2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題18立體幾何空間距離與截面100題教師版

本資料分享自高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854專注收集同步資源期待你的加入與分享專題18立體幾何空間距離與截面100題任務(wù)一:空間中的距離問題1-60題一、單選題1．《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以基，其形露矣．”文中“陽馬”是底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐．在陽馬中，側(cè)棱底面，且，，則點(diǎn)到平面的距離為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等體積法有，即可求到平面的距離.【詳解】設(shè)到平面的距離為，則三棱錐PABD的體積為：，即有，∴．故選：B．2．已知直線過定點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到的距離為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題首先可根據(jù)題意得出，然后求出與，最后根據(jù)空間點(diǎn)到直線的距離公式即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，則，，由點(diǎn)到直線的距離公式得，故選：A.3．在中，，，若平面，，則點(diǎn)到的距離是（）A． B．5 C． D．【答案】B【分析】取的中點(diǎn)，連接、，即可得到，再由線面垂直，得到，從而得到面，即可得到，再由勾股定理求出即可；【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?，所以，又平面，平面，所以，，面，所以面，面，所以，在中，，，所以，在中，，，所以故選：B4．在四面體中，PA，PB，PC兩兩垂直，設(shè)，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中點(diǎn)，連結(jié)，作平面，交于，由此能求出點(diǎn)到平面的距離．【詳解】解：在四面體中，，，兩兩垂直，，，取中點(diǎn)，連結(jié)，作平面，交于，則，，點(diǎn)到平面的距離．故選：．5．已知直線l的方向向量為，點(diǎn)在l上，則點(diǎn)到l的距離為（）A． B．1 C．3 D．2【答案】B【分析】結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式分別計(jì)算模長與夾角的正弦值即可計(jì)算.【詳解】由題可知，點(diǎn)到l的距離為，，，，，則，則，故點(diǎn)到l的距離為.故選：B6．已知棱長為2的正方體，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，則點(diǎn)B到EF的距離為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】在正方體中解，再在中用面積法求邊上的高.【詳解】連接、、，則為與中點(diǎn)，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以,又正方體邊長為2，所以，，，，設(shè)B到EF的距離為，則，.故選：A7．若平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)，，，，到平面的距離為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】求出，點(diǎn)A到平面的距離：，由此能求出結(jié)果【詳解】解：，，，，∴為平面的一條斜線，且∴點(diǎn)到平面的距離：故選：B.8．已知，則點(diǎn)A到直線的距離為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得，得到向量在方向上的投影為，進(jìn)而求得點(diǎn)A到直線的距離．【詳解】由，可得，則向量在方向上的投影為，所以點(diǎn)A到直線的距離．故選：A.9．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值轉(zhuǎn)化為異面直線D1E與CC1的距離，利用空間向量可求得結(jié)果.【詳解】以D為原點(diǎn)，分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則E(1,2,0)，D1(0,0,2)，,,，，,設(shè)(x，y，z)，,，則(x，y，z)·(0,0,2)＝0，∴z＝0，＝(x，y，z)·(－1，－2,2)＝，∴y＝-x，令x＝1，則y＝-，∴u＝(1,-,0)，∴異面直線D1E與CC1的距離為d＝，∵P在D1E上運(yùn)動(dòng)，∴P到直線CC1的距離的最小值為d＝.故選：A.10．如圖所示的三棱錐，平面，，若，，，，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為（）A． B． C． D．5【答案】D【分析】由題意，易知，由基本不等式可得當(dāng)取最大值時(shí)，的值，再由等體積法可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】解：平面，，又，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以當(dāng)取最大值時(shí)，，平面，，又，且，平面，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，即，即，所以，即是點(diǎn)到平面的距離為5.故選：D.11．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，E為A1B1的中點(diǎn)，下列說法中正確的是（）A．ED1與B1C所成的角大于60°B．點(diǎn)E到平面ABC1D1的距離為1C．三棱錐E﹣ABC1的外接球的表面積為D．直線CE與平面ADB1所成的角為【答案】D【分析】利用平行線轉(zhuǎn)移求異面直線成角的正切值，判斷A錯(cuò)誤；利用平行線上點(diǎn)到平面的距離相等求點(diǎn)到面距離，判斷B錯(cuò)誤；先判斷三棱錐的外接球即四棱錐的外接球，再結(jié)合球中幾何關(guān)系求球的半徑，再求表面積，判斷C錯(cuò)誤；利用線面成角的定義求正弦值，判斷D正確.【詳解】對(duì)于A，取DC中點(diǎn)F，連接，則為ED1與B1C所成的角，因?yàn)?，所以，故，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由平面知，到平面的距離等于到平面的距離，連接，交于，則平面，而，故到平面的距離為，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，三棱錐的外接球即四棱錐的外接球.因?yàn)樗倪呅问蔷匦危?，四棱錐的高為，設(shè)四棱錐的外接球半徑為R，則，解得.所以三棱錐的外接球的表面積為，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連接，取的中點(diǎn)H，連接，交EC于K，連接CH，HK，因?yàn)?，所以是直線CE與平面ADB1所成的角，，故，在直角三角形中，，，，即D正確.故選：D.12．如圖，正方體的棱長為2，M為棱的中點(diǎn)，N為棱上的點(diǎn)，且，現(xiàn)有下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，平面；②存在，使得平面；③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C到平面的距離為；④對(duì)任意，直線與都是異面直線．其中所有正確結(jié)論的編號(hào)為（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】D【分析】利用平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，再利用比例關(guān)系求的值，判斷①；利用反證法判斷②；利用等體積轉(zhuǎn)化求點(diǎn)C到平面的距離，判斷③；利用異面直線的判斷定理判斷④.【詳解】若平面，如圖，連接，記交于S，交于T，連接，則，又T為的中點(diǎn)，故S也為的中點(diǎn)．延長交的延長線于Q，可知，即，故①錯(cuò)誤．若平面，則，又，，所以平面，這是不可能的，故②錯(cuò)誤．利用等體積法，，，，解得：，求得點(diǎn)C到平面的距離為，故③正確．連接，平面，點(diǎn)平面，點(diǎn)平面，利用異面直線的判定定理“過平面內(nèi)一點(diǎn)和平面外一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線異面”，故④正確．故選：D13．重心是幾何體的一個(gè)重要性質(zhì)，我國的國寶級(jí)文物東漢銅奔馬（又名：馬踏飛燕）就是巧妙利用了重心位于支點(diǎn)正上方這一性質(zhì)而聞名于世.已知正三棱錐的重心是其每個(gè)頂點(diǎn)與其所對(duì)的面的三角形重心連線的交點(diǎn).若正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為，則其重心G到底面的距離為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】取、的重心，連接，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可得且，即可得到，從而得到，再利用勾股定理求出，即可得解；【詳解】解：如圖，為的重心，為的重心，連接，因?yàn)椋郧?，所以，所以，由正三棱錐的性質(zhì)可知平面，又，所以，又，所以，所以，所以重心G到底面的距離即為；故選：B14．三棱錐中，底面ABC，，，D為AB的中點(diǎn)，，則點(diǎn)D到面的距離等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】在三角形SAB內(nèi)作AE⊥SB交SB于E，進(jìn)而根據(jù)條件證明AE⊥面SBC，算出AE的長度，再根據(jù)D為AB的中點(diǎn)得到答案.【詳解】如圖，在三角形中，過A作AE⊥SB交SB于E，因?yàn)槊妫?，又，，所以面，因?yàn)槊?，所以，而AE⊥SB，且，所以AE⊥面SBC.在三角形SAB中，由勾股定理易得，則由等面積法可得：，因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以D到平面SBC的距離為：.故選：C.15．在棱長為的正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】在正方體中構(gòu)造三棱錐，用等體積法計(jì)算點(diǎn)到面的距離【詳解】如上圖所示，三棱錐可以換底為三棱錐，此時(shí)，底面積，高為，所以，三角形中，，根據(jù)余弦定理，，所以，，根據(jù)等體積法得：點(diǎn)到平面的距離故選：B16．已知正方形ABCD的邊長為4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)B到平面GEF的距離為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出點(diǎn)面距離，利用，結(jié)合幾何體的特征，即可用等體積法求得點(diǎn)面距離.【詳解】解：設(shè)到平面的距離為..，.所以.由得.故選：B.17．如圖，在長方體中，，，，是的中點(diǎn)，求到面的距離為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】連接，由，結(jié)合棱錐體積公式即可求到面的距離.