第二章 無限期界與世代交疊模型

#第二章無限期界與世代交疊模型A、拉姆齊(賽)一卡斯一庫普曼模型1、假設(shè)：廠商一一大量相同廠商，生產(chǎn)函數(shù)是Y=F(K,AL)，是規(guī)模報(bào)酬不變，要素與產(chǎn)出市場(chǎng)是競(jìng)爭(zhēng)性的，A是給定的，以速率g外生增長(zhǎng)，且企業(yè)由家庭所有，企業(yè)產(chǎn)生的任何利潤(rùn)歸于家庭。家庭——大量相同家庭，家庭中人口的規(guī)模以n速率外生增長(zhǎng)，將其擁有的資本租給廠商，初始資本為K(0)/H，其中，K(0)是經(jīng)濟(jì)中的資本的初始量，H是家庭數(shù)量。不存在折舊，每個(gè)時(shí)點(diǎn)上，家庭將其收入(勞動(dòng)收入、資本所獲得收入和從廠商處接受的利潤(rùn))在消費(fèi)與儲(chǔ)蓄中分配，以最大化其終身效用。家庭的效用函數(shù)是：U二Le-pru(C(t))dt，其中C(t)是家庭每個(gè)成員的消費(fèi)。t=oHC(t)1-0u(?)是瞬時(shí)效用函數(shù)一既定時(shí)刻家庭每個(gè)成員的效用，其形式是u(C(t))=(它是1-0著名的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡不變的CRRA效用函數(shù)，該函數(shù)的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)(阿羅－帕拉特風(fēng)險(xiǎn)厭惡測(cè)度值)為-U''(C)/u(C)=0即獨(dú)立于C,并能使經(jīng)濟(jì)收斂于平衡的增長(zhǎng)路徑。其二個(gè)特征：(1)如果0<1，C1-0關(guān)于C是遞減的；如果0>1，則消費(fèi)是遞增的。給C1-0除以1-0，是確保無論0取什么值，消費(fèi)的邊際效用是正的。(2)在0T1，瞬時(shí)效用函數(shù)可簡(jiǎn)化為InC)，0>0，1/0是消費(fèi)跨期替代彈性。L(t)是經(jīng)濟(jì)的總?cè)丝?，字是每H個(gè)家庭的成員人數(shù)。u(C(t))習(xí)是t時(shí)刻家庭的總瞬時(shí)效用。P是貼現(xiàn)率，其越大，表明H相對(duì)于現(xiàn)期消費(fèi)，家庭對(duì)未來消費(fèi)的估價(jià)越小(更偏好于現(xiàn)期消費(fèi)，少儲(chǔ)蓄)。且p-n-(1-0)g>0(可確保終生效用不會(huì)發(fā)散，如果這個(gè)條件不成立，家庭可獲得無限的終生效用，且難以得到其最大化問題的解)。2、家庭與廠商的行為：(1)廠商：邊際產(chǎn)品OF(K,AL)/8K=f(k)，市場(chǎng)是競(jìng)爭(zhēng)的，資本獲得其邊際產(chǎn)品,以不存在折舊，資本的真實(shí)報(bào)酬率等于每單位時(shí)間的收入(利率)，那么，真實(shí)利率為：r(t)=f'(k(t))，勞動(dòng)的邊際產(chǎn)品是OF(K,AL)/OL，它等于AOF(K,AL)/OAL。根據(jù)f(?)，它可寫成A[f(k)-kf(k)]，因此，在t時(shí)刻，真實(shí)工資為：W(t)=A(t)[f(k(t))-k(t)f'(k(t))]，

每單位有效勞動(dòng)的工資是：w(t)二f(k(t))-k(t)f'(k(t))］。(2)家庭的預(yù)算約束：代表性家庭把r與w的路徑取做給定的。家庭的預(yù)算約束是其終生消費(fèi)的貼現(xiàn)值不能超過其初始的財(cái)富與其終生勞動(dòng)收入的現(xiàn)值之和?？紤]到r可隨時(shí)間而變化，將R(t)—累加利息因子定義為tr(t)d。表示在0時(shí)刻投資一單位的產(chǎn)出品TOC\o"1-5"\h\zT=0T將在t時(shí)刻獲得數(shù)量為eR(t)的物品。亦即，在t時(shí)刻的一單位產(chǎn)出的價(jià)值用0時(shí)刻的產(chǎn)出表示為e-R(t)(表明在［0,t］時(shí)刻連續(xù)復(fù)利的效應(yīng))。