圓錐曲線(xiàn)之橢圓學(xué)案北京高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

2024屆北京高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案之《圓錐曲線(xiàn)橢圓》知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、橢圓的定義1.橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱(chēng)為半焦距.2.定義的三個(gè)要點(diǎn)(1)在平面內(nèi)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是兩個(gè)定點(diǎn)；(2)|MF1|+|MF2|=2a為定長(zhǎng)；(3)定長(zhǎng)2a>|F1F2|.注意：集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)，當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是橢圓；當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是線(xiàn)段F1F2；當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡不存在.3.橢圓的第二定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)F的距離與到定直線(xiàn)l(定點(diǎn)F不在定直線(xiàn)l上)的距離之比為常數(shù)e(0<e<1)的點(diǎn)的集合，其中定點(diǎn)F為橢圓的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)l稱(chēng)為橢圓的準(zhǔn)線(xiàn).4.與兩定點(diǎn)A1(a，0)，A2(a，0)(a>0)連線(xiàn)的斜率之積為b2二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)位置在x軸上在y軸上圖形?標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2y2a2性質(zhì)焦點(diǎn)F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|=2c(c=a2范圍|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：x軸，y軸；對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)(±a，0)，(0，±b)(0，±a)，(±b，0)軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸(線(xiàn)段A1A2)長(zhǎng)為2a，短軸(線(xiàn)段B1B2)長(zhǎng)為2b離心率e=ca=1?（1）焦半徑：橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的線(xiàn)段叫做橢圓的焦半徑.已知P(x0，y0)為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，記r1=|PF1|，r2=|PF2|，則①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，r1=a+ex0，r2=aex0；②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，r1=a+ey0，r2=aey0.三、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系1.已知點(diǎn)P(x0，y0)，橢圓x2a2+y2b①|(zhì)PF1|+|PF2|=2a?點(diǎn)P在橢圓上?x02a②|PF1|+|PF2|<2a?點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部?x02a③|PF1|+|PF2|>2a?點(diǎn)P在橢圓外部?x02a四、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系1.聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，根據(jù)方程組解的情況可得直線(xiàn)與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)(位置關(guān)系).直線(xiàn)y=kx+m與橢圓x2a2由y=kx+m，x位置關(guān)系解的個(gè)數(shù)Δ的取值相交兩解Δ>0相切一解Δ=0相離無(wú)解Δ<02.弦長(zhǎng)公式設(shè)直線(xiàn)斜率為k，直線(xiàn)與橢圓的兩交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|=1+k2·|x1x2|=1+或|AB|=1+1k2|y1y23.橢圓的通徑：過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線(xiàn)被橢圓所截得的弦叫做橢圓的通徑，其長(zhǎng)度為2b4.焦點(diǎn)弦：過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交形成的弦.焦點(diǎn)弦中通徑最短.五、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解1.定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)橢圓的定義確定a，b的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程如果明確橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，那么設(shè)所求的橢圓方程為x2a2如果明確橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，那么設(shè)所求的橢圓方程為y2a2如果中心在原點(diǎn)，但焦點(diǎn)的位置不能明確是在x軸上還是在y軸上，那么設(shè)所求的橢圓方程為mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n).3.利用橢圓的性質(zhì)確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)與橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)有相同離心率的橢圓的方程為x2a2+y2b2=1=k(2)與橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程為x2六、橢圓焦點(diǎn)三角形的相關(guān)問(wèn)題1.焦點(diǎn)三角形及其解法(1)橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的一點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的△PF1F2稱(chēng)為焦點(diǎn)三角形.解關(guān)于橢圓的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，通常要利用橢圓的定義，再結(jié)合正弦定理、余弦定理等知識(shí).(2)焦點(diǎn)三角形的常用公式：①焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)C=2a+2c.②在△PF1F2中，由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|22|PF1||PF2|cos∠F1PF2.③設(shè)P(xP，yP)，則焦點(diǎn)三角形的面積S=c|yP|=12|PF1||PF2|sin∠F1PF2=b2tan∠F1④當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P位于短軸端點(diǎn)時(shí)，∠F1PF2最大，此時(shí)滿(mǎn)足cos∠F1PF2≥12e2.七、橢圓離心率的求解?1.求橢圓離心率的兩種常用方法(1)直接法：若已知a，c，可直接利用e=ca求解；若已知a，b或b，c，可利用a2=b2+c2求出c或a，再代入公式e=c(2)方程法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，利用a2=b2+c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程，再將方程兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程，即可求得e的值.2.求橢圓離心率的取值范圍求離心率的取值范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)題意建立a，c的不等式(仿照求離心率中建立方程的方法)，結(jié)合e∈(0，1)確定離心率的范圍.八、直線(xiàn)與橢圓的相交弦問(wèn)題1.求相交弦的弦長(zhǎng)的兩種方法(1)求出直線(xiàn)與橢圓的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間的距離公式求弦長(zhǎng).(2)聯(lián)立直線(xiàn)(斜率存在)與橢圓的方程，消元，得到一個(gè)一元二次方程，利用弦長(zhǎng)公式|AB|=1+k2|x1x2|=1+1k2|y1y2|(k≠0)，其中x1，x22.與橢圓中點(diǎn)弦有關(guān)問(wèn)題的三種題型及解法(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系求中點(diǎn)坐標(biāo)：聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去x(y)得到關(guān)于y(x)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.(2)利用“點(diǎn)差法”求直線(xiàn)斜率或方程：利用弦的端點(diǎn)在曲線(xiàn)上，端點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足橢圓方程，將端點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系式，即若橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直線(xiàn)與橢圓相交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠±x2，且弦AB的中點(diǎn)為M(x，y)，則x12a2+y12b2=1①，x22a2(3)利用共線(xiàn)法求直線(xiàn)方程：利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，如果弦的中點(diǎn)為P(x0，y0)，設(shè)其中一端點(diǎn)為A(x，y)，則另一端點(diǎn)為B(2x0x，2y0y)，所以x2a2+y2b2這三種方法中“點(diǎn)差法”最常用，“點(diǎn)差法”體現(xiàn)了“設(shè)而不求，整體代入”的解題思

