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§73二元一次不等式組與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類(lèi)深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1一般地,二元一次不等式A+By+C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線A+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的 我們把直線畫(huà)成虛線以表示區(qū)域+By+C≥0所表示的平面區(qū)域時(shí),此區(qū)域應(yīng)邊界直線,則把邊界直線畫(huà)成2由于對(duì)直線A+By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn),y,把它的坐標(biāo),y代入A+By+C,所得的符號(hào)都,所以只需在此直線的同一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)0,y0作為測(cè)試點(diǎn),由A0+By0+C的 即可判斷A+By+C>0表示的直線是A+By+C=0哪一側(cè)的平面區(qū)域1二元一次不等式表示的平面區(qū)域知識(shí)梳理平面區(qū)域不包括實(shí)線包括符號(hào)相同2線性規(guī)劃相關(guān)概念名稱意義約束條件由變量x,y組成的一次不等式線性約束條件由x,y的
不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求
或
的函數(shù)線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的
解析式一次最大值最小值一次可行解滿足
的解可行域所有
組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得
或
的可行解線性規(guī)劃問(wèn)題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的
或
問(wèn)題線性約束條件可行解最大值最小值最大值最小值畫(huà)二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界,特殊點(diǎn)定域:1直線定界:不等式中無(wú)等號(hào)時(shí)直線畫(huà)成虛線,有等號(hào)時(shí)直線畫(huà)成實(shí)線;2特殊點(diǎn)定域:若直線不過(guò)原點(diǎn),特殊點(diǎn)常選原點(diǎn);若直線過(guò)原點(diǎn),則特殊點(diǎn)常選取0,1或1,0來(lái)驗(yàn)證3重要結(jié)論1利用“同號(hào)上,異號(hào)下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域?qū)τ贏+By+C>0或A+By+C<0,則有1當(dāng)BA+By+C>0時(shí),區(qū)域?yàn)橹本€A+By+C=0的上方;2當(dāng)BA+By+C<0時(shí),區(qū)域?yàn)橹本€A+By+C=0的下方2最優(yōu)解和可行解的關(guān)系最優(yōu)解必定是可行解,但可行解不一定是最優(yōu)解最優(yōu)解不一定唯一,有時(shí)唯一,有時(shí)有多個(gè)知識(shí)拓展判斷下列結(jié)論是否正確請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”1二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的交集2不等式A+By+C>0表示的平面區(qū)域一定在直線A+By+C=0的上方3點(diǎn)1,y1,2,y2在直線A+By+C=0同側(cè)的充要條件是A1+By1+CA2+By2+C>0,異側(cè)的充要條件是A1+By1+CA2+By2+C<0思考辨析√×√4第二、四象限表示的平面區(qū)域可以用不等式y(tǒng)<0表示5線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是唯一的6最優(yōu)解指的是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解7目標(biāo)函數(shù)=a+byb≠0中,的幾何意義是直線a+by-=0在y軸上的截距√×√×
1下列各點(diǎn)中,不在+y-1≤0表示的平面區(qū)域內(nèi)的是A0,0 B-1,1C-1,3 D2,-3考點(diǎn)自測(cè)答案解析把各點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得(-1,3)不適合,故選C.
答案解析用特殊點(diǎn)代入,比如(0,0),容易判斷為C.
