二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題

§73二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題基礎知識自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習1一般地，二元一次不等式A＋By＋C>0在平面直角坐標系中表示直線A＋By＋C＝0某一側所有點組成的 我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域＋By＋C≥0所表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域應邊界直線，則把邊界直線畫成2由于對直線A＋By＋C＝0同一側的所有點，y，把它的坐標，y代入A＋By＋C，所得的符號都，所以只需在此直線的同一側取一個特殊點0，y0作為測試點，由A0＋By0＋C的 即可判斷A＋By＋C>0表示的直線是A＋By＋C＝0哪一側的平面區(qū)域1二元一次不等式表示的平面區(qū)域知識梳理平面區(qū)域不包括實線包括符號相同2線性規(guī)劃相關概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的一次不等式線性約束條件由x，y的

不等式(或方程)組成的不等式組目標函數(shù)欲求

或

的函數(shù)線性目標函數(shù)關于x，y的

解析式一次最大值最小值一次可行解滿足

的解可行域所有

組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得

或

的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的

或

問題線性約束條件可行解最大值最小值最大值最小值畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點定域：1直線定界：不等式中無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線；2特殊點定域：若直線不過原點，特殊點常選原點；若直線過原點，則特殊點常選取0,1或1,0來驗證3重要結論1利用“同號上，異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域對于A＋By＋C>0或A＋By＋C<0，則有1當BA＋By＋C>0時，區(qū)域為直線A＋By＋C＝0的上方；2當BA＋By＋C<0時，區(qū)域為直線A＋By＋C＝0的下方2最優(yōu)解和可行解的關系最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解最優(yōu)解不一定唯一，有時唯一，有時有多個知識拓展判斷下列結論是否正確請在括號中打“√”或“×”1二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的交集2不等式A＋By＋C>0表示的平面區(qū)域一定在直線A＋By＋C＝0的上方3點1，y1，2，y2在直線A＋By＋C＝0同側的充要條件是A1＋By1＋CA2＋By2＋C>0，異側的充要條件是A1＋By1＋CA2＋By2＋C<0思考辨析√×√4第二、四象限表示的平面區(qū)域可以用不等式y(tǒng)<0表示5線性目標函數(shù)的最優(yōu)解是唯一的6最優(yōu)解指的是使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解7目標函數(shù)＝a＋byb≠0中，的幾何意義是直線a＋by－＝0在y軸上的截距√×√×

1下列各點中，不在＋y－1≤0表示的平面區(qū)域內的是A0,0 B－1,1C－1,3 D2，－3考點自測答案解析把各點的坐標代入可得(－1,3)不適合，故選C.

答案解析用特殊點代入，比如(0,0)，容易判斷為C.

A0B3C4D5答案解析不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示.令z＝2x＋y，則y＝－2x＋z，作直線2x＋y＝0并平移，當直線過點A時，截距最大，即z取得最大值，幾何畫板展示答案解析0畫出可行域為陰影部分.z＝－3x＋y，即y＝3x＋z過交點A時，z最小.幾何畫板展示5教材改編投資生產A產品時，每生產100噸需要資金200萬元，需場地200平方米；投資生產B產品時，每生產100噸需要資金300萬元，需場地100平方米現(xiàn)某單位可使用資金1400萬元，場地900平方米，則上述要求可用不等式組表示為__________________用，y分別表示生產A，B產品的噸數(shù)，和y的單位是百噸答案解析用表格列出各數(shù)據(jù)

AB總數(shù)產品噸數(shù)xy

資金200x300y1400場地200x100y900所以不難看出，≥0，y≥0,200＋300y≤1400,200＋100y≤900題型分類深度剖析例11不等式－2y＋1＋y－3≤0在坐標平面內表示的區(qū)域用陰影部分表示，應是下列圖形中的題型一二元一次不等式組表示的平面區(qū)域命題點1不含參數(shù)的平面區(qū)域問題

答案解析

答案解析

命題點2含參數(shù)的平面區(qū)域問題答案解析又∵當m＝－3時，不滿足題意，應舍去，∴m＝1答案解析幾何畫板展示不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示思維升華1求平面區(qū)域的面積：①首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，若不能直接畫出，應利用題目的已知條件轉化為不等式組問題，從而再作出平面區(qū)域；②對平面區(qū)域進行分析，若為三角形應確定底與高，若為規(guī)則的四邊形如平行四邊形或梯形，可利用面積公式直接求解，若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個三角形分別求解再求和即可2利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題，也應作出平面圖形，利用數(shù)形結合的方法去求解

