均值不等式及其應(yīng)用

TOC\o"13"\h\z\u題型1基本不等式取等條件的理解 3題型2直接法 9題型3形如ba+ab型 12題型4配湊法 15◆類(lèi)型1對(duì)勾函數(shù)法 15◆類(lèi)型2公式ab≤a+b22或ab≤a+b2法 19◆類(lèi)型3公式ab≤a2+b22法 22◆類(lèi)型4公式(a+b2)2≤a2+b22法 24題型5“常數(shù)1”之分母是單項(xiàng)式 25題型6“常數(shù)1”之分母是多項(xiàng)式 30題型7和積可以化“1”型 33題型8和積不可以化“1”型 37題型9消元法 40題型10分子代換消元 43題型11齊次同除 47題型12恒成立問(wèn)題 50題型13實(shí)際應(yīng)用 53知識(shí)點(diǎn)一.均值不等式的證明方法1：幾何面積法（趙爽所制的弦圖)如圖，在正方形中有四個(gè)全等的直角三角形.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為、，那么正方形的邊長(zhǎng)為.這樣，4個(gè)直角三角形的面積的和是，正方形的面積為.由于4個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：.當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危磿r(shí)，正方形縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有.得到結(jié)論：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）特別的，如果，,我們用、分別代替、，可得：如果，,則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）.通常我們把上式寫(xiě)作：如果，,，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）方法2：代數(shù)法∵，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）.注意：特別的，如果，,我們用、分別代替、，可得：如果，,則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）.通常我們把上式寫(xiě)作：如果，,，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）.知識(shí)點(diǎn)二.均值不等式的幾何意義如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，,，過(guò)點(diǎn)作交圓于點(diǎn)D，連接、.易證，那么，即.這個(gè)圓的半徑為，它大于或等于，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與圓心重合，即時(shí)，等號(hào)成立.注意：在數(shù)學(xué)中，我們稱為的算術(shù)平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù).因此均值不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).知識(shí)點(diǎn)三.用均值不等式求最大（?。┲翟谟镁挡坏仁角蠛瘮?shù)的最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三取等.①一正：函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值.注意：兩個(gè)不等式：與成立的條件是不同的，前者要求a，b都是實(shí)數(shù)，后者要求a，b都是正數(shù).如是成立的，而不成立.知識(shí)點(diǎn)四.均值不等式的變形均值不等式常見(jiàn)形式使用條件使用形式“=”成立的條件a,b∈R+a+b≥2ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立a,b∈Ra2+b2≥2aba2+b2≥2|a||b|當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立a,b同號(hào)b當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立a,b∈Rab≤當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立a,b∈R(a+b)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立a,b∈R14n當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立題型1基本不等式取等條件的理解【方法總結(jié)】基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方【例題1】（多選）（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知a>0,b>0，則下列不等式中正確的是（）A．a(chǎn)b≤a+b2C．1ab≥【答案】ABC【分析】利用a2+b【詳解】因?yàn)閍>0,b>0，由a2+b2≥2ab由由a+b≥2ab得ab≤a+b2故選：ABC.【變式11】1.（多選）（2022秋·湖北十堰·高一鄖陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列推導(dǎo)過(guò)程，其中正確的是（

）A．因?yàn)閍,b為正實(shí)數(shù)，所以bB．因?yàn)閍>3，所以4C．因?yàn)閍<0，所以4D．因?yàn)閤,y∈R,xy<0，所以xy【答案】ABD【分析】利用均值不等式的“一正、二定、三相等”的條件，逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】對(duì)于A，a,b為正實(shí)數(shù)，有ba>0,ab>0，且b對(duì)于B，4a+a≥24a?a=4，當(dāng)a>3時(shí)，4a對(duì)于C，因?yàn)閍<0，則4對(duì)于D，x,y∈R,xy<0，則-x又當(dāng)且僅當(dāng)y=-x≠0時(shí)，-x故選：ABD【變式11】2.2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）不等式a2A．a(chǎn)=4 B．a(chǎn)=2 C．a(chǎn)=-2【答案】D【分析】利用基本不等式的取等條件即可求解.【詳解】由基本不等式可知a2+4即a=±2故選：D.【變式11】3.（2021秋·上海靜安·高一?？计谥校┙o出下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（