【詳解】連接，則，由題設(shè)知：，，∴△中，上的高為，則，又，，即，若到面的距離為，∴，得.故選：B18．如圖，在長方體中，，，E，F(xiàn)分別是平面與平面的對(duì)角線交點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線AF距離為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】中，由長方體性質(zhì)求得三邊長，再由余弦定理求得的余弦，然后求得正弦后可得所求距離．【詳解】連接，因?yàn)槭情L方體，因此其棱與相應(yīng)的面垂直，從而垂直于該面中的直線，，，，，，，則，設(shè)到的距離為，則．故選：C．19．已知平面，垂足為點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)，，射線在內(nèi)，且，，則點(diǎn)到直線的距離是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，正確作出相應(yīng)圖形，容易得出答案.【詳解】如圖，過作，垂足為，連接，由平面，平面，則，由輔助線可得，又，則平面，則，于是到直線的距離是，由題意，直角三角形中，，，直角三角形中，，于是.故選：C20．定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值．在棱長為1的正方體中，直線與之間的距離是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】在上任取點(diǎn)，作，設(shè)，，根據(jù)得出和的關(guān)系，從而可得關(guān)于(或的函數(shù)關(guān)系，再求出此函數(shù)的最小值即可.【詳解】設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，過作，垂足為，可知此時(shí)到直線距離最短設(shè)，，則，，，，即，，即，，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故直線與之間的距離是.故選：B.21．如圖，在正方體中，、、、分別是所在棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（）A．點(diǎn)、到平面的距離相等B．與為異面直線C．D．平面截該正方體的截面為正六邊形【答案】B【分析】利用中點(diǎn)的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用三角形全等可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用余弦定理可判斷C選項(xiàng)的正誤；確定截面與各棱的交點(diǎn)以及截面多邊形邊長與各角的大小，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，為的中點(diǎn)，故點(diǎn)、到平面的距離相等，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，延長、交于點(diǎn)，延長、交于點(diǎn)，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，，，所以，，則，同理可知，則，即點(diǎn)、重合，故、相交，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)正方體的棱長為，則，同理，所以，為等邊三角形，因?yàn)?，由余弦定理可得，所以，，故，則，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)平面分別交棱、于點(diǎn)、，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，則，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，，故四邊形為平行四邊形，則，，為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，同理可知為的中點(diǎn)，所以，、、、、、分別為棱、、、、、的中點(diǎn)，由勾股定理可知六邊形的邊長為，且，同理易知，故六邊形為正六邊形，D對(duì).故選：B.22．正方體的棱長為2，G為的中點(diǎn)，則直線BD與平面的距離為()A． B． C． D．【答案】B【分析】由圖可知，∥，利用平行的性質(zhì)將BD與平面的距離轉(zhuǎn)化為D與平面的距離，進(jìn)一步利用等體積法求出D與平面的距離即可.【詳解】由圖易證∥平面，所以BD與平面的距離等于D與平面的距離.設(shè)D與平面的距離為h，則.又因?yàn)闉檎襟w，所以平面，所以，所以，所以.又正方體的棱長為2，G為的中點(diǎn)，所以，，，所以中邊上的高為.所以.故選：B.23．如圖，在棱長為1的正方體中，P為的中點(diǎn)，Q為上任意一點(diǎn)，E，F(xiàn)為CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF的長為定值，則點(diǎn)Q到平面PEF的距離（）

A．等于 B．和EF的長度有關(guān)C．等于 D．和點(diǎn)Q的位置有關(guān)【答案】A【分析】取的中點(diǎn)G，連接，利用線面平行判斷出選項(xiàng)B,D錯(cuò)誤；建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量結(jié)合空間向量數(shù)量積公式求得點(diǎn)到面的距離，從而得出結(jié)論.【詳解】取的中點(diǎn)G，連接，則，所以點(diǎn)Q到平面的距離即點(diǎn)Q到平面的距離，與的長度無關(guān)，B錯(cuò)．又平面，所以點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)Q到平面的距離，即點(diǎn)Q到平面的距離，與點(diǎn)Q的位置無關(guān)，D錯(cuò)．如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，∴，，，設(shè)是平面的法向量，則由得令，則，所以是平面的一個(gè)法向量．設(shè)點(diǎn)Q到平面的距離為d，則，A對(duì)，C錯(cuò)．故選：A．24．如圖所示，在棱長為2的正方體中，M，N分別為，的中點(diǎn)，其中正確的結(jié)論是（）A．直線MN與AC所成的角為45° B．直線AM與BN是平行直線C．二面角的平面角的正切值為 D．點(diǎn)C與平面MAB的距離為【答案】D【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義得到為異面直線與所成的角，即可判斷A；取的中點(diǎn)，連接、，可得從而判斷B；設(shè)，連接、，即可得到為二面角的平面角，再根據(jù)銳角三角形函數(shù)的定義計(jì)算可得；利用等體積法求出點(diǎn)C與平面MAB的距離，即可判斷D；【詳解】解：對(duì)于A：因?yàn)?，所以為異面直線與所成的角，為等邊三角形，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：取的中點(diǎn)，連接、，易知，因?yàn)?，所以與不是平行直線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：設(shè)，連接、，顯然為的中點(diǎn)，所以，又，所以，所以為二面角的平面角，所以，故二面角的平面角的正切值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)點(diǎn)C與平面MAB的距離為，則，又，，所以，即，因?yàn)椋?，，所以，所以D正確；故選：D25．在三棱錐中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，底面，則點(diǎn)到平面的距離為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】（方法一）易知，又底面，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量，然后由求解；（方法二）利用等體積法，由求解．【詳解】（方法一）如圖，因?yàn)椋c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，又底面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，在中，，所以，則點(diǎn)．設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，，即，，取，得，所以點(diǎn)到平面的距離．（方法二）由題意可知在三棱錐中，，，相互垂直，．在中，，所以三角形是正三角形，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以．故選：A26．如圖，已知在長方體中，，點(diǎn)在棱上，且，在側(cè)面內(nèi)作邊長為2的正方形是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到平面的距離等于線段的長，則當(dāng)點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值是（）A．12 B．24 C．48 D．64【答案】B【分析】確定過點(diǎn)作，垂足為，由長方體得當(dāng)最小時(shí)，最小，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)軌跡方程，用坐標(biāo)表示，得最小值，從而得結(jié)論．【詳解】在長方體中，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)作，垂足為，連接，則，所以，當(dāng)最小時(shí)，最小，過點(diǎn)作，垂足為，設(shè)，則，且，因?yàn)椋?，化簡可得，所以，?dāng)時(shí)，取得最小值為8，此時(shí)，，所以的最小值為24，故選：B．27．如圖所示，ABCD—EFGH為邊長等于1的正方體，若P點(diǎn)在正方體的內(nèi)部且滿足，則P點(diǎn)到直線BC的距離為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意，計(jì)算出和的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量法求點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，，，，所以點(diǎn)P到的距離．故選：B.28．若正四棱柱的底邊長為2，，E是的中點(diǎn)，則到平面EAC的距離為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用線面平行的判定定理證明∥平面EAC，則點(diǎn)到平面EAC的距離即為直線到平面EAC的距離，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出平面AEC的法向量，由點(diǎn)到直線的距離公式求解即可．【詳解】解：由棱柱的幾何性質(zhì)可知，∥AC，又?平面EAC，AC?平面EAC，則∥平面EAC，所以點(diǎn)到平面EAC的距離即為直線到平面EAC的距離，因?yàn)檎睦庵牡走呴L為2，，則，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則A（0，0，0），，，，所以，，，設(shè)平面AEC的法向量為，則，即，令，則，，故，所以點(diǎn)到平面EAC的距離，故到平面EAC的距離為．故選：C．29．