用法向量求二面角的大小及其角度關(guān)系的確定

2009.12.16用法向量求二面角的大小及其角度關(guān)系的確定聯(lián)系電話訊地址：黑龍江省哈爾濱市呼蘭區(qū)第六中學(xué)郵編：150500電子信箱：wangweihua999999@我們都知道，向量知識(shí)在數(shù)學(xué)學(xué)科里有其非常廣泛的應(yīng)用，尤其是在立體幾何求角和距離時(shí)，若利用向量知識(shí)求解會(huì)得到事半功倍的效果，也正體現(xiàn)了向量知識(shí)的工具性和靈活性。而在應(yīng)用向量知識(shí)求解二面角的大小時(shí)，不是所有的二面角的兩個(gè)半平面的法向量的夾角都和二面角相等，有時(shí)是互補(bǔ)，那么，什么時(shí)候相等，什么時(shí)候互補(bǔ)，如何確定其“角度之間的大小關(guān)系”一直以來(lái)是困擾很多教師和學(xué)生的一個(gè)難題。向量有其自身的獨(dú)特性質(zhì)—自由性，當(dāng)一個(gè)向量在空間的某一位置時(shí)，可以自由移動(dòng)，只要滿足其方向不變，其無(wú)論移動(dòng)到任何位置，向量都是相等的。根據(jù)這一性質(zhì)，當(dāng)我們把二面角的某個(gè)半平面的法向量求出后，把它的起點(diǎn)放到坐標(biāo)原點(diǎn)，然后確定其向量的方向的指向，從而確定其法向量的夾角和二面角的大小的關(guān)系，在確定了法向量的夾角與二面角的關(guān)系后，再利用向量的數(shù)量積求出二面角的大小，下面就來(lái)具體闡述一下這一做法。θβθβαl圖11.當(dāng)法向量的方向指向二面角的內(nèi)部時(shí)稱之為向里指，如：圖1中的向量。2.當(dāng)法向量的方向指向二面角的外部時(shí)稱之為向外指，如：圖1中的向量。法向量的夾角和二面角大小的關(guān)系1.設(shè)分別為平面的法向量，二面角的大小為，向量的夾角為，當(dāng)兩個(gè)法向量的方向都向里或都向外指時(shí)，則有（圖2）；2.當(dāng)兩個(gè)法向量的方向一個(gè)向里指一個(gè)向外指時(shí)（圖3）θθβlαωωθβlα圖2圖2圖3在坐標(biāo)系中做出法向量，從而確定法向量的方向指向yxzlOΧУ圖41.已知二面角，若平面的法向量，由向量的相等條件知，坐標(biāo)是（4，4，3）的向量有無(wú)數(shù)多個(gè)，根據(jù)向量的自由性，我們只需做出由原點(diǎn)出發(fā)的一個(gè)向量便可，如圖4所示yxzlOΧУ圖4βyxzlO圖52.若平面法向量，βyxzlO圖5四．應(yīng)用舉例例題1.如圖6，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B!C1D1中G、E、F分別為AA1、AB、BC的中點(diǎn)，求作二面角G—EF—D半平面GEF的法向量并判斷其由圖知，半平面SBA的法向量為=(1，0，0)的方向指向面SCD與面SBA所成的二面角的里面，半平面SCD的法向量指向面SCD與面SBA所成的二面角的外面，所以二法向量的夾角與二面角的大小相等，由此得：cos=∴所求的二面角的余弦值為.若在：AzAzyxDCBS圖9SCD與面SBA所成的二面角的里面了，如圖9，兩個(gè)法向量的夾角與二面角的大小互補(bǔ)，即：=<∴cos=<注：在求得關(guān)于x,y,z的關(guān)系式，給z賦值時(shí)，由于版面的空間有限，只好取z=，而通常我們?cè)谧鲱}時(shí)，一般都令z=1,這樣便于計(jì)算。>評(píng)析：（1）因?yàn)樗蟮亩娼堑慕痪€在圖中較難作出，所以用傳統(tǒng)的方法求二面角比較困難，向量法在這里就體現(xiàn)出它特有的優(yōu)勢(shì)；（2）法向量的取法可以靈活多變，但做出法向量的時(shí)候，要遵循一個(gè)原則，即：從原點(diǎn)出發(fā)。將向量知識(shí)引進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)后，既豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，拓寬了中學(xué)生的視野，又給很多問(wèn)題的解決增加了亮點(diǎn)，比如：在解析幾何上，在立體幾何上都有其非