答案解析幾何畫板展示由圖可知，當m≤1時，函數(shù)y＝2的圖象上存在點，y滿足約束條件，故m的最大值為1

A1B－1C0D－2答案解析由于x＝1與x＋y－4＝0不可能垂直，所以只可能x＋y－4＝0與kx－y＝0垂直或x＝1與kx－y＝0垂直.①當x＋y－4＝0與kx－y＝0垂直時，k＝1，檢驗知三角形區(qū)域面積為1，即符合要求.②當x＝1與kx－y＝0垂直時，k＝0，檢驗不符合要求.題型二求目標函數(shù)的最值問題命題點1求線性目標函數(shù)的最值答案解析命題點2求非線性目標函數(shù)的最值解答幾何畫板展示如圖中陰影部分所示∴的取值范圍是[2，＋∞2若＝2＋y2，求的最大值與最小值，并求的取值范圍解答＝2＋y2表示可行域內的任意一點與坐標原點之間距離的平方因此2＋y2的最小值為OA2，最大值為OB2∴的取值范圍是引申探究解答∴z的取值范圍是(－∞，0].＝2＋y2－2－2y＋的最大值、最小值解答z＝x2＋y2－2x－2y＋3＝(x－1)2＋(y－1)2＋1，命題點3求參數(shù)值或取值范圍5答案解析顯然，當m<2時，不等式組表示的平面區(qū)域是空集；當m＝2時，不等式組表示的平面區(qū)域只包含一個點A1,1此時min＝1－1＝0≠－1顯然都不符合題意平面區(qū)域為一個三角形區(qū)域，由圖可知，當直線y＝－經(jīng)過點C時，取得最小值，答案解析作出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分思維升華1先準確作出可行域，再借助目標函數(shù)的幾何意義求目標函數(shù)的最值2當目標函數(shù)是非線性的函數(shù)時，常利用目標函數(shù)的幾何意義來解題，3當目標函數(shù)中含有參數(shù)時，要根據(jù)臨界位置確定參數(shù)所滿足的條件