已知正方體的棱長為，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，，則點(diǎn)到平面的距離為（）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】在直角三角形中，過作垂直于于，證明平面，解直角三角形求解．【詳解】連接，過作于，如圖，設(shè)，因?yàn)檎襟w的棱長為1，所以，，因?yàn)槠矫?，，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離為的長度，因?yàn)?，所以，故選：B30．已知△ABC在平面內(nèi)，不重合的兩點(diǎn)P，Q在平面同側(cè)，在點(diǎn)M從P運(yùn)動(dòng)到Q的過程中，記四面體M-ABC的體積為V，點(diǎn)A到平面MBC的距離為d，則可能的情況是（）A．V保持不變，d先變大后變小 B．V保持不變，d先變小后變大C．V先變大后變小，d不斷變大 D．V先變小后變大，d不斷變小【答案】A【分析】先用根據(jù)題意，可知的過程中，h是單調(diào)或不變的，故可排除C、D，再結(jié)合圖像，得到所以會(huì)先變小后變大或單調(diào)或不變，即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)M到平面的距離為h，易知的過程中，h是單調(diào)或不變的，于是，是單調(diào)的或不變的，排除C、D.對(duì)于AB選項(xiàng)，V不變即h不變，得到，是平行于的平面.，是M到直線BC的距離.如圖①過程中，會(huì)先變小后變大，反向移動(dòng)，也會(huì)先變小后變大；②的過程中，會(huì)一直變大，反向移動(dòng)會(huì)一直變??；③的過程中，會(huì)不變；所以會(huì)先變小后變大或單調(diào)或不變，所以也會(huì)先變小后變大或一直變大或不變，又M-ABC的體積為定值，故d會(huì)先變大后變小或不變或者單調(diào).故選：A.二、多選題31．已知四面體ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O（O為球心）的球面上，為等邊三角形，M為AC的中點(diǎn)，，，且，則（）A．平面ACD B．平面ABCC．O到AC的距離為 D．二面角的正切值為【答案】AD【分析】設(shè)的中心為G，過點(diǎn)G作直線平面ABC，利用線面垂直的性質(zhì)定理、判定定理得出球心，從而可判斷A、B;連接OH，得出面面角，從而判斷A、D.【詳解】設(shè)的中心為G，過點(diǎn)G作直線平面ABC，則球心O在上.由M為AC的中點(diǎn)，得.因?yàn)?所以平面BDM，則，所以，所以，所以，，所以，所以，可得平面ACD，所以球心O在直線MB上，因此O與G重合.過M作于H，連接OH，則，從而為二面角的平面角.因?yàn)?，，所以O(shè)到AC的距離為，且.故選：AD32．如圖，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，，底面，則（）A．平面B．直線與底面所成的角為C．平面與平面夾角的余弦值為D．點(diǎn)C到平面的距離為【答案】ABC【分析】對(duì)于A：由線面垂直的性質(zhì)得.再由勾股定理得，根據(jù)線面垂直的判定可判斷；對(duì)于B：由已知得是直線與底面所成的角，由三角形知識(shí)計(jì)算可判斷；對(duì)于C：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)面面角的空間向量求解方法計(jì)算可判斷；對(duì)于D：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的空間向量求解方法計(jì)算可判斷.【詳解】解：對(duì)于A：如圖，因?yàn)槠矫?平面，所以.在等腰梯形中，過點(diǎn)C作于點(diǎn)G.因?yàn)?，，，則，，，所以.因此滿足，所以.又平面，，所以平面.故A正確；對(duì)于B：，，兩兩垂直，因?yàn)槠矫?，所以是直線與底面所成的角，又，所以直線與底面所成的角為.故B正確；對(duì)于C：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，.設(shè)平面的法向量為，由，得，取平面的一個(gè)法向量.又為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面夾角為，則，因此平面與平面夾角的余弦值為.故C正確；對(duì)于D：點(diǎn)C到平面的距離為.故D不正確，故選：ABC.33．如圖，在正方體中，點(diǎn)O在線段AC上移動(dòng)，點(diǎn)M為棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（）A．平面B．的大小可以為90°C．異面直線與的距離為定值D．存在實(shí)數(shù)，使得成立【答案】ABD【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方體的棱長為2，通過求解，轉(zhuǎn)化判斷的正誤；通過證明平面，判斷的正誤；利用空間向量法求出異面直線的距離，從而判斷的正誤，通過，，三點(diǎn)共線，結(jié)合向量的模的關(guān)系，判斷的正誤．【詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方體的棱長為2，設(shè)，，，，，0，，，2，，，2，，所以．又平面，所以平面的法向量為．因?yàn)椋裕云矫?，故正確；對(duì)于，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，1，，，2，，，0，，，2，，所以，所以，，所以，，因?yàn)?，平面，所以平面，所以的大小可以為，故正確；對(duì)于，，設(shè)，所以，即，令，則，，所以，又，所以異面直線與的距離，故不正確，對(duì)于，，，三點(diǎn)共線，，，所以故正確．故選：．34．在直三棱柱中，，，D是AC的中點(diǎn)，下列判斷正確的是（）A．∥平面B．面⊥面C．直線到平面的距離是D．點(diǎn)到直線的距離是【答案】ABD【分析】A.連接交于點(diǎn)E，連接DE，易得，再利用線面平行的判定定理判斷；B.易證，再根據(jù)平面平面ABC，得到平面，再利用面面垂直的判定定理判斷；C.以D點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解判斷；D.作，連接，易證，利用勾股定理求解判斷?！驹斀狻緼.如圖所示：連接交于點(diǎn)E，連接DE，所以，又平面，平面，所以平面，故正確；B.因?yàn)椋珼是AC的中點(diǎn)，所以，又平面平面ABC，所以平面，又平面，所以面⊥面，故正確；C.∵平面，∴到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，C.以D點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，不妨取，所求距離，故錯(cuò)誤；D.如圖所示：作，連接，因?yàn)槠矫鍭BC，所以，又，所以平面，則，又，所以，故正確；故選：ABD35．關(guān)于棱長為的正方體，下列結(jié)論正確的是（）A． B．點(diǎn)到平面的距離為C．異面直線與所成的角是 D．二面角的余弦值為【答案】BD【分析】利用正方體的性質(zhì)，平移異面直線確定它們的平面角判斷A、C的正誤；應(yīng)用等體積法求到平面的距離；由二面角為且，結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角正切公式求正切值，進(jìn)而求二面角的余弦值.【詳解】A：如下圖，分別是中點(diǎn)，則，故為的夾角或其補(bǔ)角，顯然垂直，錯(cuò)誤；B：如下圖，，而，，若到平面的距離為d，所以，則，正確；C：如下圖，為的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，故與所成的角即為或其補(bǔ)角，而，即異面直線與所成的角不是，錯(cuò)誤；D：如下圖，若為交點(diǎn)，則二面角為，又，且，所以，故，正確.故選：BD36．如圖，四棱柱的底面是正方形，為底面中心，平面，．則下列說法正確的是（）A．坐標(biāo)是 B．平面的法向量C．平面 D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】ACD【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合給定的幾何圖形求出點(diǎn)，，，的坐標(biāo)可判斷A；計(jì)算，的坐標(biāo)進(jìn)而可得平面的法向量的坐標(biāo)可判斷B；求出的坐標(biāo)，判斷是否成立可判斷C；利用點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：由圖知：，，，，設(shè)，由，，因?yàn)?，所以，可得，所以坐?biāo)是，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：，可得，，設(shè)平面的法向量，由，則，令，，所以，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：，因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄?，則，所以平面，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：，則點(diǎn)到平面的距離為，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.37．正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為的中點(diǎn)，則（）A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行C．平面截正方體所得的截面面積為 D．點(diǎn)C到平面的距離為【答案】BCD【分析】A.設(shè)，易證平面AEF判斷；B.取的中點(diǎn)，連接，證明平面平面AEF判斷；C.接，易證，得到截面為等腰梯形求解判斷；D.利用等體積法，由求解判斷.【詳解】A.若，因?yàn)槠矫鍭BCD，則，又，所以平面AEF，則，則，故錯(cuò)誤；B.如圖所示：取的中點(diǎn)，連接，易知，又平面AEF，平面AEF，所以平面AEF，同理平面AEF，又，所以平面平面AEF，因?yàn)槠矫妫云矫鍭EF，故正確；C.如圖所示：連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則，所以共面，則截面為等腰梯形，又，等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，故正確；D.因?yàn)椋?，所以點(diǎn)C到平面的距離為，故正確.故選：BCD38．如圖所示，在四棱錐中，平面平面ABCD，側(cè)面PAD是邊長為的正三角形，底面ABCD為矩形，且，點(diǎn)Q是PD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論描述正確的是（）A．平面PADB．B，Q兩點(diǎn)間的距離等于C．DC與平面AQC所成的角為60°D．三棱錐的體積為12【答案】BD【分析】對(duì)于A，取AD的中點(diǎn)O，連接PO，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD，OE，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算可判斷；對(duì)于B：由空間兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算可判斷；對(duì)于C：利用線面角的空間向量求解方法可判斷；對(duì)于D，利用等體積法計(jì)算可判斷．