A0B3C4D5答案解析不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示.令z=2x+y,則y=-2x+z,作直線2x+y=0并平移,當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí),截距最大,即z取得最大值,幾何畫(huà)板展示答案解析0畫(huà)出可行域?yàn)殛幱安糠?z=-3x+y,即y=3x+z過(guò)交點(diǎn)A時(shí),z最小.幾何畫(huà)板展示5教材改編投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時(shí),每生產(chǎn)100噸需要資金200萬(wàn)元,需場(chǎng)地200平方米;投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時(shí),每生產(chǎn)100噸需要資金300萬(wàn)元,需場(chǎng)地100平方米現(xiàn)某單位可使用資金1400萬(wàn)元,場(chǎng)地900平方米,則上述要求可用不等式組表示為_(kāi)_________________用,y分別表示生產(chǎn)A,B產(chǎn)品的噸數(shù),和y的單位是百噸答案解析用表格列出各數(shù)據(jù)
AB總數(shù)產(chǎn)品噸數(shù)xy
資金200x300y1400場(chǎng)地200x100y900所以不難看出,≥0,y≥0,200+300y≤1400,200+100y≤900題型分類(lèi)深度剖析例11不等式-2y+1+y-3≤0在坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域用陰影部分表示,應(yīng)是下列圖形中的題型一二元一次不等式組表示的平面區(qū)域命題點(diǎn)1不含參數(shù)的平面區(qū)域問(wèn)題
答案解析
答案解析
命題點(diǎn)2含參數(shù)的平面區(qū)域問(wèn)題答案解析又∵當(dāng)m=-3時(shí),不滿足題意,應(yīng)舍去,∴m=1答案解析幾何畫(huà)板展示不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示思維升華1求平面區(qū)域的面積:①首先畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域,若不能直接畫(huà)出,應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問(wèn)題,從而再作出平面區(qū)域;②對(duì)平面區(qū)域進(jìn)行分析,若為三角形應(yīng)確定底與高,若為規(guī)則的四邊形如平行四邊形或梯形,可利用面積公式直接求解,若為不規(guī)則四邊形,可分割成幾個(gè)三角形分別求解再求和即可2利用幾何意義求解的平面區(qū)域問(wèn)題,也應(yīng)作出平面圖形,利用數(shù)形結(jié)合的方法去求解
答案解析幾何畫(huà)板展示由圖可知,當(dāng)m≤1時(shí),函數(shù)y=2的圖象上存在點(diǎn),y滿足約束條件,故m的最大值為1
A1B-1C0D-2答案解析由于x=1與x+y-4=0不可能垂直,所以只可能x+y-4=0與kx-y=0垂直或x=1與kx-y=0垂直.①當(dāng)x+y-4=0與kx-y=0垂直時(shí),k=1,檢驗(yàn)知三角形區(qū)域面積為1,即符合要求.②當(dāng)x=1與kx-y=0垂直時(shí),k=0,檢驗(yàn)不符合要求.題型二求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題命題點(diǎn)1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值答案解析命題點(diǎn)2求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值解答幾何畫(huà)板展示如圖中陰影部分所示∴的取值范圍是[2,+∞2若=2+y2,求的最大值與最小值,并求的取值范圍解答=2+y2表示可行域內(nèi)的任意一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間距離的平方因此2+y2的最小值為OA2,最大值為OB2∴的取值范圍是引申探究解答∴z的取值范圍是(-∞,0].=2+y2-2-2y+的最大值、最小值解答z=x2+y2-2x-2y+3=(x-1)2+(y-1)2+1,命題點(diǎn)3求參數(shù)值或取值范圍5答案解析顯然,當(dāng)m<2時(shí),不等式組表示的平面區(qū)域是空集;當(dāng)m=2時(shí),不等式組表示的平面區(qū)域只包含一個(gè)點(diǎn)A1,1此時(shí)min=1-1=0≠-1顯然都不符合題意平面區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)三角形區(qū)域,由圖可知,當(dāng)直線y=-經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí),取得最小值,答案解析作出不等式組表示的可行域,如圖陰影部分思維升華1先準(zhǔn)確作出可行域,再借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求目標(biāo)函數(shù)的最值2當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是非線性的函數(shù)時(shí),常利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義來(lái)解題,3當(dāng)目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí),要根據(jù)臨界位置確定參數(shù)所滿足的條件
