三角形證明部分模型總結(jié)

三角形部分模型總結(jié)斜邊中線模型構(gòu)成：Rt^ABC,∠ACB=900,D為AB邊的中點目的：找等量關(guān)系，或2倍（1/2）的關(guān)系。結(jié)果：AD=CD=BD例1已知：AABC中，∠A=600,CE⊥AB,BD⊥AC求證：DE=1BC2證明：取BC中點M,連結(jié)EM,DM先證EM=DMUEM=1BC=DM

2再證：∠2=兀-∠1-∠3=兀-（兀-2∠ABC）-（兀-2∠ACB）=600則AEDM為等邊三角形，所以有DE=DM=1BC2“Rt△中斜邊上的中線等于斜邊的一半”+“等腰對等底”+“等量代換”例2已知：AABC中，CE⊥AB,BD⊥AC,M,N分別為BC,DE的中點求證：MN⊥ED證明：連結(jié)EM,DM先證EM=DMUEM=1BC=DM2M后證MN⊥EDUN為中點，EM=DM“RT△中斜邊上的中線等于斜邊的一半”+“三線合一定理”［思考］：若^ABC為鈍角△，又該如何呢？在Rt△中，又是怎樣?例3已知：在AABC中，AB=AC,BD為∠ABC的角平分線，AM⊥BC,DE⊥BC,FD⊥BD求證：ME=—BF4證明：取BD、BF中點G、N,連結(jié)DN,EF,GMU①DN〃ABU∠3=∠1②AB=AC再證GM=1DC2后證GM=MEUNMEG=NMGEU①NGEM=N2②NGMB=NC=2∠2所以有ME=1DC=LBF“RT△中斜邊上的中線等于斜邊的一半（2次）”+“平行線性質(zhì)1”+“等腰對等底”例4如圖，少？+“三角形中位線定理”在AABC中，NB=2NC,AD⊥BC與D,M為BC邊的中點，AB=10cm,則MD長為多解：取AB中點N,連結(jié)DN,NM,則DN=1AB,NNDB=NB,且NNMD=NC2---NNDB=NNMD+NDNMNB=NC+NDNM=2NC「.NDNM=NC=NNDM則UDM=DN=1AB2“Rt△斜邊上的中線等于斜邊的一半”+“三角形中位線定理”+“外角性質(zhì)”+“等底對等腰”例5如圖，RtAABC中，NC=9Oo,CD平分NC,E為AB中點，PE⊥AB,交CD延長線于P,那么NPAC+NPBC的大小是多少？解：連結(jié)CE,則NEAC=NECA???Ndce=Neca-Ndca=Ndac-45。又???NDAC=1800-NAdc-45o=135o-NPDE???NDCE=(135o-Npde)-45o=NDPE則PE=EC=AE則可證NPAC+NPBC=NPAB+NBAC+NPBA+NABC=1800“斜邊中線性質(zhì)”+“對頂角相等”+“等量代換”+“三角形內(nèi)角和定理”“三線合一”模型“角平分線”+垂線T等腰三角形”構(gòu)成：OC為NAOB的角平分線，BC⊥OC于C點J 目的：構(gòu)造等腰三角形,1<3 結(jié)果：⑴［邊］：BC=AC,OA=OBTOC為AOAB的中線θ"24CR⑵［角］：N3=N4,NACO=9OoTOC為AABO的高線⑶［全等k^ACO04BCO例1已知：AD是AABC的NA的平分線，CD⊥AD于D,BE⊥AD于AD的延長線于E,M是BC邊上的中點。求證：ME=MD證明：延長CD交AB于F點，BE與AC延長線交于G點D為FC中點，M為BC中點。???DM√AB,Z1=Z3/ Z4+Z5=900,∠2+Z6=900Z5=ZG=Z6B E .?.Gz4=Z2貝UZ3=Z4 貝UMD=ME"三線合一’定理的逆定理”+“平行線的性質(zhì)”+“等底對等腰”例2已知：AABC為等腰直角三角形，∠A=900,∠1=∠2,CE⊥BE求證：BD=2CE證明：延長CE、BA交于F點F 先證CF=2CEJ 再證RT?ABD^RT?CAFU“N3=NF”+”AB=AC”+”N 3D；：：E BAD=NCAF”B-2 C則有BD=CF=2CE“'三線合一’定理的逆定理”+“ASAn全等”例3已知：AABC中，CE平分NACB,且AE⊥CE,NAED+NCAE=1800(N3+N4=1800)求證：DE〃BC證明：延長AE交BC邊于F點，則有N3=N6且N3=N5F45EU①N3+N4=1800 ②N4+N5=180。B「.N5=N6則DE〃BC“‘三線合一'定理的逆定理”+“平行線的判定”例4已知：在AABC中，AC>AB,AM為NA的平分線，AD⊥BC于D求證：NMAD=1(NB-NC)