）①已知a,b∈R，則b②已知x∈R且x≠0，則|x+4③已知x∈R，則x2④已知a,b∈R，ab<0，則bA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】利用基本不等式以及基本不等式的使用要求逐一判斷即可.【詳解】當(dāng)ab<0時(shí)，①中的不等式是錯(cuò)誤的，①錯(cuò)；因?yàn)閤與4x同號(hào)，所以|x+4x|=|x|+|4x|是正確的，且|x|=|x2+2+1x2+2因?yàn)閍b<0，所以-ab>0且-ba>0，且-b故選:B【變式11】4.（2022秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．當(dāng)x>1時(shí)，x+1x的最小值為2 B．當(dāng)x<0C．當(dāng)0<x<1時(shí)，x+1x的最小值為2 D．當(dāng)【答案】B【分析】結(jié)合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可.【詳解】選項(xiàng)A，∵x>1，x+1x≥2x?1選項(xiàng)B，當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，x+1x=-選項(xiàng)C，0<x<1，x+1x≥2xx>1時(shí)，x+1x≥2x?1故選：B【變式11】5.（2021秋·江西撫州·高一臨川一中校考階段練習(xí)）如圖是在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車(chē)，代表中國(guó)人民熱情好客.我們教材中利用該圖作為一個(gè)說(shuō)法的一個(gè)幾何解釋?zhuān)@個(gè)說(shuō)法正確的是A．如果a>b>0，那么a>bB．如果a>b>0，那么aC．對(duì)任意正實(shí)數(shù)a和b，有a2+bD．對(duì)任意正實(shí)數(shù)a和b，有a+b≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b【答案】C【解析】觀察圖形，設(shè)直角三角形的長(zhǎng)直角邊為a，短直角邊為b，由四個(gè)三角形的面積和大正方形的面積的大小關(guān)系，得到a2【詳解】通過(guò)觀察，可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)圖中的四個(gè)直角三角形是全等的，設(shè)直角三角形的長(zhǎng)直角邊為a，短直角邊為b，則大正方形的邊長(zhǎng)為a2如圖，整個(gè)正方形的面積大于或等于這四個(gè)直角三角形的面積和，即a2當(dāng)a=b時(shí)，中間空白的正方形消失，即整個(gè)正方形與四個(gè)直角三角形重合.故選：C.【變式11】6.（2023春·遼寧·高二鳳城市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無(wú)字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)F在半圓O上，點(diǎn)C在直徑AB上，且OF⊥AB，設(shè)AC=a，BC=b，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（

）A．a(chǎn)+b2≥C．2aba+b≤【答案】D【分析】利用數(shù)形結(jié)合計(jì)算出OF,OC，再在Rt△OCF中，利用勾股定理得CF，再由CF≥OF【詳解】設(shè)AC=a,BC=b，可得圓O的半徑為r=OF=1又由OC=OB-BC=a+b在Rt△OCF中，可得F因?yàn)镕O≤FC，所以a+b2≤a故選：D.【變式11】7.（2021秋·福建寧德·高一福建省寧德第一中學(xué)校考階段練習(xí)）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù).通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無(wú)字證明；如圖所示圖形，點(diǎn)D、F在圓O上，點(diǎn)C在直徑AB上，且OF⊥AB，CD⊥AB，CE⊥OD于點(diǎn)E，設(shè)AC=a，BC=b(a>b>0)，該圖形完成2aba+b<ab<a+b2<aA．CE，CD B．CE，CF C．DE，CF D．OF，CD【答案】C【分析】利用圖形得到OF=a+b2，OC=a-b2，然后在Rt△COF和在【詳解】解：由圖形可知：OF=12AB=在Rt△COF中，由勾股定理得CF=O在Rt△COD中，由勾股定理得CD=O因?yàn)镃D⊥AB，所以Rt△COD～Rt△ECD，則DEDC=DC所以圖中表示a，b的調(diào)和平均數(shù)2aba+b、平方平均數(shù)a2+b2故選：C題型2直接法【方法總結(jié)】均值不等式常見(jiàn)形式使用條件使用形式“=”成立的條件a,b∈R+a+b≥2ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立a,b∈Ra2+b2≥2aba2+b2≥2|a||b|當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立a,b同號(hào)b當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立a,b∈Rab≤當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立a,b∈R(a+b)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立a,b∈R14n當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立【例題2】（2023秋·上海楊浦·高二復(fù)旦附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知a、b∈R，且a2+9b【答案】1【分析】利用基本不等式求得ab的最大值.【詳解】ab=1當(dāng)且僅當(dāng)a=3ba故答案為：1【變式21】1.（2022秋·新疆烏魯木齊·高一校考期中）已知a、b大于0，a+b=3，則ab的最大值是．【答案】9【分析】利用基本不等式的變形可得答案.【詳解】因?yàn)閍+b=3，所以ab≤a+b22故答案為：94【變式21】2.（2023春·甘肅蘭州·高二蘭州一中校考期末）已知a>0,b>0，若2a+b=4，則ab的最大值為．【答案】2【分析】利用基本不等式即可得到答案.【詳解】因?yàn)閍,b>0，所以2a+b=4≥22a?b，解得ab≤2當(dāng)且僅當(dāng)2a=b即a=1，b=2時(shí)，等號(hào)成立．所以ab的最大值為2.故答案為：2【變式21】3.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知正數(shù)a,b滿足1a+1【答案】4【分析】對(duì)題干條件直接使用一次基本不等式即可【詳解】由于a,b都是正數(shù)，又1a+1對(duì)不等式平方整理可得，ab≥49，當(dāng)即ab∈【變式21】4.（2020·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知x?y∈R+，且1x+2y=3【答案】98或【分析】由題意可得3=1x+2y≥2【詳解】因?yàn)閤,y∈R+且所以3=1x+2y≥2當(dāng)且僅當(dāng)1x=2y，即x=2此時(shí)yx取最大值為9故答案為：98【變式21】5.