的定義得到，在直角三角形中利用勾股定理得到，最后根據(jù)離心率公式計算可得；【詳解】解：設(shè)的中點為，則由，即所以，連接可得，所以，因為，即，即所以，在中，，即，又，所以，所以，即解得，故選：A4.（2017新課標全國卷Ⅲ文科）已知橢圓C：的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為A．B．C．D．【答案】A【解析】以線段為直徑的圓的圓心為坐標原點，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，整理可得，即即，從而，則橢圓的離心率，故選A．5.（2022·江西·模擬預(yù)測（文））如圖，橢圓的左、右焦點分別為，兩平行直線分別過交M于A，B，C，D四點，且，則M的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則，由橢圓定義得，由橢圓的對稱性可知，連接，則．又，利用勾股定理可得答案.【詳解】設(shè)，則，由橢圓定義得，由橢圓的對稱性可知，連接，則．又，所以，在中，，所以，解得，所以，中，，所以，得，所以M的離心率，故選：D.6.（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為、，點P為C上一點，若，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)，且求得，再根據(jù)勾股定理列出關(guān)于的方程，解出即可【詳解】點橢圓上的點，，且在中，即，整理得：即故選：D題型三：利用相似、垂直、平行等幾何關(guān)系求離心率【例1】（2021·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二開學(xué)考試）已知為坐標原點，是橢圓的左焦點，分別為橢圓的左?右頂點，為橢圓上一點，且軸.過點的直線與線段交于點，與軸交于點.若直線經(jīng)過的中點，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意畫圖，利用相似于，和相似于列方程求解即可.【詳解】如圖，由題意得??，設(shè)，因為軸，所以，所以，得①，又由，中點為，得，得②，由①②得，則.故選：A.【例2】（2014新課標2）設(shè)，分別是橢圓：的左，右焦點，是上一點且與軸垂直，直線與的另一個交點為．（Ⅰ）若直線的斜率為，求的離心率；【解析】（Ⅰ）根據(jù)及題設(shè)知，將代入，解得（舍去），故C的離心率為．【例3】（2022·新疆·烏市八中高二期中（理））已知橢圓的兩個焦點為和，直線過點，點關(guān)于直線對稱點在上，且，則橢圓的離心率為____________．【答案】##【分析】由向量線性運算化簡已知等式得到，由向量數(shù)量積定義可求得，，可知為等邊三角形；利用橢圓定義可得，進而可得橢圓離心率.【詳解】設(shè)與直線交點為，則為中點，；，，，，，則，又，為等邊三角形，則，由橢圓定義知：，橢圓離心率.故答案為：.【題型專練】1．（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓：的左右焦點分別為，點A是橢圓上一點，線段的垂直平分線與橢圓的一個交點為若則橢圓的離心率為____.【答案】##【分析】根據(jù)已知關(guān)系表示出點B的坐標，代入方程即可求出離心率.【詳解】如圖所示，線段的垂直平分線與橢圓的一個交點為連接，則，，，，，點A是橢圓短軸的一個端點，不妨設(shè)為上端點．作軸，垂足為點則，，，代入橢圓方程可得：，解得，.故答案為：.2.（2022·江蘇·高二）已知，分別是橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上，且在第一象限，過作的外角平分線的垂線，垂足為A，O為坐標原點，若，則該橢圓的離心率為______.【答案】【分析】延長，交于點Q，根據(jù)PA是的外角平分線，得到，，再利用橢圓的定義求解.【詳解】解：如圖所示：延長，交于點Q，∵PA是的外角平分線，，，又O是的中點，，且.又，，，∴離心率為.故答案為：題型四：利用焦半徑的取值范圍為，求離心率范圍【例1】（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓C：（）的右焦點，點是橢圓C上的一個動點．求證：．【答案】詳見解析.【分析】利用橢圓方程及兩點間公式可得，再根據(jù)橢圓的有界性即證.【詳解】由，可得，∴，又，∴，即.【例2】（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，點M在橢圓C上，若，則該橢圓的離心率不可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，代入中，可得，再利用，即可求出離心率的取值范圍，從而可判斷出離心率不可能的值【詳解】設(shè)．因為點M在橢圓C上，所以，所以．因為，所以，解得．由題意可知，即．由，可得，即，顯然成立．由，可得，則．又，所以，因為，，，，故選：A．【題型專練】1．（2022·河南·商丘市第一高級中學(xué)高二期末（文））已知，是橢圓C：的左、右焦點，O為坐標原點，點M是C上點（不在坐標軸上），點N是的中點，若MN平分，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由角平分線的性質(zhì)定理有，再根據(jù)線段之間的關(guān)系建立不等式可求解.【詳解】因為是的中點，是的中點，所以，因為平分，所以，因為，所以，，由（或），得橢圓的離心率，又，所以橢圓的離心率的取值范圍是．故選：A．2.已知、分別是橢圓的左、右焦點．