2證明：作BE⊥AM,交AC于E點，交AM于K點先證N3=N4UN1=N2N5=NAEBU①AM為角平分線②BE⊥AM

后證：NB-NC=N4+N5-NC=N4+NAEB-NC=2N4

則N3=N4=1(NB-NC)即NMAD=1(NB-NC)“三線合一逆定理”+“平行四邊形的判定”例5已知：在AABC的兩邊AB、AC上分別取BD=CE,F、G分別為DE、BC的中點，NA的平分線AT交BC于T求證：FG〃AT證明：作EN⊥AT于N點，交AB于L點，作CK⊥AT于K點，連結(jié)FN、GK先證：NF〃且二?LD,KG〃且二?MB再證：LD=MBULM=DB=EC最后證明四邊形FNKG為平行四邊形。"三線合一’定理的逆定理”+“平行四邊形判定”三角形中位線模型構(gòu)成：AABC中,二EB CD為AB邊中點目的：找中位線，構(gòu)造：①2倍關(guān)系②相似三角形結(jié)果：①DE〃BC,DE=1BC②AADEsAABC2例1已知：在AABC中，AB=AC,AD⊥BC于D,DE⊥AC于E,F為DE中點求證：AF⊥BE證明：取BE中點H,連DHDEEC2HD先證：RtAEDHsRtAAED則AEDE2EFRtAEDHsRtAAEF則∠BED=∠1∠EAF+∠AEG=900貝∣AF⊥BE“AAAnAs”+“中位線定理”+“（兩直線）定義”例2已知BD、CE為AABC的角平分線，AF⊥CE于F,AG⊥CE于F,AG⊥BD于G求證：①FG〃BC②FG=1(AB+AC-BC)2證明：延長AF、AG分別交BC于M、N兩點證G為AN中點U①BD⊥AN②∠1=∠2F為AM中點U①∠3=∠4②CE⊥AM貝UGF為AANM中位線GF〃BC,GF=1MN2MN=BN+CM-BC=AB+AC-BC“等腰△三線合一”+“△中位線定理”+“等量代換”思考：BD、CE為外角平分線時或一內(nèi)一外角平分線時，又該如何證明？例3已知，如圖在「ABCD中，P為CD中點，AP延長線交BC延長線于E,PQ〃CE交DE于QAk D求證：PQ=1BC 廣、;證明：先證AADP0APCE可得CE=AD=BCBCE再證PQ為中位線，PQ=1CE“AASn△0”+“平行四邊形性質(zhì)”+“△中位線定理”例4已知：梯形ABCD中，AB=DC,AC⊥BD,E?F為腰上中點，DL⊥BC,M為DL與EF的交點求證：EF=DL證明：取AD、EF的中點H、K,連結(jié)EH、FH、HK易證EH⊥HF貝UHK=1EF2RTADLC中可得M為DL中點，則DM=1DL2H.由題意得HK=DM則EF=DL“三角形中位線定理(3次)”+“平行線性質(zhì)”+“斜邊上中線為斜邊一半”例5已知：銳角AABC中，以AB、AC為斜邊向外作等腰直角aADB,^AEC,M為BC中點，連結(jié)DM、ME求證：DM=EM,DM⊥EM證明：取AB、AC的中點F、G,連結(jié)DF、FM、ME①DF=GM②NDFM=NMGEU③FM=GEN1=N2=N3再證NDME=N7+N1+N5=9Oo，則UDM⊥EM［思考］：NBAC為鈍角時，又該如何證明？“補長截短”模型(1)截長法：構(gòu)成：線段a,b,ca CbC目的：確定一線段，找令一線段的等量關(guān)系

結(jié)果：Ta-b'=c=a=b+c,b=b'b c(2)補短法： 構(gòu)成：線段a,b,c目的：構(gòu)造一等長線段，再找等量關(guān)系< a c±.c?bac結(jié)果：C=C',b+c'=ana=b+c例1已知：AABC中，AD平分NBAC