（2021秋·上海普陀·高一曹楊二中?？茧A段練習(xí)）若正數(shù)x，y滿足1y+x=4，則xy【答案】4【分析】結(jié)合已知條件利用均值不等式求解即可.【詳解】因?yàn)閤>0，y>0，故由均值不等式可知，1y+x=4≥21當(dāng)且僅當(dāng)1y=x時(shí)，即x=2，y=1故答案為：4.題型3形如ba+a【方法總結(jié)】形如，要分類(lèi)討論正負(fù)，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），則|ba+a【例題3】（多選）（2022秋·吉林白城·高一校考期中）下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)x≥0時(shí)，xB．當(dāng)x>0時(shí)，xC．x+1D．x2【答案】AB【分析】根據(jù)題意，由基本不等式對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)x≥0時(shí)，x+1+1x+1≥2當(dāng)x>0時(shí)，x+1x≥2x當(dāng)x<0時(shí)，顯然x+1因?yàn)閤2+2+1x2故選：AB【變式31】1.（2023春·山西運(yùn)城·高二?？茧A段練習(xí)）已知x∈（0，+∞）.(1)求y=x+1(2)求y=x【答案】(1)[2，+∞）(2)最小值2+23，x=【分析】（1）由題意利用基本不等式即可求解．（2）由已知可得y=x2+2x+3【詳解】（1）因?yàn)閤∈（0，+∞），所以y=x+1取等號(hào)條件：x=1因?yàn)閤∈（0，+∞），所以x＝1，所以函數(shù)y=x+1（2）y=x2+2x+3因?yàn)閤∈（0，+∞），所以x+3x≥所以y＝2+（x+3x）≥2+23，取等號(hào)條件：x因?yàn)閤∈（0，+∞），所以x=3，當(dāng)x=3時(shí)，該函數(shù)取最小值2+2【變式31】2.（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知x>1，求x-1x+3+x-1的最大值【答案】15/【分析】化簡(jiǎn)得到x-1x+3+【詳解】由x-1x+3+因?yàn)閤>1，可得x-1+當(dāng)且僅當(dāng)x-1=4x-1所以x-1x+3+x-1=1x-1故答案為：15【變式31】3.（2023秋·江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)xy>0，則2y-xx+x+2y【答案】22+1【分析】先將2y-xx+x+2y【詳解】因?yàn)閤，y為正數(shù)，由2y-xx+x+2y當(dāng)且僅當(dāng)2yx=x故答案為：22【變式31】4.（多選）（2022秋·福建泉州·高一福建省南安第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知x+y=1，y>0，x≠0，則12A．54 B．34 C．1【答案】AB【分析】依題意可得x<1且x≠0，分0<x<1和x<0去掉絕對(duì)值號(hào)，然后用基本不等式求出其最值，從而得到答案.【詳解】由x+y=1，y>0，x≠0，得y=1-x>0，則x<1且x≠0.當(dāng)0<x<1時(shí)，12x=14+2-x4x+當(dāng)x<0時(shí)，12x=-14+2-x-4x綜上可得12故選：AB.題型4配湊法【方法總結(jié)】湊配“對(duì)鉤”型：添常數(shù)湊配.◆類(lèi)型1對(duì)勾函數(shù)法【例題41】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）（1）當(dāng)x>3時(shí)，求函數(shù)y=x+8（2）當(dāng)x<32時(shí)，求函數(shù)（3）當(dāng)x>-1時(shí)，求函數(shù)y=x（4）當(dāng)x>-1時(shí)，求函數(shù)y=x（5）設(shè)x>-1，求函數(shù)y=x+5（6）①當(dāng)x>32時(shí)，求函數(shù)②求函數(shù)y=x【答案】（1）42+3；（2）-52；（3）22;（4）2+2;（5）9,+【分析】（1）將函數(shù)變形為y=x-3+8（2）將函數(shù)變形為y=--（3）將函數(shù)變形為y=x+1+2（4）將函數(shù)變形為y=1+2×x+1（5）將函數(shù)變形為y=x+1+4（6）①利用換元法，以及基本不等式求解；②利用換元法，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】（1）因?yàn)閤>3，所以x-3>0，y=x+8當(dāng)且僅當(dāng)x-3=8x-3，即所以函數(shù)y=x+8x-3的最小值為（2）因?yàn)閤<32，所以y=x+8因?yàn)?x-3<0，所以-2x-3所以-1當(dāng)且僅當(dāng)-12(2x-3)=所以y=x+8所以函數(shù)y=x+82x-3的最大值為（3）因?yàn)閤>-1，所以x+1>0，y=x當(dāng)且僅當(dāng)x+1=2x+1，即所以函數(shù)y=x2+2x+3（4）y=x令t=x+1>0，則x=t-1，所以y=1+2×x+1因?yàn)閠=x+1>0，所以t+2當(dāng)且僅當(dāng)t=2t，即t=2所以y=1+2所以函數(shù)y=x2+2x+3（5）y=x+5因?yàn)閤>-1，所以x+1>0，所以x+1+4當(dāng)且僅當(dāng)x+1=4x+1，即所以y=x+5所以函數(shù)y=x+5x+2x+1（6）①令m=4x2-3，因?yàn)樗詙=4因?yàn)閙+4當(dāng)且僅當(dāng)m=4m，即m=2，也即所以y=4所以函數(shù)y=4②令n=x2+1，則n≥1所以y=x因?yàn)楹瘮?shù)y=3x+1x在所以當(dāng)n=1時(shí)，即x=0時(shí)，3n+1所以y=x所以函數(shù)y=x2+1【變式41】1.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)fx=x2【答案】4【分析】將函數(shù)fx=x【詳解】fx=x+4x-2=x-2+fx故答案為：4【變式41】2.（2023·全國(guó)·高一課堂例題）函數(shù)f（x）＝x2+3x【答案】32【分析】先對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求出f(x)有最小值.【詳解】f（x）＝x2+3x2+2＋1＝x令t=x2+2，t∈則函數(shù)f（x）可轉(zhuǎn)化為g（t）＝t＋1t＋1，t∈[2，＋∞）．令u（t）＝t＋1t（t≥則由u（t）在[2，＋∞）上單調(diào)遞增可知，u（t）≥2＋12＝3則g（t）≥32所以函數(shù)f（x）的最小值為32故答案為：32【變式41】3.（2023秋·天津和平·高三天津市第二南開(kāi)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知x,y∈R+，則yx【答案】3【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)yx【詳解】由x,y∈R可得yx當(dāng)且僅當(dāng)y+xx=4x所以yx+4x故答案為：3.