第20講 拋物線定義及性質(zhì)（解析版）

第20講拋物線定義及性質(zhì)【知識點(diǎn)梳理】1．拋物線定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線（不經(jīng)過點(diǎn)）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．2．拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的對比圖形標(biāo)準(zhǔn)方程頂點(diǎn)范圍，，，，對稱軸軸軸焦點(diǎn)離心率準(zhǔn)線方程焦半徑注意拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)的幾何意義是：拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（簡稱焦準(zhǔn)距），所以的值永遠(yuǎn)大于．另外，焦半徑使用定義即可證明．5．焦點(diǎn)弦的常考性質(zhì)已知是過拋物線焦點(diǎn)的弦，是的中點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線，，為垂足．（1）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切以AF(或BF)為直徑的圓與y軸相切;（2），（3）;重點(diǎn)（4）設(shè)，為垂足，則、、三點(diǎn)在一條直線上【典型例題】題型一：拋物線的定義【例1】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，其中常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．射線 B．直線 C．拋物線 D．橢圓【答案】C【分析】利用兩點(diǎn)的距離公式、絕對值的幾何意義以及拋物線的定義進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)楸硎緞?dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線l：的距離相等，且點(diǎn)F不在直線l上，所以由拋物線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為拋物線．故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.【例2】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)式，即可解出．【詳解】可化為，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．故選：B．【例3】（2022·河南·鄭州四中高三階段練習(xí)（文））拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，，則M到y(tǒng)軸的距離是（

）A．4 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】設(shè)，由拋物線的定義，即，即可求出答案.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為：設(shè)，由拋物線的定義知：，即，即，所以M到y(tǒng)軸的距離是.故選：B.【例4】（2022·云南·羅平縣第一中學(xué)高二開學(xué)考試）若拋物線上的一點(diǎn)到它的焦點(diǎn)的距離為8，則（

）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合跑線的定義得到，即可求解.【詳解】由題意，拋物線上的一點(diǎn)到它的焦點(diǎn)的距離為8，根據(jù)拋物線的定義，可得，解得.故選：D.【例5】（2022·貴州貴陽·高三開學(xué)考試（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的一點(diǎn)，若，則(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】A【分析】由題可得，利用拋物線的定義可得，利用三角形的面積公式結(jié)合條件即得，【詳解】由題可得，因?yàn)?，所以，，所以為坐?biāo)原點(diǎn))的面積是.故選：A.【例6】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則方程與在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖形可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用特殊值法驗(yàn)證即可得到答案.【詳解】解：由題意，當(dāng)，時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，方程表示開口向左的拋物線，故排除選項(xiàng)C、D；當(dāng)，時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，方程表示開口向右的拋物線，故排除選項(xiàng)B，而選項(xiàng)A符合題意，故選：A.【題型專練】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及焦點(diǎn)坐標(biāo)求解即可【詳解】由題意，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：C2.（2023湖南高三階段練習(xí)）已知拋物線，其焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，則下列說法正確的是（

