斜拉橋索力優(yōu)化的非線性規(guī)劃模型

斜拉橋索力優(yōu)化的非線性規(guī)劃模型

1最小應(yīng)變能法及其優(yōu)化算法斜拉橋的恒載超載分布是衡量設(shè)計(jì)優(yōu)良質(zhì)量的重要標(biāo)準(zhǔn)之一。一旦斜拉橋結(jié)構(gòu)體系確定,總能找出一組索力,它使結(jié)構(gòu)體系在確定性荷載作用下,某種反映受力性能的目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。這組索力對(duì)應(yīng)的成橋態(tài)就是對(duì)應(yīng)目標(biāo)下最優(yōu)的成橋內(nèi)力狀態(tài)。求解這組最優(yōu)索力,并在斜拉橋中加以實(shí)施,也就實(shí)現(xiàn)了斜拉橋的恒載受力優(yōu)化。因此,在不改變結(jié)構(gòu)參數(shù)的前提下,斜拉橋恒載狀態(tài)的優(yōu)化,也就轉(zhuǎn)化為索力的優(yōu)化問題。在優(yōu)化方法中,由于優(yōu)化目標(biāo)的不同,又有許多方法,如應(yīng)變能最小法、彎矩最小法、用索量最小法和最大偏差最小法等。其中最小應(yīng)變能法和求解過程都是使整個(gè)結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分布合理,并以此為目標(biāo)值。由于其求解出的索力能夠使整個(gè)結(jié)構(gòu)的恒載內(nèi)力最均勻和最小,因此具有更強(qiáng)的適應(yīng)性及更高的實(shí)用性。但是,當(dāng)斜拉索較多時(shí),如果不加任何約束條件,用該法得出的彎矩一般比較小,但兩端的索力不均勻;如人為地做索力局部調(diào)整,容易將受力狀態(tài)調(diào)亂,難以得到索力和梁塔內(nèi)力均滿意的結(jié)果。文獻(xiàn)提出有約束的最小應(yīng)變能法克服了上述不足。調(diào)索時(shí)既可滿足對(duì)某些節(jié)點(diǎn)位移、截面內(nèi)力或索力的特殊限制,又可通過目標(biāo)函數(shù)最小化使得整個(gè)結(jié)構(gòu)的彎矩及索力均勻,從而滿足不同的要求。幾何非線性是大跨度斜拉橋結(jié)構(gòu)體系的重要特征。由于大位移、梁柱效應(yīng)以及拉索垂度等非線性因素的影響,其目標(biāo)函數(shù)及約束函數(shù)很難用拉索索力的顯式形式來表達(dá),屬于非線性優(yōu)化范疇。而現(xiàn)有的索力優(yōu)化算法如最小二乘法、影響矩陣法大多以疊加原理為基礎(chǔ),只適用于線性結(jié)構(gòu)。因此,必須探索一套新的更為有效的最優(yōu)化計(jì)算方法,以用于確定橋梁的合理成橋狀態(tài)。針對(duì)上述非線性優(yōu)化問題,本文采用了一種適用于大型結(jié)構(gòu)優(yōu)化求解的FEGP(FiniteE1ementAnalysisBasedGradientProgramming)過程。它借助于結(jié)構(gòu)有限元分析、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)靈敏度分析、可行方向法以及對(duì)偶單純形算法,進(jìn)行反復(fù)迭代計(jì)算直至滿足結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的最優(yōu)化。其中,有限元分析法用于計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移和應(yīng)力,可確定每一約束條件是否臨界,結(jié)構(gòu)的靈敏度分析目的是確定約束函數(shù)的導(dǎo)數(shù);而可行方向法則是優(yōu)化過程的主體。