求：(1)若NB=2NC,則AB+BD=AC(2)若AB+BD=AC,則NB=2NC解：(1)在AC上取AE=AB,連結(jié)DE,則^AED04ABD「.BD=EDN3=NB,AB=AE?N3=2NC=N4+NC則EC=ED???AC=AE+EC=AB+BD(2)(1)的反推過程“SASn△全等”+“△的一外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角和”+“等底O等腰”例2已知：等腰AABC中，AB=AC,∠A=108θ,BD平分∠ABC求證：BC=AB+DC證明：在BC邊上取BE=BA,連結(jié)DE,

則AABD04EBD=AB=BE再證：∠3=∠4U∠4=720,∠3=∠5-∠C=720「.DC=EC則BC=BE+EC=AB+DC“SAS=△全等”+“△兩外角等于不相鄰兩內(nèi)角和”+“等底對等腰”例3已知：在AABC的邊BC上取BE=CF,過E作EH〃AB交AC于H,過F作FG〃AB交AC于G求證：EH+FG=AB證明：在AB上取BD=FG,連結(jié)DE先證aDBE04GFC再推∠3二∠C再證四邊形ADEH為平行四邊形則FG+EH=AD+DB=AB“SAS=△全等”+“平行線的判定”+“平行四邊形的判定”［思考］：①若在AC上截取AD=EH，連DF,如何證明？②若用以下方法添加輔助線，又該如何證明?a.在CA上截取CD=GF,連DFb.延長HE至D,使ED=GF,連ADc.延長EH至D,使ED=AC,連CD例4已知：在正方形ABCD中，M是CD的中點，E是CD上一點，且∠BAE=2∠DAM求證：AE=BC+CE證明：取BC的中點G,連結(jié)AG延長AB至F使AF=AE,連結(jié)FG,GE先證∠3=∠5則∠3=∠4=∠5后證RT^AFG0RT^AEG則FG=GE再證RT^FBG0RT^ECG則BF=EC

所以有AE=AF=AB+BF=BC+CE“SAS=△全等”+‘三線合一’定理”+“等量代換”［思考］：若用以下方法添加輔助線，該如何證明？a.在AE上截取AF=AB,取BC中點G,連結(jié)AG,GF,GEb.延長DC至H,使CH=AB，連AH交BC于G例5 已知：在正方形ABCD中，E為BC上任一點，∠EAD的平分線交DC于F求證：BE+DF=AE證明：延長CD至G,使DG=BE,連結(jié)AG,則RT^ABE0RT^ADG,得N3=∠4再證∠5=∠1+∠4=AG=FG所以有AE=AG=AF=DF+DG=DF+BE“平行線性質(zhì)2”+“等底對等腰”+“HLnRT△全等”“等腰O等邊”模型角平分線+平行線T等腰△構(gòu)成：NAOB,OD為NAOB的角平分線

目的：構(gòu)造等腰△，找等角，等邊結(jié)果：①AOEC為等腰△=OC=OE②N3=NC,N1=N3例1已知：AABC中，AB=4,AC=7,M是BC中點，AD平分NBAC,過M點作MF〃AD,交AC于F求：FC的長度？解：延長FM至N,使MF=MN,延長MF、BA交于E點

先證：^BMN04CMFnBN=CF,NN=NMFC

再證：NE=NBAD=NCAD=NCFM=NAFE=NN=AE=AF5BN=BE則有：AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+FC=BE+FC=NB+FC=2FC所以有：FC=1(AB+AC)=5.52“SASn△全等”+“平行線性質(zhì)”+“對頂角相等”+“等底對等腰”例2已知：銳角AABC中，NABC=2NC,NABC的平分線與AD垂直，垂足為D求證：AC=2BD證明：過A作BC平行線，延長BE交平行線于F

先證：AABF為等腰△=BF=2BD再證：AE+EC=EF+BEU①AE=EFUN3=N4②BE=ECUN2=NC即AC=BF=2BD“等底O等腰”+“等腰△三線合一”+“平行線性質(zhì)2"例3已知：在AABC中，NA=100。，AB=AC,BE是NB的平分線求證：AE+BE=BC證明：過E作ED〃BC交AB于D,延長CA至A使EF=BC連結(jié)FD先證：DE=DB=EC再證：^DEF04ECB=FD=BE F45ABj?b后證：FD=FAU∠4=∠5=90。所以有：AE+BE=AE+FD=AE+FA=EF=BC“平行線性質(zhì)”+“等底O等腰”+“SASn△全等”例4已知：AABC中，AB=AC,AD為AABC的角平分線，P為BC上一點，過P作AD的平行線交BA的延長線于E,交AC于F求證：2AD=PE+PF證明：延長AD,FP,過C作AB平行線，交于G、H點先證：AD=DG,PH=FPUZ1=Z2=Z3=Z4=Z5后證：ag=ehU四邊形AEHG為平行四邊形則有：2AD=AG=EH=EP+PH=EP+FP“等底O等腰”+“平行線性質(zhì)1”+“平行四邊形判定及性質(zhì)”倍長中線模型構(gòu)成（條件）：^ABC中，AD為中線目的：（1）構(gòu)造全等三角形一找等量關(guān)系（邊） /Ak（2）構(gòu)造平行線一找等角關(guān)系 2\結(jié)果：（1）^BDEs^ADC-①BE=AC B1~PC（2）AE=2AD ②N1=N2,N3=N4-AC"BE41例1：已知：AD為AABC中線，E為AC上一點，

