2023年高考數(shù)學(xué)文一輪復(fù)習(xí)第9章9.5橢圓及其性質(zhì)

9.5橢圓及其性質(zhì)INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INET【考試要求INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】1.理解橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.掌握橢圓的簡單應(yīng)用．【知識梳理INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】1．橢圓的定義把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．兩個定點F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離|F1F2|叫做橢圓的焦距．2．橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范圍－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a頂點A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)軸長短軸長為2b，長軸長為2a焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c對稱性對稱軸：x軸和y軸，對稱中心：原點離心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)a，b，c的關(guān)系a2＝b2＋c2INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INET【常用結(jié)論INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】橢圓的焦點三角形橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點三角形．如圖所示，設(shè)∠F1PF2＝θ.(1)當(dāng)P為短軸端點時，θ最大，最大．(2)＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|.(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(4)|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INET【思考辨析INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓．(×)(2)橢圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．(√)(3)eq\f(y2,m2)＋eq\f(x2,n2)＝1(m≠n)表示焦點在y軸上的橢圓．(×)(4)eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相等．(√)INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INET【教材題改編INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】1．設(shè)P是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的點，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，則|PF1|＋|PF2|等于()A．4 B．5C．8 D．10答案D解析依橢圓的定義知，|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.2．若橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，則該橢圓上的點到焦點距離的最大值為()A．3 B．2＋eq\r(3)C．2 D.eq\r(3)＋1答案A解析由題意知a＝2，b＝eq\r(3)，所以c＝1，距離的最大值為a＋c＝3.3．(2022·深圳模擬)已知橢圓C的焦點在x軸上，且離心率為eq\f(1,2)，則C的方程可以為________．答案eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(答案不唯一)解析因為焦點在x軸上，所以設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，a>b>0，因為離心率為eq\f(1,2)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,4)，則eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4).題型一橢圓的定義及其應(yīng)用例1(1)已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設(shè)A是圓上任意一點，N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是()A．圓 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線答案B解析點P在線段AN的垂直平分線上，故|PA|＝|PN|.又AM是圓的半徑，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由橢圓的定義知，P的軌跡是橢圓．(2)設(shè)點P為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1(a>2)上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點，且∠F1PF2＝60°，則△PF1F2的面積為________．答案eq\f(4\r(3),3)解析由題意知，c＝eq\r(a2－4).又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2eq\r(a2－4)，∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P|·|PF2|cos60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，∴|F1P|·|PF2|＝eq\f(16,3)，∴＝eq\f(1,2)|F1P|·|PF2|sin60°＝eq\f(1,2)×eq\f(16,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4\r(3),3).延伸探究若將本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面積．解∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4(a2－4)＝4a2－16，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴＝4.【備選INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】1．△ABC的兩個頂點為A(－3,0)，B(3,0)，△ABC周長為16，則頂點C的軌跡方程為()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1(y≠0)B.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1(y≠0)C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)D.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)答案A解析由題知點C到A，B兩點的距離之和為10，故C的軌跡為以A(－3,0)，B(3,0)為焦點，長軸長為10的橢圓，故2a＝10，c＝3，b2＝a2－c2＝16.所以方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.又A，B，C三點不能共線，所以eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1(y≠0)．2．若F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,7)＝1的兩個焦點，A為橢圓上一點，且∠AF1F2＝45°，則△AF1F2的面積為()A．7B.eq\f(7,4)C.eq\f(7,2)D.eq\f(7\r(5),2)答案C解析由題意得a＝3，b＝eq\r(7)，c＝eq\r(2)，∴|F1F2|＝2eq\r(2)，|AF1|＋|AF2|＝6.∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos45°＝|AF1|2＋8－4|AF1|，∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2＋8－4|AF1|，解得|AF1|＝eq\f(7,2).