圓錐曲線的最值問題

圓錐曲線中的最值問題例1：過拋物線y2＝4的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，點O是坐標原點，則|AF|·|BF|的最小值是多維探究√FxyoAB解：依題意知直線AB的斜率不為0，設直線AB的方程為：=my1,與y2＝4聯立，得y2-4my-4=0,因為△>0,所以y1y2=4m,y1y2=-4|AF|·|BF|=…FxyoAB變式題：過拋物線y2＝4的焦點F作互相垂直的弦AC，BD，則點A，B，C，D所構成四邊形的面積的最小值為A16 B32 C48 D64√解析由拋物線的幾何性質可知：據此可得，點A，B，C，D所構成四邊形的面積的最小值為32FxyoABCD例2：在平面直角坐標系Oy中，P為雙曲線2－y2＝－y＋1＝0的距離大于c恒成立，則實數c的最大值為________解析雙曲線2－y2＝1的漸近線為±y＝0，直線－y＋1＝0與漸近線－y＝0平行，xyoF1F2Px-y+1=0xyoAB解析設A，B兩點的坐標分別為1，y1，2，y2，直線l的方程為y＝＋t，xyoAB處理圓錐曲線最值問題的求解方法圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等進行求解；二是利用代數法，即把要求最值的幾何量或代數表達式表示為某個些參數的函數解析式，然后利用函數方法、不等式方法等進行求解思維升華例3：設O為坐標原點，是線段|＝2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為FxyoPM7例4解得a＝2，由橢圓定義得|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，即|AF2|＋|BF2|＝8－|AB|，因此|AF2|＋|BF2|的最大值等于8－1＝7xyoABF1F2例5：定長為4的線段MN的兩端點在拋物線y2＝上移動，設點N的中點，則點P到y(tǒng)軸距離的最小值為________PxyoMN例6：橢圓＝1的左、右焦點分別為F1，F2，過橢圓的右焦點F2作一條直線l交橢圓于P，Q兩點，則△F1PQ的內切圓面積的最大值是________解析令直線l：＝my＋1，與橢圓方程聯立消去，得3m2＋4y2＋6my－9＝0，可設P1，y1，Q2，y2，xyoPQF1F2故≤3三角形的周長與三角形內切圓的半徑的積是三角形面積的二倍，三角形的周長l＝4a＝8，由題意得左焦點F－1,0，xyoPF故最小值為6例8：已知橢圓C：2＋2y2＝41求橢圓C的離心率；所以a2＝4，b2＝2，從而c2＝a2－b2＝2，2設O為原點，若點A在直線y＝2上，點B在橢圓C上，且OA⊥OB，求線段AB長度的最小值解設點A，B的坐標分別為t,2，0，y0，其中0≠0所以|AB|2＝0－t2＋y0－22解答1求橢圓E的方程；解答解設A1，y1，B2，y2，由題意知Δ＞0，由題意可知，圓M的半徑r為例10：在平面直角坐標系Oy中，已知拋物線C：2＝4y，點P是C的準線l上的動點，過點P作C的兩條切線，切點分別