人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第三章圓錐曲線的方程-經(jīng)典例題及配套練習(xí)題含答案解析

第三章圓錐曲線的方程3.1橢圓 13.2雙曲線 203.3拋物線 373.1橢圓3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程例1已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-2,0)，(2,0)，并且經(jīng)過點(diǎn)52解：由于橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2由橢圓的定義知c=2，2a=5所以a=10所以b2所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2例2如圖3.1-5，在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足．當(dāng)點(diǎn)P圖3.1-5分析：點(diǎn)P在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)．我們可以由M為線段PD的中點(diǎn)得到點(diǎn)M與點(diǎn)P解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為x0,y0，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為x0,0x=x0，因?yàn)辄c(diǎn)Px0,x02把x0=x，y0x2即x2所以點(diǎn)M的軌跡是橢圓．例3如圖3.1-6，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-5,0)，(5,0)．直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是-49，求點(diǎn)圖3.1-6分析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)，那么直線AM，BM的斜率就可用含x，y的關(guān)系式分別表示．由直線AM，BM的斜率之積是-49，可得出x，y之間的關(guān)系式，進(jìn)而得到點(diǎn)解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)，因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是(-5,0)，所以直線AM的斜率kAM同理，直線BM的斜率kBM由已知，有yx化簡(jiǎn)，得點(diǎn)M的軌跡方程為x2點(diǎn)M的軌跡是除去(-5,0)，(5,0)兩點(diǎn)的橢圓．練習(xí)1．如果橢圓x2100+y236=1上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1【答案】14【分析】根據(jù)橢圓的定義PF1+PF2=2a及橢圓x2100+【詳解】解：根據(jù)橢圓的定義PF又橢圓x2100+y236=1∴6+PF22．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）a=4，b=1，焦點(diǎn)在x軸上；（2）a=4，c=15，焦點(diǎn)在y（3）a+b=10，c=25【答案】（1）x216+y2=1；（2）y2【分析】（1）根據(jù)已知直接得出方程；（2）根據(jù)已知求得b，即可得出方程；（3）由已知聯(lián)立求得a,b即可得出方程.【詳解】（1）a=4，b=1，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程為x2（2）由a=4，c=15可得b又焦點(diǎn)在y軸上，所以標(biāo)準(zhǔn)方程為y2（3）聯(lián)立a+b=10c=25a所以標(biāo)準(zhǔn)方程為x236+3．已知經(jīng)過橢圓x225+y216=1的右焦點(diǎn)F2作垂直于x軸的直線AB（1）求ΔAF1（2）如果AB不垂直于x軸,ΔAF1B的周長(zhǎng)有變化嗎【答案】（1）20；（2）不變，理由見解析【分析】根據(jù)橢圓的定義ΔAF1B的周長(zhǎng)為【詳解】（1）由橢圓的定義得：AF所以ΔAF1B（2）不變，由橢圓的定義ΔAF1B的周長(zhǎng)為AF1+AF24．已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-1,0)，(1,0)，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商是2，點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？【答案】點(diǎn)M的軌跡是直線x=-3，并去掉點(diǎn)-3,0【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出直線AM,BM斜率，由kAMk【詳解】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為x,y，則kAM=y當(dāng)y≠0時(shí)，kAMkBM所以點(diǎn)M的軌跡是直線x=-3，并去掉點(diǎn)-3,0.3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)例4求橢圓16x解：把原方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得x2于是a=5，b=4，c=25-16因此，橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)分別是2a=10和2b=8，離心率e=ca=35，兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1(-3,0)和F2(3,0)，四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是練習(xí)5．你能用圓規(guī)作出圖中橢圓焦點(diǎn)的位置嗎？你的依據(jù)是什么？【答案】能.依據(jù)見解析.【分析】根據(jù)橢圓中a2=b2【詳解】能.如圖，以點(diǎn)B2(或B1)為圓心,|OA2|(或|OA1|)依據(jù)：因?yàn)樵赗t△B2O所以|OF2|=c6．求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)：（1）x2100+y236=1【答案】（1）8,0和-8,0；（2）0,2和0,-2【分析】由橢圓方程得到a2，b2，根據(jù)c2【詳解】解：（1）因?yàn)闄E圓方程為x2100+y236=1，焦點(diǎn)在x軸，所以a2=100，（2）因?yàn)?x2+y2=8，所以y28+x24=1，焦點(diǎn)在7．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)在x軸上，a=6，e=；（2）焦點(diǎn)在y軸上，c=3，e=．【答案】（1）x236+y【詳解】試題分析：（1）由離心率公式，求得c，再由a，b，c的關(guān)系，求得b，即可得到橢圓方程；（2）由離心率公式，求得a，再由a，b，c的關(guān)系，求得b，即可得到橢圓方程試題解析：（1）a=6，e=，即，解得c=2，b2=a2﹣c2=32，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：=1；（2）c=3，e=，即，解得，a=5，b2=a2﹣c2=25﹣9=16．則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：=1．8．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）經(jīng)過P(-3,0)，Q(0,-2)兩點(diǎn)；（2）長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于20，離心率等于35【答案】（1）x29+y24=1

【分析】（1）設(shè)出橢圓方程,根據(jù)橢圓經(jīng)過點(diǎn)A-3,0,B0,-2,得出a=3b=2（2）由條件可得2a=20ca=35,【詳解】解:（1）設(shè)橢圓方程為:x2a2+y2A-3,0,B0,-2分別為左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn),所以得所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于20,離心率等于3依題意:2a=20ca=35,所以所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為:x2100+9．比較下列每組中橢圓的形狀，哪一個(gè)更接近于圓？為什么？（1）9x2+（2）x2+9y【答案】（1）x216+y212=1【分析】探究可得離心率e越大，橢圓越扁；e越小，橢圓越圓.所以只需比較離心率的大小即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率e=c所以e越大，ba越小，橢圓越扁；e越小，ba（1）橢圓9x2+y2=36即x2因?yàn)閑2<e（2）橢圓x2+9y2=36即x236因?yàn)閑4<e3例5如圖3.1-11，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分．過對(duì)稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1上，片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)F2上．由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F1發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)F2．