∴△AF1F2的面積S＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\f(7,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7,2).思維升華橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、求焦點三角形的周長、面積及求弦長、最值和離心率等．(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點三角形的周長和面積問題．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9.動圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程是()A.eq\f(x2,64)－eq\f(y2,48)＝1 B.eq\f(x2,48)＋eq\f(y2,64)＝1C.eq\f(x2,48)－eq\f(y2,64)＝1 D.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1答案D解析設(shè)動圓的圓心M(x，y)，半徑為r，圓M與圓C1：(x－4)2＋y2＝169內(nèi)切，與圓C2：(x＋4)2＋y2＝9外切．所以|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r.|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，由橢圓的定義，M的軌跡是以C1，C2為焦點，長軸長為16的橢圓．則a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，動圓的圓心M的軌跡方程為eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.(2)(2022·武漢調(diào)研)設(shè)橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的一個焦點為F，則對于橢圓上兩動點A，B，△ABF周長的最大值為()A．4＋eq\r(5) B．6C．2eq\r(5)＋2 D．8答案D解析設(shè)F1為橢圓的另外一個焦點，則由橢圓的定義可得|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|BF1|－|AF1|＝8＋|AB|－|BF1|－|AF1|，當(dāng)A，B，F(xiàn)1三點共線時，|AB|－|BF1|－|AF1|＝0，當(dāng)A，B，F(xiàn)1三點不共線時，|AB|－|BF1|－|AF1|<0，所以當(dāng)A，B，F(xiàn)1三點共線時，△ABF的周長取得最大值8.題型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程命題點1定義法例2已知橢圓C的焦點為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1答案B解析設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由橢圓定義可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.∵|AB|＝|BF1|，∴|AF1|＋2|AB|＝4a.又|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝eq\f(3,2)|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，∴A為橢圓的短軸端點．如圖，不妨設(shè)A(0，b)，又F2(1,0)，eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(b,2))).將B點坐標(biāo)代入橢圓方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得eq\f(9,4a2)＋eq\f(b2,4b2)＝1，∴a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.命題點2待定系數(shù)法例3已知橢圓的中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點P1(eq\r(6)，1)，P2(－eq\r(3)，－eq\r(2))，則該橢圓的方程為________．答案eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1解析設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因為橢圓經(jīng)過P1，P2兩點，所以點P1，P2的坐標(biāo)滿足橢圓方程，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6m＋n＝1，,3m＋2n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,9)，,n＝\f(1,3).))所以所求橢圓的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1.【備選INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】1．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為eq\f(1,2)，過F2的直線與橢圓C交于A，B兩點，若△F1AB的周長為8，則橢圓方程為()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,2)＋y2＝1 D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1答案A解析如圖，由橢圓的定義可知，△F1AB的周長為4a，所以4a＝8，a＝2，又離心率為eq\f(1,2)，所以c＝1，b2＝3，所以橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.2．設(shè)橢圓eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的右焦點為(2,0)，離心率為eq\f(\r(2),2)，則此橢圓的方程為________．答案eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1解析橢圓的右焦點為(2,0)，所以m2－n2＝4，e＝eq\f(\r(2),2)＝eq\f(2,m)，所以m＝2eq\r(2)，代入m2－n2＝4，得n2＝4，所以橢圓方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.思維升華根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義．(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當(dāng)不知焦點在哪一個坐標(biāo)軸上時，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考慮焦點位置，用待定系數(shù)法求出m，n的值即可．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知橢圓的兩個焦點為F1(－eq\r(5)，0)，F(xiàn)2(eq\r(5)，0)，M是橢圓上一點，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，則該橢圓的方程是()A.eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,7)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1答案C解析設(shè)|MF1|＝m，|MF2|＝n，因為MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，|F1F2|＝2eq\r(5)，所以m2＋n2＝20，mn＝8，所以(m＋n)2＝36，所以m＋n＝2a＝6，所以a＝3.因為c＝eq\r(5)，所以b＝eq\r(a2－c2)＝2.所以橢圓的方程是eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)已知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個焦點，過F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點，且|AB|＝3，則C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1答案C解析如圖，|AF2|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(3,2)，|F1F2|＝2，由橢圓定義，得|AF1|＝2a－eq\f(3,2).①在Rt△AF1F2中，|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋22.