專題24 雙參數(shù)最值問題（解析版）

專題24雙參數(shù)最值問題一、單選題1．（2021·浙江·寧波市北侖中學(xué)高三開學(xué)考試）已知，且，對任意均有，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】推導(dǎo)出與符號相同，構(gòu)造函數(shù)，然后對四個選項(xiàng)中的條件逐一驗(yàn)證，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】，故與的符號相同，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，與的符號相同.，令，所以，當(dāng)時，恒成立，令，可得，，.，分以下四種情況討論：對于A選項(xiàng)，當(dāng)，時，則，當(dāng)時，，不合乎題意，A選項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，當(dāng)，時，則，若，若、、均為正數(shù)，①若，則，當(dāng)時，，不合乎題意；②若，則，當(dāng)時，，不合乎題意.③若、、都不相等，記，則當(dāng)時，，不合乎題意.由上可知，，當(dāng)時，若使得恒成立，則，如下圖所示，所以，當(dāng)，時，且，時，當(dāng)時，恒成立；對于C選項(xiàng)，當(dāng)，時，則，①若時，則當(dāng)時，，不合乎題意；②當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，其中，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，.當(dāng)時，由于，則，不合乎題意，C選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)，當(dāng)，時，則，此時、、為正數(shù).①當(dāng)、、都不相等時，記，當(dāng)時，，不合乎題意；②若，則，當(dāng)時，，不合乎題意；③當(dāng)時，，當(dāng)時，，不合乎題意.所以，D選項(xiàng)錯誤.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于以下兩點(diǎn)：（1）分析與同號；（2）對、、的大小關(guān)系進(jìn)行討論，結(jié)合穿針引線法進(jìn)行驗(yàn)證.2．（2021·山西運(yùn)城·高三期中（理））已知在函數(shù)，，若對，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，即，求導(dǎo)分析單調(diào)性可得，即，令，求導(dǎo)分析單調(diào)性，求即可【詳解】由題意，令，則，恒成立，即恒成立，即令令，即在單調(diào)遞增；令，即在單調(diào)遞減.令令，即在單調(diào)遞增；令，即在單調(diào)遞減；故選：B3．（2021·黑龍江·鶴崗一中高三月考（理））當(dāng)時，不等式，，恒成立，則的最大值為（）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】設(shè)，求出導(dǎo)函數(shù).先判斷出時不合題意；再求出時的最大值為，只需，得到.定義函數(shù)（a），利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可.【詳解】解：設(shè)，則，當(dāng)時，因?yàn)?，所以，所以在遞增；時，，與矛盾，所以不符題意；當(dāng)時，令，可得，當(dāng)，，遞增；當(dāng)，時，，遞減．所以的最大值為，所以由題意可得，即，因?yàn)?，所以，設(shè)（a），則（a），當(dāng)時，（a），（a）遞增，當(dāng)，時，（a），（a）遞減，所以（a）的最大值為，所以的最大值為．故選：C．4．（2021·全國·模擬預(yù)測（理））已知，使得，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)和，它們分別是恒成立、能出來的問題，討論它們的單調(diào)性并求出值域，結(jié)合換元法求出的值即可.【詳解】由題意知，設(shè)，令則令，令在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即恒成立故只需，即有實(shí)數(shù)解，又，故，令則在上有實(shí)數(shù)解，將看作直線上的點(diǎn)，令，則，令，有，即的取值范圍為.故選：【點(diǎn)睛】對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.對于能成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：(1)a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；(2)a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.5．（2021·重慶市朝陽中學(xué)高二月考）設(shè)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，原不等式恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最大值可得，可得，構(gòu)造函數(shù)，求最小值即可.【詳解】在上恒成立，即為在上恒成立，令，，若，則，可得在遞增，當(dāng)時，，不等式在上不恒成立，故.由，可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，則，則.令，，，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，則的最小值是.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題主要利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)求極值，并要運(yùn)用分類討論的思想.6．（2021·浙江臺州·三模）已知關(guān)于的不等式在上恒成立（其中、），則（）A．當(dāng)時，存在滿足題意 B．當(dāng)時，不存在滿足題意C．當(dāng)時，存在滿足題意 D．