答案解析A-2 B-1 C1 D2對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)m=-2時(shí),可行域如圖①,直線y=2-的截距可以無(wú)限小,不存在最大值,不符合題意,故A不正確;對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)m=-1時(shí),m-y≤0等同于+y≥0,可行域如圖②,直線y=2-的截距可以無(wú)限小,不存在最大值,不符合題意,故B不正確;對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)m=1時(shí),可行域如圖③,當(dāng)直線y=2-過(guò)點(diǎn)A2,2時(shí)截距最小,最大為2,滿足題意,故C正確;對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)m=2時(shí),可行域如圖④,直線y=2-與直線OB平行,截距最小值為0,最大為0,不符合題意,故D不正確答案解析題型三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題例6某玩具生產(chǎn)公司每天計(jì)劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個(gè),生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵需5分鐘,生產(chǎn)一個(gè)騎兵需7分鐘,生產(chǎn)一個(gè)傘兵需4分鐘,已知總生產(chǎn)時(shí)間不超過(guò)10小時(shí)若生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵可獲利潤(rùn)5元,生產(chǎn)一個(gè)騎兵可獲利潤(rùn)6元,生產(chǎn)一個(gè)傘兵可獲利潤(rùn)3元1試用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個(gè)數(shù)與騎兵個(gè)數(shù)y表示每天的利潤(rùn)ω元;解答依題意每天生產(chǎn)的傘兵個(gè)數(shù)為100-x-y,所以利潤(rùn)ω=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300.2怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?解答目標(biāo)函數(shù)為ω=2+3y+300,作出可行域,如圖所示,作初始直線l0:2+3y=0,平移l0,當(dāng)l0經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),ω有最大值,∴最優(yōu)解為A50,50,此時(shí)ωma=550元故每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個(gè),騎兵50個(gè),傘兵0個(gè)時(shí)利潤(rùn)最大,且最大利潤(rùn)為550元思維升華解線性規(guī)劃應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟1審題:仔細(xì)閱讀材料,抓住關(guān)鍵,準(zhǔn)確理解題意,明確有哪些限制條件,借助表格或圖形理清變量之間的關(guān)系2設(shè)元:設(shè)問(wèn)題中起關(guān)鍵作用或關(guān)聯(lián)較多的量為未知量,y,并列出相應(yīng)的不等式組和目標(biāo)函數(shù)3作圖:準(zhǔn)確作出可行域,平移找點(diǎn)最優(yōu)解4求解:代入目標(biāo)函數(shù)求解最大值或最小值5檢驗(yàn):根據(jù)結(jié)果,檢驗(yàn)反饋跟蹤訓(xùn)練3某電視機(jī)廠計(jì)劃在下一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)兩種型號(hào)電視機(jī),每臺(tái)A型或B型電視機(jī)所得利潤(rùn)分別為6和4個(gè)單位,而生產(chǎn)一臺(tái)A型和B型電視機(jī)所耗原料分別為2和3個(gè)單位,所需工時(shí)分別為4和2個(gè)單位,如果允許使用的原料為100個(gè)單位,工時(shí)為120個(gè)單位,且A型和B型電視機(jī)產(chǎn)量分別不低于5臺(tái)和10臺(tái),應(yīng)當(dāng)生產(chǎn)每種類(lèi)型電視機(jī)多少臺(tái),才能使利潤(rùn)最大?解答設(shè)生產(chǎn)A型電視機(jī)臺(tái),B型電視機(jī)y臺(tái),線性目標(biāo)函數(shù)為=6+4y根據(jù)約束條件作出可行域如圖中陰影部分整點(diǎn)所示,作直線l0:3+2y=0,當(dāng)直線l0平移至點(diǎn)A時(shí),取最大值,所以生產(chǎn)兩種類(lèi)型電視機(jī)各20臺(tái)時(shí),所獲利潤(rùn)最大含參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)系列81含參數(shù)的平面區(qū)域問(wèn)題,要結(jié)合直線的各種情況進(jìn)行分析,不能憑直覺(jué)解答2目標(biāo)函數(shù)含參的線性規(guī)劃問(wèn)題,要根據(jù)的幾何意義確定最優(yōu)解,切忌搞錯(cuò)符號(hào)錯(cuò)解展示典例1在直角坐標(biāo)系Oy中,若不等式組表示一個(gè)三角形區(qū)域,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________2已知,y滿足約束條件若=a+y的最大值為4,則a=_____現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)糾錯(cuò)心得解析1如圖,直線y=-1-1過(guò)點(diǎn)1,-1,作出直線y=2,當(dāng)<-1或0<<2或>2時(shí),不等式組表示一個(gè)三角形區(qū)域2由不等式組表示的可行域,可知=a+y在點(diǎn)A1,1處取到最大值4,∴a+1=4,∴a=3答案1-∞,-1∪0,2∪2,+∞23返回解析1直線y=-1-1過(guò)定點(diǎn)1,-1,當(dāng)這條直線的斜率為負(fù)值時(shí),該直線與y軸的交點(diǎn)必須在坐標(biāo)原點(diǎn)上方,即直線的斜率為-∞,-1,只有此時(shí)可構(gòu)成三角形區(qū)域2作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示=a+y等價(jià)于y=-a+,因?yàn)榈淖畲笾禐?,即直線y=-a+的縱截距最大為4若=a+y在A1,1處取得最大值,則縱截距必小于2,故只有直線y=-a+過(guò)點(diǎn)2,0且-a<0時(shí)符合題意,∴4=a×2+0,即a=2答案1-∞,-122返回課時(shí)作業(yè)1若點(diǎn)m,1在不等式2+3y-5>0所表示的平面區(qū)域內(nèi),則m的取值范