②由①②得a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.題型三橢圓的幾何性質(zhì)命題點1離心率例4(1)(2022·湛江模擬)已知F是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點，過橢圓C的下頂點且斜率為eq\f(3,4)的直線與以點F為圓心、半焦距為半徑的圓相切，則橢圓C的離心率為()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(2),2)答案A解析過橢圓C的下頂點(0，－b)且斜率為eq\f(3,4)的直線方程為y＝eq\f(3,4)x－b，即eq\f(3,4)x－y－b＝0，F(xiàn)(c,0)，由點到直線距離公式，得c＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)c－b)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＋1))，即c2＝－eq\f(3,2)bc＋b2，即(2c－b)(c＋2b)＝0，則2c－b＝0，b＝2c.又a2＝b2＋c2，即a2＝(2c)2＋c2＝5c2，解得eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5).(2)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，若橢圓上存在點P，使∠F1PF2＝90°，則橢圓的離心率e的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))答案B解析若橢圓上存在點P，使得PF1⊥PF2，則以原點為圓心，F(xiàn)1F2為直徑的圓與橢圓必有交點，如圖，可得c≥b，即c2≥b2，所以2c2≥a2，即e2≥eq\f(1,2)，又e<1，所以e∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).思維升華求橢圓離心率或其范圍的方法(1)直接求出a，c，利用離心率公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解．(3)構(gòu)造a，c的齊次式．可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.命題點2與橢圓有關(guān)的范圍(最值)例5(1)以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形的面積的最大值為1，則橢圓長軸長的最小值為()A．1 B.eq\r(2)C．2 D．2eq\r(2)答案D解析設(shè)a，b，c分別為橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距，依題意知，當(dāng)三角形的高為b時，以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形的面積最大，所以eq\f(1,2)×2cb＝1，故bc＝1，故2a＝2eq\r(b2＋c2)≥2eq\r(2bc)＝2eq\r(2)(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝1時取等號)．(2)如圖，焦點在x軸上的橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的離心率e＝eq\f(1,2)，F(xiàn)，A分別是橢圓的左焦點和右頂點，P是橢圓上任意一點，則eq\o(PF,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))的最大值為________．答案4解析由題意知a＝2，因為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.設(shè)P點的坐標(biāo)為(x0，y0)，所以－2≤x0≤2，－eq\r(3)≤y0≤eq\r(3).因為F(－1,0)，A(2,0)，所以eq\o(PF,\s\up6(→))＝(－1－x0，－y0)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2－x0，－y0)，所以eq\o(PF,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o\al(2,0)－x0－2＋yeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)－x0＋1＝eq\f(1,4)(x0－2)2，所以當(dāng)x0＝－2時，eq\o(PF,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))取得最大值4.INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\左括.TIF"INET【備選INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2022看\\數(shù)學(xué)\\一輪\\夢夢\\數(shù)學(xué)人教A版老教材（理）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版文老教材\\全書完整的Word版文檔\\右括.TIF"INET】1．嫦娥四號在繞月飛行時是以月球球心為一個焦點的橢圓形軌道，如圖中軌道③所示，其近月點與月球表面距離為100公里，遠(yuǎn)月點與月球表面距離為400公里，已知月球的直徑約為3476公里，則下列選項中正確的是()A．焦距長約為400公里B．長軸長約為3988公里C．兩焦點坐標(biāo)約為(±150,0)D．離心率約為eq\f(75,994)答案D解析設(shè)該橢圓的長半軸長為a，半焦距長為c.依題意可得月球半徑約為eq\f(1,2)×3476＝1738，a－c＝100＋1738＝1838，a＋c＝400＋1738＝2138，所以2a＝1838＋2138＝3976，a＝1988，c＝2138－1988＝150,2c＝300，橢圓的離心率約為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(150,1988)＝eq\f(75,994)，可得D正確，A，B錯誤；因為沒有給坐標(biāo)系，焦點坐標(biāo)不確定，所以C錯誤．2．(2022·太原模擬)若點O和點F分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值為()A．2B．3C．6D．8答案C解析由橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1可得F(－1,0)，點O(0,0)．設(shè)P(x，y)(－2≤x≤2)．則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,4)))＝eq\f(1,4)x2＋x＋3＝eq\f(1,4)(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))取得最大值6.思維升華與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)；(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)；(3)利用不等式，尤其是基本不等式．跟蹤訓(xùn)練3(1)(2022·濟(jì)南質(zhì)檢)設(shè)橢圓E的兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與E交于P，Q兩點．若△PF1F2為直角三角形，則E的離心率為()A.eq\r(2)－1 B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\r(2)＋1答案A解析不妨設(shè)橢圓E的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，如圖所示，∵△PF1F2為直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝2eq\r(2)c，∴|PF1|＋|PF2|＝2c＋2eq\r(2)c＝2a，∴橢圓E的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)－1.(2)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，點A，B是長軸的兩個端點，若橢圓上存在點P，使得∠APB＝120°，則該橢圓的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))答案A解析如圖，當(dāng)P在上頂點時，∠APB最大，此時∠APB≥120°，則∠APO≥60°，所以tan∠APO≥tan60°＝eq\r(3)，即eq\f(a,b)≥eq\r(3)，a2≥3b2，a2≥3(a2－c2)，所以2a2≤3c2，則eq\f(c,a)≥eq\f(\r(6),3)，所以橢圓的離心率的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，1)).