◆類(lèi)型2公式ab≤a+b2【例題42】（2022秋·陜西商洛·高一校考期中）已知0<x<32，則A．13 B．12 C．2【答案】D【分析】x3-2x分子分母乘以2【詳解】∵0<x<32則由基本不等式得，x3-2x當(dāng)且僅當(dāng)2x=3-2x，即x=3故x3-2x取得最大值時(shí)x的值為故選：D【變式42】1.（2023·全國(guó)·高一課堂例題）函數(shù)y=x5-2x0<x<2的最大值【答案】258/【分析】方法一：將函數(shù)變形為y=x5-2x=1【詳解】方法一：y=x5-2x∵0<x<2，∴0<2x<4，1<5-2x<5，∴y≤12×2x+5-2x故當(dāng)x=54時(shí)，方法二：由0<x<2知52-x>0，∴當(dāng)且僅當(dāng)x=52-x故當(dāng)x=54時(shí)，故答案為：25【變式42】2.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知0<x<1，則當(dāng)x(5-5x)取最大值時(shí)，x的值為（

）A．54 B．12 C．1【答案】B【分析】由x(5-5x)=5x(1-x)≤5?(【詳解】由0<x<1，可得1-x>0，則x(5-5x)=5x(1-x)≤5?(x+1-x2)2所以x=12時(shí)，故選：B.【變式42】3.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知0<x<4，則x4-xA．12 B．1 C．2【答案】D【分析】利用基本不等式可求得x4-x【詳解】因?yàn)?<x<4，則4-x>0，所以x4-x當(dāng)且僅當(dāng)x=4-x，即x=2時(shí)，等號(hào)成立，所以x4-x所以x4-x故選：D.【變式42】4.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）3-aa+6，-6<a<3的最大值為【答案】92/【分析】根據(jù)題意，由基本不等式即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?6<a<3，所以3-a>0，a+6>0，由基本不等式可得3-aa+6≤3-a+a-62=92，當(dāng)且僅當(dāng)3-a=a+6，即a=-故答案為：92【變式42】5.（2023秋·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）已知a，b為正實(shí)數(shù)，滿足(a+3b)(2a+b)=6，則8a+9b的最小值為．【答案】12【分析】利用基本不等式求解即可.【詳解】∵a,b為正實(shí)數(shù)，滿足(a+3b)(2a+b)=6，∴(2a+6b)(6a+3b)=36，∴36=(2a+6b)(6a+3b)≤(2a+6b+6a+3b)24當(dāng)且僅當(dāng)2a+6b=6a+3b(2a+6b)(6a+3b)=36，即a=故8a+9b的最小值為12.故答案為：12.【變式42】6.（2022春·上海楊浦·高二復(fù)旦附中校考期末）已知實(shí)數(shù)a?b滿足a2+2b2=2【答案】25【分析】利用基本不等式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)閍2+2b所以a2即2a2+1b2即b2+1=5故1+a21+故答案為：25◆類(lèi)型3公式ab≤a2【例題43】（2022秋·云南曲靖·高一校考階段練習(xí)）已知0<x<5，則xA．1 B．2 C．52 D．【答案】C【分析】直接使用基本不等式可得.【詳解】因?yàn)?<x<5所以x5-當(dāng)且僅當(dāng)x2=5-x所以x5-x2故選：C【變式43】1.（2023秋·山西晉中·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知0<x<2，則y=2x4-A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】利用基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?<x<2，所以y=2x4-當(dāng)且僅當(dāng)x2=4-x2時(shí)取等號(hào)，因?yàn)楣蔬x：B【變式43】2.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y22【答案】324【分析】由題可得y2=2-2x【詳解】由x2+y則x1+2-2當(dāng)且僅當(dāng)2x2=3-2故答案為：32【變式43】3.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知0<x<22，則x1-2【答案】2【分析】變形x1-2【詳解】∵0<x<22,∴當(dāng)且僅當(dāng)2x2=1-2故答案為：24◆類(lèi)型4公式(a+b2)【例題44】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈九中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)m，n滿足m+n=1，則m+A．2 B．2 C．22 D．【答案】B【分析】利用基本不等式a+b2【詳解】由于a+b2所以m+即m+n≤故選:B．【變式44】1.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）當(dāng)12<x<52時(shí)，函數(shù)【答案】2【分析】由已知條件可得出y2=4+22x-1【詳解】因?yàn)?2<x<52，則2x-1>0，所以，y≤4+2x-1所以，0<y≤22，當(dāng)且僅當(dāng)2x-1=5-2x時(shí)，即當(dāng)x=因此，當(dāng)12<x<52時(shí)，函數(shù)故答案為：22【變式44】2.（2022春·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足x22+y2【答案】2【分析】將x22+y2=1變形為【詳解】因?yàn)閍2+b故由題意，正數(shù)x，y滿足x22+即(x+2y)2當(dāng)且僅當(dāng)x=2故答案為：2．題型5“常數(shù)1”之分母是單項(xiàng)式【方法總結(jié)】條件和所求式子中有=1與a+b=1，可以借助m=來(lái)來(lái)構(gòu)造替換，進(jìn)而展開(kāi)用均值不等式【例題5】（2022秋·天津武清·高一?？茧A段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a+2b=1，則1aA．92 B．9 C．22【答案】B【分析】運(yùn)用“1”代換及基本不等式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?a當(dāng)且僅當(dāng)2ba=2a所以1a故選：B.【變式51】1.（2023秋·四川巴中·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知正數(shù)x,y滿足x2+y=1，則A．5 B．92 C．4 D．【答案】B【分析】首先1x+2【詳解】因?yàn)閤2則1x當(dāng)且僅當(dāng)yx=x故選：B．