線性方程組的高斯消元法

線性方程組的高斯消元法

高思消源法是一種古老的方法，其實(shí)質(zhì)上是通過線性方程組的初行轉(zhuǎn)換來消除未知的變量。這種方法被稱為小說家卡爾高斯（carlputin），是中國古籍《九章計(jì)算》的第九章，寫于19世紀(jì)。在西方，17世紀(jì)的研究是由拉布尼茨（lavnitz）創(chuàng)立的。在19世紀(jì)，他研究了三種含有兩個(gè)未知道數(shù)量的線性方程的方程。19世紀(jì)，法國哲學(xué)家赫布森（br歇德，18歲）對(duì)線性方程進(jìn)行了一系列研究，并從方程n的那一部分獲得了現(xiàn)代的poulier模型。19世紀(jì)，英國哲學(xué)家希思和巴特森繼續(xù)研究線性方程的理論。第一個(gè)引入了方程的自適應(yīng)矩陣和第二個(gè)引入了方程的非正格矩陣的一般關(guān)系。后者證實(shí)了系數(shù)矩陣的特性和泛在x上的方程的相同性。這是現(xiàn)代方程理論的重要成就之一。大多數(shù)技術(shù)問題最終歸因于線性方程的解。現(xiàn)在，線性方程的數(shù)值解在計(jì)算數(shù)學(xué)中發(fā)揮著重要作用。線性方程可分為兩類：一類是未知的數(shù)量，另一類是未知的數(shù)量與方程的數(shù)量之間的差值。我們可以使用消元法，或者在前一個(gè)特殊的線性方程中使用克里姆法則。1線性方程組的變換高斯消去法,實(shí)際上就是我們俗稱的加減消元法,數(shù)學(xué)上,高斯-約當(dāng)消去法,由高斯和約當(dāng)?shù)妹?很多人將高斯消元法作為完整的高斯-約當(dāng)消去的前半部分),它是線性代數(shù)中的一個(gè)算法.用高斯消元法求解任意多個(gè)方程任意多個(gè)未知數(shù)的線性方程組,其思想方法是自上而下依次減少方程組中各方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù),使之成為階梯形方程組,這樣做其實(shí)是施行了一系列的變換,這些變換包括:1)把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上;2)互換兩個(gè)方程的位置;3)用一個(gè)非零的數(shù)乘某個(gè)方程的兩邊.這3種變換稱為線性方程組的初等變換,經(jīng)過初等變換,把原有方程組變?yōu)殡A梯形方程組,然后去解階梯形方程組(從最后1個(gè)方程開始,逐次往上解),求得的解就是原方程組的解.例1求此線性方程組的解.分析:從線性方程組中可以我們看出此方程組含有4個(gè)未知量,我們要設(shè)法消去其中的3個(gè)未知量,最后剩下1個(gè)未知量,那么就可以求出剩下未知量的值,把所求得未知量的解逐次往上代入經(jīng)初等變換所得的簡化階梯形方程組中,就可以依次求出剩下3個(gè)未知量的值,求得的解就是原方程組的解.今后我們用記號(hào)“②+①.(-3)”表示把方程組的第1個(gè)方程的(-3)倍加到第2個(gè)方程上;用記號(hào)“(②,④)”表示把方程組的第2、4個(gè)方程互換位置;用記號(hào)④×c表示用非零數(shù)c乘第4個(gè)方程.方程組(2)的最后一個(gè)方程含未知量x4的一次方程,由此得,x4=1.然后往回代入(2)的第3,2,1個(gè)方程,相繼求得,x3=2,x2=-1,x1=3.于是得到(3,-1,2,1)是原方程組(1)的唯一一個(gè)解.2用克拉默法則解線性方程組克萊姆法則:n個(gè)方程的n元線性方程組,如果它的系數(shù)行列式|A|≠0,則它有唯一解;如果它的系數(shù)行列式|A|≡0,則它無解或者有無窮多個(gè)解.n個(gè)方程的n元線性方程組的系數(shù)行列式|A|≠0時(shí),它的唯一解是,其中|A|是方程組的系數(shù)行列式,并且例2用克拉默則解線性方程組1)線性方程組的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)必須相同,但一般線性方程組并非如此.2)對(duì)于齊次線性方程組永遠(yuǎn)有解,其解僅有2種情況:要么有唯一零解,要么有無窮多個(gè)非零解,因此克拉默法則用于齊次線性方程組時(shí),有著重要的理論價(jià)值,很多的命題需要用它來證明.3)非齊次線性方程組的解有3種情況:無解、有唯一解、有無窮多解,但克拉默法則只適應(yīng)于有唯一解(系數(shù)行列式不等于零)的情形,且計(jì)算量大,所以用克拉默法則解線性方程組具有局限性,而任何一個(gè)線性方程組的增廣矩陣都可以通過初等變換變成階梯型矩陣,從而可以判定原方程組是否有解,再有解的情況下,就可以很容易求其解.因此可以用矩陣初等變換來求解任何一個(gè)線性方程組.3簡化階梯形矩陣的初始變換矩陣的初等變換在高等代數(shù)、線性代數(shù)以及初等數(shù)論中具有廣泛應(yīng)用,主要依據(jù)是矩陣的初等變換在變換前后保持矩陣的秩不變.