已知BC⊥F1F2，F(xiàn)1圖3.1-11解：建立如圖3.1-11所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)所求橢圓方程為x2在Rt△BF2由橢圓的性質(zhì)知，F(xiàn)1a=1b=a所以，所求的橢圓方程為x2例6動(dòng)點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(4,0)的距離和M到定直線l:x=254的距離的比是常數(shù)45解：如圖3.1-12，設(shè)d是點(diǎn)M到直線l:x=25根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是集合P=M由此得(x將上式兩邊平方，并化簡(jiǎn)，得9x即x2所以，點(diǎn)M的軌跡是長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)分別為10，6的橢圓．例7如圖3.1-13，已知直線l:4x-5y+m=0和橢圓C:x225+y29=1．m為何值時(shí)，直線l與橢圓圖3.1-13分析：直線l與橢圓C的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)與方程組4解的個(gè)數(shù)相對(duì)應(yīng)．所以，我們可以通過判斷上述方程組解的情況得到問題的解答．解：由方程組4消去y，得25x2方程①的根的判別式Δ=64m由Δ>0，得-25<m<25．此時(shí)方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，直線l與橢圓C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．由Δ=0，得m1=25，m2=-25．此時(shí)方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，直線由Δ<0，得m<-25，或m>25．此時(shí)方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)根，直線l與橢圓C沒有公共點(diǎn)．練習(xí)10．求下列直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)：（1）3x+10y-25=0，x2（2）3x-y+2=0，x2【答案】（1）3,85；（2）0,2，【分析】聯(lián)立直線方程與橢圓方程，解方程組，方程組得解即為其交點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）聯(lián)立3x+10y-25=0x225+y24=1，消去y，得(x-3)2=0，即x=3，代入（2）同理可得3x-y+2=0與x216+y211．經(jīng)過橢圓x22+y2=1的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為60°的直線l，直線l與橢圓相交于A【答案】8【解析】求出橢圓的左焦點(diǎn)F1(-1,0)，根據(jù)點(diǎn)斜式設(shè)出AB方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程消去y，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式即可算出弦【詳解】∵橢圓方程為x2∴焦點(diǎn)分別為F1(-1,0)，∵直線AB過左焦點(diǎn)F1傾斜角為60°∴直線AB的方程為y=3將AB方程與橢圓方程消去y，得7設(shè)A(x1，y1)，x1+∴|因此，|AB|=1+3習(xí)題3.1復(fù)習(xí)鞏固12．如果點(diǎn)M(x,y)在運(yùn)動(dòng)過程中，總滿足關(guān)系式x2+(y-3)【答案】橢圓，理由見解析，x【分析】由x2+【詳解】點(diǎn)M的軌跡是橢圓，由M(x,y)滿足x2動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)(0,3),(0,-3)的距離之和為10，且10>6，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓.由2a=10,2c=6可得，b2焦點(diǎn)(0,3),(0,-3)在y軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x13．寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,-4)，(0,4)，a=5；（2）a+c=10，a-c=4．【答案】（1）y225+x29=1【分析】（1）由條件可得橢圓焦點(diǎn)在y軸上且c=4，由a=5，求出b得到答案.（2）由a+c=10，a-c=4，解出a,c，求出b，根據(jù)焦點(diǎn)所在的軸代入對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得到答案.【詳解】（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,-4)，(0,4)，則橢圓焦點(diǎn)在y軸上.所以c=4，設(shè)橢圓方程為:y2所以b=a所以橢圓方程為:y（2）由a+c=10，a-c=4，解得a=7,c=3b所以橢圓方程為:x24914．求下列橢圓的長(zhǎng)軸和短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)，并畫出圖形：（1）x2+4y2=16；

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【分析】將橢圓方程改寫為標(biāo)準(zhǔn)形式，即可確定a、b、c及長(zhǎng)軸、短軸的位置，進(jìn)而求出（1）（2）橢圓的長(zhǎng)軸和短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)，并畫出橢圓圖形.【詳解】（1）由題設(shè)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2∴a=4,b=2,c=23且長(zhǎng)軸在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=8，短軸長(zhǎng)2b=4∴e=ca=32，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2（2）由題設(shè)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2∴a=9,b=3,c=62且長(zhǎng)軸在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=18，短軸長(zhǎng)2b=6∴e=ca=223，焦點(diǎn)坐標(biāo)為15．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）經(jīng)過P(-22,0)，（2）長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，且經(jīng)過點(diǎn)P(3,0)；（3）焦距是8，離心率等于0.8．【答案】（1）x28+y25=1；（2）x2【分析】（1）根據(jù)題意，分析可得要求的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且a=22，b=5，將a、（2）根據(jù)題意，分析可得：a＝3b，分2種情況討論橢圓的焦點(diǎn)位置，綜合即可得答案；（3）依題意求出c、a，再根據(jù)a2-b【詳解】解：（1）根據(jù)題意，橢圓經(jīng)過點(diǎn)P(-22,0)，且22則橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且a=22，b=則橢圓的方程為：x28（2）根據(jù)題意，要求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，即a=3b，若橢圓經(jīng)過點(diǎn)P(3,0)，分2種情況討論：①橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則a＝3，b＝1，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2②橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則b＝3，a＝9，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2（3）根據(jù)題意，2c=8即c=4，又e=ca=0.8，所以a=5，因?yàn)槿魴E圓的焦點(diǎn)在x軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x216．已知P是橢圓x25+y24=1上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F【答案】152,1，-152,1【分析】設(shè)Px,y是橢圓上一點(diǎn)，由面積可得y=1，代入橢圓可得x【詳解】由橢圓方程可得F1設(shè)Px,y則S△PF1F2所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為152,1，-152,117．如圖，圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？【答案】橢圓，理由見解析【分析】如圖，連接QA，由題得|QA|+|QO|=r，且r>|OA|,即得點(diǎn)Q【詳解】如圖，連接QA，則|PQ|=|QA|所以r-|OQ|=|QA|,所以|QA|+|QO|=r，且所以當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是橢圓.【點(diǎn)睛】本題主要考查軌跡問題，考查橢圓的定義，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.18．彗星“紫金山一號(hào)”是南京紫金山天文臺(tái)發(fā)現(xiàn)的，它的運(yùn)行軌道是以太陽(yáng)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓．