第08講 最值與范圍問題（解析幾何）（解析版）

第08講最值與范圍問題知識與方法解決圓錐曲線中的最值與范圍問題，一般有兩類方法:一是幾何法,若題目的條件和結(jié)論有明顯的幾何特征，可考慮利用圓錐曲線的定義和平面圖形的有關(guān)性質(zhì)來求解;二是代數(shù)法,先根據(jù)條件列出目標函數(shù),然后根據(jù)函數(shù)表達式的特征選用適當?shù)姆椒ㄇ蟪鲎钪祷蛑涤?下面是常見的求函數(shù)值域的方法:(1)基本不等式法;(2)導(dǎo)數(shù)法;(3)判別式法;(4)換元法;(5)配方法;(6)三角函數(shù)有界性;(7)函數(shù)單調(diào)性.典型例題類型1：兩點間距離的最值【例1】在平面直角坐標系xOy中,點A(?1,0),點P是橢圓x24+y【答案】6【解析】設(shè)點P的坐標為(x,y∴|PA當x=?43時,|PA|取最小值6因此,|PA|的最大值與最小值的積為故答案為:6.【注】將距離問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,特別要注意x∈[?2,2]類型2：點到直線距離的最值【例2】已知橢圓x225+y2【答案】(?4,3)【分析】作出直線l及橢圓.觀察圖形,可以發(fā)現(xiàn),利用平行于直線l且與橢圓只有一個交點的直線,可以求得相應(yīng)的最小距離.【解析】解法1:由直線l的方程與橢圓的方程可以知道,直線l與橢圓不相交.設(shè)直線m平行于直線l,則直線m的方程可以寫成4x由方程組40令方程(2)的根的判別式Δ=0,得25x解方程(3)得k1=25,或k2=?25.由圖可知,當k=25時，直線m與橢圓的交點到直線l的距離最近,此時直線m的方程為4x?5

方程(2)即

故橢圓上的點(?4,3)到直線的距離最小,且最小值為1541解法2:設(shè)橢圓上任意一點為P(5cos?θ,3sin?θ)d當cos?(θ+φ)=?1即此時cos?θ=?cos?φ【注】本題解法一利用數(shù)形結(jié)合，將直線平移至與橢圓相切的位置，則兩平行線間的距離就是橢圓上的點到直線l的距離的最大值或最小值.解法二則利用橢圓的參數(shù)方程設(shè)點,將點到直線的距離用三角函數(shù)表示,結(jié)合輔助角公式求得最小值,體現(xiàn)了“最值問題，函數(shù)思想”.類型3：距離之和（差）的最值（化折為直）【例3】以橢圓x212+y23=1【答案】(?5,4),橢圓方程為x【解析】解法1:如圖所示,橢圓x212+y23=1的焦點為F1(?3,0),F2(3,0).點F1關(guān)于直線l:x?y+9=0的對稱點∴a=35因此,所求橢圓的方程為x2解法2:設(shè)橢圓為x2a2+y2由題設(shè)Δ=a4?54故amin=35,得(2解法3:設(shè)橢圓x2a2+y則acos?α?∵2a∴故amin=35,得(2【注】本題從幾何、代數(shù)和三角三個角度進行求解.解法1是按照橢圓的定義，問題轉(zhuǎn)化為在已知直線上找一點,使該點到直線同側(cè)的兩已知點（即兩焦點）的距離之和最小，利用對稱的知識就可解決;解法2聯(lián)立直線與橢圓方程,利用判別式大于或等于0來求解;解法3則利用了三角函數(shù)的有界性.【例4】(1)如果M是以A、B為焦點的橢圓x24+y23=1上任一點,若點M(2)如果M是以A、B為焦點的橢圓x24+y23=1上任一點,若點M【答案】(1)52;【解析】(1)∥MC|?|MB∥?|BC則當M與D重合時,m取得最大值52(2)A(?1,0),C1|由||MA|?|MC∥?|所以4?13當且僅當A、M、故n∈【注】本題利用了三角形任意兩邊之差小于第三邊,需要注意的是等號能否取到.類型4：距離之積的最值問題（投影轉(zhuǎn)化)【例5】已知圓C:(x?1)2+(y?1)2=2,橢圓Γ:x22+y2=1,過原點O【答案】2【解析】解法1:投影轉(zhuǎn)化+輔助角公式如圖所示,延長OC與⊙C交于點P,則P(2,2),設(shè)連結(jié)PM,因為OP是⊙C的直徑,所以PM結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義（投影）可得|注意到x022+y02=1,令x0=2cos?解法2:柯西不等式由柯西不等式得x0所以x0+y故|OM|?|ON類型5：與角度有關(guān)的最值問題【例6】M,N分別是橢圓x24+y22=1【答案】π【解析】設(shè)點P22,y0y0>0,直線∵M(?2,0),k于是tan?∠∵∠即∠MPN的最大值為π【注】有關(guān)角度的問題，往往要轉(zhuǎn)化為直線斜率與點的坐標，或者轉(zhuǎn)化為向量夾角利用向量數(shù)量積進行處理.本題背景為米勒問題.類型6：與三角形（四邊形）面積有關(guān)的最值問題【例7】已知拋物線C:(1)當點P的坐標為(2,1)時,若直線AB過拋物線焦點F且斜率為1,求直線AP,(2)若△ABP為以P為頂點的等腰直角三角形,求△【答案】(1)12;【解析】（1）直線AB方程:y=x+1聯(lián)立方程x2=4∴(2)設(shè)Ax1,y1,Bx2直線BP方程:y?t2聯(lián)立方程y

所以

同理可得:|AP由|AP|=|BP|得t=k3?1解法1:S當且僅當k=1時取等號,所以△解法2:S令k+1k=x?2,則f(【例8】已知敉圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為1(1)求橢圓C的方程;(2)若斜率為k（其中k≠0）的直線l過點F,且與橢圓交于點A、B兩點,弦AB的中點為M,直線OM與橢圓交于點C、D【答案】(1)

【解析】（1）由

∴(2)由x24+y2∴Δ=144k∴|M由x24+y23=1∴=∴∴S的取值范圍為(6,4類型7：與定點有關(guān)的最值問題【例9】已知拋物線C:y2=x上一點M(1,?1),點A,B是拋物線【答案】見解析【解析】設(shè)Ax1,y1聯(lián)立x=my+ny2MA

又

所以MA?MB=

所以

情形一：若

則AB直線為x=m(y+1)+1,過定點(1,?1)

情形二:若

距離的最大值是5.類型8:與定值有關(guān)的最值問題【例10】設(shè)P的為橢圓x24+y2=1上一點,A,B分別為橢圓的右頂點與上頂點,直線PA與y軸交于點M,直線【答案】2.【解析】設(shè)Px0,當x0≠0時,直線PA的方程為

直線

所以

當

綜上,得

所以

當且僅當

【注】本題實際上考查了

類型9：與向量定比分點有關(guān)的范圍和最值問題【例11】且

cos?∠（1）求動點

P(2)若已知D(0,3),M,N在動點P的軌跡上且【答案】見解析【解析】（1）由題意

cos?∠∴當且僅當

此時

解得

(2)設(shè)N故x=λs,y∴

消去

又

故λ的取值范圍是15類型10：與對稱有關(guān)的最值與范圍問題【例12】已知橢圓C:x24+y23=1【答案】見解析【解析】解法1:

設(shè)∵由方程組y=?14x∴即點

解得

n

將式②∵A,解得?2解法2:設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2是橢圓上關(guān)于兩式相減得3x即3?2x0又∵直線AB⊥l,∴kAB又M點在直線l上,