想；“點(diǎn)差法”還可用于解決對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，因?yàn)榇祟?lèi)問(wèn)題一般也與弦的中點(diǎn)和直線(xiàn)斜率有關(guān).九、與橢圓有關(guān)的最值、定值以及定點(diǎn)問(wèn)題1.解決與橢圓有關(guān)的最大(小)值問(wèn)題的常用方法(1)利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，利用幾何方法，即利用曲線(xiàn)的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；(2)利用換元法轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題處理；(3)利用代數(shù)法轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理，此時(shí)，應(yīng)注意橢圓中x，y的取值范圍.2.解決定點(diǎn)問(wèn)題需要注意兩個(gè)方面一是抓“特值”，涉及的定點(diǎn)多在兩條坐標(biāo)軸上，所以可以先從斜率不存在或斜率為0

的特殊情況入手找出定點(diǎn)，為解題指明方向.二是抓“參數(shù)之間的關(guān)系”,定點(diǎn)問(wèn)題多是直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，所以要熟悉直線(xiàn)方程的特殊形式，

若直線(xiàn)的方程為y=kx+b，則直線(xiàn)y=kx+b恒過(guò)點(diǎn)(0，b)；若直線(xiàn)的方程為y=k(xa)，則直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)(a，0).3.定值問(wèn)題(1)求定值問(wèn)題的常用方法：①?gòu)奶厥馇闆r入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān).②直接推理、計(jì)算，并在推理、計(jì)算的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.(2)定值問(wèn)題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問(wèn)題，基本思路是使用參數(shù)表示要解決的問(wèn)題，證明要解決的問(wèn)題與參數(shù)無(wú)關(guān).在這類(lèi)問(wèn)題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的.典型例題訓(xùn)練1．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．2．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B，D分別是的左、右頂點(diǎn)，．(1)求的方程；(2)設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)．求證：．3．（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）已知橢圓E：的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率.(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為k的直線(xiàn)與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線(xiàn)AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N.設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為D，求的值.4．（2023秋·北京東城·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓：（）的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和為6，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，.若，，成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)的范圍.5．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，一個(gè)焦點(diǎn)為．(1)求橢圓的方程和離心率；(2)設(shè)直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為．當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求的值．6．（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）已知橢圓，點(diǎn)在橢圓上，且（為原點(diǎn)）．設(shè)的中點(diǎn)為，射線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)．(1)當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，求直線(xiàn)的方程；(2)求的取值范圍．7．（2023秋·北京西城·高三統(tǒng)考期末）如圖，已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為k的直線(xiàn)交橢圓E于兩點(diǎn)A，B，的中點(diǎn)為M．設(shè)O為原點(diǎn)，射線(xiàn)交橢圓E于點(diǎn)C．當(dāng)與的面積相等時(shí)，求k的值．8．（2023·北京朝陽(yáng)·二模）已知點(diǎn)在橢圓E：上，且E的離心率為.(1)求E的方程；(2)設(shè)F為橢圓E的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是E上的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)PF與直線(xiàn)相交于點(diǎn)Q，求的值.9．（2023秋·北京朝陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓的右頂點(diǎn)，P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P不在x軸上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，面積的最大值為1．(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓C交于另一點(diǎn)Q，直線(xiàn)分別與y軸相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)的方程．10．（2023·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考二模）已知橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程和離心率；(2)設(shè)P，Q為橢圓C上不同的兩個(gè)點(diǎn)，直線(xiàn)AP與y軸交于點(diǎn)E，直線(xiàn)AQ與y軸交于點(diǎn)F，若點(diǎn)滿(mǎn)足，求證：P，O，Q三點(diǎn)共線(xiàn)．11．（2023·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考一模）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為2．(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓E交于B，C兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B，C分別作直線(xiàn)的垂線(xiàn)（點(diǎn)B，C在直線(xiàn)l的兩側(cè)）．垂足分別為M，N，記，，的面積分別為，，，試問(wèn)：是否存在常數(shù)t，使得，，總成等比數(shù)列？若存在，求出t的值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．（2023秋·北京豐臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為．(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B為橢圓E的右頂點(diǎn)．記直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，求證：為定值．13．（2023·北京石景山·統(tǒng)考一模）已知橢圓:過(guò)點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且互相垂直的直線(xiàn),分別交橢圓于,兩點(diǎn)及的取值范圍.14．（2023秋·北京石景山·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為2．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，射線(xiàn)分別交橢圓C于點(diǎn)A，B，求證：為定值．15．（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上、下頂點(diǎn)分別為，，直線(xiàn)的方程為．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)是橢圓上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．