第9章 壓桿穩(wěn)定

9壓桿穩(wěn)定

9.1壓桿穩(wěn)定的概念9.2細(xì)長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式9.3歐拉公式的應(yīng)用范圍·臨界應(yīng)力總圖9.4實際壓桿的穩(wěn)定因數(shù)9.5壓桿的穩(wěn)定計算·壓桿的合理截面9.1壓桿穩(wěn)定的概念問題的提出第二章中，軸向拉、壓桿的強度條件為例：一長為300mm的鋼板尺，橫截面尺寸為20mm

1mm。鋼的許用應(yīng)力為[

]=196MPa。按強度條件計算得鋼板尺所能承受的軸向壓力為[F]=A[

]=3.92kN實際上，當(dāng)壓力不到40N時，鋼尺就被壓彎。可見，鋼尺的承載能力并不取決軸向壓縮的抗壓剛度，而是與受壓時變彎有關(guān)。

受壓變彎的原因：壓桿在制作時其軸線存在初曲率；作用在壓桿上的外力作用線不可能毫無偏差的與桿的軸線相重合；壓桿的材料不可避免地存在不均勻性。中心受壓直桿：桿由均貭材料制成，軸線為直線，外力的作用線與壓桿軸線重合。（不存在壓桿彎曲的初始因素）在分析中心受壓直桿時，當(dāng)壓桿承受軸向壓力后，假想地在桿上施加一微小的橫向力，使桿發(fā)生彎曲變形，然后撤去橫向力。研究方法：

9.1.1壓桿穩(wěn)定的概念

當(dāng)F小于某一臨界值Fcr，撤去橫向力后，桿的軸線將恢復(fù)其原來的直線平衡形態(tài)，壓桿在直線形態(tài)下的平衡是穩(wěn)定平衡。FFF′

當(dāng)F增大到一定的臨界值Fcr，撤去橫向力后，桿的軸線將保持彎曲的平衡形態(tài)，而不再恢復(fù)其原來的直線平衡形態(tài)，壓桿在原來直線形態(tài)下的平衡是不穩(wěn)定平衡。FFF′

壓桿的穩(wěn)定性：壓桿保持初始直線平衡狀態(tài)的能力。壓桿的失穩(wěn)：壓桿喪失直線形狀的平衡狀態(tài)。連桿失穩(wěn)臨界力（Fcr）:中心受壓直桿由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)化為不穩(wěn)定平衡時所受軸向壓力

的臨界值。

工程實例

9.1.2壓桿失穩(wěn)災(zāi)難

1925年蘇聯(lián)莫茲爾橋在試車時因橋梁桁架壓桿失穩(wěn)導(dǎo)致破壞時的情景。

1983年10月4日，高54.2m、長17.25m、總重

565.4

kN大型腳手架局部失穩(wěn)坍塌，5人死亡、7人受傷。防止壓桿失穩(wěn)的關(guān)鍵所在：壓桿工作時所受到的壓力必須小于其臨界力。9.2細(xì)長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式9.2.1兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界力兩端鉸支，長為l的等截面細(xì)長中心受壓直桿，抗彎剛度為EI

。當(dāng)達(dá)到臨界壓力時，壓桿處于微彎狀態(tài)下的平衡FFcryyFNMwFcr考察微彎狀態(tài)下局部壓桿的平衡:M(x)=Fcr

w(x)

yyFNMwFcr二階常系數(shù)線性齊次微分方程微分方程的解:w=Asinkx

+Bcoskx邊界條件:w(0)=0,w(l)=00·A+1·B=0sinkl

·

A+coskl

·B=0B=0sinkl

·

A=0若A=0，則與壓桿處于微彎狀態(tài)的假設(shè)不符因此可得：sinkl=0

sinkl=0（n=0、1、2、3……）

屈曲位移函數(shù):最小臨界力:——兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界力的歐拉公式臨界力Fcr

是微彎下的最小壓力，故取n=1。且桿將繞慣性矩最小的軸彎曲。Fcr

9.2.2兩端固定細(xì)長壓桿的臨界力ABFFcrAB兩端固定，長為l的等截面細(xì)長中心受壓直桿，抗彎剛度為EI

。當(dāng)達(dá)到臨界壓力時，壓桿處于微彎狀態(tài)下的平衡考察微彎狀態(tài)下局部壓桿的平衡:M(x)=Fcr

w－M0FcrMFNM0Bwyxx二階常系數(shù)線性非齊次微分方程

微分方程的全解:邊界條件:w(0)=0,w(l)=0；q（0）=0，q（l）=0（n=0、1、2、3……）最小臨界力:9.2.3不同桿端約束下細(xì)長壓桿的臨界力

