2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題12平面向量綜合必刷100題教師版

本資料分享自高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854專注收集同步資源期待你的加入與分享專題12平面向量綜合必刷100題任務(wù)一:善良模式(基礎(chǔ))1-30題一、單選題1．已知，向量，若，則實(shí)數(shù)（）A． B． C．-2 D．2【答案】D【分析】由，可得，用坐標(biāo)表示數(shù)量積，即得解【詳解】由可得，因?yàn)椋?故選：D2．設(shè)中邊上的中線為，點(diǎn)滿足，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由中線向量公式得到；由，利用線型運(yùn)算得到，進(jìn)而利用向量的減法運(yùn)算得到結(jié)論.【詳解】因?yàn)橹羞吷系闹芯€為，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以．故選：.3．若平面向量?jī)蓛傻膴A角相等，且，則（）A．2 B．5 C．2或5 D．或【答案】C【分析】分類討論，再由向量求模公式，即可求解.【詳解】當(dāng)兩兩的夾角均為0°時(shí)，顯然；當(dāng)兩兩的夾角均為120°時(shí)，，故選：C.4．在菱形中，、分別是、的中點(diǎn)，若，，則（）A．0 B． C．4 D．【答案】B【分析】以為基底表示有關(guān)向量，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算和定義求解.【詳解】設(shè),則.，故選：B.5．如圖，點(diǎn)在半徑為的上運(yùn)動(dòng)，若，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到m,n與α的關(guān)系，進(jìn)而得到m+n關(guān)于α的三角函數(shù)表達(dá)式，利用輔助角公式整理后，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得其最大值.【詳解】以為原點(diǎn)?的方向?yàn)檩S的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則有，.設(shè)，則.由題意可知所以.因?yàn)?，所以，故的最大值?6．已知向量滿足，則與夾角為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得，再利用向量夾角公式，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算計(jì)算即可得到答案.【詳解】，∴=1，所以，故向量與的夾角為.故選：B.7．已知，，，則在方向上的投影為（）A．1 B．5 C． D．【答案】A【分析】由的坐標(biāo)求出和，進(jìn)而利用投影的定義求解即可．【詳解】∵，，則，∴，，∴在方向上的投影為：.故選：A.8．在中，，且，則取最小值時(shí)的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】對(duì)平方，利用平面向量的數(shù)量積公式和已知條件，可知，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，取最小值.故選：B.9．在中，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的三角形法則可得，進(jìn)而，再根據(jù)和點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，利共線定理可得，，再結(jié)合平面向量的三角形法則，即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，作出圖形，如圖所示．因?yàn)樗杂?，所以所以又點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，所以．故選:B.10．已知點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線l交圓于C：于A，B兩點(diǎn)，則的最大值為（）A．12 B． C．10 D．【答案】A【分析】設(shè)出的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理即可求出點(diǎn)的軌跡方程是以為圓心，1為半徑的圓，再利用圓的性質(zhì)求出的最大值，再由向量的運(yùn)算性質(zhì)即可求解．【詳解】由已知圓的方程可得：圓心，半徑為，設(shè)的中點(diǎn)為，則由圓的性質(zhì)可得：，即，而，，所以，即點(diǎn)的軌跡方程為，設(shè)為的中點(diǎn)，則，半徑為1，所以的最大值為，又，所以的最大值為12，故選：A11．以下四個(gè)命題中正確的是（）A．若，則三點(diǎn)共線B．若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底C．D．為直角三角形的充要條件是【答案】B【分析】對(duì)于,，，三點(diǎn)共線時(shí)，，故不正確；對(duì)于，不共線，所以構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故正確；對(duì)于，表示與共線的向量，表示與共線的向量，故不正確；對(duì)于，時(shí)，為直角，反之也可以是，為直角，故不正確.【詳解】對(duì)于A：，，三點(diǎn)共線時(shí)，，，，，三點(diǎn)共線不成立，故A不正確；對(duì)于B：若為空間的一個(gè)基底，則不共線，不共線，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故B正確；對(duì)于C：假設(shè)，不妨設(shè)，則，因?yàn)橄蛄坎灰欢ü簿€，故C不正確；對(duì)于D，時(shí)，為直角，故為直角三角形，反之也可以是，為直角，故D不正確.故選：B.12．已知向量、滿足，且，則在方向上的投影是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】在等式兩邊同時(shí)平方，求出的值，進(jìn)而可得出在方向上的投影為.【詳解】，在等式兩邊平方并化簡(jiǎn)得，，因此，在方向上的投影為.故選：D.13．在△ABC中，已知AB=3，AC=5，△ABC的外接圓圓心為O，則A．4 B．8 C．10 D．16【答案】B【分析】畫出圖形，并將和中點(diǎn)，和中點(diǎn)連接，從而得到，，根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式以及條件即可得出，，從而，從而可得到的值.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，并連接，，則，，，，.故選：B14．已知向量與向量不共線，，對(duì)任意，恒有，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)向量的坐標(biāo)為，代入題中向量等式，解出x,y之間的關(guān)系式，再逐項(xiàng)驗(yàn)證答案.【詳解】設(shè)，則可化簡(jiǎn)為

根據(jù)題意，恒成立即，恒成立，解得

，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

，選項(xiàng)C正確；

，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：C.15．如圖所示，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上且，若（，），則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】以為基底表示出，求得，，從而確定正確答案.【詳解】因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?，所以，所以，因?yàn)椋?，），所以，，所以．故選：A二、多選題16．已知平面向量、、為三個(gè)單位向量，且，若（），則的取值可能為（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】建立如圖坐標(biāo)系，以向量、作為一組垂直的單位基底可以表示單位圓上任一點(diǎn)C（表示由x軸非負(fù)半軸旋轉(zhuǎn)到OC所形成的角）構(gòu)成的向量，，求出、、的坐標(biāo)，列出等式，結(jié)合兩角和的正弦公式和正弦函數(shù)的值域即可得出結(jié)果.【詳解】依題意，、是一組垂直的單位向量，如圖建立坐標(biāo)系，向量、作為一組垂直的單位基底可以表示單位圓上任一點(diǎn)C（表示由x軸非負(fù)半軸旋轉(zhuǎn)到OC所形成的角）構(gòu)成的向量，，因?yàn)椋?，，，所以，故，，故，故可以是選項(xiàng)中的，1，．故選：ABC．17．下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．已知，，則與可以作為平面內(nèi)所有向量的一組基底B．若與共線，則在方向上的投影為C．若兩非零向量，滿足，則D．