過(guò)作垂直于軸的直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，再過(guò)作垂直于軸的直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)．求的大小．16．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）已知橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為，上、下頂點(diǎn)分別為，，四邊形的周長(zhǎng)為．(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)斜率為k的直線(xiàn)l與x軸交于點(diǎn)P，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為、直線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)Q．若的面積為2，求k的值．17．（2023秋·北京海淀·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓過(guò)點(diǎn)和.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交橢圓于不同的兩點(diǎn)，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，直線(xiàn)交軸于點(diǎn).若，求直線(xiàn)的方程.18．（2023·北京門(mén)頭溝·統(tǒng)考一模）已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸的左端點(diǎn)為.(1)求C的方程；(2)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)的任一直線(xiàn)l與橢圓C分別相交于M，N兩點(diǎn)，且AM，AN與直線(xiàn)，分別相交于D，E兩點(diǎn)，求證：以DE為直徑的圓恒過(guò)x軸上定點(diǎn)，并求出定點(diǎn).19．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為．橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，為橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線(xiàn)是否過(guò)軸上的定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由．20．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線(xiàn)l與橢圓E相切，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：為定值.21．（2023秋·北京房山·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為8.(1)求橢圓的方程；(2)直線(xiàn)：與橢圓分別相交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)，分別與軸交于點(diǎn)，.試問(wèn)是否存在直線(xiàn)，使得線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，如果存在，寫(xiě)出一條滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)的方程，并證明；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）已知橢圓的離心率為，橢圓C截直線(xiàn)所得線(xiàn)段的長(zhǎng)度為2.(1)求橢圓C的方程(2)動(dòng)直線(xiàn)交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M，D為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是M關(guān)于O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，以N點(diǎn)為圓心的圓過(guò)原點(diǎn)O，直線(xiàn)DF與⊙N相切于點(diǎn)F，求的最大值23．（2023秋·北京通州·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，且，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)是橢圓上不同于的一點(diǎn)，直線(xiàn)，與直線(xiàn)分別交于點(diǎn).試判斷以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.24．（2023·北京順義·統(tǒng)考一模）已知橢圓過(guò)點(diǎn)和，且．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)斜率為的直線(xiàn)交橢圓于，直線(xiàn)分別交直線(xiàn)于點(diǎn)．若，求的值．25．（2023·北京順義·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線(xiàn)與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若以為鄰邊的平行四邊形的頂點(diǎn)P在橢圓C上，求證：平行四邊形的面積是定值．26．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）已知橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，且右焦點(diǎn)為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)（不與重合），直線(xiàn)分別與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，N.當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：以為直徑的圓截軸所得的弦長(zhǎng)為定值.27．（2023秋·北京昌平·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率是.(1)求橢圓的方程和短軸長(zhǎng)；(2)已知點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，問(wèn)：是否存在直線(xiàn)，使得是以點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形，若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，說(shuō)明理由.28．（2023·北京平谷·統(tǒng)考一模）已知橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)橢圓交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于y軸的直線(xiàn)與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿(mǎn)足．(1)求橢圓E的方程：(2)證明：直線(xiàn)HN過(guò)定點(diǎn)．29．（2023·北京密云·統(tǒng)考三模）橢圓C：的離心率為，且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓C的方程和長(zhǎng)軸長(zhǎng)；(2)點(diǎn)M，N在C上，且.證明：直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn).30．（2023·北京延慶·統(tǒng)考一模）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，與軸交于兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于另一點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為原點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)異于點(diǎn)時(shí)，求證：為定值.參考答案1．【解】由條件可知，，，，所以，得，故選：C2．【解】（1）依題意，得，則，又分別為橢圓上下頂點(diǎn)，，所以，即，所以，即，則，所以橢圓的方程為.（2）因?yàn)闄E圓的方程為，所以，因?yàn)闉榈谝幌笙奚系膭?dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，易得，則直線(xiàn)的方程為，，則直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，解得，即，而，則直線(xiàn)的方程為，令，則，解得，即，又，則，，所以，又，即，顯然，與不重合，所以.3．【解】（1）由題意可知，，所以，則所求橢圓的方程為.（2）依題意過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)為，設(shè)、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直線(xiàn)的方程為，令，解得，直線(xiàn)的方程為，令，解得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)，則點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以.4．【解】（1）由題意∴∴，故橢圓的方程為.（2）設(shè)∵，，成等差數(shù)列∴=，5.【解】（1）由題設(shè)