【變式51】2.(多選)（2023秋·高一單元測(cè)試）若a>0，b>0，且a+2b=3，則2a＋1A．3 B．8C．103【答案】ABC【分析】由條件可得13【詳解】由a+2b=3，得13所以243+a當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3故選：ABC【變式51】3.（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考開(kāi)學(xué)考試）已知x∈0,1，則1A．6 B．3+22 C．2+2【答案】B【分析】根據(jù)x+1-x=1得到1x【詳解】設(shè)x=a，1-x=b，則a+b=1，a,b∈0,11x+21-x=1a故選：B.【變式51】4.（2022秋·福建泉州·高一統(tǒng)考期中）已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y=1，則4y+xxy的最小值是【答案】9【分析】結(jié)合x(chóng)+y=1，利用基本不等式求和的最小值.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿足x+y=1，所以4y+xxy當(dāng)且僅當(dāng)x=23，即4y+xxy故答案為：9.【變式51】5.（2023秋·天津西青·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)m，n滿足1m+8n=4，則8m+n的最小值為【答案】8【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解．【詳解】因?yàn)?m+8所以8m+n=1當(dāng)且僅當(dāng)1m+8所以8m+n的最小值為8.故答案為：8.【變式51】6.（2021春·新疆巴音郭楞·高二?？计谥校┮阎猘,b,c∈R+，a+b+c=1，則A．3 B．6 C．9 D．1【答案】C【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】1=≥3+2b當(dāng)且僅當(dāng)a=故選：C【變式51】7.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知a>0，b>0，2a+1A．8 B．16 C．24 D．32【答案】D【分析】由題意利用“1”的妙用，可先求出a+2b的最小值，再由a2【詳解】由a+2b=（當(dāng)且僅當(dāng)a=4,b=2時(shí)取等號(hào)），又由a2+4b可得a2故選：D．【變式51】8.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x,y滿足1x+2A．2 B．4 C．8 D．9【答案】C【分析】化簡(jiǎn)已知式可得2xy-2x-y=2x+y，因?yàn)?x+y?1=【詳解】2xy-2x-y=2xy?1-=2y+4x-2x+y=2x+y而2x+y?1=當(dāng)且僅當(dāng)4xy=y故選：C.題型6“常數(shù)1”之分母是多項(xiàng)式【方法總結(jié)】形如a+b=t，求型，則可以湊配（a+m）+（b+n）=t+m+m，再利用“1”的代換來(lái)求解。其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù)，來(lái)進(jìn)行變換湊配?！纠}6】（2023秋·四川巴中·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知x>y>0且4x+3y=1，則12x-yA．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】令a=2x-y,b=x+2y，結(jié)合4x+3y=1可得a+2b=1，由此即得12x-y【詳解】由題意x>y>0得，2x-y>0,x+2y>0，令a=2x-y,b=x+2y，則a+2b=4x+3y，由4x+3y=1得a+2b=1，故1≥5+22b當(dāng)且僅當(dāng)2ba=2ab，結(jié)合也即2x-y=13,x+2y=故12x-y故選：B【變式61】1.（2023秋·江蘇連云港·高三?？茧A段練習(xí)）已知x+y=1,y>0,x>0，則12xA．54 B．0 C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)“1”技巧，利用均值不等式求解.【詳解】∵x+y=1，∴x+y+1=2，∴1∵y>0,x>0，∴y+1∴1當(dāng)且僅當(dāng)y+14x=xy+1，即故選：A【變式61】2.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）若正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y=1，求4x+1【答案】9【分析】利用“1”的代換，式子變形展開(kāi)后利用基本不等式求最值即可.【詳解】因?yàn)閤+y=1，所以(x+1)+y=2，又x>0,y>0，所以4x+1+1y=≥12當(dāng)且僅當(dāng)4yx+1=x+1所以4x+1+1【變式61】3.（2023秋·河南許昌·高三許昌高中校考開(kāi)學(xué)考試）若正數(shù)a，b滿足a+b=1，則aa+1+b【答案】1【分析】先分離常數(shù)，再化簡(jiǎn)應(yīng)用基本不等式計(jì)算范圍即可.【詳解】u=a因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足a+b=1,a+b≥2ab，所以ab∈0,1故答案為：1【變式61】4.（2023春·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知不等式2x-a≤a的解集為0,4(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若m>0,n>0，且m+n=a，求1m+2n【答案】(1)4(2)1【分析】（1）分a<0，a=0，a>0三種情況討論即可；（2）設(shè)m+2n=p，2m+n=q，則p+q=3m+3n=12.利用1m+2n【詳解】（1）當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為?，不合題意；當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為{0}，不合題意;當(dāng)a>0時(shí)，-a≤2x-a≤a，即0≤x≤a，因?yàn)椴坏仁降慕饧癁閇0,4]，所以（2）由(1)知，m+n=4，設(shè)m+2n=p，2m+n=q，則p+q=3m+3n=12.1m+2n當(dāng)且僅當(dāng)p=q，即m=n=2時(shí)，等號(hào)成立，所以1m+2n+1【變式61】5.（2023秋·浙江杭州·高一杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué)?？计谀┤魓>0，y>0，且1x+1+1A．4 B．43 C．1+23【答案】C【分析】設(shè)x+1=a,x+2y=b，可將題目轉(zhuǎn)化為已知1a+1【詳解】設(shè)x+1=a,x+2y=b，則x=a-1,2y=b-a+1，且a>0,b>0，題目轉(zhuǎn)化為已知1a+1即4x+2y=4a-1而3a+b=3a+b當(dāng)且僅當(dāng)3ab=b所以4x+2y=3a+b-3≥4+23故選：C.題型7和積可以化“1”型【方法總結(jié)】，一個(gè)式子有“和”有“積”且無(wú)常數(shù)型的等式，可以同除積，再進(jìn)行“1”的代換【例題7】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若正數(shù)x，y滿足x+y=xy，則x+2y的最小值是（