當(dāng)時，不存在滿足題意【答案】D【分析】本題首先可根據(jù)題意得出函數(shù)滿足有一零點(diǎn)為、當(dāng)時、當(dāng)時，然后對四個選項(xiàng)依次進(jìn)行討論，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式在上恒成立，所以必需要滿足、，即對于函數(shù)，必有一零點(diǎn)為且零點(diǎn)左右函數(shù)值符號不同，即當(dāng)時，；當(dāng)時，，A項(xiàng)：，，令，，，此時，不滿足零點(diǎn)左右函數(shù)值符號不同，A錯誤；B項(xiàng)：，，令，，，此時，存在滿足題意，B錯誤；C項(xiàng)：，，令，，，此時，不滿足零點(diǎn)左右函數(shù)值符號不同，C錯誤；D項(xiàng)：，，令，，，此時，不滿足當(dāng)時且當(dāng)時，，即不存在滿足題意，D正確，故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查不等式恒成立的相關(guān)問題的求法，主要考查二次函數(shù)性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，能否根據(jù)題意將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)滿足有一零點(diǎn)為、當(dāng)時、當(dāng)時是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，是難題.7．（2021·江蘇·星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）設(shè)函數(shù)，若不等式對一切恒成立，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，則不等式對一切恒成立，即為對一切恒成立，結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)則，然后再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椴坏仁綄σ磺泻愠闪?，所以對一切恒成立，因?yàn)槿魏瘮?shù)在上的取值不可能恒小于等于零，所以且，所以，所以對一切恒成立，當(dāng)時，，成立，當(dāng)時，或，不成立，當(dāng)時，則，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上：的取值范圍為.故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：形如的不等式恒成立問題的分析思路：（1）先分析的情況；（2）再分析，并結(jié)合與的關(guān)系求解出參數(shù)范圍；（3）綜合（1）（2）求解出最終結(jié)果.8．（2021·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高二期末）已知，，函數(shù)．若恒成立，則的最大值為（）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】原不等式恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立，求導(dǎo)分析求出的最大值，求出，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最大值即可求解.【詳解】令，則恒成立即為恒成立，因?yàn)?，所以的定義域?yàn)楫?dāng)時當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，由所以，則令則，令則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞增，在上遞減，故，所以的最大值為.故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值得出，構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值是解題的關(guān)鍵，屬于難題.9．（2021·陜西·千陽縣中學(xué)模擬預(yù)測（理））設(shè)、，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，分析得出，分、兩種情況討論，可得出，進(jìn)而可得出，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得解.【詳解】令，則對任意的恒成立，所以，.①當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)無最大值，不合乎題意；②當(dāng)時，令，可得.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，即，，設(shè)，令，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以，，因此，的最小值是.故選：C.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.10．（2021·安徽淮南·一模（理））已知兩個實(shí)數(shù)、滿足，在上均恒成立，記、的最大值分別為、，那么A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)證明出，可得出，，求得，，可求得、的值，由此可得出合適的選項(xiàng).【詳解】設(shè)，該函數(shù)的定義域?yàn)?，則.當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增.所以，，即，令，則函數(shù)在上為增函數(shù)，且，，所以，存在使得，令，其中，.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以，，又，所以，存在使得.，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以，，即．故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的方法研究不等式恒成立（或能成立）求參數(shù)時，一般可對不等式變形，分離參數(shù)，根據(jù)分離參數(shù)后的結(jié)果，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可求得結(jié)果；有時也可以根據(jù)不等式，直接構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，利用分類討論求函數(shù)的最值，即可得出結(jié)果.11．