）A．焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為1 B．焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為C．準(zhǔn)線l的方程為 D．對稱軸為x軸【答案】C【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，表示焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線，即得答案.【詳解】將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程所以焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線l的方程為，焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為，對稱軸為y軸故選：C【點(diǎn)睛】本題考查由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程表示其簡單幾何性質(zhì)，屬于簡單題.3．（2022·廣東廣州·高二期末）已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】寫出拋物線的準(zhǔn)線方程，由圓的方程得圓心和半徑，由已知得圓心到準(zhǔn)線的距離為半徑，從而求出.【詳解】因?yàn)?，所以拋物線準(zhǔn)線為又，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為2由已知得：圓心到準(zhǔn)線的距離為半徑，則，所以故選：C.4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】由拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，再由到其焦點(diǎn)的距離求得橫坐標(biāo)，進(jìn)一步求得縱坐標(biāo)，則答案可求.【詳解】由題意知，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，由到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線距離，得，則，，可得，故選：A.5.（2022·上海市第三女子中學(xué)高二期末）拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是10，則點(diǎn)到軸的距離是（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】由拋物線的定義即可求解.【詳解】解：由題可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是10，故到準(zhǔn)線的距離是10，則點(diǎn)到軸的距離是9.故選：B.6．（2023江蘇高三專題練習(xí)）下列圖形中，可能是方程和（且）圖形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線得出的正負(fù)，再判斷拋物線開口方向可得.【詳解】解：對A，方程表示橢圓，則，，則，拋物線方程應(yīng)開口向左，故A錯(cuò)誤；對B，方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，則拋物線的焦點(diǎn)在軸上，故B錯(cuò)誤；對C，方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，，則，則拋物線方程應(yīng)開口向右，故C錯(cuò)誤；對D，方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，，則，則拋物線方程應(yīng)開口向右，故D正確.故選：D.題型二：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】（2023全國·高三專題練習(xí)（文））拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，其上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4，則拋物線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，可設(shè)拋物線方程為，利用拋物線的定義將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離計(jì)算即可.【詳解】由題意，設(shè)拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義知，，解得，故拋物線的方程為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查求拋物線的方程，涉及到利用拋物線的定義將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，是一道容易題.【例2】（2022·廣西貴港·高二期末（文））已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義即可求解.【詳解】由拋物線的定義可知，，所以．故選：C.【例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C：的焦點(diǎn)，是C上一點(diǎn)，且，則的面積為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】根據(jù)條件求出的值，然后可算出答案.【詳解】由題可知，解得，所以的面積為，故選：C【例4】（2023湖南省高三上學(xué)期入學(xué)）已知拋物線的焦點(diǎn)在軸上，直線與拋物線交于點(diǎn)，且.寫出拋物線的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程___________.【答案】或或或（寫出一個(gè)即可）【分析】根據(jù)題意設(shè)拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義與方程運(yùn)算求解．【詳解】設(shè)所求焦點(diǎn)在軸上的拋物線的方程為，，由拋物線定義得.又∵或，故所求拋物線方程為或.故答案為：或或或．【例5】（2022·全國·高二單元測試）位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋（如圖所示）有“仙境之橋”之稱，它的橋形可以近似地看成拋物線，該橋的高度為5m，跨徑為12m，則橋形對應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為______m．【答案】##3.6【分析】首先建立直角坐標(biāo)系，再根據(jù)拋物線所過的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得到拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.【詳解】以拋物線的最高點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的解析式為，，因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，所以，可得，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．故答案為：【例6】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）某學(xué)習(xí)小組研究一種如圖1所示的衛(wèi)星接收天線，發(fā)現(xiàn)其軸截面為圖2所示的拋物線形，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星信號波束呈近似平行的狀態(tài)射入，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處，已知衛(wèi)星接收天線的口徑（直徑）為，深度為，則該衛(wèi)星接收天線軸截面所在的拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，衛(wèi)星接收天線的軸截面的上、下頂點(diǎn)分別記為，，則由題意可得，代入拋物線方程求出，從而可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求得答案【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，衛(wèi)星接收天線的軸截面的上、下頂點(diǎn)分別記為，，設(shè)軸截面所在的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知條件，得點(diǎn)，所以，解得，所以所求焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因此衛(wèi)星接收天線的軸截面所在的拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為．故選：B【題型專練】1．（2023河南·高三開學(xué)考試（理））已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離．求拋物線的方程；【答案】【分析】由題知，進(jìn)而解方程即可得答案；【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，所以，拋物線的定義得．所以，，解得．