各種支承壓桿臨界力公式的統(tǒng)一形式：一端自由，一端固定

=2.0一端鉸支，一端固定

=0.7兩端固定

=0.5兩端鉸支

=1.0兩端固定，但可沿橫向相對移動

=1.0其中：

——長度系數(shù)例9-1圖示各桿材料和截面均相同，試問哪一根桿承受的壓力最大，哪一根的最??？aF(1)F1.3a(2)F(3)1.6a因為又（1）桿承受的壓力最小，最先失穩(wěn)；（3）桿承受的壓力最大，最穩(wěn)定。FaABa/2C解：故取例9-2已知：圖示壓桿EI，且桿在B

支承處不能轉(zhuǎn)動，求：臨界力例9-3由A3鋼加工成的工字型截面桿，兩端為柱形鉸。在xy

平面內(nèi)失穩(wěn)時，桿端約束情況接近于兩端鉸支，

z

=1，長度為l1。在xz

平面內(nèi)失穩(wěn)時，桿端約束情況接近于兩端固定

y

=0.5，長度為l2

。求Fcr。zy22126624解：在xy

平面內(nèi)失穩(wěn)時，z

為中性軸在xz

平面內(nèi)失穩(wěn)時，y為中性軸9.3歐拉公式的應(yīng)用范圍·臨界應(yīng)力總圖9.3.1臨界應(yīng)力與柔度壓桿橫截面上的應(yīng)力為各種支承情況下壓桿臨界力的歐拉公式——臨界應(yīng)力的歐拉公式——壓桿的柔度（長細(xì)比）柔度是影響壓桿承載能力的綜合指標(biāo)。

越大，相應(yīng)的

cr

越小，壓桿越容易失穩(wěn)?！獞T性半徑該方程是建立在材料服從虎克定律基礎(chǔ)上的利用了撓曲線近似微分方程令：當(dāng)時，，才能用歐拉公式計算壓桿的臨界力或臨界應(yīng)力。滿足的壓桿稱為細(xì)長桿或大柔度桿

9.3.2歐拉公式的適用范圍Q235鋼，經(jīng)驗公式壓桿稱為中柔度桿

直線型拋物線型a、b是與材料相關(guān)的常數(shù)壓桿稱為小柔度桿或短粗桿主要問題變?yōu)閺姸葐栴}，而非穩(wěn)定性問題！9.3.3臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力scr

與柔度l

之間的變化關(guān)系圖slpl歐拉公式直線型經(jīng)驗公式中柔度桿粗短桿大柔度桿例9-4圖示壓桿的E=70GPa，

p=175MPa。此壓桿是否適用歐拉公式，若能用，臨界力為多少。1.5mFyz10040解:

≥

P，此壓桿為大柔度桿，歐拉公式適用，臨界力為：例9-5圖示圓截面壓桿，d=100mm，E=200GPa，

P=200MPa。試求可用歐拉公式計算臨界力時桿的長度。lFd解:例9-6圖示立柱，L=6m，由兩根10號槽型A3鋼組成，下端固定，上端為球鉸支座，試問a=？時，立柱的臨界壓力最大值為多少？解：1、對于單個10號槽鋼，形心在

C1

點。兩根槽鋼圖示組合之后:a=4.32cm（z1）當(dāng)時最為合理：2、求臨界力：大柔度桿，由歐拉公式求臨界力。例9-7圖示矩形截面壓桿，其約束性質(zhì)為：在xz平面內(nèi)為兩端固定；在xy平面內(nèi)為一端固定，一端自由。已知材料的E=200GPa，

P=200MPa。試求此壓桿的臨界力。1mzy2060FzxO解:xy

平面內(nèi)xz

平面內(nèi)壓桿在xy

平面內(nèi)失穩(wěn)，z

為中性軸歐拉公式適用。xy

平面內(nèi)xz

平面內(nèi)壓桿臨界力為例9-8截面為圓形，直徑為d

兩端固定的細(xì)長壓桿和截面為正方形，邊長為d

兩端鉸支的細(xì)長壓桿，材料及柔度都相同，求兩桿的長度之比及臨界力之比。解：圓形截面桿：正方形截面桿：由

1=

2得例9-9AB，AC兩桿均為圓截面桿，其直徑D=0.08m，E=200GPa，

P=200MPa，容許應(yīng)力[

]=160MPa。由穩(wěn)定條件求此結(jié)構(gòu)的極限荷載Fmax600300ABCF4解：對A點，由平衡方程得AFFNABFNAC兩桿都可用歐拉公式AB

桿AC

桿由AB桿的穩(wěn)定條件，有取Fmax

=662由AB桿的穩(wěn)定條件，有9.4.1穩(wěn)定許用應(yīng)力

9.4實際壓桿的穩(wěn)定因數(shù)壓桿所能承受的極限應(yīng)力總是隨壓桿的柔度而改變，柔度越大，極限應(yīng)力值越低。在壓桿設(shè)計中，將壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力