家庭預(yù)算為：J?e-r(t)C(t)也dt<K(0)+卜e-r(t)W(t)L(t)dtt=0HHt=0Hn+卜e-r(t)［W(t)—C(t)］也dt>0Ht=0H用家庭的資本持有量的極限行為來表示，即從t=0到t=?的積分形式作為一種極限:nlim[K(0)+Jse-r(t)[W(t)—C(t)]dt]>0Ht=0HsT8nK(^)=eR(s)K(0)+JseR(s)-r(t)[W(t)-C(t)]也dtTTTTTJHHt=0HK(s)>0，表示家庭所持資產(chǎn)的現(xiàn)值K(s)>0，表示家庭所持資產(chǎn)的現(xiàn)值根據(jù)上式，可將預(yù)算約束簡(jiǎn)單寫成：lime-R(s)sT8不能是負(fù)的。著名的非蓬齊博弈條件。(3)家庭的最大化問題(每工人消費(fèi)C/L=A(C/AL)=Ac)家庭瞬時(shí)效用簡(jiǎn)化為：C(t)i-e=[A(t)c(t)]i-e=[A(0)egt]i-oCt)i-e

1-91-9家庭瞬時(shí)效用簡(jiǎn)化為：=A(0)e(i-e)gtS^^孚由于L(t)=L(0)ent代入目標(biāo)函數(shù)，得:

=e-pt[A(0)e(i-0)gt]L(0)entdtt=01-0H=A(0)型e-Pte(i-0)gtentS^^dtTOC\o"1-5"\h\zHt=01-0=BJ8e-(p-n-(i-0)g)tdtt=01-0=BJ8e-PtS^竽dtt=01-0家庭預(yù)算簡(jiǎn)化:家庭總消費(fèi)C(t)L(t)/H=A(t)c(t)L(t)/H)=c(t)A(t嚴(yán)")=c(t)A(°^(0)e(n+g)tHH家庭的總勞動(dòng)收入：ge-r(t)w(t)e(n+g)tdtt=0W(t)L(t)/H=A(t)w(t)L(t)/H)=w(t)A(t)L(t)=w(t)A(0)L(0)e(n+g)tHH因K^°2=k(0)A(0)L(0)/He-r(t)cge-r(t)w(t)e(n+g)tdtt=0Ht=0K(0)是家庭持有的，不是家庭成員持有的)H非蓬齊條件表達(dá)式:由K(s)/H=k(s)A(s)L(s)/H=k(s)e(n+g)s—nle-r(Hss構(gòu)建拉格朗日函數(shù)：L=Be-Ptc。)；9dt+X[k(0)+Jge-r(t)e(n+g)tw(t)dt-e-r(t)e(n+g”c(t)dt]t=01-0t=0t=0求關(guān)于c(t)的導(dǎo)數(shù)，即一階條件:Be-Ptc(t)-0二九e-r(t)e(n+g)t對(duì)上式取對(duì)數(shù)，得：InB—Pt-0Inc(t)=In九一R(t)+(n+g)t=InX-ftr(t)dT+(n+g)tT=0兩邊求關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)，得:一卩-0D=r(t)+(n+g)c(t)r(t)-n-g—卩r(t)-p-0gr(t)-p===—gc(t)0r(t)—p即表明每個(gè)工人的消費(fèi)是以0的速率增長(zhǎng)。如果實(shí)際報(bào)酬超過了家庭用于貼現(xiàn)未來消費(fèi)的速率，每個(gè)工人消費(fèi)將上升。0越小，隨著消費(fèi)的變化，其邊際效用的變化越小，從而，為對(duì)實(shí)際利率與貼現(xiàn)率之間的差異作出反應(yīng)，消費(fèi)變動(dòng)就越大。歐拉方程的求解：假設(shè)家庭在t時(shí)，將c減少較小的量Ac,在一個(gè)較短的時(shí)刻At,把這個(gè)新增的儲(chǔ)蓄進(jìn)行投資，并在t+At時(shí)刻消費(fèi)這部分收入。這種變化對(duì)終生效用的邊際影響則是零。c(t)的邊際效用是Be-Ptc(t)-e，則這種變化的效用成本為：Be-Ptc(t)-eAc；由于瞬時(shí)的報(bào)酬率為r(t)，在t+At時(shí)刻，c可被增加的數(shù)量為e[r(t)-n-g]AtAc(有效勞動(dòng)增c(t)加)。