北京第九十五中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

北京第九十五中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知y=f(x)是偶函數(shù)，而y=f(x+1)是奇函數(shù)，且對(duì)任意，都有，則的大小關(guān)系是（

）A.c<b<a

B.c<a<b

D.a<c<b

D.a<b<c參考答案：B2.下列函數(shù)中，有反函數(shù)的是（

）A．

B．

C．D．

參考答案：B略3.已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，，f(x)與x軸恰有一個(gè)交點(diǎn)，則的最小值為()

A.2

B.

C.3

D.參考答案：A略4.設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的和為A．0

B．2

C．2

D．4參考答案：C5.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A．B．C．D．參考答案：D略6.若集合，且，則集合可能是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A因?yàn)?，所?又因?yàn)榧希约峡赡苁?選A7.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，并且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.

B.C.

D.參考答案：D，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.由恒成立，則，，解得，故選D.8.關(guān)于直線與平面，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若直線平行于平面，則平行于內(nèi)的任意一條直線B．若直線與平面相交，則不平行于內(nèi)的任意一條直線C．若直線不垂直于平面，則不垂直于內(nèi)的任意一條直線D．若直線不垂直于平面，則過(guò)的平面不垂直于參考答案：B對(duì)于，若直線平行于平面，則與內(nèi)的任意一條直線平行或異面，錯(cuò)；對(duì)于，若直線與平面相交，則不平行于內(nèi)的任意一條直線，正確；對(duì)于，若直線不垂直于平面，則可垂直于內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，錯(cuò)；對(duì)于，若直線不垂直于平面，則過(guò)的平面可垂直于，錯(cuò)，故選B.

9.集合，，則下列結(jié)論正確的是(

)A．

B．C．

D．參考答案：D10.設(shè)是定義在R上的函數(shù)，都有，且當(dāng)時(shí)，,若函數(shù)在區(qū)間（-1,2014]內(nèi)恰有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知||＝3，||＝，⊥，點(diǎn)R在∠POQ內(nèi)，且∠POR＝30°，＝m＋n(m，n∈R)，則等于_____________．參考答案：1略12.已知θ∈（0，π），且sin（θ﹣）=，則tan2θ=

．參考答案：﹣考點(diǎn)：二倍角的正切；兩角和與差的正弦函數(shù)．專題：三角函數(shù)的求值．分析：依題意，可得sinθ﹣cosθ=①，sinθ+cosθ=②，聯(lián)立①②得：sinθ=，cosθ=，于是可得cos2θ、sin2θ的值，從而可得答案．解答： 解：∵sin（θ﹣）=（sinθ﹣cosθ）=，∴sinθ﹣cosθ=，①∴1﹣2sinθcosθ=，2sinθcosθ=＞0，依題意知，θ∈（0，），又（sinθ+cosθ）2=1+sin2θ=，∴sinθ+cosθ=，②聯(lián)立①②得：sinθ=，cosθ=，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣，∴tan2θ==﹣．故答案為：﹣．點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系式的應(yīng)用，考查二倍角的正弦、余弦與正切，屬于中檔題．13.已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10=8，則a100=．參考答案：98【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出a100．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10=8，∴，解得a1=﹣1，d=1，∴a100=a1+99d=﹣1+99=98．故答案為：98．14.一位同學(xué)種了甲、乙兩種樹苗各一株，分別觀察了9次、10次得到樹苗的高度數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖（單位：厘米），則甲乙兩種樹苗高度的數(shù)據(jù)中位數(shù)和是

參考答案：52略15.橢圓的離心率是，則橢圓兩準(zhǔn)線間的距離為

。參考答案：16.設(shè)集合A=,函數(shù)，若,且,則的取值范圍是_________．參考答案：17.非零向量，夾角為，且，則的取值范圍為

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（13分）已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=，Tn為{bn}的前n項(xiàng)和，求T2n．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（I）等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．可得a3=a4﹣2a2，a2q=a2（q2﹣2），解得q．進(jìn)而得出a1，可得an．（II）n為奇數(shù)時(shí)，bn===．n為偶數(shù)時(shí)，bn=．分組求和，利用“裂項(xiàng)求和”方法可得奇數(shù)項(xiàng)之和；利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式可得偶數(shù)項(xiàng)之和．【解答】解：（I）∵等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．∴a3=a4﹣2a2，可得a2q=a2（q2﹣2），∴q2﹣q﹣2=0，解得q=2．∴a1+a2=2a2﹣2，即a1=a2﹣2=2a1﹣2，解得a1=2．∴an=2n．（II）n為奇數(shù)時(shí)，bn===．n為偶數(shù)時(shí)，bn=．∴T2n=++…+++…+=++…+=++…+．設(shè)A=+…+，則A=+…++，∴A=+…+﹣=﹣，∴A=﹣．∴T2n=+﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、分類討論方法、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19.（本小題滿分14分）已知函數(shù)的定義域?yàn)镮，導(dǎo)數(shù)滿足且，常數(shù)為方程的實(shí)數(shù)根，常數(shù)為方程的實(shí)數(shù)根．（1）若對(duì)任意，存在，使等式