測(cè)得軌道的近日點(diǎn)（距離太陽(yáng)最近的點(diǎn)）距太陽(yáng)中心1.486天文單位，遠(yuǎn)日點(diǎn)（距離太陽(yáng)最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距太陽(yáng)中心5.563天文單位（1天文單位是太陽(yáng)到地球的平均距離，約1.5×10【答案】（1）x【分析】以近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)連線所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，從而可得a+c=5.563a-c=1.486，解出a,c，求出b2【詳解】以近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)連線所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)該橢圓的方程為x2a2由條件可得a+c=5.563a-c=1.486，解得所以a2=3.5245所以x19．點(diǎn)Mx,y與定點(diǎn)F2,0的距離和它到定直線x=8的距離的比是1:2，求點(diǎn)【答案】x2【分析】用坐標(biāo)表示已知條件，列出方程并化簡(jiǎn)可得點(diǎn)M的軌跡方程．【詳解】設(shè)d是點(diǎn)M到直線x=8的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合P=M由此得x-22將上式兩邊平方，并化簡(jiǎn)，得3x即點(diǎn)M的軌跡方程為：x2綜合運(yùn)用20．如圖，DP⊥x軸，垂足為D，點(diǎn)M在DP的延長(zhǎng)線上，且|DM||DP|=32，當(dāng)點(diǎn)P在圓【答案】點(diǎn)M的軌跡方程為x24+y2【分析】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為x,y，點(diǎn)Px0,y0，可得【詳解】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為x,y，點(diǎn)Px0,則由題可得x=x0y=∵點(diǎn)P在圓x2∴x2即點(diǎn)M的軌跡方程為x24+y2921．一動(dòng)圓與圓x2+y2【答案】x236【分析】利用動(dòng)圓分別與兩圓的相外切和內(nèi)切的位置關(guān)系，可得動(dòng)圓圓心與已知兩圓圓心間的關(guān)系，再根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系結(jié)合圓錐曲線的定義，即可判斷軌跡為橢圓，并求出軌跡方程．【詳解】設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x,y)，半徑為R，設(shè)圓x2+y2+6x+5=0和圓x2將圓的方程分別配方得：圓O1:x+3當(dāng)動(dòng)圓M與圓O1相外切時(shí)，有O當(dāng)動(dòng)圓M與圓O2相內(nèi)切時(shí)，有O將①②兩式相加，得O1∴動(dòng)圓圓心M(x,y)到點(diǎn)O1(-3,0)和O2(3,0)所以點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)為點(diǎn)O1(-3,0)、O2(3,0)設(shè)該橢圓的長(zhǎng)軸為2a，短軸為2b，焦距為2c；∴2c=6,2a=12，∴c=3,a=6∴b2∴動(dòng)圓圓心軌跡方程為x2【點(diǎn)睛】本題以兩圓的位置關(guān)系為載體，考查橢圓的定義，考查軌跡方程，熟練掌握橢圓的定義是解題關(guān)鍵．22．如圖，矩形ABCD中，|AB|=2a，|BC|=2b(a>b>0)．E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，R，S，T是線段OF的四等分點(diǎn)，R'，S'，T'是線段CF的四等分點(diǎn)．證明直線ER與GR'、ES與GS'、ET與GT'【答案】證明見解析.【分析】先求出直線ER,GR'的方程，再求出它們的交點(diǎn)L的坐標(biāo)，再證明L在橢圓上，同理可得ES與GS'、ET與GT'的交點(diǎn)【詳解】由題得E(0,-b)，R(14a,0)所以直線ER的方程為y=4bax-b由題得G(0,b),R'(a,所以直線GR'的方程為y=-b聯(lián)立方程（1）（2）解之得x=所以直線ER,GR'的交點(diǎn)為代入橢圓方程得64a所以直線ER,GR'的交點(diǎn)L同理ES與GS'、ET與GT'的交點(diǎn)M，23．已知地球運(yùn)行的軌道是長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=1.50×108km【答案】1.5288×108km，1.4712×108km【分析】根據(jù)地球到太陽(yáng)的最大距離是a+c，最小距離是a﹣c，即可求得結(jié)論．【詳解】∵橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)約為a=1.5×108km，離心率e＝0.0192，∴半焦距約為c=ae=2.88×106km，∴地球到太陽(yáng)的最大距離是1.5×108+2.88×106＝1.5288×108km，最小距離是1.5×108﹣2.88×106＝1.4712×108km．拓廣探索24．已知橢圓x225+（1）它到直線l的距離最??？最小距離是多少？（2）它到直線l的距離最大？最大距離是多少？【答案】（1）存在點(diǎn)P-4,95到直線距離最小，最小值為154141；（2【分析】設(shè)橢圓上點(diǎn)P(5cosθ,3【詳解】設(shè)橢圓上點(diǎn)P(5cos則點(diǎn)P到直線l距離d==554（1）當(dāng)cos(θ+φ)=-1時(shí)，d此時(shí)θ+φ=π+2kπ,k∈Z，即θ=π-φ+2kπ,k∈Z，所以cosθ=cos(π-φ+2kπ)=-所以存在點(diǎn)P-4,95（2）當(dāng)cos(θ+φ)=1時(shí)，d此時(shí)θ+φ=2kπ,k∈Z，即θ=-φ+2kπ,k∈Z，所以cosθ=cos(-φ+2kπ)=所以存在點(diǎn)P4,-9525．已知橢圓x24+（1）這組直線何時(shí)與橢圓相交？（2）當(dāng)它們與橢圓相交時(shí)，證明這些線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)在同一條直線上．【答案】（1）縱截距在(-32，32)時(shí)【分析】（1）設(shè)出平行直線的方程：y=32x+m，代入橢圓方程，消去y，由判別式大于0（2）運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和參數(shù)方程，消去m，即可得到所求的結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)一組平行直線的方程為y=3代入橢圓方程，可得9x即為18x由判別式大于0，可得144m解得-32則這組平行直線的縱截距在(-32，3（2）證明：由（1）直線和橢圓方程聯(lián)立，可得18x即有x1代入直線方程可得截得弦的中點(diǎn)為(-13m由x=-13my=1則這些直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)在一條直線y=-33.2雙曲線3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程例1已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-5,0)，F(xiàn)2(5,0)，雙曲線上一點(diǎn)P與F1解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2由2c=10，2a=6，得c=5，又a=3，因此b2所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x例2已知A，B兩地相距800m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s，且聲速為340m/s分析：先根據(jù)題意判斷軌跡的形狀．由聲速及A，B兩處聽到炮彈爆炸聲的時(shí)間差，可知A，B兩處與爆炸點(diǎn)的距離的差為定值，所以爆炸點(diǎn)在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線上．因?yàn)楸c(diǎn)離A處比離B處遠(yuǎn)，所以爆炸點(diǎn)應(yīng)在靠近B處的雙曲線的一支上．解：如圖3.2-5，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy，使A，B兩點(diǎn)在x軸上，并且原點(diǎn)O與線段AB設(shè)炮彈爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，則|PA|-|PB|=340×2=680，即2a=680，a=340．又|AB|=800，所以2c=800，c=400，b2因?yàn)閨PA|-|PB|=680>0，所以點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支，因此x?340．所以，炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程為x2圖3.2-5練習(xí)1．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)在x軸上，a=4，b=3；（2）焦點(diǎn)在x軸上，經(jīng)過點(diǎn)(-2,-（3）焦點(diǎn)為(0,-6)，(0,6)，且經(jīng)過點(diǎn)(2,-5)．【答案】（1）x216-y29=1；（【分析】（1）根據(jù)條件，代入方程，即可得答案；（2）根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線方程為x2a2（3）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得c值及焦點(diǎn)在y軸，根據(jù)雙曲線定義，可得a值，根據(jù)a，b，c的關(guān)系，可得b2，即可得答案【詳解】（1）因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線方程為x2因?yàn)閍=4，b=3，所以雙曲線方程為x2（2）因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線方程為x2因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)(-2,-3)，令1a2=m,解得m=1n=13所以雙曲線方程為：x2（3）因?yàn)榻裹c(diǎn)為(0,-6)，(0,6)，所以c=6，且交點(diǎn)在y軸，因?yàn)檫^點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)(2,-5)，根據(jù)雙曲線定義可得(2-0)2解得a=25又b2所以雙曲線方程為：y22．