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第八 級(jí)數(shù)的應(yīng)習(xí) 11-利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式,求以下各數(shù)的近似值ln3誤差不超過104(誤差不超過105sin3o誤差不超過105(誤差不超過103
n1解
ln(1x)
nnln(1x) n
1 1 兩式相減得ln1x22n x(1,1).令
3,得x (1,1), 1 ln3 212
) 3 5 (2nr (2n
(2n
] (2n
[12n1(2n3)
(1
1
(2n
22
(2n
14
試算r 0.000025,故取n6,有r
104, ln3 2( 3 5 7 9 11利用(1x)m15 4 115(254)5 (1)5
(1) 1 116 (1)n1611(5n4)2[1 2 n]5 2!5 r
11161n4)
11
11611(5n ,n5 2 14 r111611162110.110515 14 151[111161161111611161]0.48836 5 2!52 30π(弧度),利用sinxsinππ1(π)31(π)5 3! 5!取n2,r1(π)5106sinππ1(π)30.05234 5! 3! 由ex1x1x21n ee21 e
r (n
(n 1 1(n (n2) (n2)(n3) (111 (n
22
取n4,
0.0003103,從而1111 利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式,求以下定積分的近似值1sinxdx(誤差不超過1040 ?
2 dx(誤差不超過10).01x解 由于limsinx1,因此所給積分不是廣義積分.如果定義被積函數(shù)x0x0處的值為1,則它在積分區(qū)間[0,1]上連續(xù).sinx 由 1 (x), 1sinxdx＝11110 3 5 7因?yàn)榈谒捻?xiàng) ,所以前三項(xiàng)的和作為積分的近似值7 1sinxdx1110 3 5 dx dx
2 01
2(1xx(1) [x1x51x9(1)n
x4n1 4n ()() (111 ()() ( 5 9 4n1
r
,11130.000009,
( dx 01 f(x2為周期的函數(shù),它在(1,1]f(xex.f(x展開成復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)解a1exdx[ex]1ee1,a1excosnπxdx
1
1an1e cosnπxdxn2π2(ee)n2π21e 1x從而an1n2π2(ee).對(duì)bn1 bn1excosnπxdxnπ(1)n(ee1)n2π21exsinnπxdx 從而bn1n2π2(ee),故c0
2an 1 cn [ 22(ee)i 22(ee)]
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