【詳解】解：取AD的中點(diǎn)O，連接PO，則PO⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD，平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，取BC的中點(diǎn)E，連接OE，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD，OE，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又，點(diǎn)Q是PD的中點(diǎn)，所以，，對(duì)于A：平面PAD的法向量為，，所以與不共線，所以CQ與平面PAD不垂直，故A不正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C：，設(shè)平面AQC的法向量為，，由，即，化簡得，令，所以，設(shè)DC與平面AQC所成的角為，則，所以DC與平面AQC所成的角不為60°，故C不正確；對(duì)于D，，所以，故D正確，故選：BD．39．如圖，在菱形ABCD中，，，沿對(duì)角線BD將折起，使點(diǎn)A，C之間的距離為，若P，Q分別為直線BD，CA上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)D到直線PQ的距離為B．線段PQ的最小值為C．平面平面BCDD．當(dāng)P，Q分別為線段BD，CA的中點(diǎn)時(shí)，PQ與AD所成角的余弦值為【答案】BCD【分析】易知，從而平面，進(jìn)而有平面平面，即可判斷C；建立坐標(biāo)系，利用向量法可判斷ACD【詳解】取的中點(diǎn)，連接，由題意可知：，因?yàn)椋?，又易知，因?yàn)椋?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，故C正確；以為原點(diǎn)，分別為軸建立坐標(biāo)系，則，當(dāng)，時(shí)，，，，，所以點(diǎn)D到直線PQ的距離為，故A錯(cuò)誤；設(shè)，，由得，，，當(dāng)時(shí)，，故B正確；當(dāng)P，Q分別為線段BD，CA的中點(diǎn)時(shí)，，，，，設(shè)PQ與AD所成的角為，則，所以PQ與AD所成角的余弦值為，故D正確；故選：BCD40．已知四面體的所有棱長均為2，則下列結(jié)論正確的是（）A．異面直線與所成角為 B．點(diǎn)A到平面的距離為C． D．四面體的外接球體積為【答案】BCD【分析】由題意畫出圖形，證明AC⊥BD，可知A錯(cuò)誤，同理得到C正確；直接求出A到底面的距離判斷B；求出正四面體外接球的半徑，進(jìn)一步求得外接球的體積判斷D．【詳解】如圖，

由題意，四面體ABCD為正四面體，取底面BCD的中心為G，連接CG并延長，交BD于E，

則E為BD的中點(diǎn)，且CE⊥BD，連接AG，則AG⊥底面BCD，得AG⊥BD，

又AG∩CE＝G，∴BD⊥平面ACG，則AC⊥BD，故A錯(cuò)誤；同理，故C正確；

由四面體的所有棱長為2，可得，又AC＝2，∴，即點(diǎn)A到平面BCD的距離為，故B正確；

設(shè)四面體ABCD的外接球的球心為O，半徑為R，連接OC，則，

解得，則四面體ABCD的外接球體積為，故D正確；故選：BCD．第II卷（非選擇題）三、填空題41．已知正方體的棱長為1，異面直線與的距離為____________.【答案】【分析】如圖所示，連接與交于點(diǎn)，證明，，得到距離.【詳解】如圖所示：連接與交于點(diǎn)，則，平面，平面，故，故是異面直線與的距離，.故答案為：.42．已知直線過點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離是_________．【答案】【分析】求出直線的方向向量及，進(jìn)而求出，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離為即可得解.【詳解】解：直線的方向向量，，則，又，所以，所以點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.43．如圖，正三角形ABC的邊長為2，P是三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，平面ABC，且，則P到BC的距離為___________.

【答案】2【分析】取中點(diǎn)，連接，，由平面ABC，即可證明平面，則有，即可求解結(jié)果．【詳解】取中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉檎切?，所以又因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，則，又，則平面，則，又正三角形ABC的邊長為2，則則所以P到BC的距離為2故答案為：244．平面的法向量是，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為______．【答案】【分析】先求得，利用點(diǎn)到平面的距離公式即可求解．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，，所以，因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄渴牵瑒t，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，故答案為：．45．在直三棱柱中，，，，則點(diǎn)C到平面的距離為____________.【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為，根據(jù)利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離；【詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以，所以，，所以，設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為，則，所以，解得故答案為：46．如圖，已知，D是中點(diǎn)，則點(diǎn)B到平面的距離是___________.【答案】/【分析】證明，得線面垂直，從而得點(diǎn)到平面的距離，由此易得其長度．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，，又D是中點(diǎn)，所以，，平面，所以平面，的長就是點(diǎn)B到平面的距離，由已知，，故答案為：．47．在正方體中，，則異面直線AB和的距離為___________.【答案】【分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，則，設(shè)是異面直線AB和的公垂線的一個(gè)方向向量，則，令，則，所以異面直線AB和的距離為，故答案為：48．如圖所示，正方形和正方形的邊長都是1，且它們所在平面互相垂直，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，記，則當(dāng)___________時(shí)，點(diǎn)到直線的距離有最小值.【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)N是AC上的一點(diǎn)，且，得出點(diǎn)A、C、M、N的坐標(biāo)，由時(shí)，就是點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得答案.【詳解】解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，正方形的邊長為1，則，，設(shè)點(diǎn)N是AC上的一點(diǎn)，且，因?yàn)?，所以，，所以，，?dāng)時(shí)，就是點(diǎn)到直線的距離，所以，即，整理得，即，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即此時(shí)點(diǎn)到直線的距離有最小值．故答案為:.49．如圖，已知是各條棱長均等于的正三棱柱，是側(cè)棱的中點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離為_____________．【答案】/【分析】取的中點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，設(shè)平面的法向量為，由，取，則，，得，，所以，點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.50．已知正方體的棱長為，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)?在四邊形內(nèi)（包括邊界），點(diǎn)到平面的距離等于它到點(diǎn)的距離，直線平面，則的最小值為___________.【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系得到在平面中點(diǎn)?的軌跡方程，然后利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所以，設(shè)由點(diǎn)到平面的距離等于它到點(diǎn)的距離，即點(diǎn)到的距離等于它到點(diǎn)的距離在平面中，直線方程為所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，令，所以所以，由直線平面所以所以點(diǎn)的軌跡為的導(dǎo)函數(shù)為所以，所以同平行的直線與相切的切點(diǎn)為，所以點(diǎn)到直線的距離為所以的最小值為故答案為：四、解答題51．如圖，已知三棱柱，平面平面，，，是邊長為2的等邊三角形.（1）求二面角的大小的正切值；（2）求直線到平面的距離.【答案】（1）（2）【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，證出為二面角的平面角，在中求解即可.（2）在底面內(nèi)作，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由平面，直線到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，根據(jù)即可求解.（1）是邊長為2的等邊三角形由題意可得，取的中點(diǎn)，連接，，且又平面平面，且平面平面，平面，，又因?yàn)?，且，所以，因?yàn)椋矫嫠詾槎娼堑钠矫娼?，在中?（2）在三棱柱中，，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以直線到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，在底面內(nèi)作，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則,由，可得，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以，所以點(diǎn)到平面的距離，所以52．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，已知，，.（1）求證：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）過點(diǎn)作，連接，即可得到，從而得到，即，再由，得到平面，即可得證；（2）由利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離；（1）證明：如圖，過點(diǎn)作，連接.因?yàn)?，，，所以，所以?又因?yàn)?，所以，由勾股定理逆定理得，?因?yàn)?，，平面，平面，所以平?又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）解：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.由（1）可知，，.在等腰中，，，所以.