課時精練1．已知動點M到兩個定點A(－2,0)，B(2,0)的距離之和為6，則動點M的軌跡方程為()A.eq\f(x2,9)＋y2＝1 B.eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,5)＝1C.eq\f(y2,9)＋x2＝1 D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1答案D解析由題意有6>2＋2＝4，故點M的軌跡為焦點在x軸上的橢圓，則2a＝6，c＝2，故a2＝9，所以b2＝a2－c2＝5，故橢圓的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1.2．若橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短軸長等于焦距，則橢圓的離心率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(2),4)答案C解析依題意可知，c＝b，又a＝eq\r(b2＋c2)＝eq\r(2)c，∴橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).3．橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1的兩個焦點分別是F1，F(xiàn)2，點P是橢圓上任意一點，則eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的取值范圍是()A．[－1,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[－1,2]答案C解析設(shè)F1為左焦點，則由橢圓方程得F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)P(x，y)，－eq\r(2)≤x≤eq\r(2)，∴eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，則eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝x2＋y2－1＝eq\f(x2,2)∈[0,1]．4．設(shè)e是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,k)＝1的離心率，且e∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，則實數(shù)k的取值范圍是()A．(0,3) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(16,3)))C．(0,3)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)，＋∞)) D．(0,2)答案C解析當(dāng)k>4時，c＝eq\r(k－4)，由條件知eq\f(1,4)<eq\f(k－4,k)<1，解得k>eq\f(16,3)；當(dāng)0<k<4時，c＝eq\r(4－k)，由條件知eq\f(1,4)<eq\f(4－k,4)<1，解得0<k<3.5．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，現(xiàn)以F2為圓心作一個圓恰好經(jīng)過橢圓中心并且交橢圓于點M，N，若過F1的直線MF1是圓F2的切線，則橢圓的離心率為()A.eq\r(3)－1 B．2－eq\r(3)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)答案A解析∵過F1的直線MF1是圓F2的切線，∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，∵|F1F2|＝2c，∴|MF1|＝eq\r(3)c，由橢圓定義可得|MF1|＋|MF2|＝c＋eq\r(3)c＝2a，∴橢圓的離心率e＝eq\f(2,1＋\r(3))＝eq\r(3)－1.6．(2022·濟(jì)南模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2，點P(1,1)在橢圓內(nèi)部，點Q在橢圓上，則以下說法不正確的是()A．|QF1|＋|QP|的最小值為2a－1B．橢圓C的短軸長可能為2C．橢圓C的離心率的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5)－1,2)))D．若eq\o(PF1,\s\up6(→))＝eq\o(F1Q,\s\up6(→))，則橢圓C的長軸長為eq\r(5)＋eq\r(17)答案B解析由題意可知2c＝2，則c＝1，因為點Q在橢圓上，所以|QF1|＋|QF2|＝2a，|QF1|＋|QP|＝2a－|QF2|＋|QP|，又－1≤－|QF2|＋|QP|≤1，所以A正確；因為點P(1,1)在橢圓內(nèi)部，所以b>1,2b>2，所以B錯誤；因為點P(1,1)在橢圓內(nèi)部，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)<1，即b2＋a2－a2b2<0，又c＝1，b2＝a2－c2，所以(a2－1)＋a2－a2(a2－1)<0，化簡可得a4－3a2＋1>0(a>1)，解得a2>eq\f(3＋\r(5),2)或a2<eq\f(3－\r(5),2)(舍去)，則橢圓C的離心率e＝eq\f(c,a)<eq\f(1,\r(\f(3＋\r(5),2)))＝eq\f(1,\f(\r(5)＋1,2))＝eq\f(\r(5)－1,2)，又0<e<1，所以橢圓C的離心率的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5)－1,2)))，所以C正確；由eq\o(PF1,\s\up6(→))＝eq\o(F1Q,\s\up6(→))可得，F(xiàn)1為PQ的中點，而P(1,1)，F(xiàn)1(－1,0)，所以Q(－3，－1)，|QF1|＋|QF2|＝eq\r(－3＋12＋－1－02)＋eq\r(－3－12＋－1－02)＝eq\r(5)＋eq\r(17)＝2a，所以D正確．7.如圖是籃球在太陽光照射下的影子，已知籃球的直徑為22cm，現(xiàn)太陽光與地面的夾角為60°，則此橢圓形影子的離心率為________．答案eq\f(1,2)解析由圖可得，橢圓的短軸長2b＝22?b＝11，2a＝eq\f(22,sin60°)＝eq\f(22,\f(\r(3),2))?a＝eq\f(22,\r(3))，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－\f(3,4))＝eq\f(1,2).8．