[s]st

表示為材料的強度許用應(yīng)力

[s]乘以一個隨壓桿柔度l而改變的穩(wěn)定因數(shù)（折減系數(shù)）

j

=

j（l）壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力

[s]stnst

——穩(wěn)定安全系數(shù)9.4.2安全系數(shù)法壓桿的穩(wěn)定性條件：

或用上式校核壓桿的穩(wěn)定性稱為安全系數(shù)法例9-10一壓桿尺寸截面如圖，材料為A3鋼，承受的軸向壓力為F=120kN，穩(wěn)定安全系數(shù)nst

=2，校核壓桿的穩(wěn)定性。在xy

面內(nèi)失穩(wěn)時，壓桿兩端為鉸支，長度l=940mm。在xz

面內(nèi)失穩(wěn)時，壓桿近似兩端固定，長度l1=880mm。zyxb=25h=60在

xy

面內(nèi)失穩(wěn)，z

為中性軸解：(1)求柔度

在

xz

面內(nèi)失穩(wěn)，y

為中性軸桿在xz

面內(nèi)先失穩(wěn)，應(yīng)用

y

計算臨界力。（2）求臨界力，按安全系數(shù)法作穩(wěn)定校核因為

y<

p

，用經(jīng)驗公式計算臨界力壓桿是穩(wěn)定的A3鋼

p=123，拋物線型經(jīng)驗公式中，材料常數(shù)a=235MPa，b=0.00666MPa例9-11圖示立柱CD為外徑D=100mm，內(nèi)徑d=80mm的鋼管，高h(yuǎn)=3.5m，sp=200MPa，ss=240MPa，E=200GPa。設(shè)計要求的強度安全系數(shù)n

=2，穩(wěn)定安全系數(shù)nst

=3

。試求容許荷載[F]

的值。FBCAD解：1）由平衡條件可得

2）按強度條件確定[F]FBCAD3）按穩(wěn)定條件確定[F]立柱屬大柔度桿用歐拉公式計算FBCAD穩(wěn)定條件所以9.5壓桿的穩(wěn)定計算·壓桿的合理截面9.5.1壓桿的穩(wěn)定計算——折減系數(shù)法壓桿的穩(wěn)定性條件：或用上式校核壓桿的穩(wěn)定性稱為折減系數(shù)法例9-12圖示為型號22a

的工字鋼壓桿，材料A3鋼。已知壓力F=280kN，容許應(yīng)力[

]=160MPa，試校核壓桿的穩(wěn)定性。4.2mFyz解:由型鋼表查得22a

工字鋼的查表：插分：∴穩(wěn)定例9-12圖示支架，AC為圓木桿，直徑d=150mm，容許應(yīng)力[

]=10MPa。試確定容許荷載[F]。ABCF2m解:查表得：AF取結(jié)點A，根據(jù)平衡條件，得例9-13一端固定一端自由的工字型截面壓桿，材料為A3鋼，已知F=240kN

，l=1.5m，[]=140MPa

，試按穩(wěn)定性條件選擇工字鋼的型號。zy解：在折減系數(shù)法中，，要確定A，需要知道j，但在截面未定之前，無法確定柔度l，也無法確定j。因此采用試算法。試算法：先假定j（在0~1之間變化），由穩(wěn)定條件計算出面積A，然后由面積A及截面形狀計算柔度l，查出j，再根據(jù)A及查出的j值其是否滿足穩(wěn)定條件，如不滿足，再重新假定j值，重復(fù)上述過程，直到滿足穩(wěn)定條件為止。假定j

0=0.5選擇20a工字鋼20a工字鋼zy繞y

軸失穩(wěn)查表得假定的

j

0過大，假定j2

=（0.5+0.34）/2=0.42

選擇22a工字鋼22a工字鋼zy繞y

軸失穩(wěn)查表得故，選擇22a工字鋼例9-14廠房的鋼柱長7m，上，下兩端分別與基礎(chǔ)和梁連結(jié)。由于與梁連結(jié)的一端可發(fā)生側(cè)移，因此，根據(jù)柱頂和柱腳的連結(jié)剛度，鋼柱的長度系數(shù)μ=1.3。鋼柱由兩根3號鋼的槽鋼組成，符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范（GBJ17-88）中的實腹式b類截面中心受壓桿的要求。在柱頂和柱腳處用螺栓借助于連結(jié)板與基礎(chǔ)和梁連結(jié)，同一截面上最多有四個直徑為30mm的螺栓孔。鋼柱承受的軸向壓力為270kN，材料的強度許用應(yīng)力[

]=170MPa。試為鋼柱選擇槽鋼號碼。tzyh解：(1)先按穩(wěn)定條件選擇槽鋼型號假設(shè)

0=0.5每根槽鋼的截面面積為查表，選擇14a號槽鋼單根14a槽鋼組合截面

iz