（2021·全國·高二課時練習(xí)）已知，，對任意的恒成立，則的最大值為（）A． B．1 C．2 D．【答案】D【分析】顯然結(jié)論不成立，當(dāng)時，此時；當(dāng)時，由題結(jié)合（1）得，設(shè)，問題轉(zhuǎn)化為求的最大值，利用導(dǎo)函數(shù)求出最大值即可．【詳解】若，則單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，不能滿足且對恒成立，故而．若，則．若，由得，則．設(shè)函數(shù)，，令得，解得，當(dāng)時，，函數(shù)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)遞增；當(dāng)時，函數(shù)取最小值，的最小值為．設(shè)，，由得，當(dāng)時，，當(dāng)時，．當(dāng)時，取得最大值．的最大值為．故選：．【點(diǎn)睛】不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.12．（2021·江蘇·高一單元測試）若不等式．對x∈恒成立，則sin(a+b)和sin(a-b)分別等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)三角函數(shù)值的符號，求得函數(shù)符號的變化，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與對稱性，求得的值，即可求解.【詳解】由，則，當(dāng)或時，即或時，，當(dāng)時，即時，，所以當(dāng)或時，，當(dāng)時，，設(shè)函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，所以，解得，又由，解得，所以，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)值的計(jì)算，以及函數(shù)的單調(diào)性與對稱性的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的符號，求得函數(shù)的單調(diào)性與對稱性是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.13．（2021·昆明市官渡區(qū)云南大學(xué)附屬中學(xué)星耀學(xué)校高一期中）已知函數(shù)是定義在R上奇函數(shù)，當(dāng)時，.若對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判斷函數(shù)在R上的單調(diào)性，再將函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化為自變量的大小，分參轉(zhuǎn)化為恒成立問題，進(jìn)而得到答案.【詳解】因?yàn)樵趩握{(diào)遞增（增＋增），且函數(shù)是R上的奇函數(shù)，容易判斷函數(shù)在R上是增函數(shù).對任意的,問題，記，則問題因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題較為綜合，到這一步都是比較正常的思路，接下來注意齊次式的處理方式，，目的是為了消元（看成一個量），下一步的換元一定要注意要把分母整體換元，這樣后面的運(yùn)算會簡單，最后結(jié)合基本不等式或者導(dǎo)數(shù)解決即可.14．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））設(shè)，，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式在上恒成立，令，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，用導(dǎo)數(shù)法求得最大值，轉(zhuǎn)化為，再令，得到，求其最大值即可.【詳解】因?yàn)椴坏仁皆谏虾愠闪?，所以不等式在上恒成立，令，則在上恒成立，令，所以，若，則，在遞增，當(dāng)時，，不等式不成立，故，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最大值，所以，所以，所以，令，則，所以，當(dāng)時，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最小值，所以的最小值是故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立問題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和運(yùn)算求解的能力，屬于難題.二、多選題15．（2021·重慶南開中學(xué)高二月考）已知，，下列說法錯誤的是（）A．若，則B．若，則C．恒成立D．恒成立【答案】AD【分析】對A式化簡，通過構(gòu)造函數(shù)的方法，結(jié)合函數(shù)圖象，說明A錯誤；對B不等式放縮，通過構(gòu)造函數(shù)的方法，由函數(shù)的單調(diào)性，即可證明B正確；對C不等式等價變型，通過恒成立，可得C正確；D求出的最大值，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D錯誤.【詳解】A.設(shè)，由圖可知，當(dāng)時，存在，使此時，故A錯誤.B.設(shè)單調(diào)遞增，，B正確C.又，，C正確D.當(dāng)且僅當(dāng)；當(dāng)且僅當(dāng)；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，D錯誤.故選：AD【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于難題.16．（2021·湖南·周南中學(xué)高一開學(xué)考試）已知是定義在區(qū)間，上的奇函數(shù)，且（1），若，，，時，有．若對所有，，，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍可能是（）A．(－∞，－6] B．(－6，6) C．(－3，5] D．