成立．求證：方程不存在異于的實(shí)數(shù)根；（2）求證：當(dāng)時(shí)，總有成立；（3）對(duì)任意，若滿足，求證：．參考答案：證明：（1）假設(shè)方程有異于的實(shí)根m，即，

則有成立．

因?yàn)椋员赜?，這與矛盾，因此方程不存在異于的實(shí)數(shù)根．

（2）令，

∴函數(shù)為減函數(shù)．又，∴當(dāng)時(shí)，，即成立．

（3）不妨設(shè)，

為增函數(shù)，即．

又，∴函數(shù)為減函數(shù)，即．

．

即．

，

．20.某地區(qū)進(jìn)行疾病普查，為此要檢驗(yàn)每一人的血液，如果當(dāng)?shù)赜蠳人，若逐個(gè)檢驗(yàn)就需要檢驗(yàn)N次，為了減少檢驗(yàn)的工作量，我們把受檢驗(yàn)者分組，假設(shè)每組有k個(gè)人，把這個(gè)k個(gè)人的血液混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這k個(gè)人的血液全為陰性，因而這k個(gè)人只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果為陽(yáng)性，為了明確這個(gè)k個(gè)人中究竟是哪幾個(gè)人為陽(yáng)性，就要對(duì)這k個(gè)人再逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，這時(shí)k個(gè)人的檢驗(yàn)次數(shù)為k+1次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的人群中，每個(gè)人的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性是獨(dú)立的，且每個(gè)人是陽(yáng)性結(jié)果的概率為p.（Ⅰ）為熟悉檢驗(yàn)流程，先對(duì)3個(gè)人進(jìn)行逐個(gè)檢驗(yàn)，若，求3人中恰好有1人檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的概率；（Ⅱ）設(shè)為k個(gè)人一組混合檢驗(yàn)時(shí)每個(gè)人的血需要檢驗(yàn)的次數(shù).①當(dāng)，時(shí)，求的分布列；②是運(yùn)用統(tǒng)計(jì)概率的相關(guān)知識(shí)，求當(dāng)k和p滿足什么關(guān)系時(shí)，用分組的辦法能減少檢驗(yàn)次數(shù).參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）①見解析，②當(dāng)時(shí)，用分組的辦法能減少檢驗(yàn)次數(shù).【分析】（Ⅰ）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式得結(jié)果;（Ⅱ）①先確定隨機(jī)變量，再分別計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，列表可得分布列，②先求數(shù)學(xué)期望，再根據(jù)條件列不等式，解得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）對(duì)3人進(jìn)行檢驗(yàn)，且檢驗(yàn)結(jié)果是獨(dú)立的，設(shè)事件：3人中恰有1人檢測(cè)結(jié)果陽(yáng)性，則其概率

（Ⅱ）①當(dāng)，時(shí)，則5人一組混合檢驗(yàn)結(jié)果為陰性的概率為，每人所檢驗(yàn)的次數(shù)為次，若混合檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，則其概率為，則每人所檢驗(yàn)的次數(shù)為次，故的分布列為

②分組時(shí)，每人檢驗(yàn)次數(shù)的期望如下∴不分組時(shí)，每人檢驗(yàn)次數(shù)為1次，要使分組辦法能減少檢驗(yàn)次數(shù)，需即所以當(dāng)時(shí)，用分組的辦法能減少檢驗(yàn)次數(shù).【點(diǎn)睛】求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“寫分布列”，第四步是“求期望值”.21.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的圖象與直線圍成的區(qū)域的面積；（2）若的最小值為，求的值.參考答案：解：（1）當(dāng)時(shí)，的圖象與直線圍成區(qū)域的面積為；（2）當(dāng)，即時(shí)，，所以，當(dāng)，即時(shí)，，所以，所以或.22.如圖所示，有一塊邊長(zhǎng)為的正方形區(qū)域，在點(diǎn)處有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的探照燈，其照射角始終為弧度（其中點(diǎn)分別在邊上運(yùn)動(dòng)），設(shè)，。（1）試用表示出的長(zhǎng)度，并探求的周長(zhǎng)；（2）求