解得

所以橢圓的方程．

的離心率為．（2）設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，則直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)．

由

得．

設(shè)，則，．

由題設(shè)，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離相等．所以四邊形的面積為面積的倍．

又，所以．

所以．

設(shè)，則．所以．

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，．所以四邊形的面積最大時(shí)，．6．【解】（1）當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，設(shè)其方程為．

由點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且，由勾股定理可知不妨設(shè)，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，得，解得．所以直線(xiàn)的方程為．（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，由（Ⅰ）知．

當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為．由

得．由，得．設(shè)，，則，．

因?yàn)?，所以．所以．整理得?/p>

所以．解得，從而．

設(shè)，其中．則．

將代入橢圓的方程，得．所以，即．

因?yàn)椋?，即?/p>

綜上的取值范圍是．7．【解】（1）由題設(shè),，解得.所以橢圓的方程為.（2）直線(xiàn)的方程為.由得.設(shè),則.因?yàn)榕c的面積相等,所以點(diǎn)和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離相等.所以為線(xiàn)段的中點(diǎn),即四邊形,則.所以.將上述兩式代入，得.解得.8．【解】（1）由題意得解得所以橢圓E的方程為.（2）因?yàn)辄c(diǎn)是E上的任意一點(diǎn)，所以.①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)或.當(dāng)點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)PF與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，此時(shí).當(dāng)點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)PF與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，此時(shí).②當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，由，可得，所以.所以，所以.綜上所述，.9．【解】（1）橢圓，，，P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P不在x軸上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為，故面積為，若要面積最大，則需最長(zhǎng)，此時(shí)點(diǎn)P在軸上，即時(shí)，使得面積最大，,,.橢圓C的方程為，離心率為.（2）P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓C交于另一點(diǎn)Q，可記，，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，即軸時(shí)，，此時(shí)直線(xiàn)分別與y軸相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．此時(shí)，不符合題意.當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，聯(lián)立，消去可得,化簡(jiǎn)得，由韋達(dá)定理可得，所以，由，，，則直線(xiàn)的方程為：，直線(xiàn)的方程為：，因?yàn)橹本€(xiàn)分別與y軸相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，令分別代入直線(xiàn),直線(xiàn)可得：點(diǎn)，，又，在直線(xiàn)方程上，所以有，分別代入并化簡(jiǎn)可得，，，則，解得，，故直線(xiàn)的方程為：或，即或.10.【解】（1）將代入橢圓方程，，解得，故，，所以橢圓C的方程為，離心率為；（2）法1：設(shè)點(diǎn)，，所以直線(xiàn)PA的方程為：，直線(xiàn)AQ的方程為：，所以點(diǎn)，．，因?yàn)椋约储佼?dāng)直線(xiàn)PQ無(wú)斜率時(shí)，設(shè)，則，代入①得：，解得：，所以P，O，Q三點(diǎn)共線(xiàn)．當(dāng)直線(xiàn)PQ有斜率時(shí)，設(shè)，由y=kx+nx2所以，代入（1）得：，解得：或.當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)PQ的方程：，不符合題意．故，所以P，O，Q三點(diǎn)共線(xiàn)．綜上，P，O，Q三點(diǎn)共線(xiàn)．

法2：設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，直線(xiàn)PA的方程為：，所以點(diǎn)．，，因?yàn)?，所以，所以，即，所以直線(xiàn)AF的方程為：，要證P，O，Q三點(diǎn)共線(xiàn)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，只需證在直線(xiàn)AF上．又因?yàn)?，所以，所以，所以在直線(xiàn)AF上，所以P，O，Q三點(diǎn)共線(xiàn)．