求證：雙曲線x2-15y【分析】先將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出雙曲線和橢圓的焦點(diǎn)，即可判斷．【詳解】證明：雙曲線x2﹣15y2＝15即為：x215-y2＝1，c2＝a2+b2＝15+1＝16，c焦點(diǎn)為（±4，0），橢圓x225+y29=1的a′＝5，b焦點(diǎn)為（±4，0），即有雙曲線x2﹣15y2＝15與橢圓x2253．已知方程x22+m-【答案】-∞,-2【分析】根據(jù)方程表示雙曲線即可得到2+mm+1【詳解】解：因?yàn)榉匠蘹22+m-y2m+1=1表示雙曲線，所以4．雙曲線x2a2-y212=1(a>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1與F【答案】9【分析】根據(jù)焦距，可得c值，根據(jù)a，b，c的關(guān)系，可得a值，根據(jù)雙曲線定義，分類討論，即可求得答案.【詳解】由題意得，焦距2c=8，可得c=4，在雙曲線中c2所以a2=c根據(jù)雙曲線定義可得MF所以5-MF2=4，解得當(dāng)MF2=1當(dāng)MF2=9所以M3.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)例3求雙曲線9y把雙曲線的方程9yy2由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a=4，虛半軸長(zhǎng)b=3；由c=a2+b2=42+3練習(xí)5．求下列雙曲線的實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)的坐標(biāo)以及離心率：（1）x2-8（2）9x（3）x2-（4）x2【分析】先求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后求出a，b，c的值，由此利用雙曲線性質(zhì)能求出雙曲線的實(shí)軸、虛軸的長(zhǎng)，頂點(diǎn)、焦點(diǎn)的坐標(biāo)和離心率．【詳解】解：（1）∵x2﹣8y2＝32，∴x232∴a=32=42，b=4=2，∴雙曲線的實(shí)軸2a＝82、虛軸的長(zhǎng)2b＝4，頂點(diǎn)A1（﹣42，0），A2（42，0）、焦點(diǎn)的坐標(biāo)F1（﹣6，0），F(xiàn)2（6，0），離心率e=c（2）∵9x2﹣y2＝81，∴x2∴a=9=3，b=81=9，c∴雙曲線的實(shí)軸2a＝6、虛軸的長(zhǎng)2b＝18，頂點(diǎn)A1（﹣3，0），A2（3，0）、焦點(diǎn)的坐標(biāo)F1（﹣310，0），F(xiàn)2（310，0），離心率e=c（3）∵x2﹣y2＝﹣4，∴y24∴a=4=2，b=4=2，c∴雙曲線的實(shí)軸2a＝4、虛軸的長(zhǎng)2b＝4，頂點(diǎn)A1（0，﹣2），A2（0，2）、焦點(diǎn)的坐標(biāo)F1（0，﹣22），F(xiàn)2（0，22），離心率e=c（4）∵x249-y225∴a=25=5，b=49=7∴雙曲線的實(shí)軸2a＝10、虛軸的長(zhǎng)2b＝14，頂點(diǎn)A1（0，﹣5），A2（0，5）、焦點(diǎn)的坐標(biāo)F1（0，-74），F(xiàn)2（0，74離心率e=c6．求符合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）頂點(diǎn)在x軸上，兩頂點(diǎn)間的距離是8，e=5（2）焦點(diǎn)在y軸上，焦距是16，e=4【答案】（1）x216-y29【分析】（1）利用兩頂點(diǎn)間的距離及離心率求得a,b，從而求得雙曲線方程；（2）利用焦距和離心率求得a,b,c，從而求得雙曲線方程．【詳解】解：（1）頂點(diǎn)在x軸上，兩頂點(diǎn)間的距離是8，e=54，則a＝4，c＝5，b＝∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）焦點(diǎn)在y軸上，焦距是16，e=43，則c＝8，a＝6，b=28∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2367．對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是F1【答案】x218【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及題意，設(shè)方程為x2a2-【詳解】因?yàn)橐粋€(gè)焦點(diǎn)是F1(-6,0)，所以c=6，且焦點(diǎn)在所以設(shè)等軸雙曲線方程為x2所以c2=a所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2漸近線方程為y=±a8．雙曲線的漸近線方程是y=±2x，虛軸長(zhǎng)為4，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】x2-【分析】若雙曲線焦點(diǎn)在x軸，設(shè)方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，根據(jù)題意可得ba=22b=4，即可求得a，b【詳解】若雙曲線焦點(diǎn)在x軸，設(shè)方程為x2a2所以ba=22b=4所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2若雙曲線焦點(diǎn)在y軸，設(shè)方程y2a2所以ab=22b=4所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-例4雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面（圖3.2-10（1））．它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高為55m．試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程（精確到1m）．圖3.2-10解：根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，在冷卻塔的軸截面所在平面建立如圖3.2-10（2）所示的直角坐標(biāo)系Oxy，使小圓的直徑AA'在x軸上，圓心與原點(diǎn)重合．這時(shí)，上、下口的直徑CC'，BB'都平行于設(shè)雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)因?yàn)橹睆紸A'是實(shí)軸，所以a=12．又B，25由方程②，得y=5b12（負(fù)值舍去）．代入方程252化簡(jiǎn)得19b2解方程③，得b≈25（負(fù)值舍去）．因此所求雙曲線的方程為x2例5動(dòng)點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(4,0)的距離和它到定直線l:x=94的距離的比是常數(shù)43解：設(shè)d是點(diǎn)M到直線l的距離，根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是點(diǎn)的集合P=M由此得(x-4)2將上式兩邊平方，并化簡(jiǎn)，得7x即x2所以，點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為6、虛軸長(zhǎng)為27的雙曲線（圖3.2-11圖3.2-11例6如圖3.212，過雙曲線x23-y26=1的右焦點(diǎn)F2，傾斜角為圖3.2-12解：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，雙曲線的焦點(diǎn)分別為F1(-3,0)，因?yàn)橹本€AB的傾斜角是30°，且經(jīng)過右焦點(diǎn)F2，所以直線ABy=33由y=33(x-3),5x解方程，得x1=-3，將x1，x2的值分別代入y1=-2于是，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-3,-23)，所以|AB|===163練習(xí)9．已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-6,0)，(6,0)，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是29．求點(diǎn)M【答案】點(diǎn)M的軌跡方程為x236-y【分析】設(shè)Mx,y，根據(jù)斜率之積是29【詳解】設(shè)Mx,y，因?yàn)锳所以kAM?k故點(diǎn)M的軌跡方程為x236-y10．求下列直線和雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)：（1）2x-y-10=0，x220（2）4x-3y-16=0，x2【答案】（1）6,2,143,-2【分析】將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y，解方程，解出交點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由2x-y-10=0x220-y25=1消去由x=6解得，y=2；由x=143解得，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為：6,2,（2）由4x-3y-16=0x225-y216求得，y1所以交點(diǎn)坐標(biāo)為25411．