同樣，由于c的增長(zhǎng)率是/、，那么，c(t+At)二c(t)e[c(t)/吊Mt，因此，在t+At的c(t)邊際效用為：Be-P(t+At)c(t+At)_0Ac—Be-p(t+At)[c(t)e[c(t)/c(t)]At]_0Ac理性家庭，其期望效用保持不變：Be-P(t)c(t)-0Ac—Be-P(t+at)[c(t)e[c(t)/；(t)]At]_eAc給兩邊同除以Be-Ptc(t)-0Ac，得：c(t)-PAt-0At—[r(t)-n-g]Atc(t)3、經(jīng)濟(jì)的動(dòng)態(tài)學(xué)：(1)c的動(dòng)態(tài)學(xué)：由于r(t)—f(k(t))即哄—廣kt(jP-0g，當(dāng)c(t)0f'(k(t)—P+0g那么，c—0，設(shè)k*代表在c—0時(shí)的k的水平，當(dāng)k>k*，f'(k(t))<P+0g(資本邊際報(bào)酬遞減)，c<0；當(dāng)k<k*，f'(k(t))>P+0g，c>0。如圖：cc2)k的動(dòng)態(tài)學(xué)：與索洛模型一樣，k等于實(shí)際投資減去持平投資。由于不存在折舊，持平投資為(n+g)k，實(shí)際投資是產(chǎn)出減去消費(fèi)為f(k)-c,即：k=f(k(t))-c(t)-(n+g)k(t)，那么消費(fèi)等于實(shí)際產(chǎn)出與持平投資線的差額時(shí)，k二0，c(t)二f(k(t))-(n+g)k(t)，開始c關(guān)于k是遞增的，直到f'(k)=n+g(k的黃金律水平)，后c關(guān)于k是遞減的。當(dāng)c超過可獲得k=0的水平時(shí)，k則下降，當(dāng)c小于可獲得斤二0的水平時(shí)，k則上升，對(duì)于充分大的k，持平投資超過產(chǎn)出，在此條件下，對(duì)于一切c的正值，k<0。如圖：c與k的動(dòng)態(tài)學(xué)

(4)c的初始值：(解釋在k=0下方，k大于0,可用k=f(k(t))-c(t)-(n+g)k(t)來解釋，因?yàn)橄路降腸小，而使產(chǎn)出大于持平投資，或者可從k=0,c=f(k)-(n+g)k,c與k關(guān)于c的各種初始值的行為lime-R(s)e(n+g)sk(s)中e-R(t)e(n+g)t=e-(f'(k)-(n+g))(F是收斂的，因?yàn)閒'(k*)=p+0g，其ss他點(diǎn)上f'(k)<(n+g)，發(fā)散的，即較之于家庭的終生消費(fèi)的貼現(xiàn)值，其終生收入的貼現(xiàn)值是無窮大的，因此，家庭可獲得更高的效用，這樣的路徑不是均衡的。)(5)鞍點(diǎn)路徑：鞍點(diǎn)路徑是指對(duì)于k的任何正的初始水平，存在一個(gè)惟一的c的初始水平，它與家庭的最優(yōu)化、資本存量的動(dòng)態(tài)學(xué)、家庭預(yù)算約束以及k不為負(fù)的要求相一致，那么，這種初始的c作為k的一個(gè)函數(shù)的函數(shù)便是鞍點(diǎn)路徑。鞍點(diǎn)路徑4、福利(略)5、平衡增長(zhǎng)路徑平衡增長(zhǎng)路徑的性質(zhì)：經(jīng)濟(jì)行為一旦收斂于E點(diǎn)，它便等同于處在平衡路徑上的索洛經(jīng)濟(jì)的行為，每單位有效勞動(dòng)的資本、產(chǎn)出與消費(fèi)是不變的。由于y與k不變的，儲(chǔ)蓄率(y-c)/y也是不變的，總資本存量與總消費(fèi)均以(n+g)的速率增長(zhǎng)，且每工人資本、每工人產(chǎn)出與消費(fèi)發(fā)速率g增長(zhǎng)。(儲(chǔ)蓄率的內(nèi)生與外生假定都一樣，勞動(dòng)的有效性的增長(zhǎng)仍是每工人產(chǎn)出持續(xù)增長(zhǎng)的惟一可能的源泉。平衡增長(zhǎng)路徑與資本的黃金律水平索洛模型與拉姆齊模型的平衡增長(zhǎng)路徑之間的惟一區(qū)別是：擁有資本存量大于黃金律資本水平的平衡路徑在拉姆齊模型是不可能的，即在索洛模型中，充分高的儲(chǔ)蓄率引致經(jīng)濟(jì)達(dá)到一個(gè)平衡路徑，它的性質(zhì)是存在一些可行的選擇，涉及在每個(gè)時(shí)刻更高的水平的消費(fèi)。