平面直角坐標(biāo)系中，，，，則為銳角三角形【答案】ABD【分析】結(jié)合向量基底定義，投影的運(yùn)算，及模的轉(zhuǎn)化，夾角的運(yùn)算分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【詳解】對(duì)于A，，所以，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，錯(cuò)誤；對(duì)于B，與共線，則在方向上的投影為，所以錯(cuò)誤；對(duì)于，兩非零向量，滿足，則，則，成立；對(duì)于，，，，則，，，，，，所以為鈍角，則為鈍角三角形，錯(cuò)誤；故選：．18．設(shè)，是兩個(gè)非零向量，下列四個(gè)命題為真命題的是（）A．若，則和的夾角為B．若，則和的夾角為C．若，則和方向相同D．若，則和b的夾角為鈍角【答案】ABC【分析】利用向量加減法的幾何意義，判斷A、B的正誤；兩向量模的性質(zhì)判斷C，由向量的夾角與數(shù)量積間的關(guān)系判定判斷D.【詳解】解：，，，構(gòu)成等邊三角形，A正確；由向量加法的平行四邊形法則可知，和的夾角為，B正確；，則與同向，C正確；若，則和的夾角為鈍角或者，D錯(cuò)誤，故選：ABC.19．在中，有如下四個(gè)命題正確的有（）A．若，則為銳角三角形B．若，則的形狀為直角三角形C．內(nèi)一點(diǎn)G滿足，則G是的重心D．若，則點(diǎn)P必為的外心【答案】BC【分析】對(duì)于A，由可得角為銳角，從而可判斷，對(duì)于B，對(duì)兩邊平方化簡(jiǎn)，再結(jié)合余弦定理可得結(jié)論，對(duì)于C，由向量加法和共線及三角形重心概念判斷，對(duì)于D，由向量運(yùn)算性質(zhì)和三角形垂心概念可判斷【詳解】解：對(duì)于A，由，得，所以，所以角為銳角，但不能判斷三角形為銳角三角形，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?，所以，即，所?得，因?yàn)?，所以，所以三角形為直角三角形，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以（為的中點(diǎn)），所以三點(diǎn)共線，所以點(diǎn)在邊的中線上，同理，可得點(diǎn)在其它兩邊的中線上，所以G是的重心，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)?，所以?所以，所以點(diǎn)在邊的高上，同理可得點(diǎn)也在其它兩邊的高上，所以點(diǎn)為的垂心，所以D錯(cuò)誤，故選：BC20．已知向量是兩個(gè)非零向量，在下列條件中，一定能使共線的是（）A．且B．存在相異實(shí)數(shù)，使C．（其中實(shí)數(shù)x，y滿足）D．已知梯形ABCD，其中【答案】AB【分析】選項(xiàng)A：根據(jù)，即可得出，從而得出共線；選項(xiàng)B：可得出都不等于0，并得出，從而得出共線；選項(xiàng)C：當(dāng)，時(shí)，滿足選項(xiàng)的條件，顯然得不出共線；對(duì)于選項(xiàng)D：顯然得不出共線．【詳解】解：A．聯(lián)立和消去向量可得出，∴，且，所以共線.B．∵都是非零向量，且，，∴都不為0，所以，所以共線.C．當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)對(duì)任意的向量都有，∴得不出共線；D．∵在梯形中AB與CD不一定平行，∴得不出共線．故選：AB．第II卷（非選擇題）三、填空題21．已知在中，，則___________.【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)，得到和，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)，可得，因?yàn)?，可得，，所?故答案為：.22．在中，點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，若，則的最小值是________．【答案】/0.9【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用表示出，再設(shè)，；用分別表示出求出與，再將其代入，可得，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求的最小值．【詳解】如圖所示，中，，∴，又點(diǎn)點(diǎn)在線段上移動(dòng)，設(shè)，，∴，又，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，取到最小值，最小值為.故答案為：．23．在中，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)G在上，且是的重心，則用向量?表示為___________.【答案】【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可知，，再根據(jù)向量減法即可求出．【詳解】在中，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)G在上，且是的重心，所以，．故答案為：．24．已知點(diǎn)G為△ABC的重心，過G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，且＝x，＝y(tǒng)，求的值為________．【答案】3【分析】以為基底，由G是的重心和M，G，N三點(diǎn)共線，可得，即求.【詳解】根據(jù)條件：，如圖設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則因?yàn)镚是的重心，，，又M，G，N三點(diǎn)共線，，即.故答案為：3.25．如圖，在菱形中，，．已知，，，則______．【答案】【分析】利用向量的線性運(yùn)算以及向量數(shù)量積的定義即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以．又，所以．因?yàn)椋?，所以．故答案為：四、解答題26．已知，，．（1）求與的夾角θ；（2）求；（3）若，求實(shí)數(shù)λ的值．【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解；（2）由（1）中的結(jié)果結(jié)合模平方之后轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算即可求解；（3）由向量垂直得出數(shù)量積為零的等式，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)λ的值.（1）解：∵即又因?yàn)?，?4-8×4×3cosθ+27=43，∴．∵θ∈[0，π]，∴．（2）解：由（1）得．（3）解：∵，∴，∴即，∴3λ=10，∴．27．已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且（1）若m+n=1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線；（2）若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m+n=1.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）由原式可代換為，再由，兩式聯(lián)立變形即可求證；（2）由A，P，B三點(diǎn)共線，可得，變形得，整理成關(guān)于的表達(dá)式，再結(jié)合，由對(duì)應(yīng)關(guān)系即可求證【詳解】（1）證明：若m+n=1，則，，故，即，，即共線，又有公共點(diǎn)，則A，P，B三點(diǎn)共線；（2）證明：若A，P，B三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使得，變形得，即，，又，，故28．如圖，已知D，E，F(xiàn)分別為的三邊，，的中點(diǎn)，求證：．【答案】證明見解析【分析】利用向量加法的三角形法則，在圖形中尋找回路，即可證明．【詳解】由題意知，，，由題意可知，．．29．已知向量，，.（1）若點(diǎn)，，能夠成三角形，求實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的條件；（2）若為直角三角形，且為直角，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)點(diǎn)，，能構(gòu)成三角形，則這三點(diǎn)不共線，即與不共線，利用向量共線的坐標(biāo)公式計(jì)算即可．(2)為直角三角形，且為直角，則，利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)公式計(jì)算即可．【詳解】（1）已知向量，，，若點(diǎn)，，能構(gòu)成三角形，則這三點(diǎn)不共線，即與不共線.，，故知，∴實(shí)數(shù)時(shí)，滿足條件.（2）若為直角三角形，且為直角，則，∴，解得.30．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)a，b，c成等比數(shù)列，，延長(zhǎng)至D使.（1）求的大小；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先根據(jù)，得到；①再結(jié)合成等比數(shù)列得到；②二者聯(lián)立即可求出的大??；（2）上面的二者聯(lián)立求得，得到其為正三角形，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)論．