直線y=23x與雙曲線x2a2-y28=1(a>0)相交于A，【答案】e=21【分析】聯(lián)立y=23xx2a2-y28【詳解】聯(lián)立y=23xx2a2則x1?x所以，離心率e=c習(xí)題3.2復(fù)習(xí)鞏固12．雙曲線4x2-y2+64=0上的一點(diǎn)P【答案】17.【詳解】試題分析：首先將已知的雙曲線方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)雙曲線的定義知雙曲線上的點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為，即可求出點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為17.考點(diǎn)：雙曲線的定義.13．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）焦點(diǎn)在x軸上，a=25，經(jīng)過點(diǎn)A（2）經(jīng)過A-7,-62、【答案】（1）x220-y2【分析】（1）可設(shè)雙曲線的方程為x220-y2（2）設(shè)雙曲線的方程為mx2+ny2=1，將點(diǎn)A、B【詳解】（1）因?yàn)閍=25，且雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線的方程得2520-2因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）設(shè)雙曲線的方程為mx將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入雙曲線方程可得49m+72n=128m+9n=1，解得m=因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x214．已知下列雙曲線的方程，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程：（1）16x2（2）16x【答案】（1）焦點(diǎn)(-5,0),(5,0)，離心率e=53，漸近線y=±43x；（2）焦點(diǎn)(0,-5),(0,5)【分析】（1）化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得x29-y216=1，即可得a，b，根據(jù)a（2）化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得y216-x29=1，即可得a，b，根據(jù)a【詳解】（1）將16x2-9由方程可得a2=9,b所以漸近線方程為y=±4又c2=a2+離心率e=c（2）將16x2-9由方程可得a2=16,b所以漸近線方程為y=±4又c2=a2+離心率e=c15．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)10，虛軸長(zhǎng)8.（2）焦點(diǎn)在y軸上，焦距是10，虛軸長(zhǎng)8.（3）離心率e=2，經(jīng)過點(diǎn)M【答案】（1）x225-y216=1；（2【分析】（1）根據(jù)題意，得到a,b的值，結(jié)合雙曲線焦點(diǎn)所在軸，求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)題意，得到c,b的值，利用雙曲線中a,b,c的關(guān)系，求得a的值，根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)所在軸，求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）根據(jù)題意，得到雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)出方程，利用點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線的方程，求得結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)題意，所求雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)10，虛軸長(zhǎng)8，可得2a=10,2b=8，則有a=5,b=4，又因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2（2）根據(jù)題意，雙曲線的焦距是10，虛軸長(zhǎng)為8，可得2c=10,2b=8，則c=5,b=4，所以a=c又因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2（3）根據(jù)題意，雙曲線的離心率e=2，即ca=所以b=c所以該雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)其方程為x2又因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)M-5,3，則有25-9=t，則t=16所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x216．如圖，圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O外一個(gè)定點(diǎn)，P是圓O上任意一點(diǎn)．線段AP的垂直平分線l與直線OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？【答案】點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)，r為實(shí)軸的雙曲線，證明見解析.【分析】連接QA，由題意可得QA=QP，所以QA【詳解】連接QA，如圖所示：因?yàn)閘為PA的垂直平分線，所以QA=所以QA-又因?yàn)辄c(diǎn)A在圓外，所以O(shè)A>根據(jù)雙曲線定義，點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)，r為實(shí)軸的雙曲線.17．求經(jīng)過點(diǎn)A(3,-1)，并且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】x2【分析】根據(jù)等軸雙曲線可設(shè)為x2-y2【詳解】設(shè)所求的等軸雙曲線的方程為：x2將A(3,-1)代入得：32--1所以等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：x綜合運(yùn)用18．m，n為何值時(shí)，方程x2（1）圓；

（2）橢圓；

（3）雙曲線？【答案】（1）m=n>0；（2）m>0，n>0，且m≠n；（3）mn<0【分析】（1）若方程x2m+y（2）若方程x2m+y2n=1（3）若方程x2m+y【詳解】（1）若方程x2m+y2（2）若方程x2m+y2n=1所以當(dāng)m>0，n>0，且m≠n時(shí)，方程為橢圓；（3）若方程x2m+y2n19．求與橢圓x249+y【答案】x【解析】根據(jù)題意雙曲線方程可設(shè)為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)【詳解】依題意，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1-5,0，故雙曲線方程可設(shè)為x2又雙曲線的離心率e=5∴a解之得a=4，b=3故雙曲線的方程為x220．相距1400m的A，B兩個(gè)哨所，聽到炮彈爆炸聲的時(shí)間相差3s，已知聲速是340m/s，問炮彈爆炸點(diǎn)在怎樣的曲線上，并求出曲線的方程．【答案】炮彈爆炸點(diǎn)在雙曲線上，方程為x2【分析】在適當(dāng)位置建系，根據(jù)題意，可得MA-MB=340×3=1020<1400，根據(jù)雙曲線定義，可得a，c，進(jìn)而可得b，即可得點(diǎn)【詳解】以AB所在直線為x軸，AB垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則A(-700,0),B(700,0)，設(shè)爆炸點(diǎn)為M(x,y)，則MA-根據(jù)雙曲線的定義可得，M在雙曲線上，且2a=10202c=1400所以a=510,c=700，所以b2所以點(diǎn)M的軌跡方程為：x221．設(shè)動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)F(c,0)(c>0)的距離和M到定直線l:x=a2c的距離的比是c【答案】動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，為焦點(diǎn)在【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)，設(shè)d為點(diǎn)M到直線l的距離，根據(jù)題意可得(x-c)2+y2a2【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)，設(shè)d為點(diǎn)M到直線l的距離，由題意得MFd=c左右同時(shí)平方，化簡(jiǎn)可得(x-c)2所以(a令a2所以b2x2所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，為焦點(diǎn)在22．M是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MA與直線y=x垂直，垂足A位于第一象限，MB與直線y=-x垂直，垂足B位于第四象限．若四邊形OAMB（O為原點(diǎn)）的面積為3，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．【答案】x2【分析】首先利用點(diǎn)到直線的距離求MA，MB，利用面積為3，列式求軌跡方程.【詳解】設(shè)Mx,y，根據(jù)題意可知點(diǎn)M在y=x和y=-x所以點(diǎn)M到直線y=x的距離d1=x-y2=x-y即x2所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程：x223．設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)與雙曲線x2a【答案】e1∈【分析】根據(jù)題意，可得ba范圍，進(jìn)而可得b2【詳解】設(shè)橢圓和雙曲線的焦半徑分別為c1,c2所以0<ba<所以e1e拓廣探索24．