數(shù)學(xué)蘇教版必修4導(dǎo)學(xué)案2.1向量的概念及表示

2.1向量的概念及表示學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)1．了解向量的實(shí)際背景，理解向量的幾何表示．2．記住平面向量的相關(guān)概念．3．理解兩個(gè)向量相等及共線的含義.重點(diǎn)：向量的幾何表示及向量的有關(guān)概念．難點(diǎn)：兩個(gè)向量相等及共線的含義.1．向量的概念及其表示(1)向量的定義既有大小又有方向的量稱為向量．(2)向量的表示方法(3)向量的長(zhǎng)度(模)向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小稱為向量的長(zhǎng)度(或稱為模)，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.預(yù)習(xí)交流1有向線段是向量嗎？提示：有向線段不是向量，它只是向量的一種表現(xiàn)形式．2．特殊向量及其表示(1)零向量：長(zhǎng)度為0的向量稱為零向量，記作0.(2)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量．3．向量間的關(guān)系相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量相反向量定義與向量a長(zhǎng)度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，記作－a規(guī)定0的相反向量是0結(jié)論對(duì)任一向量a有－(－a)＝a向量的平行或共線定義方向相同或相反的非零向量叫做平行向量表示法向量a，b平行，記作a∥b規(guī)定零向量與任一向量平行預(yù)習(xí)交流2(1)相等向量一定是共線向量嗎？提示：是．由共線向量與相等向量的概念知，共線向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共線向量．(2)向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)必共線，正確嗎？提示：不正確．共線向量還可以指表示向量的有向線段所在的直線平行，故A，B，C，D四點(diǎn)不一定共線．一、向量的有關(guān)概念判斷下列命題的正誤：(1)若a＝b，b＝c，則a＝c.(2)若a∥b，b∥c，則a∥c.(3)若四邊形ABCD是平行四邊形，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；反之，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則A，B，C，D四點(diǎn)必能組成平行四邊形．思路分析：解答有關(guān)向量概念的題目，其關(guān)鍵是理解向量的大小和方向及向量的相關(guān)概念．解：(1)正確，相等向量具有傳遞性；(2)不正確，若b＝0，則不共線的向量a，c也有a∥0，0∥c；(3)不正確，結(jié)合平行四邊形的定義可知：四邊形ABCD是平行四邊形，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；反之不成立，因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)可能共線．給出以下5個(gè)條件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a與b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a與b都是單位向量．其中能使a與b共線的是__________(填序號(hào))．答案：①③④解析：根據(jù)相等向量一定是共線向量知①正確；|a|＝|b|但方向可以任意，∴②不正確；a與b反向必平行或重合，∴③正確；由|a|＝0或|b|＝0，得a＝0或b＝0.根據(jù)0與任何向量共線，得④正確；兩單位向量的模相等但方向不一定相同，∴⑤不正確．(1)向量是數(shù)與形的完美結(jié)合體，因此在判斷與向量有關(guān)的命題時(shí)，既要立足向量的數(shù)(即模的大小)，又要考慮其形(即方向性)．(2)相等向量具有傳遞性，但共線(平行)向量不具有傳遞性．(3)注意向量與數(shù)量的區(qū)別，兩者最大的差異在于前者具有方向性．后者可以比較大小，但向量一般不比較大?。⑾蛄康谋硎痉椒ㄔ谝淮诬娛卵萘?xí)中，紅方一支裝甲分隊(duì)為完成對(duì)藍(lán)軍的穿插包圍，先從A處出發(fā)向西迂回了100km到達(dá)B地，然后又改變方向向北偏西40°走了200km到達(dá)C地，最后又改變方向，向東突進(jìn)100km到達(dá)D處，完成了對(duì)藍(lán)軍的包圍．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)求出|eq\o(AD,\s\up6(→))|.思路分析：作圖時(shí)既要考慮向量的大小，又要考慮其方向及起點(diǎn)，可建立平面直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)系中作圖求解．解：(1)向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))如圖所示．(2)由題意，易知eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))方向相反，故eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，∴在四邊形ABCD中，ABCD.∴四邊形ABCD為平行四邊形．∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)).∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝200km.在如圖的方格紙中，按要求畫出向量．(1)|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝3，點(diǎn)A在點(diǎn)O正西方向；(2)|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝3eq\r(2)，點(diǎn)B在點(diǎn)O北偏西45°方向．解：取每個(gè)方格的單位長(zhǎng)為1，依題意，結(jié)合向量的表示可知，相應(yīng)各題的向量如圖所示．向量的畫法及表示方法(1)向量的畫法：先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，最后根據(jù)向量的長(zhǎng)度確定向量的終點(diǎn)．(2)向量的表示方法：向量的表示方法有幾何表示和字母表示．用幾何研究向量運(yùn)算，為用向量處理幾何問題打下了基礎(chǔ)，字母表示便于向量的運(yùn)算．三、共線向量與相等向量如圖所示，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形．(1)用有向線段表示與向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量；(2)用有向線段表示與向量eq\o(AB,\s\up6(→))共線的向量；(3)若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，求向量eq\o(DE,\s\up6(→))的模．思路分析：本題可依據(jù)相等向量與共線向量的定義求解．尋找相等向量時(shí)要從大小和方向兩個(gè)方面來考慮，尋找共線向量只考慮方向即可，兩向量方向相同或相反就是共線向量．解：(1)與向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量是eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))；(2)與向量eq\o(AB,\s\up6(→))共線的向量是eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))；(3)∵Deq\o(E,\s\up6(→))＝－Aeq\o(B,\s\up6(→))，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，∴|eq\o(DE,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3.如圖所示，四邊形ABCD為平行四邊形．(1)與eq\o(OA,\s\up6(→))的模相等的向量有多少個(gè)？(2)與eq\o(OA,\s\up6(→))的模相等，方向相反的向量有哪些？(3)分別寫出與eq\o(OA,\s\up6(→))共線，與eq\o(AB,\s\up6(→))共線的向量．解：(1)3個(gè)，分別是eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→)).(2)eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→)).(3)與eq\o(OA,\s\up6(→))共線的向量有eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→)).與eq\o(AB,\s\up6(→))共線的向量有eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→)).(1)注意相等向量與共線向量的聯(lián)系與區(qū)別，相等向量一定是共線向量，而共線向量不一定是相等向量．(2)用有向線段表示向量是數(shù)形結(jié)合思想的具體運(yùn)用，利用圖形的直觀性，向量之間的關(guān)系(共線向量、相等向量等)可通過圖形的幾何特征得到．1．下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④加速度；⑤路程；⑥力；⑦密度；⑧功．其中不是向量的是__________(填序號(hào))．答案：①⑤⑦⑧解析：利用向量的定義判斷．2．下列說法錯(cuò)誤的是__________(填序號(hào))．①向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))模相等；②兩個(gè)相等向量若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)必相同；③只有零向量的模等于0；④零向量沒有方向．答案：④解析：零向量的方向是任意的．3．若a＝b，且|a|＝0，則b＝__________.答案：0解析：由兩向量相等可得．4．下圖中，小正方形的邊長(zhǎng)為1，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝__________；|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝__________；|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝__________.答案：3eq\r(2)eq\r(26)2eq\r(2)解析：根據(jù)勾股定理可得|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3eq\r(2)；|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(26)；|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝2eq\r(2).5．在下圖的坐標(biāo)紙上，按要求畫出向量(每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為