答案解析A－2 B－1 C1 D2對于選項A，當m＝－2時，可行域如圖①，直線y＝2－的截距可以無限小，不存在最大值，不符合題意，故A不正確；對于選項B，當m＝－1時，m－y≤0等同于＋y≥0，可行域如圖②，直線y＝2－的截距可以無限小，不存在最大值，不符合題意，故B不正確；對于選項C，當m＝1時，可行域如圖③，當直線y＝2－過點A2,2時截距最小，最大為2，滿足題意，故C正確；對于選項D，當m＝2時，可行域如圖④，直線y＝2－與直線OB平行，截距最小值為0，最大為0，不符合題意，故D不正確答案解析題型三線性規(guī)劃的實際應用問題例6某玩具生產公司每天計劃生產衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個，生產一個衛(wèi)兵需5分鐘，生產一個騎兵需7分鐘，生產一個傘兵需4分鐘，已知總生產時間不超過10小時若生產一個衛(wèi)兵可獲利潤5元，生產一個騎兵可獲利潤6元，生產一個傘兵可獲利潤3元1試用每天生產的衛(wèi)兵個數(shù)與騎兵個數(shù)y表示每天的利潤ω元；解答依題意每天生產的傘兵個數(shù)為100－x－y，所以利潤ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.2怎樣分配生產任務才能使每天的利潤最大，最大利潤是多少？解答目標函數(shù)為ω＝2＋3y＋300，作出可行域，如圖所示，作初始直線l0：2＋3y＝0，平移l0，當l0經(jīng)過點A時，ω有最大值，∴最優(yōu)解為A50,50，此時ωma＝550元故每天生產衛(wèi)兵50個，騎兵50個，傘兵0個時利潤最大，且最大利潤為550元思維升華解線性規(guī)劃應用問題的一般步驟1審題：仔細閱讀材料，抓住關鍵，準確理解題意，明確有哪些限制條件，借助表格或圖形理清變量之間的關系2設元：設問題中起關鍵作用或關聯(lián)較多的量為未知量，y，并列出相應的不等式組和目標函數(shù)3作圖：準確作出可行域，平移找點最優(yōu)解4求解：代入目標函數(shù)求解最大值或最小值5檢驗：根據(jù)結果，檢驗反饋跟蹤訓練3某電視機廠計劃在下一個生產周期內生產兩種型號電視機，每臺A型或B型電視機所得利潤分別為6和4個單位，而生產一臺A型和B型電視機所耗原料分別為2和3個單位，所需工時分別為4和2個單位，如果允許使用的原料為100個單位，工時為120個單位，且A型和B型電視機產量分別不低于5臺和10臺，應當生產每種類型電視機多少臺，才能使利潤最大？解答設生產A型電視機臺，B型電視機y臺，線性目標函數(shù)為＝6＋4y根據(jù)約束條件作出可行域如圖中陰影部分整點所示，作直線l0：3＋2y＝0，當直線l0平移至點A時，取最大值，所以生產兩種類型電視機各20臺時，所獲利潤最大含參數(shù)的線性規(guī)劃問題現(xiàn)場糾錯系列81含參數(shù)的平面區(qū)域問題，要結合直線的各種情況進行分析，不能憑直覺解答2目標函數(shù)含參的線性規(guī)劃問題，要根據(jù)的幾何意義確定最優(yōu)解，切忌搞錯符號錯解展示典例1在直角坐標系Oy中，若不等式組表示一個三角形區(qū)域，則實數(shù)的取值范圍是________2已知，y滿足約束條件若＝a＋y的最大值為4，則a＝_____現(xiàn)場糾錯糾錯心得解析1如圖，直線y＝－1－1過點1，－1，作出直線y＝2，當<－1或0<<2或>2時，不等式組表示一個三角形區(qū)域2由不等式組表示的可行域，可知＝a＋y在點A1,1處取到最大值4，∴a＋1＝4，∴a＝3答案1－∞，－1∪0,2∪2，＋∞23返回解析1直線y＝－1－1過定點1，－1，當這條直線的斜率為負值時，該直線與y軸的交點必須在坐標原點上方，即直線的斜率為－∞，－1，只有此時可構成三角形區(qū)域2作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示＝a＋y等價于y＝－a＋，因為的最大值為4，即直線y＝－a＋的縱截距最大為4若＝a＋y在A1,1處取得最大值，則縱截距必小于2，故只有直線y＝－a＋過點2,0且－a<0時符合題意，∴4＝a×2＋0，即a＝2答案1－∞，－122返回課時作業(yè)1若點m,1在不等式2＋3y－5>0所表示的平面區(qū)域內，則m的取值范圍是Am≥1Bm≤1Cm<1Dm>1√答案解析由2m＋3－5>0，得m>1123456789101112131415√答案解析如圖，作出不等式組表示的可行域，當函數(shù)y＝log2x的圖象過點(2,1)時，實數(shù)m有最大值1.123456789101112131415＋y－10＝0與不等式組表示的平面區(qū)域的公共點有答案解析A0個 B1個C2個 D無數(shù)個√123456789101112131415由不等式組畫出可行域的平面區(qū)域如圖陰影部分直線2＋y－10＝0恰過點A5,0，且其斜率＝－2<AB＝，即直線2＋y－10＝0與平面區(qū)域僅有一個公共點A5,0123456789101112131415√答案解析123456789101112131415求A，B兩點的坐標分別為和1,0，若原不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是0＜a≤1或a≥不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分，12345678910111213141552016·天津設變量，y滿足約束條件則目標函數(shù)＝2＋5y的最小值為答案解析A－4B6C10D17√123456789101112131415由約束條件作出可行域如圖所示，平移該直線，易知經(jīng)過點A時最小又知點A的坐標為3,0，∴min＝2×3＋5×0＝123456789101112131415，y滿足約束條件則＝2－y的最大值為答案解析A10B8C3D2√123456789101112131415畫出可行域如圖所示由＝2－y，得y＝2－，欲求的最大值，可將直線y＝2向下平移，當經(jīng)過區(qū)域內的點，且滿足在y軸上的截距－最小時，即得的最大值，如圖，可知當過點A時最大，即A5,2，則ma＝2×5－2＝81234567891011121314157某公司生產甲、原料1千克、B原料2千克；生產乙產品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克每桶甲產品的利潤是300元，每桶乙產品的利潤是400元公司在生產這兩種產品的計劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過12千克通過合理安排生產計劃，從每天生產的甲、乙兩種產品中，公司共可獲得的最大利潤是A1800元 B2400元C2800元 D3100元√答案解析123456789101112131415設每天生產甲種產品桶，乙種產品y桶，則根據(jù)題意得、y滿足的約束條件為設獲利元，則＝300＋400y畫出可行域如圖123456789101112131415畫出直線l：300＋400y＝0，即3＋4y＝0平移直線l，從圖中可知，當直線過點M時，目標函數(shù)取得最大值即M的坐標為4,4，∴ma＝300×4＋400×4＝2800元故選C123456789101112131415A－2 B2C－1 D1√答案解析123456789101112131415作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖，由圖象可知當P位于點D1,0時，直線AP的斜率最小，123456789101112131415答案解析√123456789101112131415作出可行域，如圖所示，則目標函數(shù)＝－2y在點1,0處取得最大值1，在點－1,1處取得最小值－3，∴a＝1，b＝－3，從而可知方程2－＋1＝0在區(qū)間－3，1上有兩個不同實數(shù)解123456789101112131415令f＝2－＋1，，y的不等式組表示的平面區(qū)域是等腰直角三角形，則其表示的區(qū)域面積為________答案解析123456789101112131415直線－y＋1＝0過點0,1，要使不等式組表示的區(qū)域為直角三角形，只有直線－y＋1＝0垂直于y軸如圖1或與直線＋y＝0垂直如圖2時才符合題意123456789101112131415，y滿足約束條件若目標函數(shù)＝a＋y其中a>0僅在點3,0處取得最大值，則a的取值范圍是__________答案解析畫出x、y滿足約束條件的可行域如圖所示，要使目標函數(shù)z＝ax＋y僅在點(3,0)處取得最大值，則直線y＝－ax＋z的斜率應小于直線x＋2y－3＝0的斜率，即－a<

，123456789101112131415答案解析123456789101112131415設′＝，則′的幾何意義為動點P，y到定點D－1，－1的斜率畫出可行域如圖陰影部分所示，則易得′∈，∴＝1＋2·′∈123456789101112131415答案解析作出圖形可知，△ABF所圍成的區(qū)域即為區(qū)域D，其中A(0,1)是z在D上取得最小值的點，B，C，D，E，F(xiàn)是z在D上取得最大值的點，則T中的點共確定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6條不同的直線