）A．6 B．2+32 C．3+22【答案】C【分析】對(duì)x+y=xy變形得到1y【詳解】因?yàn)檎龜?shù)x，y滿足x+y=xy，所以x+yxy所以x+2y=x+2y當(dāng)且僅當(dāng)xy=2y所以x+2y的最小值為3+2故選：C【變式71】1.（2023秋·山東菏澤·高一?？计谀┮阎龑?shí)數(shù)a、b滿足a+9b=ab，則a+b的最小值是.【答案】16【分析】由已知等式變形可得9a+1b=1，將代數(shù)式a+b【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a、b滿足a+9b=ab，等式a+9b=ab兩邊同時(shí)除以ab可得9a所以，a+b=a+b當(dāng)且僅當(dāng)9ba=a所以，a+b的最小值為16.故答案為：16.【變式71】2.（多選）（2023春·山東德州·高二統(tǒng)考期末）若正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=ab，則（

）A．0<a<1 B．a(chǎn)b≥4C．4a+b≥9 D．2【答案】BCD【分析】舉出反例即可判斷A；利用基本不等式即可判斷B；由題意可得1a+1【詳解】對(duì)于A，當(dāng)a=2,b=2時(shí)，滿足a+b=ab，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由ab=a+b≥2ab，得ab-2ab≥0，所以ab所以ab≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，取等號(hào)，故B正確；對(duì)于C，由a+b=ab，得1a則4a+b=4a+b當(dāng)且僅當(dāng)4ab=b對(duì)于D，由a+b=ab，得a2則2a當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，取等號(hào)，所以2a故選：BCD.【變式71】3.（多選）（2023秋·江西宜春·高三江西省宜豐中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知a>0，b>0，且2a+b=ab，則（

）A．a(chǎn)b≥8 B．a(chǎn)+b≤3+2C．b>2 D．a(chǎn)>1【答案】ACD【分析】利用基本不等式和不等式的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】根據(jù)基本不等式可知2a+b=ab≥22ab，則ab≥8當(dāng)且僅當(dāng)a=2，b=4時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；因?yàn)閍>0，b>0，2a+b=ab變形得2b所以a+b=當(dāng)且僅當(dāng)2ab=ba，即所以a+b≥3+22由2b+1a=1，a>0，b>0由2a+b=ab，可得a-1b-2根據(jù)前面分析得b>2，即b-2>0，所以a-1>0，即a>1，故D正確．故選：ACD【變式71】4.（2023秋·遼寧丹東·高一丹東市第四中學(xué)?？计谀┮阎龜?shù)x，y滿足x+4y-xy=0，則4x+yA．13 B．49 C．【答案】B【分析】先利用基本不等式中“1”的妙用求得x+y的取值范圍，從而求得4x+y【詳解】因?yàn)閤>0，y>0，x+4y-xy=0，所以4x故x+y=4當(dāng)且僅當(dāng)4yx=xy且所以x+y≥9，故4x+y≤49，則故選：B.【變式71】5.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若a>0，b>0，且a-1b-1=1，A．12 B．14 C．16 D．18【答案】D【分析】由a-1b-1=1，可得【詳解】a-1b-1=1，于是2a+8b=2a+8b當(dāng)且僅當(dāng)8ba=2a故選：D題型8和積不可以化“1”型【方法總結(jié)】形如求型，可以對(duì)“積pxy”部分用均值，再解不等式，注意湊配對(duì)應(yīng)的“和”的系數(shù)系數(shù)，如下：【例題8】（2023秋·河北保定·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）若x>0，y>0且xy=x+4y+5，則xy的最小值為（

）A．1 B．5 C．25 D．12【答案】C【分析】利用基本不等式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)閤,y>0，所以xy=x+4y+5≥2x?4y當(dāng)且僅當(dāng)x=4y時(shí)取等號(hào)，解不等式xy≥4xy+5?xy≥5，xy≥25，當(dāng)故選：C【變式81】1.（2023秋·貴州遵義·高三校考階段練習(xí)）若正數(shù)a，b滿足a2+ab+4bA．310 B．23 C．3【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)閍，b均為正數(shù)，則a2當(dāng)且僅當(dāng)a2=4b所以ab≤35，即ab的最大值為故選：C.【變式81】2.（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)郡中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）若正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y+xy=8，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．x+y的最小值為4 B．xy的最大值為4C．x+2y的最小值為62-3 D．【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式及其變形逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，x+y=8-xy≥8-x+y22解得x+y≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，由A項(xiàng)可知x+y≥4，所以xy=8-x+y≤4，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于C項(xiàng)，由題可知x+1y+1故x+2y=x+1當(dāng)且僅當(dāng)x+1=2對(duì)于D項(xiàng)，x2+y2=x+y2故選：D.【變式81】3.（多選）（2021秋·遼寧大連·高三大連八中校考階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)a，b滿足a2A．