圍是Am≥1Bm≤1Cm<1Dm>1√答案解析由2m+3-5>0,得m>1123456789101112131415√答案解析如圖,作出不等式組表示的可行域,當(dāng)函數(shù)y=log2x的圖象過(guò)點(diǎn)(2,1)時(shí),實(shí)數(shù)m有最大值1.123456789101112131415+y-10=0與不等式組表示的平面區(qū)域的公共點(diǎn)有答案解析A0個(gè) B1個(gè)C2個(gè) D無(wú)數(shù)個(gè)√123456789101112131415由不等式組畫(huà)出可行域的平面區(qū)域如圖陰影部分直線2+y-10=0恰過(guò)點(diǎn)A5,0,且其斜率=-2<AB=,即直線2+y-10=0與平面區(qū)域僅有一個(gè)公共點(diǎn)A5,0123456789101112131415√答案解析123456789101112131415求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和1,0,若原不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形,則a的取值范圍是0<a≤1或a≥不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分,12345678910111213141552016·天津設(shè)變量,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)=2+5y的最小值為答案解析A-4B6C10D17√123456789101112131415由約束條件作出可行域如圖所示,平移該直線,易知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)最小又知點(diǎn)A的坐標(biāo)為3,0,∴min=2×3+5×0=123456789101112131415,y滿足約束條件則=2-y的最大值為答案解析A10B8C3D2√123456789101112131415畫(huà)出可行域如圖所示由=2-y,得y=2-,欲求的最大值,可將直線y=2向下平移,當(dāng)經(jīng)過(guò)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn),且滿足在y軸上的截距-最小時(shí),即得的最大值,如圖,可知當(dāng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)最大,即A5,2,則ma=2×5-2=81234567891011121314157某公司生產(chǎn)甲、原料1千克、B原料2千克;生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中,要求每天消耗A、B原料都不超過(guò)12千克通過(guò)合理安排生產(chǎn)計(jì)劃,從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中,公司共可獲得的最大利潤(rùn)是A1800元 B2400元C2800元 D3100元√答案解析123456789101112131415設(shè)每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品桶,乙種產(chǎn)品y桶,則根據(jù)題意得、y滿足的約束條件為設(shè)獲利元,則=300+400y畫(huà)出可行域如圖123456789101112131415畫(huà)出直線l:300+400y=0,即3+4y=0平移直線l,從圖中可知,當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)M時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值即M的坐標(biāo)為4,4,∴ma=300×4+400×4=2800元故選C123456789101112131415A-2 B2C-1 D1√答案解析123456789101112131415作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖,由圖象可知當(dāng)P位于點(diǎn)D1,0時(shí),直線AP的斜率最小,123456789101112131415答案解析√123456789101112131415作出可行域,如圖所示,則目標(biāo)函數(shù)=-2y在點(diǎn)1,0處取得最大值1,在點(diǎn)-1,1處取得最小值-3,∴a=1,b=-3,從而可知方程2-+1=0在區(qū)間-3,1上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解123456789101112131415令f=2-+1,,y的不等式組表示的平面區(qū)域是等腰直角三角形,則其表示的區(qū)域面積為_(kāi)_______答案解析123456789101112131415直線-y+1=0過(guò)點(diǎn)0,1,要使不等式組表示的區(qū)域?yàn)橹苯侨切?,只有直線-y+1=0垂直于y軸如圖1或與直線+y=0垂直如圖2時(shí)才符合題意123456789101112131415,y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)=a+y其中a>0僅在點(diǎn)3,0處取得最大值,則a的取值范圍是__________答案解析畫(huà)出x、y滿足約束條件的可行域如圖所示,要使目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值,則直線y=-ax+z的斜率應(yīng)小于直線x+2y-3=0的斜率,即-a<
,123456789101112131415答案解析123456789101112131415設(shè)′=,則′的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)P,y到定點(diǎn)D-1,-1的斜率畫(huà)出可行域如圖陰影部分所示,則易得′∈,∴=1+2·′∈123456789101112131415答案解析作出圖形可知,△ABF所圍成的區(qū)域即為區(qū)域D,其中A(0,1)是z在D上取得最小值的點(diǎn),B,C,D,E,F(xiàn)是z在D上取得最大值的點(diǎn),則T中的點(diǎn)共確定AB,AC,AD,AE,AF,BF共6條不同的直線
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