由等體積法可得，，所以，即，解得故點(diǎn)到平面的距離為.53．在長方體中，，是面對(duì)角線上一點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）設(shè)異面直線與所成角的大小為，求的值.（3）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由求出的坐標(biāo)以及的坐標(biāo)，由即可求證；（2）求和的坐標(biāo)，由空間向量夾角公式計(jì)算即可求解；（3）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用即可求解.（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，所以，所以，所以，所以.（2），，.（3）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，，，所以，由，可得，所以，可得：，所以點(diǎn)到平面的距離為.54．如圖，在三棱錐中，，，、分別是線段、的中點(diǎn)，，.（1）證明：平面平面；（2）若，求點(diǎn)B到平面MNC的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由題可得，即可說明，由勾股定理判斷即可證明平面，得證；（2）可判斷是等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線段BE的長度即為點(diǎn)B到平面MNC的距離.（1），為的中點(diǎn)，則，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，且，，則，，則，，，平面，平面，因此，平面平面；（2），所以，，是等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，則，平面平面，平面平面=，，，所以線段BE的長度即為點(diǎn)B到平面MNC的距離.又，所以，點(diǎn)B到平面MNC的距離是.55．如圖，三棱柱的所有棱長都是2，平面，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求證：直線平面；（2）求直線到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）取中點(diǎn)，連接交于，連接，由平面幾何得，再根據(jù)線面平行的判定可得證；（2）以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用點(diǎn)到面的距離的空間向量求解方法可求得答案.（1）證明：取中點(diǎn)，連接交于，連接，∵在三棱柱中，為中點(diǎn)，∴，，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.（2）解：由（1）得，點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離，連接，則，∵平面，，∴平面，∴，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，∴，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，∴即取，則，，，又，所以點(diǎn)到平面的距離為，即直線到平面的距離為.56．如圖，四邊形是邊長為3的正方形，平面，，，與平面所成角為.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由已知證明平面平面，再由平面與平面平行的性質(zhì)可得平面；（2）由，利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離.（1）證明：四邊形是正方形，，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，?平面，，平面平面，而平面，平面；（2）由平面，平面，得平面平面，又平面平面，，平面，四邊形是邊長為3的正方形，，又與平面所成角為，即，得，而，，可得，，，則，.，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，解得.故點(diǎn)到平面的距離為.57．如圖所示的四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若四棱錐的體積為2，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）通過中位線構(gòu)造平行四邊形后，可利用線面平行的判定定理證明（2）可利用等體積法，將點(diǎn)到平面的距離，轉(zhuǎn)換為三棱錐的高，通過計(jì)算得到三角形的面積以及三棱錐的體積即可求解（1）取PC得中點(diǎn)F，連接FE，F(xiàn)D，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，在梯形ABCD中，，∴，即四邊形AEFD為平行四邊形，∴，又面，面，面（2）如圖，連接，取BC得中點(diǎn)M，連接DM，設(shè)AD=x，則PA=AB=BC=2x，平面，底面為直角梯形，∴=2，得，即，，由平面知所以在中，，由已知，底面為直角梯形，且，易得為矩形，所以，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，由得解得，即點(diǎn)到平面的距離為58．如圖所示，邊長為2的正方形和高為2的直角梯形所在的平面互相垂直且，且．（1）求和面所成的角的正弦；（2）求點(diǎn)C到直線的距離；（3）線段上是否存在點(diǎn)P使過P、A、C三點(diǎn)的平面和直線垂直，若存在，求與的比值：若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）、、兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，求出向量所成角的余弦即為和面所成的角的正弦值．（2）利用空間向量法求出點(diǎn)到直線的距離；（3）設(shè)與的比值為，表示出的坐標(biāo)，求出坐標(biāo)，令與的數(shù)量積為0，列出方程，求出的值．（1）解：（1）因?yàn)椤?、兩兩垂直，建立如圖坐標(biāo)系，則，，，，，則設(shè)平面的法向量，則令，則，，所以，向量和所成角的余弦為．即和面所成的角的正弦值為．（2）解：因?yàn)?，，所以，，，所以點(diǎn)C到直線的距離（3）解：假設(shè)線段上存在點(diǎn)使過、、三點(diǎn)的平面和直線垂直，不妨設(shè)與的比值為，即，設(shè)，即，所以，解得集點(diǎn)坐標(biāo)為，則向量，向量，因?yàn)樗?，解得．所以存在，求與的比值59．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為菱形，，.點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱PA，PB，且.（1）求證：；（2）若直線PD與平面CEF所成的角的正弦值為.（i）求點(diǎn)P與到平面CEF的距離；（ii）試確定點(diǎn)E的位置.【答案】（1）證明見解析；（2）(i)；(ii)E為PA的中點(diǎn).【分析】(1)根據(jù)與即可得出；(2)根據(jù)題意可證得、、兩兩垂直，以、、所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)()，求出各點(diǎn)和線段的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積表示線面角的正弦值，求出a的值，確定點(diǎn)E的位置，結(jié)合等體積法即可求得點(diǎn)到面的距離.（1）由題意知，因?yàn)椋?；?）因?yàn)闉榱庑?，，連接AC，則為正三角形，取AC的中點(diǎn)H，連接AH，則，所以，由平面，平面，所以，，以、、所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，由，得，則，有，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以，設(shè)直線PD與平面的夾角為，則，化簡，得，由，得，此時(shí)，即E為PA的中點(diǎn)；有，取AB的中點(diǎn)O，則OF=OE=EF=1，，有平面PAB，所以，而，在中有，所以，所以，由，設(shè)點(diǎn)P到平面的距離為h，則，即，得.(i)點(diǎn)P到平面的距離為；(ii)點(diǎn)E為AP的中點(diǎn).60．如圖，已知在四棱錐中，平面，點(diǎn)在棱上，且，底面為直角梯形，，，，，，分別是，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解析.（2）【分析】（1）構(gòu)造平行四邊形,利用三角形中位線定理,證明平行即可；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.（1）證明：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以//,因?yàn)榈酌鏋橹苯翘菪?，，，，所?/,,所以所以為平行四邊形，所以//因?yàn)?，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，所以，所以又平面，平面，所以//平面（2）解：根據(jù)題意，以為原點(diǎn)，以分別為建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由，分別是的中點(diǎn)，可得：設(shè)平面的的法向量為，又則有：，即令，則，所以又∴點(diǎn)到平面的距離.任務(wù)二:幾何體截面問題1-40題一、單選題1．已知正方體的棱長為，是空間中任意一點(diǎn)，有下列結(jié)論：①若為棱中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為；②若在線段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為；③若在以為直徑的球面上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為；④若過點(diǎn)的平面與正方體每條棱所成角相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】①根據(jù)，可得即為異面直線所成的角或所成角的補(bǔ)角，從而可求出；②將和四邊形沿展開到同一個(gè)平面上，易知線段的長度即為的最小值，利用余弦定理即可求出；③根據(jù)題意判斷出，為的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，只需求此時(shí)外接球的表面積即可；④分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn)時(shí)，平面為平面時(shí)，與正方體每條棱所成角相等，且截面的面積最大.【詳解】對(duì)于①：因?yàn)?，所以即為異面直線所成的角或所成角的補(bǔ)角，在中，，所以，故①正確；對(duì)于②：將和四邊形沿展開到同一個(gè)平面上，如圖所示，由圖可知，線段的長度即為的最小值，在中，利用余弦定理，得，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：如圖，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)，三棱錐外接球的球心是的中點(diǎn)，半徑為，其表面積為，故③正確；對(duì)于④：要使平面與正方體每條棱所成角相等，只需與過同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角相等即可，如圖，當(dāng)時(shí)，平面與正方體過點(diǎn)的三條棱所成的角都相等，若分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn)時(shí)，平面平面，且此時(shí)六邊形為正六邊形，因?yàn)檎襟w的棱長為1，所以正六邊形的邊長為，所以此正六邊形的面積為，為截面最大面積，故④正確.