法3：由題意得，不妨令E點(diǎn)在x軸上方，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以Rt∽R(shí)t，故，即，設(shè)，則，則直線(xiàn)方程為，與聯(lián)立得，設(shè)，則，解得，則，直線(xiàn)方程為，與聯(lián)立得，設(shè)，則，解得，則，故，，所以P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，P，O，Q三點(diǎn)共線(xiàn).11．【解】（1）根據(jù)已知可得，所以，所以橢圓E的方程為.（2）由已知得，的斜率存在，且在軸的同側(cè)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，不妨設(shè)，則由得所以因?yàn)?，所以，，要使，，總成等比?shù)列，則應(yīng)有解得，所以存在，使得，，總成等比數(shù)列.12．【解】（1）橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，故，，，，橢圓方程為.（2），直線(xiàn)：，聯(lián)立方程，得到，方程的一個(gè)解為，故另外一個(gè)解為.當(dāng)時(shí)，，即，，，，，得證13．【解】（1）橢圓:過(guò)點(diǎn)，且離心率為所以，解得，所以橢圓的方程為；（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，則直線(xiàn)：，代入橢圓方程得，所以；直線(xiàn)：，代入橢圓方程得，所以，所以；當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，同理可得；當(dāng)直線(xiàn),的斜率均存在，不妨設(shè)直線(xiàn)的方程為，則直線(xiàn)的方程為，，則，消去得，恒成立，所以，所以；同理可得，將換成可得所以，綜上所述，的取值范圍是.14．【解】（1）因?yàn)闄E圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為2，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)當(dāng)直線(xiàn)不存在斜率時(shí)，且，，把代入中，得，所以，于是，，直線(xiàn)的方程為，則有，或，因此，所以；由根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)當(dāng)時(shí)，此時(shí)A，B兩點(diǎn)重合，坐標(biāo)為，所以；當(dāng)直線(xiàn)存在斜率時(shí)，且時(shí)，設(shè)，由題意可知：，直線(xiàn)的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，得，因此有，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，得，因此有，顯然有，，當(dāng)時(shí)，兩式相減得：，，由和可知：，因此有，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，，所以，于是有所以有?dāng)時(shí)，則，把代入中，得，即所以，綜上所述：為定值.15．【解】（1）因?yàn)橹本€(xiàn)的方程為，所以，，即，，所以，所以橢圓方程為，離心率（2）依題意，設(shè)，，則，且點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，可得，直線(xiàn)的方程為，由，可得，所以，直線(xiàn)的方程為，令，得，即，所以，即直線(xiàn)的傾斜角是，所以.16．【解】（1）由，得，即，由四邊形的周長(zhǎng)為，得，即，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程為（，），，，則，，聯(lián)立方程組，消去y得，，，得，，，直線(xiàn)的方程為，令，得，又因?yàn)?，所以，的面積，得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以k的值為.17．【解】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓的方程，得解得,所以橢圓的方程為：（2）若直線(xiàn)的斜率不存在，即直線(xiàn)為時(shí)，和重合，和點(diǎn)重合，分別為橢圓的上下頂點(diǎn)，此時(shí)，符合題意.若直線(xiàn)斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，且，聯(lián)立方程得，，即或，所以直線(xiàn)的方程為，取得，同理可得由得，即，所以，即，即即，因?yàn)椋缘?，即，?jīng)檢驗(yàn)符合題意，此時(shí)直線(xiàn)為綜上所述，直線(xiàn)的方程為或.18．