已知雙曲線x2-y22=1，過點(diǎn)P(1,1)的直線l與雙曲線相交于A，【答案】不能，證明見解析.【分析】當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，可得直線l方程，經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意；當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，利用點(diǎn)差法，假設(shè)點(diǎn)P(1,1)【詳解】當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，因?yàn)檫^點(diǎn)P(1,1)，所以直線l方程為x=1，又雙曲線x2-y22所以直線l與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，斜率存在，設(shè)A(x1,因?yàn)锳、B在雙曲線上，所以x12-所以(x若點(diǎn)P(1,1)為線段AB的中點(diǎn)，則x1+x所以x1-x2=所以直線l的方程為y-1=2(x-1)，即y=2x-1，將直線l與雙曲線聯(lián)立y=2x-1x2-Δ=(-4)所以不存在這樣的直線l，綜上，點(diǎn)P不能是線段AB的中點(diǎn).25．已知雙曲線x24-y216=1與直線l:y=kx+m(k≠±2)有唯一的公共點(diǎn)M，過點(diǎn)M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于A(x,0)【分析】聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用Δ=0可得m2=4k2-4，求得點(diǎn)M坐標(biāo)，得出過點(diǎn)M且與【詳解】聯(lián)立方程x24-因?yàn)橛形ㄒ还颤c(diǎn)且k≠±2，則Δ=4k整理得m2=4k2-4，可解得點(diǎn)M坐標(biāo)為km于是，過點(diǎn)M且與l垂直的直線為y+16可得A-20km則x2=400k2所以點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程是x2100-y225=1（y≠0如果將此題推廣到一般雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，直線l:y=kx+m(k≠±ba)3.3拋物線3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程例1（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2（2）已知拋物線的焦點(diǎn)是F(0,-2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：（1）因?yàn)閜=3，拋物線的焦點(diǎn)在x軸正半軸上，所以它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是32,0，準(zhǔn)線方程是（2）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，且p2=2，p=4，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是例2一種衛(wèi)星接收天線如圖3.3-3左圖所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線．在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處，如圖3.3-3（1），已知接收天線的口徑（直徑）為4.8m，深度為1m．試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．圖3.3-3解：如圖3.3-3（2），在接收天線的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使接收天線的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)重合，焦點(diǎn)在x軸上．設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=2px(p>0)．由已知條件得，點(diǎn)A的坐標(biāo)是2.42即p=2.88．所以，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=5.76x，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(1.44,0)練習(xí)1．根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)是F3,0（2）準(zhǔn)線方程是x=-1（3）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2．【答案】（1）y2=12x；（2）y2=x；（3）【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)可寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程可寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1）由題意可知拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2則p2=3，可得p=6，所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由題意可知拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2則-p2=-14（3）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p=2，所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=±4x或2．求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：(1)y2(2)x2(3)2y(4)x2【答案】(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0)，準(zhǔn)線方程為x=-5．(2)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,18)(3)焦點(diǎn)坐標(biāo)為-58,0(4)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2)，準(zhǔn)線方程為y=2．【分析】先將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再由拋物線的性質(zhì)，可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．(1)解：∵y∴2p=20，即p=10，∴拋物線y2=20x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0)，準(zhǔn)線方程為(2)解：∵x∴2p=12，即∴拋物線x2=12y(3)解：∵2y∴y∴2p=-52，即∴拋物線2y2+5x=0的焦點(diǎn)坐標(biāo)為-(4)解：∵x∴x∴2p=-8，即p=-4，∴拋物線x2+8y=0的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2)，準(zhǔn)線方程為3．填空（1）拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離是aa>p2，則點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離是________（2）拋物線y2=12x上與焦點(diǎn)的距離等于9的點(diǎn)的坐標(biāo)是【答案】

a

a-p2

(6,6【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離，寫出準(zhǔn)線方程即可得解；(2)寫出拋物線y2=12x【詳解】(1)由已知結(jié)合拋物線定義得點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離是a；拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-p2，設(shè)M的橫坐標(biāo)x0所以點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離是a；點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是a-p(2)拋物線y2=12x的準(zhǔn)線x=-3，設(shè)所求點(diǎn)坐標(biāo)為由(1)知x1=6，此時(shí)y1所以所求點(diǎn)坐標(biāo)這(6,62)或故答案為：(1)a；a-p2；(2)(6,63.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)例3已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)M(2,-22解：因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)M(2,-22y2因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，所以(-22解得p=2．因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2例4斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段分析：由拋物線的方程可以得到它的焦點(diǎn)坐標(biāo)，又直線l的斜率為1，所以可以求出直線l的方程；與拋物線的萬(wàn)程聯(lián)立，可以求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；利用兩點(diǎn)間的距離公式可以求出AB．