故選：B.2．已知正方體，平面和線段，，，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，則截面EFGH的形狀不可能是（）A．梯形 B．正方形 C．長方形 D．菱形【答案】A【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可以得出，，由此可推斷四邊形EFGH一定為平行四邊形，從而可得出答案.【詳解】因?yàn)槊婷?，面面，面面，所以，同理可得，所以四邊形EFGH為平行四邊形，所以截面EFGH的形狀不可能是梯形.若面面，此時(shí)四邊形EFGH是正方形，也是菱形；當(dāng)是所在棱的中點(diǎn)，分別與重合時(shí)，四邊形EFGH是長方形.故選：A.3．如圖正方體，棱長為1，P為中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過A?P?Q的平面截該正方體所得的截面記為.若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)時(shí)，為四邊形 B．當(dāng)時(shí)，為等腰梯形C．當(dāng)時(shí)，為六邊形 D．當(dāng)時(shí)，的面積為【答案】C【分析】根據(jù)題意，依次討論各選項(xiàng)，作出相應(yīng)的截面，再判斷即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，如下圖1，是四邊形，故A正確；當(dāng)時(shí)，如下圖2，為等腰梯形，B正確：當(dāng)時(shí)，如下圖3，是五邊形，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，Q與重合，取的中點(diǎn)F，連接，如下圖4，由正方體的性質(zhì)易得，且，截面為為菱形，其面積為，D正確.故選：C4．如圖，在正方體中，M、N、P分別是棱、、BC的中點(diǎn)，則經(jīng)過M、N、P的平面與正方體相交形成的截面是一個(gè)（）A．三角形 B．平面四邊形C．平面五邊形 D．平面六邊形【答案】D【分析】分別取、、的中點(diǎn)，連接、、、、、、、、、，先證明四點(diǎn)共面，再證明平面，平面可得答案.【詳解】如圖，分別取、、的中點(diǎn)，連接、、、、、、、、、，且M、N、P分別是棱、、BC的中點(diǎn)，所以、，且，所以，即四點(diǎn)共面，因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，又因?yàn)?，得，且平面，平面，所以平面，得平面，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)椋?，又平面，平面，所以平面，得平面，所以六點(diǎn)共面，平面六邊形即為經(jīng)過M、N、P與正方體相交形成的截面，故選：D.5．如圖，在正方體中，E是棱的中點(diǎn)，則過三點(diǎn)A、D1、E的截面過（）A．AB中點(diǎn) B．BC中點(diǎn)C．CD中點(diǎn) D．BB1中點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)截面特點(diǎn)結(jié)合正方形結(jié)構(gòu)性質(zhì)求解.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，如圖，則，所以在截面上,故選：B6．正方體的棱長為2，E是棱的中點(diǎn)，則平面截該正方體所得的截面面積為（）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】作出示意圖，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，易得平面截該正方體所得的截面為，再計(jì)算其面積.【詳解】如圖所示，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，由且，得是平行四邊形，則且，又且，得且，則共面，故平面截該正方體所得的截面為.又正方體的棱長為2，，，，，故的面積為.故選：D.7．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱長均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱BB1，A1C1的中點(diǎn)，若過點(diǎn)A，E，F(xiàn)作一截面，則截面的周長為（）A．2+2 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意先作出截面，進(jìn)而算出截面各邊的長度，最后得到答案.【詳解】如圖，在正三棱柱中，延長AF與CC1的延長線交于M，連接EM交B1C1于P，連接FP，則四邊形AEPF為所求截面.過E作EN平行于BC交CC1于N，則N為線段CC1的中點(diǎn)，由相似于可得MC1=2，由相似于可得：，在中，，則，在中，，則，在中，，則，在中，，由余弦定理：，則，所以截面周長為：.故選：B.8．在立體幾何中，用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體得到的平面圖形叫截面．平面以任意角度截正方體，所截得的截面圖形不可能為（）A．等腰梯形 B．非矩形的平行四邊形C．正五邊形 D．正六邊形【答案】C【分析】在正方體中依次分析，經(jīng)過正方體的一個(gè)頂點(diǎn)去切就可得到五邊形．但此時(shí)不可能是正五邊形，其他情況都可構(gòu)造例子.【詳解】畫出截面圖形如圖：可以畫出等腰梯形，故A正確；在正方體中，作截面（如圖所示）交，，，分別于點(diǎn)，，，，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得四邊形中，，且，故四邊形是平行四邊形，此四邊形不一定是矩形，故B正確；經(jīng)過正方體的一個(gè)頂點(diǎn)去切就可得到五邊形．但此時(shí)不可能是正五邊形，故C錯(cuò)誤；正方體有六個(gè)面，用平面去截正方體時(shí)最多與六個(gè)面相交得六邊形，且可以畫出正六邊形，故D正確．故選：C9．如圖，正方體的棱長為1，為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)，，的平面截該正方體所得的截面記為．①當(dāng)時(shí)，為四邊形；②當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)滿足；③當(dāng)時(shí)，為六邊形；④當(dāng)時(shí)，的面積為．則下列選項(xiàng)正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)Q在線段上的變化，分別作出過點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面S，并判斷其正誤即可．【詳解】對(duì)于①，因?yàn)檎襟w的棱長為1，當(dāng)時(shí)，過A，P，Q三點(diǎn)的截面與正方體表面的交點(diǎn)在棱上，截面為四邊形，如圖（a）所示，故①正確；對(duì)于②，如圖（b）所示，當(dāng)時(shí)，，又為的中點(diǎn)，故，得，故②正確；對(duì)于③，如圖（c）所示，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面為五邊形，故③不正確；對(duì)于④，如圖（d）所示，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)，，的截面為，其截面為菱形，對(duì)角線，，所以的面積為，故④正確．綜上所述，正確的命題序號(hào)是①②④．故選：B10．如圖，正方體的棱長為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)為（）①當(dāng)時(shí)，S為四邊形；②當(dāng)時(shí)，S為等腰梯形；③當(dāng)時(shí)，S與的交點(diǎn)滿足；④當(dāng)時(shí)，S為六邊形；A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】隨著的移動(dòng)，依題意分別移動(dòng)到四個(gè)位置，逐項(xiàng)分析判斷即可得解.【詳解】先確定臨界值點(diǎn)，當(dāng)，即為的中點(diǎn)時(shí)，截面交于，則界面為等腰梯形，故②正確；對(duì)①當(dāng)時(shí)，即移動(dòng)到位置時(shí)，截面交線段于，所以截面為四邊形，故①正確；對(duì)③，當(dāng)時(shí)，在的位置，截面交的延長線于，延長交在的延長線于點(diǎn)，則，由，則，，又有，所以，又，所以，故③正確；對(duì)④，，點(diǎn)移動(dòng)到位置，從圖上看，截面為五邊形，故④錯(cuò)誤；共個(gè)正確，故選：C11．正方體的棱長為，、，分別為，，的中點(diǎn)，有下述四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（）①直線與平面平行；②平面截正方體所得的截面面積為；③直線與直線所成的角的余弦值為；④點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等.A．①④ B．①② C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】由已知得四邊形為等腰梯形，即為正方體的截面，由線面平行的判定定理可判斷①；做于，求出等腰梯形的高由梯形的面積公式可判斷②；由，得直線與直線所成的角即為直線與直線所成的角，由余弦定理得可判斷③；點(diǎn)與點(diǎn)在平面的兩側(cè)，且線段的中點(diǎn)在平面內(nèi)，可判斷④.【詳解】連接，因?yàn)?、，分別為，的中點(diǎn)，正方體的棱長為，所以，且，所以四邊形為梯形，即為正方體的截面，且面，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面，即直線與平面平行，所以①正確；因?yàn)?，，所以，四邊形為等腰梯形，做于，，所以梯形的面積為，所以平面截正方體所得的截面面積為，所以②正確；因?yàn)?，所以直線與直線所成的角即為直線與直線所成的角，為或其補(bǔ)角，連接，，，在中，由余弦定理得，由于直線與直線所成的角的范圍在，所以直線與直線所成的角的余弦值為，所以③錯(cuò)誤；因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)在平面的兩側(cè)，且線段的中點(diǎn)在平面內(nèi)，所以點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，所以④正確，故選：C.12．如圖，正方體中，點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，過點(diǎn)，，的截面將正方體分割成兩個(gè)部分，記這兩個(gè)部分的體積分別為，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖所示，過點(diǎn)，，的截面下方幾何體轉(zhuǎn)化為一個(gè)大的三棱錐，減去兩個(gè)小的三棱錐，上方部分，用總的正方體的體積減去下方的部分體積即可.【詳解】作直線，分別交于兩點(diǎn)，連接分別交于兩點(diǎn)，如圖所示，過點(diǎn)，，的截面即為五邊形，設(shè)正方體的棱長為，因?yàn)辄c(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)所以，即，因?yàn)?，所以則過點(diǎn)，，的截面下方體積為：，∴另一部分體積為，∴.