a(chǎn)+b≥-2 B．a(chǎn)+b≤1C．a(chǎn)2+【答案】AC【分析】根據(jù)給定的等式，利用均值不等式及重要不等式建立不等式，再求解不等式判斷作答.【詳解】a,b∈R，由a2+于是(a+b)2-1=3ab≤3(a+b2解得-2≤a+b≤2，A正確，B錯(cuò)誤；又a2+b2-1=ab≤a2故選：AC【變式81】4.（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知y>2，且6y-2x+xy=14，則x+3y的最小值為.【答案】2【分析】先由條件6y-2x+xy=14變形為正數(shù)乘積形式，再將所求x+3y配湊成正數(shù)和的形式，最后利用基本不等式求解最值即可.【詳解】由6y-2x+xy=14，得(x+6)(y-2)=2，由y>2得x+6=2所以x+3y=x+6+3(y-2)≥23(x+6)(y-2)當(dāng)且僅當(dāng)x+6=3(y-2)=6故答案為：26題型9消元法【方法總結(jié)】如果不容易直接觀察出均值，可以反解代入消元，在構(gòu)造“單變量”均值形式求解【例題9】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知正數(shù)x?y滿足x+y=3，則x-4y的最大值是【答案】1【分析】由題設(shè)可得x=3-y，代入x-4【詳解】由題意，x=3-y，∴x-4當(dāng)且僅當(dāng)y=4y，即∴x-4y的最大值是故答案為：-1【變式91】1.（2023春·江蘇蘇州·高二?？茧A段練習(xí)）已知x>1，y<0，且3y1-x=x+8，則x-3y的最小值為【答案】8【分析】由題意，3y=x+81-x，所以代入化簡(jiǎn)得x-3y=x【詳解】因?yàn)?y(1-x)=x+8，所以3y=x+8所以x-3y=x-x+8又因?yàn)閤>1，所以x-1>0，所以x-3y≥2(x-1)?9x-1+2=8，當(dāng)且僅當(dāng)則x-3y的最小值為8.故答案為：8.【變式91】2.（2020秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中校考階段練習(xí)）若x>4，y>1，且xy=12+x+4y，則x+yA．5 B．8 C．13 D．16【答案】C【分析】由xy=12+x+4y可得y=x+12x-4，從而將x+y化為【詳解】由題意x>4，y>1，xy=12+x+4y得y=故x+y=x+16由于x-4>0當(dāng)且僅當(dāng)x-4=16x-4即x=8時(shí)取等號(hào)，即故x+y的最小值是13，故選：C【變式91】3.（2023秋·新疆·高一校聯(lián)考期末）設(shè)x>0,xy+y=4，則z=3x+y+2的最小值為（

）A．43-1C．42【答案】A【分析】先將目標(biāo)函數(shù)化簡(jiǎn)，得到z=3x+1【詳解】由題意x>0,xy+y=4，所以y=4z=3x+4x+1+2=3當(dāng)且僅當(dāng)3x+1=4故選：A【變式91】4.（2021秋·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足xy=x-yx+3y，則y的最大值為【答案】1【分析】將目標(biāo)式中的x,y進(jìn)行分離，用x表達(dá)y，利用基本不等式即可其求得y的范圍.【詳解】因?yàn)閤，y為正數(shù)，所以xy=x-yx+3y，故則3y2+x+1xy-1=0整理得3y2+2y-1≤0，且y>0故y的最大值為13故答案為：13【變式91】5.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若正數(shù)x、y滿足x+4y-xy=0，則4x+y【答案】4【分析】根據(jù)x+4y-xy=0，可得y=xx-4【詳解】∵正數(shù)x、y滿足x+4y-xy=0，∴y=x∴4當(dāng)且僅當(dāng)x－4=4x-4時(shí)，即x=6等號(hào)成立，故答案為：4題型10分子代換消元【例題10】（2022秋·云南保山·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a>0，b>0，a+2b=1，則b2+a+12ab【答案】10+3/【分析】將所求式子化簡(jiǎn)整理為5b2a【詳解】b=（當(dāng)且僅當(dāng)5b2a=ab，即∴b2+a+1故答案為：10+3【變式101】1.（2023·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知正數(shù)a，b滿足2a+b=2，則5a2+3【答案】16【分析】由5a【詳解】由2a+b=2得2a+b2=4，即則5=9當(dāng)9a2=4b2所以5a故答案為：16.【變式101】2.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知正數(shù)a，b滿足a+b=1，則a+6b+3abA．25 B．19+26 C．26【答案】A【分析】先進(jìn)行化簡(jiǎn)得a+6b+3ab【詳解】因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足a+b=1，所以a+6b+3=13+9ba+4ab即a=3故選：A.【變式101】3.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若正數(shù)x,y滿足x+2y=2，則yxA．2+1 B．22+1【答案】A【分析】利用基本不等式及不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)x,y滿足x+2y=2，所以x+2y2所以yx當(dāng)且僅當(dāng)x2=2y當(dāng)x=22-2,y=2-2時(shí)，y故選：A.【變式101】4.（2022秋·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若a，b都是正數(shù)，且ab=3，則1aA．4 B．6 C．23 D．【答案】C【分析】通過(guò)條件，將1a【詳解】因?yàn)?a+1b+9a+b所以1a當(dāng)且僅當(dāng)a+b3=9a+b，即故選：C．【變式101】5.（2022秋·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）已知x>0，y>0，且x+y=4，則x2A．4 B．72 C．25【答案】C【分析】根據(jù)題意整理可得x2【詳解】由于x>0，y>0，且x+y=4，則x2當(dāng)且僅當(dāng)yx=x故x2+4x故選：C．【變式101】6（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，則b+a2ab【答案】1+22/【分析】由b+a【詳解】因?yàn)閎+a≥1+22b當(dāng)且僅當(dāng)2ba=a故b+a2ab故答案為：1+2【變式101】7.（2023春·云南·高一校考階段練習(xí)）已知a>-2，b>0，a+2b=3，則2a+b+4a+2A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】整理得出a+2+2b=5，由已知變形可得2a+b+4【詳解】因?yàn)閍>-2，b>0，則a+2>0，因?yàn)閍+2b=3，則a+2+2b=5所以，2a+b+4=5=b當(dāng)且僅當(dāng)ba+2=a+2故2a+b+4a+2+5故選：B.