行列式的多種計(jì)算方法

例文一：行列式的計(jì)算方法介紹7種常用方法三角化方法：通過行列初等變換將行列式化為三角型行列式.例1計(jì)算n+1階行列式xaxaa12axaD=i2n+1??aaai23ananx把某一行（列）盡可能化為零例2計(jì)算：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2+x 2 2 2\o"CurrentDocument"2 2-x 2 2D=\o"CurrentDocument"4 2 2 2+y 22 2 2 2—y遞歸法（數(shù)學(xué)歸納法）：設(shè)法找出Dn和低n級行列式間的關(guān)系，然后進(jìn)行遞歸.

例4證明：a+卩a卩0…001a+卩a卩…00an+i_BD=01a+B…00n???aB000…1a+卩例5證明范德蒙行列式（蟲2）111…1xxx?…xi23nV=x2x2x2?…x2=n(_x)n123nij???1<i<j<nxn_1xn_1xn_1?…xn_1123n4加邊法：對行列式Dn添上一適當(dāng)行和列構(gòu)成行列式Dn+1,且Dn+1=Dn例6證明：1+a1111+a211…1…111n1D=111+a…11=aa??a(1+E )n312n a???i=i111…11+an

拆分法：將行列式表為行列式的和的方法.即如果行列式的某行（或列）元素均為兩項(xiàng)和，則可拆分為兩個行列式之和例7設(shè)abcd=1,求證：a2a2+b2+c2+d2+~a^21b21c21d2ab

c

d利用行列式的乘積：為求一個行列式D的值，有時可再乘上一個適當(dāng)?shù)男辛惺紸；或把D拆分為兩個行列式的積ab

c

d例8（1）cos(x—a)12cos(a—a)1 3cos(cos(x—a)12cos(a—a)1 3cos(a—a)121cos(a—a)233 1 ncos(a—a)…cos(a—a)3 2 n1 …cos(a—a)cos(a—a)1cos(a—a)1ncos(a—a)2ncos(a—a)… 11n(2)設(shè)S1=kjk+k$+???+kk(k=1,2^)，求證:k1 2 nnssnss12sss123sss234???sssn—1nn+1sn-lsnsn+1=n(九—九)2ij1<i<j<n利用拉普拉斯定理求行列式的值.拉普拉斯定理是行列式按某一行(或列)展開定理的推廣.定義(1)在n階行列式D中，任取k行k列(1<k<n),位于這k行k列交叉處的k2個元素按原來的相對位置組成的k階行列式S,稱為D的一個k階子式.如：126447012584D=157316則D的一個2階子式為：S=28

在一個n階行列式中，任取k行，由此產(chǎn)生的k階子式有ck個.(2)設(shè)S為D的一個k階子式，劃去S所在的k行k列，余下的元素按原來的相對位置組成的n-k階行列式M稱為S的余子式.又設(shè)S的各行位于D中的第i1,i2^ik行，S的各列位于D中的第)禺??以列，稱A=(-1)(i1+i2+???+ik)+(j1+j2+???+jk)M.如：14廠）14廠）212 67 05 85 7414316則D的一個2階子式為：S=287 1M=53為S的2階子式7 1M=(-1)(1+3)+(1+3)53為S的代數(shù)余子式.

拉普拉斯定理:若在行列式D中任取k行(1<k<n-1),貝U由這k行所對應(yīng)的所有k階子式與它們的代數(shù)余子式的乘積等于D.例9計(jì)算21001210D=01210012000100012例10塊三角行列式的計(jì)算設(shè)：(B0、(.B*、A=mmA=mm*VC丿或V0C丿nxn nxn則：detA=(detB)(detC)?特別地：若A=diag(A1,A2,^,At),MDetA=(detA1)(detA2)…(detAt).1 2 t例11例11設(shè)分塊矩陣A二其中0為零陣，B和D可逆，求A-1.例12計(jì)算D二ai1=0a ?…20 ?…1 …???an000b1b200…1bn例13設(shè)：/B、A=<C丿,BCT=0.證明：|AAt|=|BBt||CCt|.例文2：行列式的多種計(jì)算方法行列式是線性代數(shù)的一個重要組成部分，行列式的計(jì)算方法多種多樣，常見的幾種行列式的方法有：定義法、三角化法、降階法、升階法、遞推法、歸納法、利用范德蒙德行列式法、變換元素法、拆項(xiàng)法、分解乘積法等，可根據(jù)行列式選擇相應(yīng)的計(jì)算方法，從而減輕計(jì)算量.定義法：n階行列式等于所有取自不同列的n個元素的乘積的代數(shù)和．