【詳解】（1）依題可得：，，①又因?yàn)殚L(zhǎng)a，b，c成等比數(shù)列，所以，由正弦定理得：②①②得：，化簡(jiǎn)得：，解得：，又，所以，（2）①②得：，即，即，即三角形為正三角形，設(shè)的邊長(zhǎng)為x，由已知可得，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.的取值范圍.任務(wù)二:中立模式(中檔)1-40題一、單選題1．設(shè)、、為非零不共線向量，若，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意化簡(jiǎn)得到，整理得恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合，即可求解.【詳解】由向量、、為非零不共線向量，若，則，可得，化簡(jiǎn)得，即恒成立，令，則，即，所以故選：D.2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)．若動(dòng)點(diǎn)M滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，求出動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，然后用三角換元法表示出，計(jì)算，并由兩角和的正弦公式變形，由正弦函數(shù)性質(zhì)求得范圍．【詳解】設(shè)，則由，得M的方程為，設(shè)，則．故選：D．3．已知是邊長(zhǎng)為2的正方形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可計(jì)算作答.【詳解】是邊長(zhǎng)為2的正方形，則以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB，AD分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：則，設(shè)點(diǎn)，，于是得：，當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以的最小值是.故選：B4．已知點(diǎn)為正所在平面上一點(diǎn)，且滿足，若的面積與的面積比值為，則的值為（）A． B．C．2 D．3【答案】B【分析】如圖，分別是對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)，對(duì)所給的向量等式進(jìn)行變形，根據(jù)變化后的條件得到，由于正三角形，結(jié)合題目中的面積關(guān)系得到，，由面積之比，分所成的比，從而得出的值．【詳解】，．如圖，，分別是對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)，由平行四邊形法則知，，故，在正三角形中，，，且三角形與三角形的底邊相等，面積之比為,所以，得．故選：B5．已知直線：與圓：的交點(diǎn)為，，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則的最大值為（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】先把圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，可得直線恒過圓心，即，利用向量加法的三角不等式，分析即得解【詳解】圓：化成，故點(diǎn)，，直線：恒過圓心，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)和同向共線，且點(diǎn)為圓上最高點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立故選：B6．已知平面向量滿足，，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件可得，，，設(shè)，，，可得點(diǎn)的軌跡為圓，由圓的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，，，因?yàn)?，所以，設(shè)，，，，，所以，即，所以點(diǎn)在以為圓心，半徑的圓上，表示圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)的距離，所以的最小值為，故選：D.7．已知向量，，為平面向量，，且使得與所成夾角為，則的最大值為（）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】先根據(jù)已知條件求出向量，的夾角，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，設(shè)，，，根據(jù)線性運(yùn)算可得，，，結(jié)合正弦定理可求出點(diǎn)的軌跡，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)?，所以，如圖所示：在平面直角坐標(biāo)系中，，，不妨設(shè)，，延長(zhǎng)到使得，則，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，，則，，則滿足題意時(shí)，，結(jié)合點(diǎn)，為定點(diǎn)，且，由正弦定理可得：，可得，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的優(yōu)弧上，當(dāng)三點(diǎn)共線，即點(diǎn)位于圖中點(diǎn)位置時(shí)，取得最大值，其最大值為，故選：A.8．非零向量，滿足，且，則為（）A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】先根據(jù)，判斷出的角平分線與垂直，進(jìn)而推斷三角形為等腰三角形進(jìn)而根據(jù)向量的數(shù)量積公式求得，判斷出三角形的形狀．【詳解】，，分別為單位向量，的角平分線與垂直，，，，，為等邊三角形．故選：D．9．在中，，，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知數(shù)量積相等求得，取中點(diǎn)D，從而求得中線的長(zhǎng)，可表示為的函數(shù)，由三角函數(shù)知識(shí)得取值范圍．【詳解】在中，，即，取中點(diǎn)D，即，則又BD是中線，所以是等腰三角形，BA=BC.由，即，，則，由，則，所以.故選：C．10．已知的三個(gè)內(nèi)角分別為，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的（）A．重心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．外心【答案】A【分析】利用正弦定理變形向量等式，再利用向量加法、向量減法的意義即可判斷作答.【詳解】在中，令線段BC的中點(diǎn)為M，由正弦定理得：，由得：，即，而，，則，于是得與同向共線，而它們有公共起點(diǎn)，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是射線AM(除A點(diǎn)外)，又重心在線段AM上，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的重心.故選：A11．已知平面向量滿足，，，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量的模的運(yùn)算得：易得，又對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，即對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，由二次不等式恒成立問題得：△，即可得到答案；【詳解】解：由，，，得，又對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，即對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，即對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，即△，解得：或，故選：B.12．已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O為△ABC的外心，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡一定過△ABC的（）A．內(nèi)心 B．垂心 C．重心 D．AC邊的中點(diǎn)【答案】C【分析】設(shè)△ABC的重心為G，則，結(jié)合題設(shè)，利用平面向量的運(yùn)算法則可得，即G、P、C三點(diǎn)共線，從而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)△ABC的重心為G，∵，∴，∴，∴G、P、C三點(diǎn)共線，故選C．13．平面內(nèi)及一點(diǎn)滿足，則點(diǎn)是的（）A．重心 B．內(nèi)心 C．外心 D．垂心【答案】B【分析】由可得，，從而可知，是角平分線，即可得點(diǎn)的性質(zhì).【詳解】解：由知，，即，即，則是的角平分線，同理，即，則是的角平分線，則點(diǎn)是的內(nèi)心.故選:B.14．