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課后素養(yǎng)落實(shí)(四十八)直線與平面垂直的判定(建議用時(shí):40分鐘)一、選擇題1.在正方體ABCDs-A1B1C1D1中,A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1DD.異面直線AD與CB1所成的角為45°C[由正方體的性質(zhì)得BD∥B1D1,且BD?平面CB1D1,所以BD∥平面CB1D1,故A正確;因?yàn)锽D⊥平面ACC1A1,所以AC1⊥BD,故B正確;異面直線AD與CB1所成的角即為AD與DA1所成的角,故為45°,所以D正確.2.下列四個(gè)命題中,正確的是()①若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線,則這條直線與這個(gè)平面垂直;②若一條直線平行于一個(gè)平面,則垂直于這條直線的直線必垂直于這個(gè)平面;③若一條直線平行于一個(gè)平面,另一條直線垂直于這個(gè)平面,則這兩條直線互相垂直;④若兩條直線垂直,則過其中一條直線有唯一一個(gè)平面與另一條直線垂直.A.①②B.②③C.②④D.③④D[①②不正確.]3.空間四邊形ABCD的四邊相等,則它的兩對(duì)角線AC,BD的關(guān)系是()A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交C[如圖,取BD中點(diǎn)O,連接AO,CO,則BD⊥AO,BD⊥CO,且AO∩CO=O,∴BD⊥平面AOC,又AC?平面AOC,∴BD⊥AC,又BD,AC異面,∴選C.]4.如圖,α∩β=l,點(diǎn)A,C∈α,點(diǎn)B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直線l與直線AC的關(guān)系是()A.異面B.平行C.垂直D.不確定C[∵BA⊥α,α∩β=l,l?α,∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC=B,∴l(xiāng)⊥平面ABC.∵AC?平面ABC,∴l(xiāng)⊥AC.]5.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB,D為PB的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的有()①BC⊥平面PAB;②AD⊥PC;③AD⊥平面PBC;④PB⊥平面ADC.個(gè) B.1個(gè)個(gè) D.3個(gè)D[∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,則PA⊥BC,又AB⊥BC,PA∩AB=A,故BC⊥平面PAB,①正確;∵BC⊥平面PAB,AD?平面PAB,∴BC⊥AD,又PA=AB,D為PB的中點(diǎn),故AD⊥PB,又BC∩PB=B,故AD⊥平面PBC,∵PC?平面PBC,故AD⊥PC,②③正確;若PB⊥平面ADC,CD?平面ADC,故PB⊥CD,D為PB的中點(diǎn),故CB=CP,又PC>AC>BC,故CB=CP不成立,故④錯(cuò)誤;故選D.]二、填空題6.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,與AD1平面A1DB1[∵AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1,A1D∩A1B1=A1,A1D,A1B1?平面A1DB1,∴AD1⊥平面A1DB1.]7.已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,則平行四邊形ABCD一定是________.菱形[如圖,∵PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴BD⊥PA.又BD⊥PC,PA∩PC=P,∴BD⊥平面PAC.又AC?平面PAC,∴BD⊥AC.∴平行四邊形ABCD為菱形.]8.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱AA1和AB上的點(diǎn),若∠B1MN是直角,則∠C1MN90°[∵B1C1⊥平面ABB1A1,MN?平面ABB1A1,∴B1C1⊥MN.又∵M(jìn)N⊥B1M,B1M∩B1C1=B1,∴MN⊥平面C1B1M,∴MN⊥C1M,三、解答題9.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是棱AB,BC的中點(diǎn),O是底面ABCD的中心,求證:EF⊥平面BB1O[證明]∵ABCD為正方形,∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴AC⊥BB1,又∵BO∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1O,又EF是△ABC的中位線,∴EF∥AC,∴EF⊥平面BB1O.10.如圖,三棱錐A-SBC中,∠BSC=90°,∠ASB=∠ASC=60°,SA=SB=SC.求直線AS與平面SBC所成的角.[解]因?yàn)椤螦SB=∠ASC=60°,SA=SB=SC,所以△ASB與△SAC都是等邊三角形.因此,AB=AC.如圖,取BC的中點(diǎn)D,連接AD,SD,則AD⊥BC.設(shè)SA=a,則在Rt△SBC中,BC=eq\r(2)a,CD=SD=eq\f(\r(2),2)a.在Rt△ADC中,AD=eq\r(AC2-CD2)=eq\f(\r(2),2)a,則AD2+SD2=SA2,所以AD⊥SD.又BC∩SD=D,所以AD⊥平面SBC.因此,∠ASD即為直線AS與平面SBC所成的角.在Rt△ASD中,SD=AD=eq\f(\r(2),2)a,所以∠ASD=45°,即直線AS與平面SBC所成的角為45°.11.如圖,在正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別是BC,CD的中點(diǎn),G是EF的中點(diǎn),現(xiàn)在沿AE,AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形,使B,C,D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為H,那么,在這個(gè)空間圖形中必有()A.AG⊥△EFH所在平面B.AH⊥△EFH所在平面C.HF⊥△AEF所在平面D.HG⊥△AEF所在平面B[根據(jù)折疊前、后AH⊥HE,AH⊥HF不變,∴AH⊥平面EFH.]12.如圖所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB∶BB1=eq\r(2)∶1,則AB1與平面BB1C1CA.45° B.60°C.30° D.75°A[如圖,取BC的中點(diǎn)D,連接AD,B1D,∵AD⊥BC且AD⊥BB1,∴AD⊥平面BCC1B1,∴∠AB1D即為AB1與平面BB1C設(shè)AB=eq\r(2),則AA1=1,AD=eq\f(\r(6),2),AB1=eq\r(3),∴sin∠AB1D=eq\f(AD,AB1)=eq\f(\r(2),2),∴∠AB1D=45°.故選A.]13.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=CC1,當(dāng)?shù)酌鍭1B1C1滿足條件________時(shí),有AB1⊥BC1.(注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可A1C1⊥B1C1[如圖所示,連接B1C.由BC=CC1,可得BC1⊥B1C.因此,要得AB1⊥BC1,則需BC1⊥平面AB1C,即只需AC⊥BC1即可.由直三棱柱可知,只要滿足AC⊥BC即可.而A1C1∥AC,B1C1∥BC,故只要滿足A114.如圖,四棱錐S-ABCD底面為正方形,SD⊥底面ABCD,則下列結(jié)論中正確的有________個(gè).①AC⊥SB;②AB∥平面SCD;③SA與平面ABCD所成的角是∠SAD;④AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角.4[∵SD⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴SD⊥AC.∵四邊形ABCD為正方形,∴BD⊥AC,又SD∩BD=D,∴AC⊥平面SBD,而SB?平面SBD,∴AC⊥SB,故①正確.∵AB∥CD,AB?平面SDC,CD?平面SDC,∴AB∥平面SCD,故②正確.∵SD⊥平面ABCD,∴SA在底面上的射影為AD,∴SA與底面ABCD所成的角為∠SAD,③正確.∵AB∥CD,故④也正確.]15.在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,且PA=1,邊BC上是否存在點(diǎn)Q,使得PQ⊥QD?為什么?
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