優(yōu)化迭代時(shí)用戶可任意指定收斂精度與迭代次數(shù),不會(huì)由于在所要求的約束上下界范圍內(nèi)無可行解而造成的算法失敗。采用這種方法對(duì)某大跨度預(yù)應(yīng)力混凝土斜拉橋的空間非線性恒載索力進(jìn)行了分析。2數(shù)學(xué)模型2.1合理選擇橋梁狀態(tài)的原則(1)橋型長(zhǎng)索的索力大,呈增長(zhǎng)期索力既要分布均勻,又要有較大的靈活性。通常短索的索力小,長(zhǎng)索的索力大,呈遞增趨勢(shì),但局部地方應(yīng)允許索力有突變。如0號(hào)索(全漂浮體系的橋型時(shí))和1號(hào)索的索力通常用較大的值。在所有的索中,不宜有太大或太小索力的索。(2)主梁曲線主梁彎矩通常是混凝土斜拉橋設(shè)計(jì)中的難點(diǎn)和重點(diǎn)。在成橋狀態(tài)下,主梁的恒載彎矩要控制在“可行域”范圍內(nèi)。(3)徐變、混凝土后期收縮在恒載狀態(tài)下,主塔彎矩應(yīng)考慮活載和混凝土后期收縮徐變的影響。在活載作用下,塔往江側(cè)的彎曲程度比岸側(cè)大,并且混凝土后期收縮徐變的影響往往使塔往江側(cè)偏。因此,在成橋恒載狀態(tài)下,塔宜向岸側(cè)有一定的預(yù)偏。(4)組件的應(yīng)力合理的成橋狀態(tài)應(yīng)使斜拉橋在各種荷載組合作用下,構(gòu)件的應(yīng)力包絡(luò)合理,充分發(fā)揮構(gòu)件材料的使用價(jià)值。(5)彎曲應(yīng)變能計(jì)算構(gòu)件數(shù)邊墩和輔助墩支座反力在恒載下要有足夠的壓力儲(chǔ)備,最好在活載下不出現(xiàn)負(fù)反力。這種受力通常由配重或設(shè)置拉力支座來滿足。上述合理成橋狀態(tài)的確定原則可表述數(shù)學(xué)問題為min.Q(F)s.t.Fˉi≤Fi≤ˉFi(i=1?2???m1)σˉj≤σj(F)≤ˉσj(j=1?2???m2)Μˉk≤Μk(F)≤ˉΜk(k=1?2???m3)Rˉl≤Rl(F)≤ˉRl(l=1?2???m4)}(1)式中Q(F)=p∑i=1∫sΜ(F)EΙds為主梁和主塔的彎曲應(yīng)變能,將其設(shè)為目標(biāo)函數(shù);p為主梁和主塔彎曲應(yīng)變能計(jì)算構(gòu)件數(shù);M(F)為在索力F作用下,計(jì)算構(gòu)件的彎矩;I為構(gòu)件組合截面的抗彎慣性矩,E為材料的壓彎彈性模量。F=[F1F2…Fm1]為斜拉索的索力,為設(shè)計(jì)變量,Fi?ˉFi和Fˉi為第i號(hào)斜拉索的索力和允許偏差的上下限;σj(F)為在索力F作用下,主梁和主塔第j號(hào)控制點(diǎn)的應(yīng)力,為狀態(tài)變量,ˉσj和σˉj為該點(diǎn)的容許應(yīng)力;Mk(F)為在索力F作用下,主梁或主塔第k號(hào)控制點(diǎn)的彎矩,為狀態(tài)變量,ˉΜk和Μˉk為該點(diǎn)的控制彎矩;Rl(F)為在索力F作用下,第l個(gè)邊墩和輔助墩的支承反力,為狀態(tài)變量,ˉRl和Rˉl為該支承的控制反力。m1為斜拉索的總數(shù),m2為應(yīng)力控制點(diǎn)的總數(shù),m3為主梁和主塔的彎矩控制點(diǎn)的總數(shù),m4為邊墩和輔助墩的支座數(shù)。因此,在不改變結(jié)構(gòu)參數(shù)的前提下,斜拉橋恒載狀態(tài)的索力優(yōu)化,也就轉(zhuǎn)化為求Q(F)的極小值問題,這是一個(gè)有約束多變量非線性規(guī)劃問題。2.2載索力與彎曲應(yīng)變力在對(duì)斜拉橋進(jìn)行恒載索力分析時(shí),理論上講,總會(huì)存在一組最為合理的恒載索力Fi,使得結(jié)構(gòu)的彎曲應(yīng)變能Q(F)降到最小。