第15講 橢圓中6大最值問題題型總結(jié)（原卷版）

第15講橢圓中6大最值問題題型總結(jié)【題型目錄】題型一：利用均值不等式求最值題型二：利用焦半徑范圍求最值題型三：橢圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)距離最值問題題型四：橢圓上一點(diǎn)到直線距離最值問題題型五：橢圓有關(guān)向量積最值問題題型六：聲東擊西，利用橢圓定義求最值【典型例題】題型一：利用均值不等式求最值【例1】已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則的最大值為（

）．A．13 B．12 C．25 D．16【例2】（2022·安徽·高二階段練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，，，則的最小值為（

）A． B．C． D．【題型專練】1.（2022·河南·輝縣市第一高級(jí)中學(xué)高二期末（文））設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知P(m，n)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P在橢圓上，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的取值范圍．題型二：利用焦半徑范圍求最值【例1】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C：（）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．求證：．【例2】（2021·山西呂梁·一模（理））已知為橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則的取值范圍為_________．【例3】（2022·河南·新蔡縣第一高級(jí)中學(xué)高二開學(xué)考試（文））已知橢圓，點(diǎn)，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為____.【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓+=1上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上），為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)；若是的角平分線上的一點(diǎn)，且丄，則丨丨的取值范圍為（

）A．（0，） B．（0，2）C．（l，2） D．（，2）【題型專練】1.平面內(nèi)有一長度為4的線段，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)滿足，且，則的最小值是．3.已知是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且與的四個(gè)頂點(diǎn)不重合，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在的平分線上，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型三：橢圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)距離最值問題【例1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的長軸長為，短軸長為，則橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓中心的距離的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓：的切線，設(shè)其中一個(gè)切點(diǎn)為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【例3】（2022·重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為___________.【題型專練】1.（2021·陜西·長安一中高二期中（文））設(shè)B是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則的最大值為________.2.已知橢圓的焦點(diǎn)，過點(diǎn)引兩條互相垂直的兩直線、，若為橢圓上任一點(diǎn)，記點(diǎn)到、的距離分別為、，則的最大值為（）A．2 B． C． D．3.（多選題）已知點(diǎn)是橢圓：上的動(dòng)點(diǎn)，是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．橢圓的短軸長為1 B．橢圓的離心率為C．圓在橢圓的內(nèi)部 D．的最小值為4．（全國·高二課前預(yù)習(xí)）點(diǎn)、分別在圓和橢圓上，則、兩點(diǎn)間的最大距離是（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的的焦點(diǎn)為是C上的動(dòng)點(diǎn)，直線經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，的周長為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的最小值和最大值．題型四：橢圓上一點(diǎn)到直線距離最值問題兩種思路：法一：設(shè)橢圓參數(shù)方程，即設(shè)橢圓上一點(diǎn)為，用點(diǎn)到直線的距離公式法二：利用直線與橢圓相切，聯(lián)立方程，利用判別式，求出切線，再求兩直線間距離【例1】（2022·黑龍江·齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校高二期中）橢圓上的點(diǎn)到直線：的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【例2】（2022·全國·高二專題練習(xí)）橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為______.【例3】（2021·浙江·慈溪市滸山中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線上，則的最小值為___________.【題型專練】1．（2022·甘肅·蘭州一中高二期中（文））已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則的最大值為________．2．（2022·全國·高二專題練習(xí)）橢圓：上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為_____.3.（2022·四川遂寧·高二期末（理））如圖，設(shè)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的射影，M為PD上的一點(diǎn)，且．(1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C方程；(2)求點(diǎn)M到直線距離的最大值.4．（2020·海南·高考真題）已知橢圓C：過點(diǎn)M（2，3）,點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為，（1）求C的方程；（2）點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求△AMN的面積的最大值.題型五：橢圓有關(guān)向量積最值問題【例1】（2022·黑龍江·佳木斯一中高二期中）已知P為橢圓上任意一點(diǎn)，EF為圓任意一條直徑，則的取值范圍為（

）A．[8，12] B． C． D．【例2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓E上任一點(diǎn)，則的取值范圍是____________【例3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)滿足，點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱且，則的最大值為（

）A．10 B．9 C．8 D．2【題型專練】1.（2022·山東·高三開學(xué)考試）在橢圓上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為定點(diǎn)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．12.（2022·全國·高三專題練習(xí)多選題）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)為?，點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)不在軸上），則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．橢圓的長軸長為B．橢圓的離心率C．△的周長為D．的取值范圍為3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，分別是該橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，則的最小值為__________.4.（2015·山西大同市·高二期末（理））設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若Q是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值和最小值分別為A．與B．與C．與D．與題型六：聲東擊西，利用橢圓定義求最值此種類型題目，一般要利用橢圓定義，轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線問題，利用三角形兩邊之和大于第三邊，或者兩邊之差小于第三邊解決【例1】（2022·遼寧·高二期中）動(dòng)點(diǎn)分別與兩定點(diǎn)，連線的斜率的乘積為，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，已知，，則的最小值為（

）A．4 B．8 C． D．12【例2】已知是橢圓的左焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，則的最大值為（

）A． B．13 C．3 D．5【例3】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓：內(nèi)有一點(diǎn)，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的一點(diǎn)，求：(1)的最大值與最小值；(2)的最大值與最小值．【題型專練】1.（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)和，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則最大值是（

）A． B． C． D．2.（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知