這種方法思路直接，具有一般性．請(qǐng)你用此方法求AB．下面介紹另外一種方法——數(shù)形結(jié)合的方法．在圖3.3-4中，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2．由拋物線的定義可知，|AF|等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離|AA'|AB|=|AF|+|BF|=x由此可見，只要求出點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)之和x1+x解：由題意可知，p=2，p2=1，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x=-1．如圖3.3-4，設(shè)Ax1,y1，Bx2|AF|=dA=于是|AB|=|AF|+|BF|=x因?yàn)橹本€l的斜率為1，且過焦點(diǎn)F(1,0)，所以直線l的方程為y=x-1．①將①代入方程y2=4x，得x2所以x1|AB|=x所以，線段AB的長(zhǎng)是8．練習(xí)4．求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）關(guān)于x軸對(duì)稱，并且經(jīng)過點(diǎn)M(5,-4)；（2）關(guān)于y軸對(duì)稱，準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)E(5,-5)；（3）準(zhǔn)線在y軸的右側(cè)，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4；（4）焦點(diǎn)F在y軸負(fù)半軸上，經(jīng)過橫坐標(biāo)為16的點(diǎn)P，且FP平行于準(zhǔn)線．【答案】(1)y2=165x.(2)x2【分析】(1)設(shè)出拋物線方程代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得拋物線方程.(2)先求得準(zhǔn)線方程，利用準(zhǔn)線方程求得p的值，求得拋物線方程.(3)利用拋物線的幾何性質(zhì)求得p，求得拋物線方程.(4)利用焦半徑公式及拋物線的幾何性質(zhì)求解即可.【詳解】(1)由題可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2∵拋物線過點(diǎn)M(5,-4),∴16=10p，p=則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2(2)∵拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱,且準(zhǔn)線過點(diǎn)E(5,-5),∴拋物線的焦點(diǎn)在y軸正半軸上,設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2由題知，拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-5,所以p2=5，得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(3)拋物線的準(zhǔn)線在y軸右側(cè)，∴可設(shè)拋物線的方程為y2∵拋物線頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4,所以p2=4，得∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2(4)拋物線的焦點(diǎn)F在y軸負(fù)半軸，∴可設(shè)拋物線的方程為x2∵拋物線經(jīng)過橫坐標(biāo)為16的點(diǎn)P,162=-2py,又FP平行于準(zhǔn)線，∴-∴p=16∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x25．在同一坐標(biāo)系中畫出下列拋物線，觀察它們開口的大小，并說明拋物線開口大小與方程中x的系數(shù)的關(guān)系：（1）y2=12x；

（（3）y2=2x；

（4）【答案】圖象如圖，x的系數(shù)的絕對(duì)值越大,拋物線的開口越大.【分析】作出拋物線圖象，得x的系數(shù)的絕對(duì)值越大,拋物線的開口越大.【詳解】解:拋物線如圖,x的系數(shù)的絕對(duì)值越大,拋物線的開口越大.6．過點(diǎn)M(2,0)作斜率為1的直線l，交拋物線y2=4x于A，B兩點(diǎn)，求【答案】4【分析】直線方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式，計(jì)算求值.【詳解】直線l:y=x-2與拋物線方程聯(lián)立y=x-2y2=4xΔ=64-16=48>0，設(shè)A(x得x1+x所以AB=7．垂直于x軸的直線交拋物線y2=4x于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=43【答案】x＝3【分析】先根據(jù)弦長(zhǎng)求得A，B的坐標(biāo)，代入拋物線方程可得．【詳解】解：∵垂直于x軸的直線交拋物線y2＝4x于A、B兩點(diǎn)，且|AB|＝43，∴A（x，23），B（x，-23代入拋物線方程可得：12＝4x，x＝3∴直線AB的方程為x＝3.例5經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，求證：直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸．分析：我們用坐標(biāo)法證明這個(gè)結(jié)論，即通過建立拋物線及直線的方程，運(yùn)用方程研究直線DB與拋物線對(duì)稱軸之間的位置關(guān)系．建立如圖3.3-5所示的直角坐標(biāo)系，只要證明點(diǎn)D的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相等即可．圖3.3-5證明：如圖3.3-5，以拋物線的對(duì)稱軸為x軸，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系xOy．設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0)點(diǎn)A的坐標(biāo)為y022py=2py拋物線的準(zhǔn)線方程是x=-p2聯(lián)立②③，可得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為-p因?yàn)榻裹c(diǎn)F的坐標(biāo)是p2,0，當(dāng)y0y=2py聯(lián)立①④，消去x，可得y0y-y可得點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-p2y0，與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相等，于是當(dāng)y02所以，直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸．例6如圖3.3-6，已知定點(diǎn)B(a,-h)，BC⊥x軸于點(diǎn)C，M是線段OB上任意一點(diǎn)，MD⊥x軸于點(diǎn)D，D，ME⊥BC于點(diǎn)E，OE與MD相交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程．圖3.3-6解：設(shè)點(diǎn)P(x,y)，M(x,m)，其中0?x?a，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(a,m)．由題意，直線OB的方程為y=-ha因?yàn)辄c(diǎn)M在OB上，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入①，得m=-ha所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x滿足②．直線OE的方程為y=ma因?yàn)辄c(diǎn)P在OE上，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足③．將②代入③，消去m，得x2即點(diǎn)P的軌跡方程．練習(xí)8．求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)F關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為M(0,-9)；（2）關(guān)于y軸對(duì)稱，與直線y=-12相交所得線段的長(zhǎng)為12；（3）關(guān)于x軸對(duì)稱，以焦點(diǎn)和準(zhǔn)線上的兩點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是邊長(zhǎng)為23【答案】（1）x2=12y；（2）x2=-3y；（3）【分析】用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1）由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2=2pyp>0，焦點(diǎn)F0,p因?yàn)榻裹c(diǎn)F關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為M(0,-9)，所以p=-p2-所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2（2）由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2因?yàn)橹本€y=-12與拋物線相交所得線段的長(zhǎng)為12，所以點(diǎn)6,-12在拋物線上，代入得：62=-2p-12所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2（3）由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2=2pyp>0當(dāng)焦點(diǎn)在x軸正半軸上時(shí)，因?yàn)椤鱉NF為等邊三角形，且MF=2則DF=MFsin60°=2所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2同理可求，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上時(shí)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y29．