本文采用一階分析法來進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算,因?yàn)樵摲椒ㄊ菍⒄鎸?shí)的有限元結(jié)果最小化,提高了優(yōu)化結(jié)果的精度,而不是對(duì)逼近數(shù)值進(jìn)行操作,下面將對(duì)該方法進(jìn)行詳細(xì)闡述。(1)設(shè)置約束滿意程度采用一階分析法將上述數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)無約束的非線性規(guī)劃問題,即將原目標(biāo)函數(shù)Q(F)增廣為一個(gè)新的函數(shù):Φ(F?qn)=Q(F)Q(0)+qn[m1∑i=1ΡF(Fi)+m2∑j=1Ρσ(σj)+m3∑k=1ΡΜ(Μk)+m4∑l=1ΡR(Rl)](2)式中Φ(F,qk)為無約束的目標(biāo)函數(shù),無量綱;Q(0)為斜拉索無初始張拉力時(shí),主梁和主塔的彎曲應(yīng)變能;qn為狀態(tài)變量的懲罰因子,它決定了函數(shù)約束滿意程度。PF為設(shè)計(jì)變量約束的罰函數(shù);Pσ,PM和PR為狀態(tài)變量σj,Mk和Rl的約束罰函數(shù),它們各取形式為ΡF(Fi)=(FiFˉi-αi)2λ+(FiˉFi+αi)2λ(3)其中λ={10610-6(Fi＜Fˉi或Fi＞ˉFi)(Fˉi≤Fi≤ˉFi)Pσ(σi)=(σjσˉj-βj)2λ+(σjˉσj+βj)2λ(4)其中λ={10610-6σj＜σˉj或σj＞ˉσjσˉj≤σj≤ˉσjΡΜ(Μk)=(ΜkΜˉk-γk)2λ+(ΜkˉΜk+γk)2λ(5)其中λ={10610-6(Μk＜Μˉk或Μk＞ˉΜk)(Μˉk≤Μk≤ˉΜk)ΡR(Rl)=(RlRˉl-η1)2λ+(RlˉRl+ηl)2λ(6)其中λ={10610-6(Rl＜Rˉl或Rl＞ˉRl)(Rˉl≤Rl≤ˉRl)式(3)～式(6)中,αi,βj,γk和ηl為約束的容許誤差。為了加快計(jì)算的收斂速度,罰系數(shù)qn在(0.1～1.0)內(nèi)取值,并且滿足q1<q2<…<qn,n為計(jì)算迭代步驟。(2)qnn結(jié)構(gòu)優(yōu)化時(shí),采用共軛方向法來確定設(shè)計(jì)變量的搜索方向,取初始值F(0)的負(fù)梯度-?Φ(F(0),q0)作為初始共軛向量d(0),則第n個(gè)迭代點(diǎn)的共軛方向確定為d(n)=-?Φ(F(n),qn)+r(n-1)d(n-1)(7)式中F(n)是由一維搜索按最優(yōu)步長(zhǎng)獲得的迭代點(diǎn),-?Φ(F(n),qn)為F(n)處的負(fù)梯度,r(n-1)是組合系數(shù),本文采用Polak-Ribiere公式進(jìn)行計(jì)算:r(n-1)=[?Φ(F(n)?qn)-?Φ(F(n-1)?qn-1)]Τ?Φ(F(n)?qn)|?Φ(F(n-1)?qn-1|2(8)獲得搜索方向后,就可通過一維線性搜索找到下一個(gè)迭代點(diǎn):F(n+1)=F(n)+λnd(n)(0≤λn≤λmax100λ*n)(9)式中λn為線搜索步長(zhǎng),采用黃金分割和二次插值法相結(jié)合的方法求得,λmax為最大的迭代次數(shù),λ*n最大可能的子迭代數(shù)。F(n+1)求得后即可判斷該點(diǎn)是否為最優(yōu)點(diǎn),判斷準(zhǔn)則為|Q(F(n+1))-Q(F(n))|≤τ(τ為收斂公差)(10)并且滿足Fˉi≤F(n+1)i≤ˉFi?σˉj≤σj(F(n+1))≤ˉσj?Μˉk≤Μk(F(n+1)≤ˉΜk?Rˉl≤Rl(F(n+1))≤ˉRl。若不滿足收斂條件,則得到一個(gè)新的搜索方向d(n),進(jìn)行下一輪的迭代計(jì)算,直到收斂為止。2.3幾何非線性影響(1)索賠的垂度采用Ernst公式修正索的彈性模量來考慮斜拉索自重垂度的影響。