010…0002…0例1:D=::::n000…n—1n00…0nxn解：在n!項(xiàng)中只有一項(xiàng)aaa…aa 不為零，且兀(2,3—n,a)二n-1122334 n-1nnn+1/.D二(—1)n-iaa…aa二(—1)n-11-2???n—1-n二(—1)n-1-n!n 1223 n-1nnn+1三角化法：通過變換將行列式變換成三角行列式，再利用形式求出行列式的值.2.1特殊行列式九0…0九0…*九0…01110九...00九...00九…0=九九…九⑴?222??????1 2 n—00…九00…九*0…九nnxnnnxnnnxn對角行列式上三角行列式下三角行列式0…0九0…0九0…0九1110...九00...九00...九0n(n—1)八八 ‘⑵.222=(—1)2九九…九::::::::12九…0九九…00九…00nnnxnnnxnnnxn次對角行列式次上三角行列式次下三角行列式2.2箭形行列式1112例2D=10n100…n解：D_n解：D_nj=2,3，…n1丄1nxn11…120…003…0=n!(1—丫1)nxn2.3可化為箭形的行列式=H(x=H(xi-1x1a1a1a2x2a2a3a3x3?…an… an?… anx豐a,i=1,2,…，ni iaaa?…x123nnXnxaa… a123na—xx—a0…01122r-r='a—x0x—a…0n-1133i=2,—n???a—x00…x—a[1nnxaaa 1—2 3-—— .?? n-解：Di-1x2x-a1x-a303D=n-a12x—an0ni=1-1(xia—k x(xia—k x-ak=10k ka2x—a212a n x-ak0k=(1x—ak=1 kk)H(x—a)iii=1展開的性質(zhì)，將高階行列降階法降階法是利用行列式按其行(列)式轉(zhuǎn)化為低階行列式進(jìn)行計(jì)算展開的性質(zhì)，將高階行列例4ab0?00ab?00b0?000ab?000a?000b?00D=?::::按第一列=a00?ab+(—1)n+1b::::000?ab展開????00?b0b00?0a00?0a00?ab+an+(—1)n+1bn= (—1)n—1(n+1)!2升階法將原行列式增加一行一列，而保持原行列式值不變或與原行列式有某種巧妙的關(guān)系，且便于后面的計(jì)算

nxnnxnx-ax-a0=(1+-n^)-(x-a)n-1x-a1aa…a1aa… a0xa…a-1x-a0…00ax…ar一r,r一r…r-r-10x-a…0:::2 13 1 n1:::0aa?…x-100…x-aax當(dāng)x豐a時Dnanax-ax一anxn5遞推法：利用行列式的性質(zhì)，找出所求行列式與其相應(yīng)的n-1,n-2,…階行列式之間的遞推關(guān)系，再根據(jù)次遞推關(guān)系式求出所給行列式的值例6xaa…x…xaa…x…aaaax0axaaD=n::::=0axaa…xa:::aa…ax0aaxnxa…aaax…aa+:::??—.(x-a)Dn-1+aa…xaaa…aanxn=(x-a)Dn-1+a(x-a)n-1由此,得遞推公式:Dn(x-a)Dn-1+由此遞推下去,得:…0+axa…a0…0+aax…a0…0+a .::::aa…x0…x一a+aaa…ax一anxnnxnx一a0?…0a0x-a…0a00?…x-aa00?…0anxna(x-a)n-1D=(x-a)[(x-a)D +a(x-a)n-2]+a(x-a)n-in n-2=（x一a）n-1D+（n一1）a（x一a）n-11=（x-a）n-i[x+（n-1）a]6數(shù)學(xué)歸納法：先利用不完全歸納法尋找行列式之間的規(guī)律，得出一般性結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，從而得出所給行列式的值例7D=n=a(1+—)1D=2=D=2=a1于是可猜測D=aa…an 1 2（1+昱丄）ai=1 i（1+工丄）（n>1）下面證明這一猜測是正確的.假ai=1 i設(shè)對n-啲情形猜測正確，即設(shè)對n-啲情形猜測正確，即D=aa…a（a+D=n1+a1111…11+ai21???1111??1a00…010a0…02—...:+aD:???n-1111…1=aa…a+aD12 n-1 nn-1于是又歸納假設(shè)得：n-112n-1ai=1 i1+a11…1111+a1…12+::::000…anD=aan12aD=aan12an-1+aaa…an12 n-1=aaa12i=1i…a(1+ —)nai=1i故對一切自然數(shù)n猜得正確，即D=aa…a(1+工1),n>1n12n ai=1i