設(shè)點(diǎn)是的重心，且滿足，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由點(diǎn)是的重心可得,利用正弦定理可得,則,即,可得,進(jìn)而利用余弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是的重心,所以,因?yàn)?由正弦定理可得,所以,即,故,則,則由余弦定理可得.故選:B15．若直線過△的重心，且，，其中，，則的最小值是（）．A． B． C．2 D．【答案】B【分析】直線過△的重心得到，由已知化簡(jiǎn)得，利用三點(diǎn)共線得到，再運(yùn)用基本不等式求解可得.【詳解】如圖：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，所以點(diǎn)是中點(diǎn),又，,又，,因?yàn)槿c(diǎn)共線，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.故選：B16．在中，，，且，，則點(diǎn)的軌跡一定通過的（）A．重心 B．內(nèi)心C．外心 D．垂心【答案】A【分析】過C作，交AB于H，取AB中點(diǎn)D，連接CD，所以，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)可得，根據(jù)三角形的性質(zhì)，分析即可得答案.【詳解】過C作，交AB于H，取AB中點(diǎn)D，連接CD，如圖所示：根據(jù)三角函數(shù)定義可得，因?yàn)椋?，即，即點(diǎn)P的軌跡在中線CD上，而三角形三邊中線的交點(diǎn)為該三角形的重心，所以點(diǎn)的軌跡一定通過的重心.故選：A17．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，點(diǎn)是的重心，且，則（）A．或 B． C．或 D．【答案】C【分析】利用二倍角的余弦公式以及誘導(dǎo)公式求出，可得出或，然后由點(diǎn)是的重心，得出，兩邊平方后化簡(jiǎn)得出，然后分或兩種情況討論，求出的值，由余弦定理可求出的值.【詳解】，，整理得，解得或（舍去）.或.又點(diǎn)是的重心，則，等式兩邊平方得，，，，整理得.①當(dāng)時(shí)，則有，解得，由余弦定理得，則；②當(dāng)時(shí)，則有，解得，由余弦定理得，則.因此，或.故選：C.18．在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作一直線分別與邊，交于，，若，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用與共線，存在實(shí)數(shù)，使，把用表示，然后由基本不等式得最小值．【詳解】解：在中，為邊的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，，同理，，與共線，存在實(shí)數(shù)，使，即，即，解得，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“”成立，的最小值是．故選：C．19．已知圓的半徑為2，A為圓內(nèi)一點(diǎn)，，B，C為圓上任意兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)為和的夾角，則，由的范圍可得答案.【詳解】如圖，連接，，設(shè)為和的夾角.則且，由，當(dāng)時(shí)，有最小值；當(dāng)時(shí)，有最大值為10.故選：C.20．已知，，，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，（）恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件由進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出，然后根據(jù)可得出對(duì)任意實(shí)數(shù)，即可得到恒成立，然后根據(jù)及解出的范圍即可．【詳解】解：，，，，對(duì)任意實(shí)數(shù)，，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒成立，，解得或，因?yàn)?，所以?shí)數(shù)的范圍為：．故選：．二、多選題21．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉于1765年在其著作《三角形中的幾何學(xué)》首次指出：的外心，重心，垂心，依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為歐拉線.若，，則下列各式正確的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)歐拉線定理可判斷A；利用向量的加、減運(yùn)算可判斷B；利用向量的數(shù)量積可判斷C；利用向量的加法運(yùn)算以及歐拉線定理可判斷D.【詳解】A，由題意可得，即，故A正確；B，由是的重心可得,所以，故B錯(cuò)誤；C，過的外心分別作的垂線，垂足為，如圖，易知分別是的中點(diǎn)，則，故C正確；D，因?yàn)槭堑闹匦模?，故，由歐拉線定理可得,所以，故D正確.故選：ACD22．著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知△ABC的外心為O，重心為G，垂心為H，M為BC中點(diǎn)，且AB=4，AC=2，則下列各式正確的有（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用三角形外心、重心、垂心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算法則以及平面向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算律逐項(xiàng)分析即可求出結(jié)果.【詳解】由G是三角形ABC的重心可得，所以=，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；過三角形ABC的外心O分別作AB、AC的垂線，垂足為D、E，如圖（1），易知D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，則，故B項(xiàng)正確；因?yàn)镚是三角形ABC的重心，所以有，故，由歐拉線定理可得，故C項(xiàng)正確；如圖（2），由可得，即，則有，D項(xiàng)正確，故選：BCD.23．在中，，，下述四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A．若為的重心，則B．若為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則為定值2C．若，為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為D．已知為內(nèi)一點(diǎn)，若，且，則的最大值為2【答案】AC【分析】A.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AC所在直線為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，由為的重心，結(jié)合向量的數(shù)乘運(yùn)算判斷；B.設(shè)，把用含t的代數(shù)式表示判斷；C.不妨設(shè)M靠近B，，求得M，N的坐標(biāo)，得到關(guān)于x的函數(shù)，利用二次函數(shù)求值判斷；D.由結(jié)合BP=1，得到，再令，轉(zhuǎn)化為，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解判斷.【詳解】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AC所在直線為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)闉榈闹匦模?，則，所以，所以，故A正確；設(shè)，則，則，，故B錯(cuò)誤；不妨設(shè)M靠近B，，得，則，當(dāng)時(shí)，的最小值為：故C正確；由，且P為內(nèi)一點(diǎn)，BP=1，則，即，令，則，因?yàn)?，則，所以，所以的范圍是，故D錯(cuò)誤.故選：AC24．已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，，是邊的三等分點(diǎn)靠近點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，則（）A．B．C．D．的最小值為-6【答案】ABD【分析】由題意得，由向量線性運(yùn)算知，故A正確；根據(jù)，，三點(diǎn)共線可知，是的中點(diǎn)，是靠近的四等分點(diǎn)，可推出，B正確；根據(jù)等邊三角形求得，可知，C錯(cuò)誤；建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算可得，可求得最小值-6，D正確.【詳解】解：∵，∴又∵是邊的三等分點(diǎn)靠近點(diǎn)∴∴，故選項(xiàng)A正確；設(shè)，則∵，，三點(diǎn)共線∴，故∴是的中點(diǎn)∴又∵，，三點(diǎn)共線，所以為靠近的四等分點(diǎn)∴，故選項(xiàng)B正確；∵是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形∴∴，故選項(xiàng)C不正確；以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)且與垂直的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，，設(shè)點(diǎn)，則∴最小值為-6，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD．25．在中，角、、所對(duì)的邊分別是、、，點(diǎn)是其所在平面內(nèi)一點(diǎn)，（）A．若，則點(diǎn)在的中位線上B．若，則為的重心C．若，則為銳角三角形D．若，則是等腰三角形【答案】ABD【分析】由平面向量的線性運(yùn)算以及向量共線基本定理可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用三角形重心的向量表示可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用特殊值法可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用正弦定理邊角互化可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，則，即，設(shè)、的中點(diǎn)分別為、，則，故點(diǎn)在的中位線上，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)為的中點(diǎn)，則，所以，，故為的重心，B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，取，，，則滿足，但，此時(shí)，為直角三角形，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，由正弦定理可得，，，則，，可得，所以，為等腰三角形，D對(duì).故選：ABD.26．下列說法中錯(cuò)誤的為（）A．已知，且與夾角為銳角，則B．點(diǎn)為的內(nèi)心，且，則為等腰三角形；C．若與平行，在方向上的投影為D．若非零，滿足則與的夾角是【答案】ACD【分析】對(duì)于A，分析得到且，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,分析得到，所以為等腰三角形，所以B正確；對(duì)于C，在方向上的正射影的數(shù)量為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，與的夾角為，故D錯(cuò)誤．【詳解】解：對(duì)于A，，且與夾角為銳角，，且時(shí)與的夾角為，所以且，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,所以，所以為等腰三角形，所以B正確；對(duì)于C，若，則在方向上的正射影的數(shù)量為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋瑑蛇吰椒降?，，則，，故，而向量的夾角范圍為，，得與的夾角為，故D錯(cuò)誤．故選：ACD27．如圖，ABCD中，AB=1，AD=2，∠BAD=，E為CD的中點(diǎn)，AE與DB交于F，則下列敘述中，一定正確的是（）A．在上的投影向量為(0，0) B．C． D．若，則【答案】ABC【分析】由余弦定理求出，再由勾股定理逆定理得到，即可判斷A；根據(jù)平面向量基本定理判斷B，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可判斷C，首先根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，即可求出，即可判斷D．【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)?，因?yàn)?，所以，即，在上的投影向量為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，設(shè)，因?yàn)锽，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，所以，所以，所以，所以B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，如果，又因?yàn)?，所以，不滿足，故D不正確.故選：28．已知是△所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．若，則是△的重心B．若向量，且，則△是正三角形C．若是△的外心，，，則的值為-8D．若，則【答案】BCD【分析】由平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，逐一檢驗(yàn)可得解．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，即，，同理，，則是△的垂心，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，設(shè)的中點(diǎn)為，，即，，，為△的重心，又，為的外心．故△的形狀是等邊三角形，故正確；對(duì)于選項(xiàng)，如圖，過作，垂足分別為，，則，分別是，的中點(diǎn)，則；故正確；對(duì)于選項(xiàng)，延長(zhǎng)至，使；延長(zhǎng)至，使，則，為△的重心，，，，，，故正確．故選：．第II卷（非選擇題）三、填空題29．如圖，△ABC中，，，，為△ABC重心，P為線段BG上一點(diǎn)，則的最大值為___________.【答案】20【分析】延長(zhǎng)交于，由為△ABC重心，得為的中點(diǎn)，則可得，設(shè)，可得，分別把用基底表示，再由數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)合二次函數(shù)求最值可得的最大值【詳解】延長(zhǎng)交于，因?yàn)闉椤鰽BC重心，所以為的中點(diǎn)，所以,設(shè)，因?yàn)镻為線段BG上一點(diǎn)，所以，因?yàn)闉椤鰽BC重心，所以，因?yàn)?，所以其對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值20，故答案為：2030．在中，下列命題中正確的有：___________①；②若，則為銳角三角形；③是所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)一定過的重心；④是內(nèi)一定點(diǎn)，且，則；⑤若，且，則為等邊三角形.【答案】③⑤【分析】利用平面向量的減法可判斷①的正誤；利用平面向量數(shù)量積判斷出為銳角，可判斷②的正誤；根據(jù)平面向量共線的基本定理可判斷③的正誤；確定點(diǎn)的位置，可判斷④的正誤；分析可得出，求出角的值，可判斷⑤的正誤.【詳解】①，①錯(cuò)誤；②若，則為銳角，但無法確定、的大小，為銳角三角形不正確，②錯(cuò)誤；③由動(dòng)點(diǎn)滿足，得，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，即，為的中線，過的重心，③正確；④設(shè)為中點(diǎn)，連接，則是的中線，由③可知，由已知且得，即、、三點(diǎn)共線，且為的中點(diǎn)，在中，是邊上的中線，可得.同理可得中，，所以，，由此可得，所以，，④錯(cuò)誤；⑤因?yàn)?，可得，因?yàn)?、，，因?yàn)椋遥?，，因此，為等邊三角形，⑤正確.故答案為：③⑤.31．已知向量，是平面內(nèi)的兩個(gè)非零向量，則當(dāng)取最大值時(shí)，與夾角為________．【答案】/【分析】根據(jù)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)推出，再根據(jù)題意以及等號(hào)成立條件，即可求解.【詳解】∵向量，是平面內(nèi)的兩個(gè)非零向量，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，即，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，則與夾角為，∴當(dāng)取最大值時(shí)，與夾角為.故答案為：.32．點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，，若的面積為，則的最小值是________．【答案】【分析】在中，根據(jù)題意化簡(jiǎn)得到，根據(jù)的面積為，求得，再根據(jù)，得到，設(shè)，結(jié)合點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，利用直線與半圓相切，即可求解.【詳解】在中，設(shè)角對(duì)的三邊分別為，由，又由，可得且，解得，因?yàn)榈拿娣e為，所以，可得，由，可得，設(shè)，其中因?yàn)楸硎军c(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，如圖所示，當(dāng)過點(diǎn)與半圓相切時(shí)，此時(shí)斜率最大，在直角中，，可得，所以斜率的最大值為，所以的最大值為，所以，所以，即的最小值為.故答案為：.33．①若，，，為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是②點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，若，則點(diǎn)為的垂心③點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，若，，分別表示，的面積，則④點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，滿足且，則點(diǎn)是的外心.