矩陣的初等變換包括初等行變換和初等列變換.下面所探究的是用矩陣的初等行變換解線性方程.解任何一個(gè)矩陣都能經(jīng)過一系列初等變換化成階梯形矩陣,并且能進(jìn)一步用初等變換化成簡化行階梯形矩陣.在解線性方程組時(shí),把它的增廣矩陣經(jīng)過初等行變換化成簡化階梯形矩陣,行簡化階梯形矩陣所對(duì)應(yīng)的階梯形方程組與原方程組同解.當(dāng)方程組有解時(shí),將其中單位列向量對(duì)應(yīng)的未知量取為非自由未知量,其余的未知量取為自由未知量,即可找出線性方程組的解.而對(duì)矩陣A施行的下列3種變換稱為A的初等行變換:1)交換A的第i行與第j行,記作Ri<-->Rj;2)用一個(gè)非零實(shí)數(shù)c乘以A的第i行,即用該數(shù)乘以該行的每個(gè)元素,所得各數(shù)按原來次序作為同一行的元素,記作Ri·c;3)用一實(shí)數(shù)c乘以A的第j行后,再加到A的第i行上,記作Ri+Rj·c.例3:求非齊次線性方程組的解.最后這個(gè)簡化行階梯形矩陣表示的線性方程組是從第1個(gè)方程看出,對(duì)于x2每取一個(gè)值c2,可以求x1=c2+2,從而得到原方程組的一個(gè)解:(c2+2,c2,-1).由于c2可以取任意一個(gè)數(shù),因此原方程組有無窮多個(gè)解.因此方程組的一般解為其中x2是自由未知量,由一般解得到方程組的一個(gè)特解為由于原方程組與它的導(dǎo)出組的系數(shù)矩陣相同,因此把原方程組的一般解的常數(shù)項(xiàng)去掉,就得到導(dǎo)出組的一般解為其中x2是自由未知量,從而得到導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為所以非齊次線性方程組的解集:U={γ0+k1η1|k1∈K}.4添加約束對(duì)話求解線性方程組是在科研和生產(chǎn)實(shí)際中常遇到的問題,當(dāng)未知數(shù)的個(gè)數(shù)較多時(shí),用Excel解線性方程組是很方便的.通過Excel的計(jì)算功能和復(fù)制功能,不用編程,我們就可求解或驗(yàn)證線性方程組的解,對(duì)小數(shù)位數(shù)的快速設(shè)置,我們甚至無須像編程那樣進(jìn)行計(jì)算精度重新定義,只需選取全部計(jì)算數(shù)據(jù),再選擇增加小數(shù)位數(shù),即可得到任意小數(shù)位數(shù)的計(jì)算結(jié)果.例4求解線性方程組的解解:可按如下的步驟來解這個(gè)方程組:1)打開Excel.2)由于在本方程組中未知數(shù)有4個(gè),所以預(yù)留4個(gè)可變單元格的位置A1～A4.3)將活動(dòng)單元格移至B1處,從鍵盤鍵入:=A1+A2+2*A3+3*A4:然后回車(此時(shí)B1顯示0).即在B1處輸入方程組中第1個(gè)方程等號(hào)左邊的表達(dá)式.4)在B2處從鍵盤鍵入:=3*A1-A2-A3-2*A4;然后回車(此時(shí)B2顯示0).即在B2處輸入方程組中第2個(gè)方程等號(hào)左邊的表達(dá)式.5)在B3處從鍵盤鍵人:=2*A1+3*A2-A3-A4;然后回車(此時(shí)B3顯示0).即在B3處輸入方程組中第3個(gè)方程等號(hào)左邊的表達(dá)式.6)在B4處從鍵盤鍵入:=A1+2*A2+3*A3-A4;然后回車(此時(shí)B4顯示0).即在B4處輸入方程組中第4個(gè)方程等號(hào)左邊的表達(dá)式.7)點(diǎn)擊工具、規(guī)劃求解,出現(xiàn)規(guī)劃求解參數(shù)對(duì)話框.8)對(duì)話框中第1欄為:設(shè)置目標(biāo)單元格,在相應(yīng)的框中填入$B$1.9)對(duì)話框中第2欄為:等于;后有3個(gè)選項(xiàng),依次為最大值,最小值,值為.根據(jù)題意B1表示方程組中第1個(gè)方程等號(hào)左邊的表達(dá)式,它的值應(yīng)為1,因此點(diǎn)擊值為前的圓圈,輸入1.10)對(duì)話框中第3欄為:可變單元格;我們預(yù)留的可變單元格為A1-A4,所以在可變單元格框內(nèi)鍵入A1:A4.11)對(duì)話框中最后一欄為:約束;首先點(diǎn)擊添加按鈕,屏幕出現(xiàn)添加約束對(duì)話框.12)在添加約束對(duì)話框的單元格引用位置鍵入:B2;在中間的下拉式菜單中選取=;在約束值處鍵入:-4;然后按添加按鈕,屏幕出現(xiàn)空白的添加約束對(duì)話框.13)在添加約束對(duì)話框的單元格引用位置鍵入:B3;在中間的下拉式菜單中選取=;在約束值處鍵入:-6;然后按添加按鈕,屏幕出現(xiàn)空白的添加約束對(duì)話框.14)在添加約束對(duì)話框的單元格引用位置鍵入:B4;在中間的下拉式菜單中選取=;在約束