相反，在拉姆齊模型中，儲(chǔ)蓄由家庭行為中推出，該家庭的效用依存于其消費(fèi)，并且不存在外部性，結(jié)果，使經(jīng)濟(jì)在每個(gè)時(shí)點(diǎn)上獲得較高消費(fèi)水平的路徑，不能是一個(gè)均衡，如果經(jīng)濟(jì)處在這樣一個(gè)路徑上，家庭將會(huì)減少他們的儲(chǔ)蓄并利用這種機(jī)會(huì)。(從鞍點(diǎn)圖分析：(a)當(dāng)初始資本存量大于黃金律水平，初始消費(fèi)會(huì)大于那個(gè)為保持k不變所需的消費(fèi)水平，因此，k<0，k逐漸趨向k*；(b)k*小于黃金律資本存量意味著經(jīng)濟(jì)并不會(huì)收斂于那種可獲得c的最大維持水平的平衡路徑，假設(shè)，g二0，那么，k*是由f(k*)=P定義的，而黃金律的k由f(k)-n定義，因而我們假定P-n-(1一°)g>0簡(jiǎn)化為P>n，由GRGR于k*<k，在k二k*處開始的儲(chǔ)蓄增加將會(huì)引致每工人的消費(fèi)最終高于其先前的水平，GR并且在那里保持不變，但因家庭對(duì)現(xiàn)期消費(fèi)的偏好大于未來時(shí)期，使得消費(fèi)的最終的永久性增加的好處受到限制。在某個(gè)點(diǎn)上，特別地，當(dāng)k>k*，暫時(shí)的短期犧牲與永久的長(zhǎng)期收益之間的替代是十分不利的，以致接受該替代會(huì)減少而非提高終生的效用，因此，k收斂于低于黃金律水平的資本量，由于k*是經(jīng)濟(jì)收斂于平衡路徑時(shí)的k的最優(yōu)水平，它便是著名的修正的黃金律資本存量)。6、貼現(xiàn)率下降的效應(yīng)考慮一個(gè)處在其平衡路徑上的拉姆齊經(jīng)濟(jì)，并且設(shè)存在貼現(xiàn)率P下降。由于P是主導(dǎo)家庭對(duì)現(xiàn)期與未來消費(fèi)之間偏好的參數(shù)，在這個(gè)模型中，這個(gè)變化與索洛模型中的儲(chǔ)蓄率的上升，十分相似。(1)定性效應(yīng)：由于k的演化由技術(shù)而非偏好決定，P進(jìn)入C而不是進(jìn)入k的方程。因此，只有c=0的軌跡受到影響。由于c(t)二廣(k(t)Tp—°g，當(dāng)c=o，k值由f'(k*)二p+eg決定,c(t)0且由于/"(?)v0，這意味著p的下降會(huì)提咼k*。那么，c=0線向右邊移動(dòng)。在P的變動(dòng)的時(shí)刻，k的值，即每單位有效勞動(dòng)的資本存量由經(jīng)濟(jì)的歷史給定，并且它不能間斷地變化。特別地，在變動(dòng)的時(shí)刻，k等于原平衡增長(zhǎng)路徑上的k*值。相反，c，即家庭此時(shí)刻正在進(jìn)行的消費(fèi)的速率，則在沖擊時(shí)刻發(fā)生跳躍。在變動(dòng)發(fā)生的時(shí)刻，c向下跳躍，使得經(jīng)濟(jì)處在新鞍點(diǎn)路徑值(如圖中的A點(diǎn))。此后,k與c逐漸上升到其新的平衡增長(zhǎng)路徑值，這些值均高于其原平衡增長(zhǎng)路徑上的值。因此,貼現(xiàn)率下降的效應(yīng)類似于索洛模型中的儲(chǔ)蓄率上升的效應(yīng)：在兩種情形中，k逐漸上升到新的較高水平，但c均初始下降但接著上升到其開始時(shí)的水平之上。正如索洛模型中具有一個(gè)儲(chǔ)蓄率的永久性上升的情況一樣，貼現(xiàn)率的永久下降會(huì)產(chǎn)生每工人資本增長(zhǎng)率與每工人產(chǎn)出的暫時(shí)性增長(zhǎng)。兩者差異是：在P下降的情形下，產(chǎn)出的儲(chǔ)蓄部分在調(diào)整過程中一般不是不變的。