(2021·全國甲卷)已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的兩個焦點，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，且|PQ|＝|F1F2|，則四邊形PF1QF2的面積為________．答案8解析根據(jù)橢圓的對稱性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四邊形PF1QF2為對角線相等的平行四邊形，所以四邊形PF1QF2為矩形．設(shè)|PF1|＝m，則|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，則|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四邊形PF1QF2的面積為|PF1|×|PF2|＝m(8－m)＝8.9．已知橢圓的長軸長為10，兩焦點F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(3,0)和(－3,0)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P為短軸的一個端點，求△F1PF2的面積．解(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝10，,c＝3，))因此a＝5，b＝4，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)易知|yP|＝4，又c＝3，所以＝eq\f(1,2)|yP|×2c＝eq\f(1,2)×4×6＝12.10．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，左頂點為A，點E的坐標(biāo)為(0，c)，A到直線EF2的距離為eq\f(\r(6),2)b.(1)求橢圓C的離心率；(2)若P為橢圓C上的一點，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面積為eq\r(3)，求橢圓C的方程．解(1)由題意得，A(－a,0)，EF2：x＋y＝c，因為A到直線EF2的距離為eq\f(\r(6),2)b，即eq\f(|－a－c|,\r(12＋12))＝eq\f(\r(6),2)b，所以a＋c＝eq\r(3)b，即(a＋c)2＝3b2，又b2＝a2－c2，所以(a＋c)2＝3(a2－c2)，所以2c2＋ac－a2＝0，因為離心率e＝eq\f(c,a)，所以2e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(1,2)或e＝－1(舍)，所以橢圓C的離心率為eq\f(1,2).(2)由(1)知離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，即a＝2c，①因為∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面積為eq\r(3)，則eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin60°＝eq\r(3)，所以|PF1||PF2|＝4，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝2a，,|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°,＝2c2，))所以a2－c2＝3，②聯(lián)立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.11．(2022·大連模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，左、右頂點分別是A1，A2，點P是橢圓C上異于A1，A2的任意一點，則下列說法正確的是()A．|PF1|＋|PF2|＝4B．存在點P滿足∠F1PF2＝90°C．直線PA1與直線PA2的斜率之積為－eq\f(9,16)D．若△F1PF2的面積為2eq\r(7)，則點P的橫坐標(biāo)為eq\f(4\r(5),3)答案C解析由橢圓方程知a＝4，b＝3，c＝eq\r(7)，|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，A錯誤；當(dāng)P在橢圓上、下頂點時，cos∠F1PF2＝eq\f(2a2－4c2,2a2)＝eq\f(1,8)>0，即∠F1PF2最大值小于eq\f(π,2)，B錯誤；若P(x′，y′)，則＝eq\f(y′,x′＋4)，＝eq\f(y′,x′－4)，有·＝eq\f(y′2,x′2－16)，而eq\f(x′2,16)＋eq\f(y′2,9)＝1，所以－16y′2＝9(x′2－16)，即有·＝－eq\f(9,16)，C正確；若P(x′，y′)，△F1PF2的面積為2eq\r(7)，即eq\f(2c·|y′|,2)＝2eq\r(7)，故y′＝±2，代入橢圓方程得x′＝±eq\f(4\r(5),3)，D錯誤．12．2021年10月16日，神舟十三號發(fā)射圓滿成功，人民日報微博發(fā)了一條“跨越時空的同一天”，致敬每一代人的拼搏！已知飛船在以地球為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即飛船的向徑(衛(wèi)星與地球的連線)在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等．設(shè)橢圓的長軸長、焦距分別為2a,2c，下列結(jié)論不正確的是()A．飛船向徑的取值范圍是[a－c，a＋c]B．飛船在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間C．飛船向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁D．飛船運行速度在近地點時最大，在遠(yuǎn)地點時最小答案C解析根據(jù)橢圓定義知飛船向徑的取值范圍是[a－c，a＋c]，A正確；當(dāng)飛船在左半橢圓弧上運行時，對應(yīng)的面積更大，根據(jù)面積守恒規(guī)律，知在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間，B正確；eq\f(a－c,a＋c)＝eq\f(1－e,1＋e)＝eq\f(2,1＋e)－1，比值越大，則e越小，橢圓軌道越圓，C錯誤；根據(jù)面積守恒規(guī)律，飛船在近地點時向徑最小，故速度最大，在遠(yuǎn)地點時向徑最大，故速度最小，D正確．13．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