(2)梁柱效應(yīng)斜拉橋主梁和主塔都工作在壓彎狀態(tài),引起了梁柱效應(yīng)?？梢杂梅€(wěn)定函數(shù)表示的幾何非線性剛度矩陣來計(jì)入這一效應(yīng)。(3)建立平衡方程由于斜拉橋具有柔性結(jié)構(gòu)特征,外荷載作用下結(jié)構(gòu)變形較大,必須在變形后的位置建立平衡方程。可以用大位移剛度矩陣或基于U.L列式的有限位移理論計(jì)入這一效應(yīng)。3工程應(yīng)用的例子3.1結(jié)構(gòu)體系及分析結(jié)果筆者的研究對(duì)象為一座大跨度預(yù)應(yīng)力混凝土斜拉橋。該橋橋型為雙塔雙索面預(yù)應(yīng)力混凝土斜拉橋,主橋跨徑為152m+370m+152m=674m,采用全漂浮體系。主梁采用雙邊箱斷面,主梁中心高為3.2m,寬為38.6m,是目前國(guó)內(nèi)最寬的預(yù)應(yīng)力混凝土斜拉橋。索塔呈H形,采用預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土結(jié)構(gòu),塔高分別為142.1m和137.1m。全橋共設(shè)4×31對(duì)拉索,橋梁的總體布置如圖1所示。從設(shè)計(jì)院提供的設(shè)計(jì)咨詢審查報(bào)告中可以看出,結(jié)構(gòu)平面分析結(jié)果表明,在成橋狀態(tài)下,主梁的應(yīng)力狀態(tài)很高,且本橋是典型的箱形截面預(yù)應(yīng)力混凝土斜拉橋,剪力滯效應(yīng)不容忽視,在實(shí)際結(jié)構(gòu)中材料的剪切變形將引起正應(yīng)力沿截面寬度分布不均勻,結(jié)構(gòu)某橫截面的實(shí)際應(yīng)力的最大值可能會(huì)遠(yuǎn)大于平面分析計(jì)算結(jié)果中該截面的應(yīng)力值。因此,有必要采用空間非線性有限元對(duì)這座平面計(jì)算時(shí)應(yīng)力狀態(tài)就很高且很寬的混凝土斜拉橋進(jìn)行索力優(yōu)化,降低主梁的應(yīng)力水平,以保證結(jié)構(gòu)的安全。3.2結(jié)構(gòu)體系設(shè)計(jì)對(duì)于雙索面的斜拉橋,由于斜拉索抵抗扭轉(zhuǎn)的關(guān)系和主梁中橫梁的影響,在橫向風(fēng)荷載、汽車偏載以及其他空間荷載作用下,主橋的結(jié)構(gòu)分析必須作空間分析。主梁結(jié)構(gòu)常用的計(jì)算模型主要有單梁法、雙梁法和三梁法。根據(jù)本橋橋面板的形狀特點(diǎn),這里采用雙主梁模式。計(jì)算模式如圖2所示?？紤]到模型幾何與荷載的對(duì)稱性,計(jì)算模型取結(jié)構(gòu)的1/2進(jìn)行分析。按照橋梁節(jié)段施工設(shè)計(jì)圖,在構(gòu)件交接處設(shè)置空間結(jié)點(diǎn),共有2594個(gè)結(jié)點(diǎn),劃分為6063個(gè)單元。其中主梁劃分為225個(gè)單元,主塔劃分為110個(gè)單元;索塔和主梁均采用高精度的組合梁?jiǎn)卧獊砟M。斜拉索用索單元來模擬,劃分為121個(gè)單元。根據(jù)斜拉橋的實(shí)際懸臂拼裝過程,在主梁和主塔各單元截面的積分點(diǎn)施加不同的初始應(yīng)力,來考慮結(jié)構(gòu)在施工期間形成的初應(yīng)力對(duì)結(jié)構(gòu)后期承載能力的影響。每組預(yù)應(yīng)力鋼筋和鋼絞線分別用不同的索單元來模擬,并考慮了每組鋼絞線的預(yù)應(yīng)力損失。3.3優(yōu)化模型參數(shù)選擇(1)斜拉索索力密度將斜拉索的索力設(shè)置為設(shè)計(jì)變量,全橋共有62個(gè)設(shè)計(jì)變量,其中跨和邊跨拉索各為31個(gè)。斜拉索的索力在成橋狀態(tài)及運(yùn)營(yíng)過程中,考慮到強(qiáng)度和疲勞問題,應(yīng)約束索力的上下極限值。