2)調(diào)整速率與鞍點(diǎn)路徑的斜率這里用平衡增長(zhǎng)路徑附近的線性近似方程替代這些非線性的方程。在k=k*與c=c*的附近給喫二c(t的附近給喫二c(t)f(k(t))-p-9g9與k-f(k(t))-c(t)-(n+g)k(t)取一階泰勒近似，即,蟲[k-k*]+dkIs[c-c*]ccTOC\o"1-5"\h\zku^[k-k*]+ck[c-c*]ckcc定義c=c一c*與k=k一k*，由于k*與c*均不變，則c=c且k=k，上式可寫成:qcc-cccuk+-ckcc對(duì)c(t)對(duì)c(t)=CkCkf(k(t))-p-9g9c(t)分別求關(guān)于c與k的導(dǎo)數(shù)，且c=0時(shí)，f'(k*)=p+9g，那么，可得到：f''(k*)c*-k9cf"(k*)c*k對(duì)上式兩邊同除以c，得到：—u(1)c9c同理，對(duì)k=f(一c(t-(+g)k分t別求關(guān)于c與k的導(dǎo)數(shù)，且k=0,f(k*)=c+(n+g)k*，可得到k=[f(k*)-(n+g)]k—c=[(P+9g)-(n+g)]k—c=Bk-c~kc對(duì)上式兩邊同除以k，可得：孑=0-(2)kk(1)與(2)式意味著c與k的增長(zhǎng)率只依存于c與k的比率。

設(shè)卩設(shè)卩=C/c，方程（1）可變?yōu)椋簉k9￡?g秸，假設(shè)訂斤二c/C，那么，―f''(k*)c*1^=p——9卩0土[02—4F”(k*)c*/9]1/2nH=如果卩為正，那么，c與k正在增長(zhǎng)，這便是經(jīng)濟(jì)不是沿一條直線走向（k*,c*）的，相反,它正在沿一條直線偏離（k*,c*）。因此，如果經(jīng)濟(jì)收斂于（k*,c*），那么，卩為負(fù)，即,卩叫02—4F''(k*)c*/9]1/2。如圖所示:的，刻，?kC卡=0-孑則意味著c的，刻，?kC卡=0-孑則意味著c與k之間的關(guān)系所具有的符號(hào)將不同于卩kk鞍點(diǎn)路徑AA線斜率為正，BB線的斜率為負(fù)。由于/”（?）是負(fù)的,如果我們線性化關(guān)于C與k的方程，可以用模型參數(shù)刻畫經(jīng)濟(jì)動(dòng)態(tài)學(xué)的特征。在0時(shí)c必定會(huì)跳躍到c*+-k*）（這是從秒?以嚴(yán)I推出的）。此后，c與k均會(huì)以速率卩i收斂于它們的平衡路徑；這便是k（T）二k*+E中［k（0）-k*］，c(t)二C*+制[c(0)—C*]。3）調(diào)整速度理解-氏ygi理解-氏ygi對(duì)于收斂于平衡路徑的速度的含義，我們用柯布－道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)f(k)=k?，即f”(k*)(a-l)k*3。由于平衡路徑上消費(fèi)等于產(chǎn)出減去持平投資，每單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)c*等于k*a-(n+g)k*，代入卩式得：由于f(k*)二p+eg，可得，ak*a-1二p+eg，將此代入上式，得：l4l-a卩卞(卩-{[卩2+-——(p+eg)[p+eg-a(n+g)]}1/2l2ea上式表明了用模型的基本參數(shù)表示的調(diào)整速率。7、政府購(gòu)買的效應(yīng)(1)把政府納入模型中。假設(shè)每單位有效勞動(dòng)的政府購(gòu)買是G(t)，其不影響私人效用，其購(gòu)買由稅收融資而得，不影響產(chǎn)出。那么，投資是產(chǎn)出同私人消費(fèi)與政府購(gòu)買之間的差額。因此，k的運(yùn)動(dòng)方程如下：k(t)=f(k(t)-c(-)G-)+ng)kt較高的G值把k=0軌跡向下移動(dòng)，如果k保持不變，那么由政府購(gòu)買的產(chǎn)品越多，由私人購(gòu)買的產(chǎn)品就越少。依據(jù)假設(shè)，家庭的偏好不變，但歐拉方程或在對(duì)家庭施加終生預(yù)算約束限制下由其偏好中推出的，其他條件仍成立，但政府購(gòu)買融資的稅收會(huì)影響家庭預(yù)算約束，即：g(tdt)nJ?e-r(tc(t)e?g(tdt)t=0同樣的推導(dǎo)過程，可得出消費(fèi)增長(zhǎng)路徑。增加政府購(gòu)買并不影響歐拉方程，那么我們來分析：(2