所以，拋物線的方程為；2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【答案】或【分析】先根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，代入解方程即可求出，從而解出．【詳解】由于拋物線的準(zhǔn)線方程是，而點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，于是，代入，得，解得或，故該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．故答案為：或．3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）焦點(diǎn)在x－y－1＝0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是______．【答案】或【分析】先根據(jù)拋物線是標(biāo)準(zhǔn)方程可確定焦點(diǎn)的位置，再由直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)可得到焦點(diǎn)坐標(biāo)可得到標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)坐標(biāo)即為直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，當(dāng)焦點(diǎn)為時(shí)，設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，可知，所以其方程為，當(dāng)焦點(diǎn)為時(shí)，設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為,可知其方程中的，所以其方程為，故答案為：或．4．（2022·青?！ずＤ喜刈遄灾沃莞呒壷袑W(xué)高二期末（文））如圖，某河流上有一座拋物線形的拱橋，已知橋的跨度米，高度米（即橋拱頂?shù)交诘闹本€的距離）．由于河流上游降雨，導(dǎo)致河水從橋的基座處開始上漲了1米，則此時(shí)橋洞中水面的寬度為______米．【答案】【分析】以橋的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，可得拋物線的方程，設(shè)水面與橋的交點(diǎn)坐標(biāo)為，求出，進(jìn)而可得水面的寬度.【詳解】以橋的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則拋物線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，即故拋物線的方程為，設(shè)河水上漲1米后，水面與橋的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，得，所以此時(shí)橋洞中水面的寬度為米．故答案為：．5.（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)，且焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)拋物線方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的值，即可得解；【詳解】解：依題意設(shè)拋物線方程為，因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線方程為；故選：C6．（2022全國·高二專題練習(xí)）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬（）米．A． B． C． D．【答案】B【分析】通過建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線方程，將A點(diǎn)代入拋物線方程求得m，得到拋物線方程，再把B（x0，﹣3）代入拋物線方程求得x0進(jìn)而得到答案．【詳解】如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝my，將A（2，﹣2）代入x2＝my，得m＝﹣2∴x2＝﹣2y，B（x0，﹣3）代入方程得x0，故水面寬為2m．故選：B．7.（2022·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））如圖是拋物線拱形橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面，水面寬，若水面上升，則水面寬是（

）（結(jié)果精確到）（參考數(shù)值：）A． B． C． D．【答案】C【分析】先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝my，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程求出m，從而可得拋物線方程，再令y＝代入拋物線方程求出x，即可得到答案．【詳解】解：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝my，由題意，將代入x2＝my，得m＝，所以拋物線的方程為x2＝，令y＝，解得，所以水面寬度為2.24×817.9m．故選：C．8．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）蘇州市“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑（如圖1所示），“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形．圖2是“東方之門”的示意圖，已知，，點(diǎn)到直線的距離為，則此拋物線頂端到的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立直角坐標(biāo)系，待定系數(shù)法求拋物線方程，即可求解到的距離.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，由題意設(shè)，，，則，解得，所以此拋物線頂端到的距離為．故選:B．題型三：拋物線的性質(zhì)【例1】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則（

）A．2 B． C．6 D．【答案】C【分析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)D，等邊三角形ABF中，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)代入雙曲線上方程可得答案．【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)D，如圖，在等邊三角形ABF中，，，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為，又點(diǎn)B在雙曲線上，故，解得．故選：C．【例2】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，的延長線交拋物線于點(diǎn)，若，則（

）A．5 B． C．10 D．15【答案】C【分析】過向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，結(jié)合拋物線的定義得，由可得答案．【詳解】如圖，過向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，因?yàn)椋?，根?jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義，得，又，∴，∴．故選：C．【例3】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是拋物線上異于O的一點(diǎn)，過P作于Q.則線段FQ的垂直平分線（

）A．經(jīng)過點(diǎn)O B．經(jīng)過點(diǎn)P C．平行于直線OP D．垂直于直線OP【答案】B【分析】連接PF，由題意及拋物線的定義可知為等腰三角形從而得到答案.【詳解】連接PF，由題意及拋物線的定義可知，則為等腰三角形，故線段FQ的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P.故選：B.【例4】（2022·甘肅臨夏·高二期末（理））已知點(diǎn)A是拋物線C：上一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若以點(diǎn)O為圓心，以的長為半徑的圓與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，且，則的值是（