給設(shè)計(jì)變量施加的約束條件為:0<Fi≤niT/2.5(i=1,2,…,62),其中ni和T為鋼絞線的股數(shù)與破斷力。(2)附加約束條件在進(jìn)行斜拉橋恒載索力分析時(shí),如果單一采用結(jié)構(gòu)應(yīng)變能最小原理,只能保證結(jié)構(gòu)總體應(yīng)變能最小,不能保證所有控制內(nèi)力和位移的設(shè)計(jì)要求,故必須通過附加約束條件達(dá)到總體與局部的最佳平衡。單元內(nèi)部應(yīng)力應(yīng)變主塔和主梁控制截面的應(yīng)力是欲約束的變量,可以將它們?cè)O(shè)置為狀態(tài)變量,確保梁?jiǎn)卧诟鞣N工況下端點(diǎn)邊緣纖維的正應(yīng)力和單元端點(diǎn)剪應(yīng)力不超過其容許應(yīng)力?？怪畏醋饔昧蛄旱倪叾张c輔助墩支座反力也是欲約束的變量,將它們?cè)O(shè)置為狀態(tài)變量,確保在荷載組合作用下,支承反力大于0?；钶d預(yù)應(yīng)力索,一般在施工設(shè)計(jì)中指定一些截面在成橋狀態(tài)斜拉橋各部分彎矩的大小同樣是設(shè)計(jì)師最為關(guān)心的問題。設(shè)計(jì)師在要求結(jié)構(gòu)各部分的彎矩較為均勻的同時(shí),在施工設(shè)計(jì)中往往要指定某些截面在成橋狀態(tài)下彎矩的上下限值以滿足考慮活載后的預(yù)應(yīng)力索布置要求。確定以上約束上下限值時(shí),可先對(duì)全橋進(jìn)行活載計(jì)算,得出各內(nèi)力及位移的活載包絡(luò)圖,以此作為約束取值的參考。3.4拉索張力分布根據(jù)以上思路,針對(duì)預(yù)應(yīng)力混凝土斜拉橋的受力特點(diǎn),對(duì)ANSYS程序進(jìn)行了二次開發(fā),運(yùn)用編制的計(jì)算機(jī)分析程序,對(duì)該橋梁在成橋狀態(tài)下的索力進(jìn)行優(yōu)化。預(yù)先假設(shè)斜拉索的初始拉力為0,對(duì)設(shè)計(jì)變量采用一階分析法進(jìn)行搜索計(jì)算,從頭至尾反復(fù)試算直到主塔和主梁的彎曲應(yīng)變能達(dá)到最小為止。計(jì)算迭代步驟如圖3所示。優(yōu)化前的恒載索力(由設(shè)計(jì)單位采用QJX程序,用線性平面有限元進(jìn)行了索力優(yōu)化)與優(yōu)化后的恒載索力(采用本文計(jì)算方法,用空間非線性有限元進(jìn)行索力優(yōu)化)對(duì)比如圖4所示,優(yōu)化前后主塔和主梁的彎矩如圖5所示。優(yōu)化前主梁的最大彎矩為7.74×104kN·m,優(yōu)化后為4.78×104kN·m,為優(yōu)化前的61.8%;優(yōu)化前主塔的最大彎矩為1.90×105kN·m,優(yōu)化后為9.06×104kN·m,為優(yōu)化前的47.6%;優(yōu)化前,單根最大恒載索力發(fā)生在中跨第1號(hào)索,為5778.2kN;最小恒載索力發(fā)生在中跨第4號(hào)索,為2940.8kN。優(yōu)化后,單根最大恒載索力發(fā)生在邊跨第30號(hào)索,為6719.0kN;最小恒載索力發(fā)生在邊跨第5號(hào)索,為3023.4kN;拉索張力分布規(guī)律也與普通斜拉橋規(guī)律類似,最大拉力發(fā)生在邊跨端點(diǎn)處與跨中附近。因此,本文的計(jì)算成果可使結(jié)構(gòu)的彎曲應(yīng)變能和結(jié)構(gòu)的最大彎矩大為減小,使結(jié)構(gòu)的內(nèi)力狀況更為合理。4運(yùn)用一階分析法最優(yōu)化計(jì)算理論通過對(duì)某大跨徑預(yù)應(yīng)力混凝土斜拉橋空間非線性恒載索力進(jìn)行分析,得