以上命題為假命題的序號(hào)是___________.【答案】①④/④①【分析】①：利用向量夾角的坐標(biāo)公式表示寫出關(guān)于的關(guān)系式，由求的范圍，注意排除的情況；②：證得，，，可判斷正誤；③：若分別是的中點(diǎn)，結(jié)合已知得，再過作上的高，由線段比例確定高的比例即可；④：,,,由等的幾何意義及已知條件得,.【詳解】①：,，由為銳角，故，且與不共線，所以且，故①錯(cuò)誤；②：因?yàn)?，所以，即，因此，同理，，所以點(diǎn)為的垂心，故②正確；③：若分別是的中點(diǎn)，則，，所以，故，即共線且，過作上的高，易知，則，所以，故③正確；④：如下圖，，則，，由已知條件知：，，易知為△的內(nèi)心，故④錯(cuò)誤；故答案為：①④.34．如圖，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起，若，則________.【答案】【分析】以和所在的直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得和，得到、的坐標(biāo)，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】如圖所示，以和所在的直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，可得，所以為的中點(diǎn)，可得，則，所以又由，可得，所以，所以，則.35．已知向量，滿足，，則的最大值是________.【答案】【分析】先換元，轉(zhuǎn)化為直線與橢圓相切的問題,通過數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】設(shè)，則，=，，令，則，即設(shè)結(jié)合圖形可知當(dāng)直線，與相切時(shí)，有最大值.整理得，有，解得（舍去）將代入方程得，解得即的最大值為故答案為：36．已知平面向量，的夾角為45°，且，則的最小值是___________.【答案】【分析】設(shè)，則點(diǎn)在一條直線上運(yùn)動(dòng)，，于是問題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問題，把點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱過去，設(shè)為，則最小值為的長(zhǎng)【詳解】解：如圖所示，設(shè)，則三點(diǎn)共線，且，設(shè)，因?yàn)槠矫嫦蛄浚膴A角為45°，所以點(diǎn)在一條直線上運(yùn)動(dòng)，且這條直線與的夾角為45°，設(shè)這條直線為，所以，，所以，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交直線與點(diǎn)，連接交直線與點(diǎn)，所以，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，不等式取等號(hào)，在中，，由余弦定理得，所以，所以的最小值為，故答案為：四、解答題37．平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量，，，且．（1）若已知M（1，1），N（y+1，2），y∈[0，2]，則求出的范圍；（2）若，求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)(2)16【分析】（1）由可得．故，，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求解；（2）由于，，再根據(jù)條件求出的值，進(jìn)而確定出的坐標(biāo)，然后根據(jù)求解．【詳解】（1）由題意得=（x+4，y﹣2），，∵，∴（x+4）y﹣（y﹣2）x=0，整理得即x+2y=0．∴=，y∈[0，2]．結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí)可得．∴的范圍是．（2）由題意，，∵，∴（x+6）（x﹣2）+（y+1）（y﹣3）=0，即x2+y2+4x﹣2y﹣15=0，由，解得或，當(dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)時(shí)，，，則．綜上可得四邊形ABCD的面積為16．38．在中，角所對(duì)邊分別為，，，，且為邊上的中線，點(diǎn)在上，滿足.（1）求及線段的長(zhǎng)；（2）求的面積.【答案】（1），（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理和條件可得，再利用余弦定理可得線段的長(zhǎng)；（2）先由題得為的角平分線，過作的垂線，垂足分別為，則，再利用求出，通過可得答案.（1）由正弦定理得，則，又解得（負(fù)值舍去）即.（2）由得為的角平分線，過作的垂線，垂足分別為，則又，得.39．已知向量與的夾角為，且，．（1）若向量與共線，求實(shí)數(shù)的值；（2）若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【分析】（1）由與共線，得到，然后由，即，根據(jù)，不共線求解；（2）法一：根據(jù)與的夾角為銳角，由且與的夾角不為求解；法二：設(shè)與的夾角為，然后由即求解．（1）解：因?yàn)榕c共線，所以，即存在實(shí)數(shù)，使得，即，因?yàn)?，不共線，所以解得，故．（2）法一：因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以且與的夾角不為．首先，因?yàn)椋?，解得；其次?dāng)時(shí)，由（1）得與的夾角為，所以，所以的取值范圍為．法二：設(shè)與的夾角為，由已知得．因?yàn)?，，．．所以，解得，，所以的取值范圍為?0．在等邊中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，交于點(diǎn).（1）證明：點(diǎn)為的中點(diǎn)；（2）若，求的面積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）設(shè)，由平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合向量共線的推論求得，即可求證；（2）由平面向量的共線定理，向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合三角形面積公式即可求解【詳解】（1）證明：設(shè)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，.，，三點(diǎn)共線，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).（2）由（1）知，.設(shè)，，，三點(diǎn)共線，，，，，，，，，.任務(wù)三:邪惡模式(困難)1-30題一、單選題1．如圖，在等腰△中，已知分別是邊的點(diǎn)，且，其中且，若線段的中點(diǎn)分別為，則的最小值是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)幾何圖形中線段對(duì)應(yīng)向量的線性關(guān)系，可得，，又且且，可得關(guān)于的函數(shù)式，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求的最小值.【詳解】在等腰△中，，則，∵分別是邊的點(diǎn)，∴，，而，∴兩邊平方得：，而，∴，又，即，∴當(dāng)時(shí)，最小值為，即的最小值為.故選：C2．在中，，點(diǎn)在邊上，且，設(shè)，則當(dāng)取最大值時(shí)，（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而求得A，根據(jù)點(diǎn)在邊上，且，得到，再由余弦定理結(jié)合兩邊平方，得到，令，得到，用導(dǎo)數(shù)法求得最大值時(shí)a，b，c的關(guān)系，再利用正弦定理求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，且，所以，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，，所以，即，即，所以，令，得，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，所以，解得，在中，由正弦定理得，解得，即.故選：B3．已知為單位向量，且，若非零向量滿足，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，由，計(jì)算可得，設(shè)，，由，計(jì)算可得，可推出時(shí)，等號(hào)成立，計(jì)算可得，結(jié)合，可求出，從而可求出的最大值.【詳解】由題意，可設(shè)，，則，由，可得，整理得，設(shè)，，由，可得，即，所以，當(dāng)時(shí)，或，即或，因?yàn)?，所以不符合題意，故時(shí)，.而，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，因?yàn)?，所以，即，所?故選：D.4．