故選：C.13．如圖，在正方體中，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與，不重合），則下列說法不正確的是（）A．B．三棱錐的體積為定值C．過，，三點(diǎn)作正方體的截面，截面圖形為三角形或梯形D．DP與平面所成角的正弦值最大為【答案】D【分析】A.通過平面進(jìn)行說明；B.根據(jù)等體積法進(jìn)行說明；C.分析點(diǎn)位置，作出截面圖形后進(jìn)行判斷；D.先分析線面為，然后表示出，通過分析的長度確定出正弦值的最大值.【詳解】由題可知平面，所以，故A正確；由等體積法得為定值，故B正確；設(shè)的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，如下圖所示：此時(shí)截面是三角形，當(dāng)時(shí)，如下圖所示：此時(shí)截面是梯形，故C正確；選項(xiàng)D，在正方體中，連接，則為在平面上的射影，則為與平面所成的角，設(shè)正方體的棱長為1，，則，，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值最大，即時(shí)，的值最小為，所以的值最大為，故D不正確.故選：D.14．正方體的棱長為4，，，用經(jīng)過，，三點(diǎn)的平面截該正方體，則所截得的截面面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)題意畫出截面，再根據(jù)正方形的棱長以及梯形的面積公式即可求解.【詳解】解：如圖所示：延長交于點(diǎn)，則，即為中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，則，，，，四點(diǎn)共面，，，，截面如圖所示：在中，邊上的高，記邊上的高為，則，，則所截得的截面面積為：.故選：D.15．如圖，為正方體，任作平面與對(duì)角線垂直，使得與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)，記這樣得到的截面多邊形的面積為，周長為，則（）A．為定值，不為定值B．不為定值，為定值C．與均為定值D．與均不為定值【答案】B【分析】將正方體切去兩個(gè)正三棱錐與后，得到一個(gè)以平行平面與為上、下底面的幾何體，的每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形的每一條邊分別與的底面上的一條邊平行，將的側(cè)面沿棱剪開，展開在一個(gè)平面上，得到一個(gè)平行四邊形，考查的位置，確定【詳解】解：將正方體切去兩個(gè)正三棱錐與后，得到一個(gè)以平行平面與為上、下底面的幾何體，的每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形的每一條邊分別與的底面上的一條邊平行，將的側(cè)面沿棱剪開，展開在一個(gè)平面上，得到一個(gè)平行四邊形，如圖所示而多邊形的周界展開后便成為一條與平行的線段（如圖中），顯然，，所以為定值，當(dāng)位于中點(diǎn)時(shí)，多邊形為正六邊形，而當(dāng)稱到時(shí)，為正三角形，則當(dāng)周長這定值的正六邊形與正三角形面積分別為，所以不是定值，故選：B16．如圖，在正方體中，AB=2，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A，E，F(xiàn)作該正方體的截面，則該截面不可能是（）A．平行四邊形 B．等腰梯形C．五邊形 D．六邊形【答案】D【分析】對(duì)分類討論，分別畫出所對(duì)應(yīng)的截面圖形，即可判斷；【詳解】解：當(dāng)，即F與重合時(shí)，如圖1，取的中點(diǎn)，截面為矩形；當(dāng)時(shí)，如圖2，截面為平行四邊形AEGF；當(dāng)時(shí)，如圖3，截面為五邊形AEGHF，當(dāng)，即F與重合時(shí)，如圖4，截面為等腰梯形AEGF．故選：D17．如圖，在棱長為2的正方休中，，，分別為，，，的中點(diǎn)，過，，三點(diǎn)的平而截正方休所得的截面面積為（）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意畫出截面，得到截面為正六邊形，從而可求出截面的面積【詳解】如圖，分別取的中點(diǎn)，的中點(diǎn),的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樵搸缀误w為正方體，所以∥,∥,∥,且所以，，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面為正六邊形，所以該正六邊形的面積為.故選：D18．正方體的棱長為，分別為的中點(diǎn).則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．直線A1G與平面AEF平行B．直線DD1與直線AF垂直C．異面直線A1G與EF所成角的余弦值為D．平面AEF截正方體所得的截面面積為【答案】B【分析】連接AD1，F(xiàn)D1，GF，BC1，證得EF//AD1，利用平面AEFD1逐一分析各選項(xiàng)即可判斷作答.【詳解】正方體中，連接AD1，F(xiàn)D1，GF，BC1，如圖：因點(diǎn)E，F(xiàn)是BC，CC1中點(diǎn)，則EF//BC1，而正方體的對(duì)角面ABC1D1是矩形，則AD1//BC1//EF，連GF，因G是棱BB1中點(diǎn)，則GF//B1C1//A1D1，且，即四邊形A1GFD1是平行四邊形，A1G//D1F，平面AEF，平面AEF，于是A1G//平面AEF，A正確；因平面ABCD，而平面ABCD，即有AE，若AF，必有平面AEFD1，AD1，與矛盾，B不正確；因EF//AD1，A1G//D1F，則異面直線與所成角是或其補(bǔ)角，作于M，顯然，即四邊形AEFD1是等腰梯形，，，，C正確；，平面截正方體所得的截面是等腰梯形AEFD1，等腰梯形AEFD1的面積為，D正確.故選：B19．如圖所示，在正方體中，，?分別為棱?的中點(diǎn)，令過點(diǎn)且平行于平面的平面被正方體的截面圖形為，若在內(nèi)隨機(jī)選擇一點(diǎn)，則點(diǎn)在正方體內(nèi)切球內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先確定平面截正方體的圖形并求出其面積，而正方體內(nèi)切球的球心為正方體的中心，求出正方體的中心到平面的距離，進(jìn)而求出平面截內(nèi)切球所得圓的半徑，根據(jù)幾何概型轉(zhuǎn)化為面積比，即可求解.【詳解】取中點(diǎn)，連，交于點(diǎn)，因?yàn)樗运狞c(diǎn)共面，因?yàn)?分別為棱?的中點(diǎn)，平面平面，所以平面，又，所以，同理可證平面，平面，所以平面平面，即等腰梯形為滿足條件的平面截正方體的截面，等腰梯形的面積為，設(shè)正方體上下底面中心分別為，，連接，則內(nèi)切球的球心為的中點(diǎn)，過做在正方體中，，平面，所以，，所以平面，平面，所以，，所以平面，所以為截面截內(nèi)切球所得圓的圓心，又在內(nèi)切球上，所以截面截內(nèi)切球所得圓的半徑為，在中，有，，則，，所以在中，截面圓的面積為.所求的概率為.故選：B.20．已知正方體內(nèi)切球的表面積為，是空間中任意一點(diǎn)：①若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則始終有；②若是棱中點(diǎn)，則直線與是相交直線；③若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，三棱錐體積為定值；④為中點(diǎn)，過點(diǎn)，且與平面平行的正方體的截面面積為;以上命題為真命題的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明①是真命題；由圖可知直線與是異面直線，故②是假命題；利用等體積轉(zhuǎn)化法得到三棱錐體積等于三棱錐的體積，接著求點(diǎn)到平面的距離和底面面積，從而證明三棱錐體積為定值；做出過點(diǎn)，且與平面平行的正方體的截面為面，最后求其面積即可.【詳解】因?yàn)檎襟w內(nèi)切球的表面積為，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，解得，所以正方體的棱長為，因?yàn)?且,所以面，因?yàn)槊?，所以恒成立，故①是真命題；由圖可知，直線與是異面直線，故②是假命題；由圖可知：因?yàn)?，三棱錐體積等于三棱錐的體積，由①知，面，所以點(diǎn)到面的距離為，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到直線的距離等于1，所以的面積等于，所以，故棱錐體積為定值，故③是真命題；取中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,連接，因?yàn)椋悦婷?所以過點(diǎn)，且與平面平行的正方體的截面為面，由圖可知面是菱形，其中對(duì)角線長為，所以，故④是真命題；真命題的個(gè)數(shù)有3個(gè)，故選：B;二、多選題21．已知正方體的棱長為，下列結(jié)論正確的有（）A．異面直線與所成角的大小為B．若是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則平面C．與此正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)的截面的面積最小值是D．若此正方體的每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截正方體所得截面面積的最大值是【答案】BC【分析】A.易證平面判斷；B.易證平面平面；C.易知平面為一個(gè)與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)判斷；D.點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M，N分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn)，可得平面EFGHMN平面PQR求解判斷.【詳解】A.如圖所示：，，則平面，所以，所以異面直線與所成角的大小為，故錯(cuò)誤；B.如圖所示：，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，同理平面，因?yàn)?，所以平面平面，因?yàn)槠矫?所以平面，故正確；C.如圖所示：，平面為一個(gè)與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)，且截面面積最小的面，其面積為：，故正確；D.如圖所示：，若此正方體的每條棱所在直線與平面所成的角都相等，只需平面與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角相等，設(shè)，則平面PQR與正方體過頂點(diǎn)A的三條棱所成角相等，若點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M，N分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn)，可得平面EFGHMN平面PQR，且六邊形EFGHMN為正六邊形，正方體的棱長為1，則正六邊形的邊長為，此時(shí)正六邊形的面積為，為截面的最大面積，故錯(cuò)誤；故選：BC22．如圖，棱長為1的正方體中為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）則下列結(jié)論正確的是（）A．直線與所成的角可能是B．平面平面C．三棱雉的體積為定值D．