若橢圓上存在點，使得線段的中垂線恰好過焦點，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意知三角形為等腰三角形，所以，因為，即，解得，又因，所以故選：C題型五：利用最大頂角求離心率范圍問題【例1】（2022·全國·高二課時練習）已知，分別是橢圓的左、右焦點，橢圓上不存在點使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．【答案】【分析】橢圓上不存在點使，即恒成立，利用特征三角形列不等式，可得離心率的取值范圍．【詳解】橢圓上不存在點使，即恒成立．當在短軸端點時，最大，故，即（O為坐標原點），又，所以．故答案為：【例2】（2022·江蘇·高二期末）已知橢圓，對于C上的任意一點P，圓上均存在點M，N使得，則C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作圖，根據(jù)圖形分析當點位于橢圓長軸的端點，分別為過P點對圓O做切線的切點時，如果，則可以滿足題目的要求.【詳解】如上圖，當P位于右端點（做端點也相同），如果，則對于C上任意的點P，在圓O上總存在M，N點使得，此時，

，

；故選：A.【題型專練】1．（2022·全國·高三專題練習）已知，是橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，，則橢圓離心率的取值范圍為____．【答案】【分析】先根據(jù)橢圓定義可知，再利用余弦定理化簡整理得，進而根據(jù)均值不等式確定的范圍，從而確定的最小值，求得和的關(guān)系，然后得和的關(guān)系，確定橢圓離心率的取值范圍．【詳解】解：設(shè)，由橢圓的定義得:,由余弦定理，得:．又，當且僅當時，取最大值，于是，所以且，．故答案為:.2.（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點P，使得由點P所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】畫出圖象，根據(jù)圖像判斷出，由此求得離心率的取值范圍．【詳解】解：由題意，如圖，若在橢圓上存在點，使得由點所作的圓的兩條切線互相垂直，則只需，即，，即，因為，解得：．，即，而，，即．故選：D．3.（2022·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓，點是上任意一點，若圓上存在點、，使得，則的離心率的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，設(shè)直線、分別與圓切于點A、B，，根據(jù)題意得到，在直角三角形中，利用正弦函數(shù)的定義得到，再結(jié)合，得到的離心率的取值范圍．【詳解】連接，當不為橢圓的上、下頂點時，設(shè)直線、分別與圓切于點A、B，，∵存在、使得，∴，即，又，∴，連接，則，∴．又是上任意一點，則，又，∴，則由，得，又，∴．故選：C．4.（2019·內(nèi)蒙古赤峰市·高二期末（理））已知分別是橢圓的左、右焦點，橢圓上不存在點使，則橢圓的離心率的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，橢圓上不存在點使，說明在最大時都有，列出不等式再轉(zhuǎn)化求解橢圓的離心率的范圍即可.【詳解】由題意，橢圓上不存在點使，即在橢圓上任意點使.根據(jù)焦點三角形的性質(zhì)，當時，最大，取，又，，，所以，即橢圓的離心率為：.故選：C.題型六：利用不等式、二次函數(shù)等方法解決離心率范圍綜合問題【例1】（2021全國卷乙卷）設(shè)是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由，求出消元可得，，再根據(jù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)可知，，即可解出．【詳解】設(shè)，，因為，，所以，，由題意知當時，取得最大值，所以，可得，即．故選：C．【例2】（2023·全國·高三專題練習）已知點A、B為橢圓的長軸頂點，P為橢圓上一點，若直線PA，PB的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓性質(zhì)結(jié)合離心率運算處理．【詳解】由題得：，所以故選：A．【例3】（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知橢圓的左右焦點為，若橢圓C上恰好有6個不同的點P，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題可知六個點，有兩個是短軸端點，因此在四個象限各一個，設(shè)是第一象限內(nèi)的點，分或，列方程組求得點橫坐標，由可得離心率范圍；或結(jié)合橢圓的性質(zhì)列出不等關(guān)系即得．【詳解】法一：顯然，是短軸端點時，，滿足為等腰三角形，因此由對稱性，還有四個點在四個象限內(nèi)各有一個，設(shè)是第一象限內(nèi)使得為等腰三角形的點，若，則，又，消去整理得：，解得(舍去)或，由得，所以，即，若，則，又，消去整理得：，解得或，舍去．所以，所以，即，時，，是等邊三角形，只能是短軸端點，只有2個，不合題意．綜上，的范圍是．法二：①當點與短軸的頂點重合時，構(gòu)成以為底邊的等腰三角形，此種情況有2個滿足條件的；②當構(gòu)成以為一腰的等腰三角形時，根據(jù)橢圓的對稱性，只要在第一象限內(nèi)的橢圓上恰好有一點滿足為等腰三角形即可，則或當時，則，即，則，當時，則有，則，綜上所述，橢圓的離心率取值范圍是.故選：A.【題型專練】1.（2022·全國·高二專題練習）已知，是橢圓：的左右焦點，若橢圓上存在一點使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)求出的范圍，代入即可求出離心率的取值