題型11齊次同除【方法總結(jié)】一般情況下，滿足（1）分式；（2）分子分母齊次。則可以同除構(gòu)造單變量來(lái)求最值?！纠}11】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知x>y>0，則x2A．2+3 B．C．22+2【答案】C【分析】設(shè)t=x【詳解】x2+y2xy-于是x2令y=t+1+2t-1(t>1)當(dāng)t>1t-1=2t-1，即t=2+1，也即x=(1+故選：C【變式111】1.（2022秋·天津北辰·高一校考階段練習(xí)）已知a>0,b≥0，則a(a+b)2a+b的最大值為【答案】12/【分析】令t=b【詳解】a(a+b)2a+b令t=ba，則上式因?yàn)閠=ba≥0所以1t+1+2+1當(dāng)且僅當(dāng)t+1=1t+1，即所以a(a+b)2a+b的最大值為1故答案為：1【變式111】2.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足xx+2y=9，則yx+y【答案】1【分析】由題設(shè)將目標(biāo)式化為y(x+y)【詳解】y(x+y)2=所以目標(biāo)式最大值為16故答案為：1【變式111】3.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知a>0，b>0，a+b=1，則ab2a+3b的最大值為【答案】5-26/【分析】將ab2a+3b化為12b+3【詳解】由已知a>0，b>0，a+b=1，則ab2a+3b而2b+3a故ab2a+3b的最大值為1故答案為：5-26【變式111】4.（2023秋·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）對(duì)任意正數(shù)x，滿足xy+yA．2 B．1 C．12 D．【答案】C【分析】先將xy+yx=2-4y2兩邊同時(shí)除以y，得x+1x=2【詳解】∵xy+yx=2-4y2∵x>0,x+1x≥2x?1∴2∵y>0，∴2y2+y-1≤0∴y的最大值為12故選：C.【變式111】5.（2022秋·高一單元測(cè)試）已知xy≠0，則x2x2【答案】4-2【分析】通分化簡(jiǎn)整理x2x2【詳解】因?yàn)閤y≠0，則x2所以x=1+x當(dāng)且僅當(dāng)x2則x2x2故答案為：4-22題型12恒成立問(wèn)題【例題12】（2022秋·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知不等式x+ay1x+1yA．2 B．4 C．6 D．9【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式即可求解最值，進(jìn)而由1+a+2a【詳解】因?yàn)閤+ay1x+1y所以1+a+2a≥16，整理得a+5a-3故選:D.【變式121】1.（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）若不等式a2+bA．2 B．2 C．3 D．1【答案】C【分析】將不等式a2+b22+3≥xa+b【詳解】由題意不等式a2+b即x≤a又a2+b則a2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3故x≤3，即實(shí)數(shù)x的最大值為3故選：C【變式121】2.(多選)（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知a>0,b>0，且2a+b=1，若不等式2a+1A．10 B．9 C．8【答案】BC【分析】根據(jù)基本不等式求出2a+1【詳解】由a>0,b>0，且2a+b=1，可得2a+1b當(dāng)且僅當(dāng)2ba=2a又因?yàn)椴坏仁?a+1b≥m故選：BC.【變式121】3.（2023秋·高一單元測(cè)試）已知對(duì)任意x>a，不等式2x+2x-a≥7【答案】3【分析】根據(jù)基本不等式求得2x+2【詳解】因?yàn)閤>a，故x-a>0，所以2x+≥22當(dāng)且僅當(dāng)2x-a=2即有2a+4≥7，所以a≥32，即a的最小值為故答案為：3【變式121】4.（2022秋·上海黃浦·高一上海市光明中學(xué)校考期中）已知x>0，y>0且x+y=3，若12x-y+22y-x≥a【答案】-【分析】依題意可得a≤12x-y+【詳解】因?yàn)閤>0，y>0且x+y=3，若12x-y則a≤1又1=1當(dāng)且僅當(dāng)2y-x2x-y=2(2x-y)2y-x，即∴a≤3+223，即實(shí)數(shù)a故答案為：-【變式121】5.（2023·全國(guó)·高一課堂例題）設(shè)x>0，y>0，不等式x+y≤a【答案】2/2【分析】由x+y≤ax+y易得a≥x【詳解】顯然a>0，由題意知，不等式a≥x則a必須大于或等于x+而x+當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，取等號(hào)，故x+yx+y故a≥2，即a的最小值是2故答案為：2.題型13實(shí)際應(yīng)用【例題11】（2023秋·高一單元測(cè)試）某公司決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估，該商品原來(lái)每件售價(jià)為25元，年銷(xiāo)售8萬(wàn)件．(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷(xiāo)售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷(xiāo)售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷(xiāo)售量．公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和銷(xiāo)售策略調(diào)整，并提高定價(jià)到x元．公司擬投入16(x2-600)【答案】(1)40元(2)10.2萬(wàn)件，該商品的每件定價(jià)為30元【分析】（1）設(shè)每件定價(jià)為t元，依題意得8-t-251×0.2（2）由題意可得當(dāng)x>25時(shí)，a≥150x+【詳解】（1）設(shè)每件定價(jià)為t元，依題意得8-t-25整理得t2-65t+1000≤0，解得所以要使銷(xiāo)售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最多為40元．（2）依題意知當(dāng)x>25時(shí)，不等式ax≥25×8+50+1等價(jià)于x>25時(shí)，a≥150由于150x+16x≥2所以a≥10.2，當(dāng)該商品改革后銷(xiāo)售量a至少達(dá)到10.2萬(wàn)件時(shí)，才可能使改革后的銷(xiāo)售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元．【變式131】1.（2023秋·高