如圖，在平面四邊形中，，，，，，若點(diǎn)F為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求得的表達(dá)式，進(jìn)而求得的最小值.【詳解】以為原點(diǎn)建立如圖所示平面直角.依題意，，，在三角形中，由余弦定理得.所以，所以.而，所以.在三角形中，由余弦定理得.所以，所以.在三角形中，，所以三角形是等邊三角形，所以.所以，設(shè)依題意令，即，所以，所以，所以.對(duì)于二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為，開口向上，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，也即有最小值為.故選：B5．在中，已知，，的面積為6，若為線段上的點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），且，則的最小值為（）.A．9 B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)題意得，，進(jìn)而得，，，，，進(jìn)而得，，故，再根據(jù)為線段上的點(diǎn)得，最后結(jié)合基本不等式求解即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以，所以，，，由于，所以，所以，所以由余弦定理得：，即.所以，因?yàn)闉榫€段上的點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），所以，根據(jù)題意得所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以.故選：C.6．在中，已知，，，為線段上的一點(diǎn)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由sinB=cosA?sinC化簡(jiǎn)可求cosC=0即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考慮建立直角坐標(biāo)系，由P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)λ使得,由，為單位向量，可得，，可得,可得，則由，利用基本不等式求解最小值．【詳解】中設(shè)，，，，即，，，，，，，，，根據(jù)直角三角形可得，，，，，以所在的直線為x軸，以所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系可得，，，P為直線上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)使得,設(shè)，，則，，,,，則,,故所求的最小值為,故選：D.7．已知O是所在平面上的一點(diǎn)，若（其中P是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)），則O點(diǎn)是的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】將所給向量表達(dá)式進(jìn)行變形,表示成與方向上的單位向量的形式,由向量加法運(yùn)算的性質(zhì)即可知O在角平分線上,即可得解.【詳解】因?yàn)閯t,即移項(xiàng)可得即則因?yàn)樗曰?jiǎn)可得,即設(shè)為方向上的單位向量,為方向上的單位向量所以,則所以則在的角平分線上同理可知在的角平分線上因而為的內(nèi)心故選:B8．已知向量，，滿足，在方向上的投影為2，，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，向量的夾角為，可得，即可求出，不妨設(shè)，，設(shè)，由，整理可知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓，而，結(jié)合圓的性質(zhì)，可求出的最小值.【詳解】設(shè)，向量的夾角為，則，則，因?yàn)?，所?不妨設(shè)，，設(shè)，則，整理得，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓，記圓心為，又，即，當(dāng)直線過圓心，且垂直于軸時(shí)，可取得最小值，即.故選：A.9．已知的內(nèi)角分別為，，且的內(nèi)切圓面積為，則的最小值為（）A． B．8 C． D．【答案】A【分析】利用三角恒等變換可得，由題設(shè)有內(nèi)切圓半徑，進(jìn)而可得，由三角形面積公式、向量數(shù)量積的定義，可得，再由余弦定理及基本不等式求的范圍，進(jìn)而可得的最小值.【詳解】由題設(shè)，，又∴，又，故，則，又的內(nèi)切圓面積為，若內(nèi)切圓半徑為，對(duì)應(yīng)邊分別為，∴，則，易知：，∵，∴，又，即，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，即，可得，∴，在時(shí)等號(hào)成立.∴的最小值為6.故選：A10．如圖，在等腰梯形中，，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn).如果對(duì)于常數(shù)，在等腰梯形的四條邊上，有且只有8個(gè)不同的點(diǎn)使得成立，那么的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)的坐標(biāo)，根據(jù)得到關(guān)于的方程，根據(jù)的位置分四種情況討論方程解得情況．【詳解】解：以所在直線為軸，的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則梯形的高為，，，，，，．（1）當(dāng)在上時(shí)，設(shè)，，則，．于是，當(dāng)時(shí)，方程有一解，當(dāng)時(shí)，有兩解；（2）當(dāng)在上時(shí)，設(shè)，，則，．于是，當(dāng)時(shí)，方程有一解，當(dāng)時(shí)，有兩解；（3）當(dāng)在上時(shí)，直線方程為，設(shè)，，則，．于是．當(dāng)或時(shí)，方程有一解，當(dāng)時(shí)，方程有兩解；（4）當(dāng)在上時(shí)，直線的方程為，設(shè)，，則，．于是．當(dāng)或時(shí)，方程有一解，當(dāng)時(shí)，方程有兩解；綜上，若使梯形上有8個(gè)不同的點(diǎn)滿足成立，則的取值范圍是，，，，，．故選：．11．已知平面向量，，（與不共線），滿足，，設(shè)，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，由已知條件判斷出，即是等腰直角三角形，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的邊為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，得，再由得，設(shè)，求出范圍可得答案【詳解】設(shè)，則，，所以，即是等腰直角三角形，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的邊為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，，兩式相加得，所以，因?yàn)?，所以設(shè)，所以，因?yàn)椴还簿€，所以不共線，所以，所以，，，所以，故選：A.12．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為，若，則雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由得，由此求得的坐標(biāo)，將的坐標(biāo)代入雙曲線方程，化簡(jiǎn)求得，從而求得雙曲線的漸近線方程.【詳解】依題意，所以，，設(shè)直線的傾斜角為，則為鈍角，，結(jié)合解得，設(shè)，則，，將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程得，而，所以，化簡(jiǎn)得，，，，，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A13．半徑為的圓上有三點(diǎn)、、滿足，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)與交于點(diǎn)，由得四邊形是菱形，是對(duì)角線中點(diǎn)，用和其他向量表示并計(jì)算數(shù)量積后可得＝，由點(diǎn)與的位置關(guān)系可得的取值范圍，得結(jié)論．【詳解】如圖，與交于點(diǎn)，由得：，所以四邊形是菱形，且，則，，由圖知，，而，∴，同理，，而，∴，∴，∵點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則，∴，故選：A.14．已如平面向量、、，滿足，，，，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作，，，取的中點(diǎn)，連接，分析出為等邊三角形，可求得，計(jì)算得出，利用圓的幾何性質(zhì)求出面積的最大值，即可得出結(jié)果.【詳解】如下圖所示，作，，，取的中點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，，，，所以，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，，所以，的底邊上的高為，，，所以，，所以，，由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)、、三點(diǎn)共線且為線段上的點(diǎn)時(shí)，的面積取得最大值，此時(shí)，的底邊上的高取最大值，即，則，因此，的最大值為.