[6，＋∞)【答案】AD【分析】先判斷的單調(diào)性，求得的最大值，化簡不等式，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)列不等式組，由此求得的取值范圍.【詳解】任取，，由于，結(jié)合可知，即，所以在上遞增.所以.由可得，即對任意恒成立.構(gòu)造函數(shù)，則，即，解得或.故選：AD【點(diǎn)睛】求解多變量的不等式恒成立問題，可考慮減少變量來進(jìn)行求解.17．（2021·重慶·銅梁一中高二月考）已知函數(shù)f（x）=ax2﹣x+lnx有兩個不同的極值點(diǎn)x1，x2，若不等式恒成立，則t的取值可能是（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合函數(shù)極值存在條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后由不等式恒成立與最值的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系進(jìn)行求解，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可．【詳解】解：，，由題意得，為的兩不等正根，所以，解得，，，，，令（a），，則，（a）在上單調(diào)遞增，（a），因?yàn)楹愠闪ⅲ院愠闪?，所以．故選：BD．三、雙空題18．（2021·江蘇江都·高二期中）若對于恒成立.當(dāng)時，的最小值為_________；當(dāng)時，的最小值是____________.【答案】1【分析】令得到，構(gòu)造函數(shù)，則求出，即可求出的最小值；作出的圖像，結(jié)合函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合確定的最小值.【詳解】當(dāng)時，，令，則，令，解得：，且當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，因此，故的最小值為，的圖像如下所示：由于，而點(diǎn)是直線與軸的交點(diǎn)，因?yàn)?，由圖象顯然虛線不符合題意，實(shí)線中直線與函數(shù)相切時，在軸上的截距較大，其中當(dāng)直線與函數(shù)相切且切點(diǎn)為函數(shù)與軸的交點(diǎn)時，截距最大，令，所有函數(shù)與軸的交點(diǎn)為，故，即，故.故答案為：1，.【點(diǎn)睛】恒成立問題解題思路：（1）參變量分離：（2）構(gòu)造函數(shù)：①構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，解不等式即可；②構(gòu)造函數(shù)后，研究函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式，轉(zhuǎn)化之后參數(shù)分離即可解決問題.19．（2021·福建省寧化第一中學(xué)高二期中）若對于恒成立，當(dāng)時，的最小值為_____；當(dāng)時，的最小值是_______________．【答案】1【分析】令得到，構(gòu)造函數(shù)，則求出，即可求出的最小值；作出的圖像，運(yùn)用函數(shù)圖像的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合確定的最小值.【詳解】解：時，，令，則，令，解得：，且當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，∴，∴，故的最小值為，的圖像如下所示：當(dāng)時，令，可得，故取得最小值，直線在軸的截距最大，又，結(jié)合圖像可知：令，可得，則，故.故答案為：1，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值.四、填空題20．（2021·江蘇·蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學(xué)高三月考）若不等式對一切恒成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則的取值范圍是________．【答案】【分析】設(shè),把不等式對一切x∈R恒成立轉(zhuǎn)化為不等式f(x)≤f(0)對一切x∈R恒成立,則f(x)max=f(0)=1,即x=0為函數(shù)f(x)的最大值點(diǎn)，即x=0為的一個零點(diǎn),得到b=-1；分類討論研究f(x)的單調(diào)性，討論出a的范圍，即可求出的取值范圍.【詳解】設(shè),則f(0)=1,不等式對一切x∈R恒成立等價于不等式f(x)≤f(0)對一切x∈R恒成立,則f(x)max=f(0)=1,即x=0為函數(shù)f(x)的最大值點(diǎn)..顯然x=0為的一個零點(diǎn),所以b+1=0,所以b=-1,所以.（1）當(dāng)a=0時,.當(dāng)x>0時,<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x<0時,>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)max=f(0),滿足題意.（2）當(dāng)a≠0時,.①若a<0時，則，當(dāng)或時，<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)時，>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.又當(dāng)時，，所以x=0為函數(shù)f(x)的最大值點(diǎn)，符合題意；②若a>0時，則當(dāng)時，，不符合題意；綜上所述：.故答案為：.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：（1）利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值（最值）；（3）利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.21．（2021·黑龍江·雙鴨山一中高二期末（理））已知，若關(guān)于的不等式恒成立，則的最大值為___________.【答案】【分析】令，求得導(dǎo)數(shù)，討論結(jié)合f（x）的單調(diào)性，求得最值，推得．令，求得g（a）的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、最值，可得所求最大值．【詳解】令則，