）A． B．6 C． D．7【答案】C【分析】，由題意確定為等邊三角形，進(jìn)而表示A點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程，求得a的值，結(jié)合拋物線的焦半徑公式即可求得答案.【詳解】由知：；設(shè)，結(jié)合圓和拋物線的對稱性可得，結(jié)合，得為等邊三角形，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，則A的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)A是拋物線C：上一點(diǎn)，所以，所以，得A的坐標(biāo)為，故，故選：C【例5】（2022·河南·高三開學(xué)考試（文））已知是拋物線上的兩點(diǎn)，且，則線段的中點(diǎn)到軸的距離的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】過作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)的中點(diǎn)為，過作軸的垂線，根據(jù)梯形中位線和拋物線的定義可知，由此可求得最小值.【詳解】由拋物線方程知其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為；分別過作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，與分別交軸于，則，．設(shè)的中點(diǎn)為，過作軸的垂線，垂足為，（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立）線段的中點(diǎn)到軸的距離的最小值為．故選：B.【例6】（2022·重慶南開中學(xué)高二期末）已知拋物線過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，若為焦點(diǎn)，直線，分別交拋物線于，兩點(diǎn)，則（

）A． B．C．A，，三點(diǎn)共線 D．【答案】AC【分析】設(shè)直線方程聯(lián)立拋物線方程消參，利用定義表示出，然后由韋達(dá)定理和解不等式可判斷A；用坐標(biāo)表示出，利用韋達(dá)定理表示后，由m的范圍可判斷B；設(shè)直線NF，借助韋達(dá)定理表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得Q點(diǎn)坐標(biāo)，然后由斜率是否相等可判斷C；根據(jù)M和P的橫坐標(biāo)關(guān)系，結(jié)合AN斜率可判斷D.【詳解】因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，所以，所以拋物線方程為設(shè)設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，代入整理得：則，，即或又由定義可知，，所以，故A正確；所以又，故B錯(cuò)誤；記設(shè)直線NF方程為，代入整理得：則，，同理可得因?yàn)椋?，所以A，，三點(diǎn)共線，C正確；因?yàn)椋?，所以由上可知，直線AM的斜率，所以，所以，D錯(cuò)誤.故選：AC【例7】（2022·廣東江門·高二期末）設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓交于，兩點(diǎn)，若，且的面積為，則（

）A． B．是等邊三角形C．點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3 D．拋物線的方程為【答案】BC【分析】根據(jù)題意，作出示意圖，結(jié)合拋物線的定義，焦半徑公式，對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷選擇.【詳解】根據(jù)題意，作出示意圖,因?yàn)橐訤為圓心，|FA|為半徑的圓交于B，D兩點(diǎn)，∠ABD＝90°，由拋物線的定義可得|AB|＝|AF|＝|BF|，所以是等邊三角形，故B正確；所以∠FBD＝30°.因?yàn)榈拿娣e為|BF|2＝9，所以|BF|＝6.故A錯(cuò)誤；又點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為|BF|sin30°＝3＝p，故C正確；則該拋物線的方程為y2＝6x.故D錯(cuò)誤.故選：BC.【例8】（2022·全國·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．【答案】ACD【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項(xiàng)；由拋物線的定義求出即可判斷C選項(xiàng)；由，求得，為鈍角即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯(cuò)誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.【題型專練】1．（2022·安徽·安慶市第二中學(xué)高二期末）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，若，，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由拋物線對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，設(shè)，，由拋物線的定義得，再由已知條件得直線的傾斜角，斜率，由斜率公式可求得，從而得出點(diǎn)橫坐標(biāo)．【詳解】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，由拋物線的對稱性不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由，可知，由拋物線的定義，可知，則有，即，.由拋物線的方程可知，，設(shè)，，則有，即，因?yàn)?，故解得，，故選：B．2.（2022·陜西渭南·高一期末）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線C上，O為原點(diǎn)，若為等腰三角形，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)可能為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，分別表示出，，再分類討論即可求解.【詳解】由拋物線的解析式，可知，準(zhǔn)線，設(shè)，由拋物線的定義可知，又，.當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意；當(dāng)時(shí)，即，解得或（舍），此時(shí)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.只有選項(xiàng)C符合題意.故選：C3.（2022·河南·鄭州四中高三階段練習(xí)（文））拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，，則M到y(tǒng)軸的距離是（