【解】（1）由題可得，，得，所以橢圓的方程：；（2）橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題直線(xiàn)斜率不為零，設(shè)直線(xiàn)l方程為，設(shè)，，由題，聯(lián)立方程組，消去x得，所以，，，得，同理，，得，設(shè)軸上一點(diǎn)，則，同理得:，，因?yàn)椋茫?，即或，所以以DE為直徑的圓恒過(guò)x軸上定點(diǎn)，定點(diǎn)分別為，.19．【解】（1）橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為，，解得，橢圓的方程為.（2）在直線(xiàn)上，則點(diǎn)，由，得，由,得，，，，，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).20．【解】（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以，又，，所以，得到，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線(xiàn)斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓的方程得，消去并整理，得，因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)相等的根，，化簡(jiǎn)整理得因?yàn)橹本€(xiàn)與垂直，所以直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立得，解得，，所以把代入上式得，，所以，為定值；當(dāng)直線(xiàn)斜率為0時(shí)，直線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，則垂線(xiàn)方程為，此時(shí)或，，為定值；當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，則垂線(xiàn)方程為，此時(shí)或，，為定值；綜上所述，，為定值.21．【解】（1）點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為8，故，,橢圓的方程為，代入，可得，解得，故橢圓的方程為：（2）由題意，設(shè)，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，可得，，整理得，，化簡(jiǎn)得，，故；，，又，可設(shè)直線(xiàn)：，設(shè)直線(xiàn)：，故，，若線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，必有，故有，整理得，，化簡(jiǎn)得，，得到，，，，，，，利用韋達(dá)定理，得，，，，，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，直線(xiàn)為：，故令，則必有，滿(mǎn)足，此時(shí)，滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)為：（答案不唯一）22．【解】（1）由橢圓的離心率為，得.又當(dāng)時(shí)，得，所以因此橢圓方程為.（2）

設(shè)A（，），B（，）.聯(lián)立方程得由得（*）且，因此，所以又N（0，m），所以整理得：，因?yàn)樗粤罟仕砸驗(yàn)樯蠁握{(diào)遞增，因此等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)最大值為2.23．【解】（1）由題意可知，解得，所以求橢圓的方程為.（2）設(shè)，由（1）可知，斜率存在且不為0，依題意可知的直線(xiàn)方程為，的直線(xiàn)方程為，令，可得，，假設(shè)以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，不妨設(shè)定點(diǎn)為，依題意可知，，所以，，因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，令，可得，解得，，所以以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，.24．【解】（1）由題意可知：所以橢圓C的方程為.（2）直線(xiàn)的方程為，設(shè)，，直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立可得：，消去可得：，則.直線(xiàn)的方程為：，令可得，直線(xiàn)的方程為：，令可得.，法一：易知與異號(hào)法二：25．【詳解】（1）由題意，可得，解得，，，所以橢圓為.（2）證明：把代入橢圓方程，得，所以，即，設(shè)，，則，，所以，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即.因?yàn)?，?又點(diǎn)到直線(xiàn)的距離