7利用范德蒙行列式的結(jié)果計(jì)算：是將原行列式利用性質(zhì)化成范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的結(jié)果計(jì)算出原行列式例8D=n1x11x21x3?1xnn階范德蒙行列式為xn—2xn—2xn—2?xn—2123nxnxnxn?xn123n111?1aaa?a123na2a2a2?a2=1(a—a)123nji????1<i<j<nan—1an—1an—1?an—1123n解構(gòu)造n+1階范德蒙行列式x1x2x3?xnxxn—2xn—2xn—2?…xn—2xn—2123nxn—1xn—1xn—1? xn—1xn—1123nxnxnxn?xnxn123n(n+1)x(n+1)=A+xA?xn—2A+xn—1A1,n+12,n+1n—2,n+1n,n+1(x—x)(x—x)??(x—x)-1(—x)12nij11111f(x)二+xnAn+l,n+11<j<i<nD二M =-A 由f(x)的表達(dá)式知，xn-1的系數(shù)為n n,n+1 n,n+1A=—(x+x+…?+x)11(x—x)n,n+1 12 n ij1<j<i<n/.D=(x+x+??+x)11(x—x)n1 2 n ij1<j<i<n8拆項(xiàng)法：當(dāng)行列式中的元素有兩數(shù)相加時將原行列式拆成n個簡單的a1na1nanna11例9設(shè)D=:an1

a+xa+x…a+x1111221nna+xa+x…a+xD-2112222nnn::：??a+xa+x…a+xn11n22nnn解aa+x…a+xxa+x?…a+x111221nn11221nnaa+x…a+xxa+x….a+xD-212222nn+.12222nn?????n??????aa+x…a+xxa+x?…a+xn1n22nnn1n22nnnaa+xa+x111221nnaa+xa+x—212222nn+x乙A::1i1i—1aa+xa+xn1n22nnn=…=D+=…=D+x工Ani=1in+???+xA1i=1i1工x工Aj ijj=1 i=19變換元素法：變換所給行列式中元素的形式，再利用已知行列式的結(jié)果，最終得例102 1—a?…1—aD—1—a2?…1—an:::1—a1—a…2解令x=1-a，由（拆項(xiàng)法例題結(jié)果）知…? 0+1—a1+a 0 …0…? 0+1—a0 1+a…0…? 1+a+1—a0 0 …1+a1+a+1—a0+1—a0+1—a+(1—a聲nAiji=1j=1因?yàn)锳ij(1—a)"一11-j...D=(1+a)n—1[(n+1)+a(1—n)]0i豐因?yàn)锳ij10分解乘積法：根據(jù)所給行列式的特點(diǎn)利用行列式的乘法公式，把所給行列式分解成兩個易求解的行列式之積，通過對這兩個行列式的計(jì)算，從而得到所給行列式之值例11

a+ba+b…a+bi1121na+ba+b…a+bD=n21222na+ba+b…a+bn1n2nnnxna110…0111…11a10…0bb…b0n>3223n解D=a10…0-00…0=<a+bn=1n311::::::::(a-a)(b-b)n=21221an10…0000…0例題例1計(jì)算行列式D=n例1計(jì)算行列式D=n02(-10I3102—J2￡§￡p4|l2J\41123?-3-11ri0-1一10-5-91123心）0110-3-110-5 -9一;-4-10-10123412341—011401140一3-11-1400—8-20-5-9-1000-4LU0 -8-2=-lxlx(~8)xll=880(?1131-12例…算-;「7I-5 3-3解D二一10解D二一102-513-313-12021-]0-84016-2713-12021-1008-100005/2二40,"一口q+5兒02]-1016-2713-]202]-]00S-1000-10153 111例#汁算D—|例#汁算D—|13 1'1I3解注意到行列式中各行（列）4個數(shù)之和都