平面截正方體所得的截面可能是直角三角形【答案】BC【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解；對(duì)于B選項(xiàng)，由正方體的性質(zhì)可知平面，進(jìn)而可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)，利用等體積法求解即可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)，分別討論所成的截面圖形即可判斷.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，如圖1，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，所以，令，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，由于，，所以，即直線與所成的角滿足，又因?yàn)椋?，故直線與所成的角不可能是，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由正方體的性質(zhì)可知平面，所以平面平面，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，三棱雉的體積，是定值，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)的中點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)在線段（不包含端點(diǎn)）上時(shí)，此時(shí)平面截正方體所得的截面為梯形，如圖2；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，此時(shí)平面截正方體所得的截面正三角形；當(dāng)點(diǎn)在線段（不包含端點(diǎn)）上時(shí)，此時(shí)平面截正方體所得的截面為等腰三角形，該三角形不可能為直角三角形，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：BC23．如圖，在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，BC的中點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)E，F(xiàn)，的平面為，則下列說法正確的是（）A．為等邊三角形；B．平面交正方體的截面為五邊形；C．在正方體中，存在棱與平面平行；D．在正方體中，不存在棱與平面垂直；【答案】BD【分析】設(shè)正方體棱長為2，求出各邊長可判斷A；根據(jù)平面的性質(zhì)作出截面可判斷B；分別判斷三組平行線與的位置關(guān)系即可判斷CD.【詳解】對(duì)A，設(shè)正方體棱長為2，則易得，故不是等邊三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，如圖，取中點(diǎn)，易得，取中點(diǎn)，連接，則易得，再取中點(diǎn)，連接，則，所以，所以是平面與正方體底面的交線，延長，與的延長線交于，連接，交于，則可得五邊形即為平面交正方體的截面，故B正確；對(duì)C，因?yàn)椋远疾慌c平行，又，所以都不與平行，因?yàn)?，所以都不與平行，故不存在棱與平面平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，顯然與不垂直，所以與不垂直，則都不與垂直；因?yàn)榕c不垂直，所以與不垂直，則都不與垂直；因?yàn)榕c不垂直，所以與不垂直，則都不與垂直；所以不存在棱與平面垂直，故D正確.故選：BD.24．（多選）已知正方體，若平面，則關(guān)于平面截此正方體所得截面的判斷正確的是（）A．截面形狀可能為正三角形 B．截面形狀可能為正方形C．截面形狀可能為正六邊形 D．截面形狀可能為五邊形【答案】AC【分析】根據(jù)平面得到平面與平面平行或重合，然后結(jié)合圖形即可判斷出答案.【詳解】如圖，在正方體中，連接，，，則平面，所以平面與平面平行或重合，所以平面與正方體的截面形狀可以是正三角形，正六邊形，但不可能是五邊形和四邊形，故A，C正確，B，D錯(cuò)誤．故選：AC.25．如圖，在棱長為1的正方體中，，，分別為棱，，上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），若，則下列說法正確的是A．存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為B．用過，，三點(diǎn)的平面去截正方體，得到的截面一定是梯形C．平面D．用平行于平面的平面去截正方體，得到的截面為六邊形時(shí)，該六邊形周長一定為【答案】ABD【分析】連接，，，，，，，根據(jù)線線平行，面面平行求出平面，得到到平面的距離，判斷；連接并延長交的延長線于點(diǎn)，連接并將其延長與相交于點(diǎn)，根據(jù)比例關(guān)系得到四邊形為梯形，判斷；連接，由可知平面平面，根據(jù)線面關(guān)系判斷；在上取點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過作交于，以此類推截面為六邊形，求出六邊形的周長判斷即可．【詳解】對(duì)于：連接，，，，，，，如圖示：，，，，且平面平面，又已知三棱錐各條棱長均為，則三棱錐為正四面體，故到平面的距離為：，平面，，又，且，平面，又平面，，同理可得，且，平面，又，到平面的距離，，且，故正確；對(duì)于：連接并延長交的延長線于點(diǎn)，連接并將其延長與相交于點(diǎn)，如圖示：，且，，則，，故即為，連接，過點(diǎn)，，的截面為四邊形，由條件可知，，且，四邊形為梯形，故正確；對(duì)于：連接，由可知平面平面，如圖示：又平面，平面，故不平行于平面，故平面不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于：在上取點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過作交于，以此類推，如圖示：依次可得點(diǎn)，，，此時(shí)截面為六邊形，根據(jù)題意可知：平面平面，不妨設(shè)，則，故，故六邊形的周長為：，故正確；故選：．26．如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線與是平行直線B．直線與所成的角為60°C．直線與平面所成的角為45°D．平面截正方體所得的截面面積為【答案】BC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可判斷A、B、C，作出平面截正方體所得的截面即可求出面積判斷D.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．∵，分別為棱，的中點(diǎn)，∴、，則，，∴和不共線，故A錯(cuò)誤；∵，，∴，∴，∴直線與所成的角為，故B正確．由于平面的一個(gè)法向量為，，∴，直線與平面所成的角為，故C正確；連接，易知，則平面截正方體所得的截面為等腰梯形，∵棱長為2，∴，，，∴等腰梯形的高為，∴，故D錯(cuò)誤，故選：BC．27．如圖，在正方體中，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與，不重合），則下列說法正確的是（）A．B．三棱錐的體積為定值C．過P，C，三點(diǎn)作正方體的截面，截面圖形為三角形或梯形D．DP與平面所成角的正弦值最大為【答案】ABC【分析】由正方體性質(zhì)知垂直關(guān)系可判斷A，作截面判斷C，由等體積法判斷B，求出線面角的正弦值，得最大值，判斷D．【詳解】由正方體性質(zhì)可知平面，所以，故A正確：由等體積法得為定值，故B正確；根據(jù)正方體性質(zhì)知，當(dāng)延長線與棱相交時(shí)，截面為三角形，當(dāng)延長線與棱相交時(shí)，截面為梯形，C正確；選項(xiàng)D，在正方體中，連接，則為DP在平面上的射影，則為DP與平面所成的角，設(shè)正方體的棱長為1，，則，，當(dāng)x取得最小值時(shí)，的值最大，即時(shí)，x的值最小為，所以的值最大為，故選項(xiàng)D不正確，故選：ABC．28．如圖所示，在棱長為1的正方體中，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是（）A．B．若為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則為定值C．點(diǎn)A到平面的距離為D．過作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小值為【答案】ABD【分析】由平行公理可判斷A；由數(shù)量積的定義可判斷B；由等體積法可判斷C；由截面面積最小的圓是以所在的弦為直徑的截面圓可判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：連結(jié)，，正方體中，，而M，N分別為棱，的中點(diǎn)，則，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)與的夾角為，由上圖可知，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：連接，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，又，則，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：連接交于點(diǎn)，則是的中點(diǎn).正方體外接球球心是正方體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑.由對(duì)稱性知過MN作該正方體外接球的截面，所得截面的面積最小的圓是以所在的弦為直徑的截面圓，即截面圓圓心為.易得.∴.故截面圓半徑.此時(shí)截面圓面積為，故D正確．故選：ABD．29．如圖，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則以下說法正確的是（）A．平面截正方體所得截面周長為B．上存在點(diǎn)P，使得平面C．三棱錐和體積相等D．上存在點(diǎn)P，使得平面【答案】ACD【分析】對(duì)于B，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用反證法可判斷其正誤，而對(duì)于ACD，連接，，，利用線線平行可判斷截面為梯形，從而可求截面的周長，連接，利用等積法可求棱錐的體積，再取的中點(diǎn)M，的中點(diǎn)N，連接，，，利用線面平行的判定定理可證的中點(diǎn)Р滿足平面，從而可判斷這三者的正誤.【詳解】對(duì)于B選項(xiàng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，所以，，若平面，則，而顯然不成立，所以與不垂直，所以上不存在點(diǎn)P，使得面，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于A選項(xiàng)，連接，，∵E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，故，而，故，∴E﹐F，，C四點(diǎn)共線，∴平面截正方體所得的截面為梯形，∴截面周長，故A正確；對(duì)于C選項(xiàng)，連接，故，而平面即為平面，因，故到平面的距離為到平面的距離的，而到平面為，故到平面的距離為，故，所以成立，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，取的中點(diǎn)M，的中點(diǎn)N，連接，，，∵且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，∵平面，平面∴平面，∴點(diǎn)P為的中點(diǎn)，∴上存在一點(diǎn)Р使得平面，故D正確．故選：ACD.30．如圖，正方體的棱長為，，，分別為，，的中點(diǎn)，則（）A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行C．平面截正方體所得的截面面積為 D．