）A．4 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】設(shè)，由拋物線的定義，即，即可求出答案.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為：設(shè)，由拋物線的定義知：，即，即，所以M到y(tǒng)軸的距離是.故選：B.4．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)高二期末）在拋物線型內(nèi)壁光滑的容器內(nèi)放一個(gè)球，其通過中心軸的縱剖面圖如圖所示，圓心在y軸上，拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線方程是x2＝4y，圓的半徑為r，若圓的大小變化時(shí)，圓上的點(diǎn)無法觸及拋物線的頂點(diǎn)O，則圓的半徑r的取值范圍是（

）A．（2，＋∞） B．（1，＋∞）C． D．[1，＋∞）【答案】A【分析】設(shè)圓心為，（），半徑為，是拋物線上任一點(diǎn)，求出，當(dāng)?shù)淖钚≈翟谠c(diǎn)處取得時(shí)，圓過原點(diǎn)，可得此時(shí)圓半徑的范圍，半徑不在這個(gè)范圍內(nèi)的圓不過原點(diǎn)．【詳解】設(shè)圓心為，（），半徑為，是拋物線上任一點(diǎn)，，若的最小值不在處取得，則圓不過原點(diǎn)，所以，即，此時(shí)圓半徑為．因此當(dāng)時(shí)，圓無法觸及拋物線的頂點(diǎn)．故選：A．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為是上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則與相等的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，求出，得到，，即得解.【詳解】解：如圖，設(shè)，由，得，所以在點(diǎn)處的切線方程為，從而，根據(jù)拋物線的定義，得又，，所以由，，得是的中點(diǎn)，則，從而．故選：B．6.（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，若，則（

）A．4 B． C．8 D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線定義得，求出，再分析求解即可.【詳解】根據(jù)拋物線定義得：，解得，所以，所以.故選：B.7．（2022·重慶·巫山縣官渡中學(xué)高二期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，延長FB交準(zhǔn)線于點(diǎn)C，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別記為M，N，若，則的面積為（

）A． B．4 C． D．2【答案】A【分析】利用拋物線的定義結(jié)合條件可得，，進(jìn)而可得.【詳解】法一：由題意可知，，則，拋物線的準(zhǔn)線方程為直線，則，，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，，所?因?yàn)?，所以，解得，所以，點(diǎn)F到AM的距離為，所以.法二：因?yàn)椋?，所以，?連接FM，又，所以為等邊三角形.易得，所以.故選：A.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過拋物線上一點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，若，則（

）A．2 B．4 C．6 D．【答案】B【分析】由拋物線定義可知，結(jié)合可得△PQF為正三角形，設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)A，由可得，利用，可得答案.【詳解】由拋物線定義可知，∴，△PQF為正三角形，設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)A，由拋物線可知：，∵，∴，∴，∴.故選：B．9．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)多選題）設(shè)拋物線：（）的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，A為上一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓交于，兩點(diǎn)．若，且的面積為，則（

）A．是等邊三角形 B．C．點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3 D．拋物線的方程為【答案】ACD【分析】利用圓的幾何性質(zhì)結(jié)合拋物線定義可推出為等邊三角形，判斷A；確定的邊長，根據(jù)其面積求得p，即可判斷BCD.【詳解】根據(jù)題意作圖，如圖所示:因?yàn)橐詾閳A心，為半徑的圓交于，兩點(diǎn)，所以，又，故，A在拋物線上，所以，所以為等邊三角形，故A正確；因?yàn)?，則軸，過作于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，則，所以，解得，則，故B錯(cuò)誤；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故C正確；拋物線的方程為，故D正確．故選：ACD．10．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)多選題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．設(shè)與軸的交點(diǎn)為，