故選：B.15．平面上的兩個(gè)向量和，，，，若向量，且，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意得出，畫出圖形，取的中點(diǎn)D，求出，說明C在以D為圓心的圓上，利用求O點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最大值的方法即可求出.【詳解】∵，∴，∵，，，∴，取的中點(diǎn)D，且，如圖所示：則，∴，∴，∵，∴，∴C在以D為圓心，為半徑的圓上，∴的最大值為.故選:B.二、多選題16．對(duì)于給定的，其外心為，重心為，垂心為，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．過點(diǎn)的直線交于，若，，則D．與共線【答案】ACD【分析】根據(jù)外心在AB上的射影是AB的中點(diǎn)，利用向量的數(shù)量積的定義可以證明A正確；利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則可以即，在一般三角形中易知這是不一定正確的，由此可判定B錯(cuò)誤；利用三角形中線的定義，線性運(yùn)算和平面向量基本定理中的推論可以證明C正確；利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和向量垂直的條件可以判定與垂直，從而說明D正確.【詳解】如圖，設(shè)AB中點(diǎn)為M,則,,故A正確；等價(jià)于等價(jià)于,即，對(duì)于一般三角形而言，是外心，不一定與垂直，比如直角三角形中，若為直角頂點(diǎn)，則為斜邊的中點(diǎn)，與不垂直.故B錯(cuò)誤；設(shè)的中點(diǎn)為,則，∵E,F,G三點(diǎn)共線，，即,故C正確；,與垂直,又,∴與共線，故D正確.故選：ACD.17．如圖，直角的斜邊BC長(zhǎng)為2，，且點(diǎn)B，C分別在x軸正半軸和y軸正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)A在線段BC的右上方則（）A．有最大值也有最小值 B．有最大值無最小值C．有最小值無最大值 D．無最大值也無最小值【答案】BD【分析】設(shè)，則，所以，，.由化簡(jiǎn)為根據(jù)的范圍可判斷A；由化簡(jiǎn)為根據(jù)的范圍可判斷B；由化簡(jiǎn)為根據(jù)的范圍可判斷C；由化簡(jiǎn)為根據(jù)的范圍可判斷D.【詳解】由題意，，所以，設(shè)，則的補(bǔ)角即與x軸正半軸的夾角，所以，，，所以，，由于，所以，當(dāng)?shù)脮r(shí)，取最大值為1，無最小值，有最大值為，無最小值，故有最大值無最小值，即A錯(cuò)誤；所以，由于，所以，當(dāng)?shù)脮r(shí)，取最大值為1，無最小值，的最大值為，無最小值，故有最大值無最小值，故B正確；，由于，所以，當(dāng)?shù)脮r(shí)，取最大值1，無最小值，此時(shí)有最大值，無最小值，即有最大值無最小值，故C錯(cuò)誤；，由于，所以，所以，既無最大值也無最小值，D正確.故選：BD.18．在中，，，、的交點(diǎn)為，過作動(dòng)直線分別交線段、于、兩點(diǎn)，若，，則的不可能取到的值為（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】先證明結(jié)論：當(dāng)為直線外一點(diǎn)時(shí)，、、三點(diǎn)共線，.計(jì)算出，設(shè)，結(jié)合，可得出，然后將與相乘，展開后利用基本不等式求出的最小值，即可得出結(jié)論.【詳解】先證明結(jié)論：當(dāng)為直線外一點(diǎn)時(shí)，、、三點(diǎn)共線，.充分性：若、、三點(diǎn)共線，則存在，使得，即，所以，，因?yàn)?，則，充分性成立；必要性：因?yàn)榍遥?，，即，所以，，所以，、、三點(diǎn)共線.本題中，取的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：、分別為、的中點(diǎn)，則且，，，即，，即，，，，，、、三點(diǎn)共線，為直線外一點(diǎn)，則且.，，則，所以，，可得，由可得，由基本不等式可得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，的最小值為，ABC選項(xiàng)均不滿足.故選：ABC.19．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，、、的面積分別為、、，則.若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，、、是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)滿足，則（）A．為的垂心B．C．D．【答案】ABD【分析】首先可根據(jù)得出，用相同的方式得出、，即可得出A正確，然后作輔助線，根據(jù)、即可得出B正確，再然后通過正弦定理得出，即，用相同的方式得出，即可得出C錯(cuò)誤，最后結(jié)合解三角形面積公式以及B項(xiàng)得出、、，根據(jù)“奔馳定理”得出，結(jié)合C項(xiàng)即可得出D正確.【詳解】A項(xiàng)：，即，，，，同理可得，，故為的垂心，A正確；B：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)椋?，，因?yàn)?，所以，，則，B正確；C項(xiàng)：在中，由正弦定理易知，因?yàn)?，，所以，即，，同理可得，故，C錯(cuò)誤；D項(xiàng)：，同理可得，，則，同理可得，，因?yàn)?，所以將、、代入，可得，因?yàn)?，所以，故成立，D正確，故選：ABD.20．對(duì)于△，其外心為，重心為，垂心為，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．向量與共線D．過點(diǎn)的直線分別與、交于、兩點(diǎn)，若，，則【答案】BCD【分析】A：由外心的性質(zhì)，結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義判斷；B：根據(jù)的幾何意義即可判斷正誤；C：應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及定義化簡(jiǎn)，再根據(jù)判斷正誤；D：根據(jù)平面向量基本定理可得，再由三點(diǎn)共線即可證.【詳解】A：為外心，則，僅當(dāng)時(shí)才有，錯(cuò)誤；B：由，又，故，正確；C：，即與垂直，又，所以與共線，正確；D：，又三點(diǎn)共線，則，故，正確.故選：BCD21．已知平面向量滿足，，，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，均有的最小值為，則下列說法正確的是（）A．與夾角的余弦值為 B．的最小值為2C．的最小值為2 D．若時(shí)，這樣的有3個(gè)【答案】AC【分析】首先根據(jù)向量的垂直關(guān)系建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)法來解決本題，給出向量和，再根據(jù)已知條件給出向量終點(diǎn)C點(diǎn)的軌跡方程為；對(duì)于A選項(xiàng)，可以通過向量，的坐標(biāo)表示，結(jié)合夾角余弦的計(jì)算公式得到結(jié)果；對(duì)于B選項(xiàng)，，利用函數(shù)思想給出向量模長(zhǎng)的最小值為1；對(duì)于C選項(xiàng)：因?yàn)楸硎緬佄锞€上的點(diǎn)到和距離之和，再結(jié)合拋物線的定義，利用數(shù)形結(jié)合可以求出的最小值為2；對(duì)于D選項(xiàng)：可得(舍負(fù))，代入拋物線方程得到：，所以，故這樣的有2個(gè).【詳解】因?yàn)?，，，所以，在平面直角坐?biāo)系中令，設(shè)，過點(diǎn)作,垂足為，則而,所以,由拋物線的定義知：點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線上運(yùn)動(dòng)且方程為對(duì)于A:因?yàn)?，所以與夾角余弦值：，故A對(duì)；對(duì)于B:當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為1，故B錯(cuò)；對(duì)于C：，表示拋物線上的點(diǎn)到和距離之和，由拋物線的定義知：所以，故C對(duì)；對(duì)于D：所以，又因?yàn)椋?，代入拋物線方程得到：，所以，故這樣的有2個(gè)，故D錯(cuò).故選：AC第II卷（非選擇題）三、填空題22．已知平面向量滿足：，當(dāng)與所成角最大時(shí)，則______【答案】【分析】方法一：記，，，由條件可得，由此確定點(diǎn)C的軌跡，則與的夾角為，證明當(dāng)C為過，兩點(diǎn)的圓與圓相外切時(shí)的切點(diǎn)時(shí)，最大，設(shè)圓的半徑為，再由正弦定理可得，利用余弦定理求得，由此可得，方法二：以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB為x，y軸建立坐標(biāo)系，求點(diǎn)C的軌跡