點(diǎn)M(m,4)在拋物線y2=24x上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，直線MF與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，求【答案】15【分析】先求出點(diǎn)M坐標(biāo)，再求出直線MF方程，進(jìn)而求出點(diǎn)N坐標(biāo)即可得解.【詳解】因點(diǎn)M(m,4)在拋物線y2=24x上，則24m=42?m=直線MF：y=4-023-6(x-6)，即y=-由y=-34x+92所以|FN|=15.10．設(shè)拋物線x2=2py(p>0)上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)F的距離為4，點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為3p，求拋物線的方程和點(diǎn)【答案】x2=10y；【分析】根據(jù)拋物線定義，用p表示點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，進(jìn)而將點(diǎn)M的坐標(biāo)表示出，再代入拋物線方程即可作答.【詳解】拋物線x2=2py(p>0)的準(zhǔn)線方程為y=-p2，設(shè)點(diǎn)由已知結(jié)合拋物線定義得y0-(-p2)=4?y0于是得點(diǎn)M(±3p,4-p2)從而有(±3p)2=2p(4-p2)所以拋物線的方程為x2=10y，點(diǎn)M的坐標(biāo)為11．兩條直線y=kx和y=-kx分別與拋物線y2=2px(p>0)相交于不同于原點(diǎn)的A，B兩點(diǎn)，k為何值時(shí)，直線【答案】k=±2【分析】易得A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，聯(lián)立直線與拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)即可列出式子求解.【詳解】∵直線y=kx和y=-kx斜率互為相反數(shù)，且都過原點(diǎn)，則兩直線關(guān)于x軸對(duì)稱，又拋物線y2=2px(p>0)關(guān)于x軸對(duì)稱，焦點(diǎn)坐標(biāo)為則A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，由y=kxy2=2px可得x=2pk要使直線AB經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，則2pk2=所以當(dāng)k=±2時(shí)，直線AB經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn).12．已知圓心在y軸上移動(dòng)的圓經(jīng)過點(diǎn)A(0,5)，且與x軸、y軸分別交于B(x,0)，C(0,y)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)M(x,y)的軌跡方程.【答案】x【分析】利用給定條件表示出圓心坐標(biāo)，再由圓上的點(diǎn)到圓心距離相等即可作答.【詳解】因圓心在y軸上移動(dòng)，且該圓過點(diǎn)A(0,5)和C(0,y)，則線段AC是圓的直徑，圓心O1而點(diǎn)B(x,0)在圓上，則|O1B|=12所以點(diǎn)M(x,y)的軌跡方程x2習(xí)題3.3復(fù)習(xí)鞏固13．求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：(1)x2(2)4x(3)2y(4)y2【答案】(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,12)(2)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-316)(3)焦點(diǎn)坐標(biāo)為-18,0(4)焦點(diǎn)坐標(biāo)為-18,0【分析】先將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再由拋物線的性質(zhì)，可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．(1)解：拋物線x2=2y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1(2)解：拋物線4x2+3y=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2=-(3)解：拋物線2y2+x=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=-(4)解：拋物線y2-6x=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=6x，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為14．填空題（1）準(zhǔn)線方程為x=2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．（2）拋物線y2=8x上與焦點(diǎn)的距離等于6的點(diǎn)的坐標(biāo)是【答案】

y2=-8x【分析】（1）利用拋物線的性質(zhì)得p2=2，得p=4，從而求得拋物線方程.（2【詳解】解：（1）準(zhǔn)線方程為x=2，則p2=2，得p=4，且焦點(diǎn)在x軸上，故拋物線方程為（2）設(shè)所求的點(diǎn)坐標(biāo)為Px,y，拋物線y2=8x上與焦點(diǎn)的距離等于6，則x+2=6，得x=4，代入拋物線方程得y=±415．已知拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M與焦點(diǎn)F的距離MF=2p，求點(diǎn)【答案】3【分析】利用拋物線的定義可M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程求出M的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M與焦點(diǎn)F的距離所以xM所以xM=3P所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為：(故答案為：(16．根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并畫出圖形：（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于6；（2）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸，并經(jīng)過點(diǎn)P(-6,-3)．【答案】（1）y2＝±24x，圖見解析；（2）x2＝﹣12y，圖見解析．【分析】（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2＝2px，根據(jù)頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離|p2|＝6，求出p（2）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2＝2py，根據(jù)拋物線經(jīng)過點(diǎn)P（﹣6，﹣3），求出p值，可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】解：（1）∵拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，∴設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2＝2px，又∵頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離|p2|＝6∴p＝±12，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2＝±24x；（2）∵頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸，∴設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2＝2py，又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)P（﹣6，﹣3）．∴36＝﹣6p，解得：p＝﹣6，∴設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2＝﹣12y．17．如圖，M是拋物線y2=4x上的一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，以Fx為始邊、FM為終邊的角∠xFM=60°，求【答案】|FM|=4【分析】求出拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程并作出，過M【詳解】拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為x=-1，過M作MB垂直于直線x=-1，垂足為B，作FA⊥MB于A，直線x=-1與x軸交于點(diǎn)則MB//x軸，即∠FMB=∠xFM=60°，四邊形ABKF是矩形，Rt△MFA中，由拋物線定義知|MB|=|FM|，F(xiàn)(1,0)，而|MA|+|AB|=|MB|,|AB|=|KF|=2，則12|FM|+2=|FM|，解得所以|FM|=4.18．如圖，直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點(diǎn)，求證：【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，消元成一元二次方程，借助韋達(dá)定理求出x1x【詳解】由y=x-2y2=2x得y則有y1y2=-4，