求證：AC=BF證明：（倍長中線）ABDG04CDAnNG=∠EAF,

W∠G=Z3=BF=BG“SAS△全等”+“等底等腰”+“等量代換”例2：已知：CE、CB分別是AABC?AACD的中線，且AB=AC,求證：CD=2CE證明：倍長CE,連結(jié)BM△MEBSCEAU(SAS)ME=EC+NMEB=NAEC+BE=AE△MBCSDBCU(SAS)MB=BD+NMBC=NDBC+BC=BC.?.DC=MC=2EC“等腰對等底”+“外角=兩內(nèi)角和"+“SAS△全等”例3：已知Rt△BAC中，NA=90o,D為BC邊中點，E、F分別為邊AB、AC上一動點，且ED⊥FD。求證：EF=BE+CFo證明：倍長FD至G,連結(jié)BG、EG先證ACFD04BGDnCF=BG,NC=NGBD(AC〃BG)Rt^EBG中，EG2=BG2+BE2=FC2+BE2△EGF為等腰△，貝UEF2=BE2+CF2“SASn△全等”+“勾股定理”+“等腰4三線合一”例4：已知：△ABC中，AD為中線，AB邊長為X,AC邊長為y,求中線AD的取值范圍。E解：倍長AD連結(jié)BE△ABE中，lx-yl<2AD<x+yX-y X+y <AD< -22“SAS△全等”+“等量代換”+“^三邊關(guān)系”例5：已知M是AABC的邊BC上的中點，過BC上一點D引直線平行于AM交AB于E,交CA的延長線于F求證：ED+DF=2AM證明：倍長AM，連結(jié)BH延長ED交BH于K先證四邊形FAHK為平行四邊形nAH=FK再證ED=DKUED∕AM=DK∕HM,AM=MH???ED+FD=FK=AH=2AM“SAS全等△”+“平行四邊形定義及性質(zhì)”+“比例性質(zhì)”+“等量代換”［練習］已知：AABC中，AD是角平分線，M是BC中點，MF〃DA,MF交AB、CA的延長線于E、F。求證：BE=CF證明：倍長FM連結(jié)BG先證48乂60"乂尸=BG=CF,∠G=∠FΛFC√BG『4二/1再證N1=∠F=∠GU</2=/F/1=/2/.BE=BG=CF“SAS 全等”+“兩直線平行，同位角相等”+“等底對等腰”+“等量代換”面積法(1)構(gòu)成：AD√BC,△ABC,^BCD。目的：找等積△.結(jié)果：SAABC=SABCD.(2)構(gòu)成：EF√BC,△ABC,^AEF。目的：找比例線段。結(jié)果：SAAEF：S△ABC=AF2：AC2=AE2：AB2=EF2：BC2(3)構(gòu)成：l1〃l2〃l3，線段AC、BD,AD、BC相交于點O。目的：找比例線段。結(jié)果：AE：EC=AO：OD=BO：CO=BF：FD例1：在AABC的邊AB、AC上分別取點D、E,使DE〃BC，在AB上取點F,使SAADE=S^BFC°求證：AD2=AB*BF。證明：“S^ADE：S△ABC=AD2：AB2”+“S△ADE：S△ABC=SABFC：S△ABC=FB：AB”=AD2：AB2=FB：AB

nAD2=FB*ABCB“相似△面積比”+“同高△面積比”+“比例的基本性質(zhì)”例2：已知：△ABC中，∠ACB=900,CE平分∠ACB交AB于E,EF⊥AC于F。1 1 1求證：=十二不ACBCEF證明：過E作ED⊥BC于DSAABC=SABEC+S△AEC=BC*AC=BC*ED+AC*EF