若a=0，則，要使恒成立，

則，此時ab=0；

若，則，函數(shù)f（x）函數(shù)單調(diào)增，當(dāng)時，，不可能恒有；

若，由=0，得，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時，單調(diào)遞增，

所以的最小值為，要使恒成立，

則，得，

則．

令，

則，令，，

當(dāng)時，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，單調(diào)遞減，

所以，

則ab的最大值為2e．

故答案為：2e．【點(diǎn)睛】本題解題核心：（1）恒成立問題，我們通常轉(zhuǎn)化為最值來解，于是就要先求得函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性來求最值，注意分類討論思維；（2）再求最值時，要緊密結(jié)合問題，有時并不一定能從原函數(shù)中直接求得問題，有時我們需要構(gòu)建函數(shù)重新分析函數(shù)單調(diào)性求最值，解題時一定要緊扣問題.22．（2021·浙江湖州·高二期中）已知函數(shù)，當(dāng)，恒成立，則的最大值為___________.【答案】1【分析】令，則，先由得，再由對恒成立得，，結(jié)合得，，往下證明時，存在實(shí)數(shù)使得對恒成立，即可說明的最大值為1.【詳解】令，則，，當(dāng)，恒成立，則有，，由得，因?yàn)槿我獾?，都有，所以，，結(jié)合，得.當(dāng)時，，令，，則，由得，；由得，；所以在上遞減，在上遞增，的最小值為，由，得，對恒成立.所以，取，有恒成立.綜上可知，的最大值為1.故答案為：1.23．（2021·全國·高二專題練習(xí)）已知，若關(guān)于的不等式恒成立，則的最大值為_______．【答案】【分析】已知不等式等價轉(zhuǎn)化為恒成立，在a=0時易得ab=0;當(dāng)a≠0時，設(shè)函數(shù),函數(shù)圖象在直線下方時，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得相切時a,b滿足的條件，進(jìn)而得到當(dāng)函數(shù)圖象在直線下方時，，得到,記,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求得最大值，即得所求.【詳解】原不等式等價于：恒成立，由對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，易知，當(dāng)時不等式為對于x>0恒成立，需要，此時,當(dāng)時，設(shè)函數(shù),當(dāng)直線與函數(shù)圖象相切時，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,則,∴,即所以當(dāng)函數(shù)圖象在直線下方時，，∴,記,則,令，解得當(dāng)時,單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，∴,綜上，的最大值為：，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，求最值問題，關(guān)鍵是將已知不等式分離為兩個易于處理的函數(shù)之間的不等關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合方法求得a,b滿足的條件，得到后，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最大值.24．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高二期中（理））任意的，不等式恒成立，則的范圍是___________.【答案】【分析】由已知條件可得，再利用換元法令，將問題轉(zhuǎn)化為研究直線恒在曲線的上方，即可得到答案；【詳解】，令，，①，令，①對恒成立，對，對，令，則，，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)與相切時，設(shè)切點(diǎn)為，或，直線要恒在曲線的上方，直線斜率的取值范圍為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要涉及三個變量，求解時要用換元法結(jié)構(gòu)函數(shù)構(gòu)造，消去其中一個變量，這是求解多變量問題的常用方法.25．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)，.若當(dāng)時，恒成立，則實(shí)數(shù)的值等于___________.【答案】2【分析】先由代入可得，再由，構(gòu)造，由恒成立可得，再檢驗(yàn)恒成立即可..【詳解】當(dāng)時，，即，所以當(dāng)時，，所以，則，令，則在時恒成立，.當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，由，可知時，，不滿足；當(dāng)時，，可得，則時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，由，且在時恒成立，所以，即.只需檢驗(yàn)時恒成立即可.，即證令，，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，所以，得證.所以，所以.故答案為：2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是由得到，進(jìn)而轉(zhuǎn)換為在時恒成立，通過構(gòu)造函數(shù)可求參數(shù).26．（2021·海南·北京師范大學(xué)萬寧附屬中學(xué)高二期中）已知函數(shù)，，函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)的切線的斜率恒成立，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】由已知得，恒成立，進(jìn)行參變分離得，恒成立，設(shè)，求導(dǎo)，分析其單調(diào)性，求得函數(shù)的最大值，由不等式的恒成立思想可得答案.【詳解】∵函數(shù)，∴，∵圖象上任意一點(diǎn)的切線的斜率恒成立，∴，恒成立，∴，恒成立，設(shè)，則，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，且，所以的最大值為，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義；不等式恒成立問題等知識點(diǎn)，求函數(shù)的切線方程的注意：（1）首先應(yīng)判斷所給點(diǎn)是不是切點(diǎn)，如果不是，要先設(shè)出切點(diǎn)．（2）切點(diǎn)既在原函數(shù)的圖象上也在切線上，可將切點(diǎn)代入兩者的函數(shù)解析式建立方程組．（3）在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值就是切線的斜率，這是求切線方程最重要的條件．27．（2021·浙江·麗水外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三期末）已知，，滿足對任意恒成立，當(dāng)取到最小值時，______.【答案】24【分析】令，即，令，且，又得，再利用，得，從而可得答案.【詳解】令，則，所以，即對于恒成立，令，因?yàn)?，因?yàn)閷τ跁r恒成立，所以，當(dāng)取最小值時，即，此時在時有最小值，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，不是區(qū)間端點(diǎn)值，又在處取得最小值，所以也是函數(shù)的一個極小值，且，所以，得，從而故.故答案為：24.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立求參數(shù)的問題，關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的極值求參數(shù)，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力.28．（2021·全國·高三專題練習(xí)（理））已知，為實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的最小值為______．【答案】-1【分析】先由恒成立得出，進(jìn)而，構(gòu)造函數(shù)求解.【詳解】設(shè)，則不等式恒成立等價于成立，顯然當(dāng)時不符合題意．當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴．由得，∴．令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，∴，∴，則，此時，．故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于依題意得出，進(jìn)而得出.29．（2021·全國·高二課時練習(xí)）若對任意正實(shí)數(shù)