廣東省佛山市南海區(qū)獅山石門高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

石門高級中學(xué)2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期高二級數(shù)學(xué)科第二次統(tǒng)測試卷（全卷共4頁，供高二年級1-19班使用）命題人：鄭兆至班別_____________學(xué)號_____________姓名____________一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.過原點(diǎn)且與圓相切的直線方程是（）A. B.或C.或 D.或2.已知橢圓的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn).若的周長為8，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.3.已知等差數(shù)列的公差為2，若，，成等比數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則等于（）A.8 B.6 C.10 D.04.已知函數(shù)在時有極值為0，則（）A.11 B.4或11 C.4 D.85.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的前2019項(xiàng)和為（）A. B. C. D.6.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則（）A.1 B.3 C.6 D.97.在某班進(jìn)行的歌唱比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能連著出場，且女生甲不能排在第一個，那么出場順序的不同排法種數(shù)為（）A.30 B.36 C.60 D.728.已知是定義在上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且當(dāng)時，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.若是雙曲線：上一點(diǎn)，的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.漸近線方程為C.的最小值是1 D.焦點(diǎn)到漸近線的距離是10.甲、乙兩盒中皆裝有若干個不同色的小球，從甲盒中摸出一個紅球的概率是，從乙盒中摸出一個紅球的概率是，現(xiàn)小明從兩盒各摸出一個球，每摸出一個紅球得3分，摸出其他顏色小球得0分，下列說法中正確的是（）A.小明得6分的概率為 B.小明得分低于6分的概率為C.小明得分不少于3分的概率為 D.小明恰好得3分的概率為11.已知函數(shù)，下列命題中為真命題的是（）A.的單調(diào)遞減區(qū)間是B.的極小值點(diǎn)是2C.有且只有一個零點(diǎn)D.過點(diǎn)只能作一條直線與的圖象相切12.數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則有（）A. B.為等比數(shù)列C. D.三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為___________.14.若函數(shù)在處的切線過點(diǎn)，則實(shí)數(shù)__________.15.函數(shù)，的最大值為___________.16.已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前7項(xiàng)和___________.四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.（本小題10.0分）在數(shù)列中，，點(diǎn)在直線上.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.（本小題12.0分）設(shè)函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間與極值；（3）若方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的范圍，19.（本小題12.0分）如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.20.（本小題12.0分）猜燈謎又稱打燈謎，是我國從古代就開始流傳的元宵節(jié)特色活動。在一次元宵節(jié)猜燈謎活動中，共有20道燈謎，三位同學(xué)獨(dú)立競猜，甲同學(xué)猜對了12道，乙同學(xué)猜對了8道，丙同學(xué)猜對了道，假設(shè)每道燈謎被猜對的可能性都相等.（1）任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學(xué)恰有一個人猜對的概率；（2）任選一道燈謎，若甲，乙，丙三個人中至少有一個人猜對的概率為，求的值.21.（本小題12.0分）已知在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，且，，構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng).（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和22.（本小題12.0分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最大值和最小值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若函數(shù)在處取得極值，不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.石門高級中學(xué)2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期高二級數(shù)學(xué)科第二次統(tǒng)測試卷答案和解析1.【答案】C解：由題意，圓的方程為，可知圓心坐標(biāo)為，半徑為2，當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為，由圓心到直線的距離等于半徑2得，，因此一條切線方程為；當(dāng)切線斜率不存在時，軸是符合條件的切線，方程為，故選C.2.【答案】C解：根據(jù)題意，橢圓的焦點(diǎn)為，，即橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且；又由的周長為8，則有，變形可得，則；故要求橢圓的方程為；故答案選：C.3.【答案】D解：∵，，成等比數(shù)列，∴，∴，化為，解得.∴則，故選D.4.【答案】A解：由題意，且.解得，，；故選A.5.【答案】C解：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差設(shè)為，，，可得，，解得，，即，，則數(shù)列的前2019項(xiàng)和為.故選：C.6.【答案】D解：設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，由題意可得，即，解得（舍去）或，∴.故選：D.7.【答案】C解：分兩種情況討論：第一種：當(dāng)?shù)谝粋€出場的是男生，則第二個出場的是女生，以后的順序任意排，此種情況有種排法，第二種：當(dāng)?shù)谝粋€出場的是女生（不是女生甲），則將剩下的2個女生排好，2個男生插空，此種情況有種排法，所以共有36+24=60種排法，故選：C.8.【答案】B解：設(shè)，，則，所以在上遞增，又，所以時，，此時，所以，時，，此時，所以，所以時，，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以時，，由得或，所以或.9.【答案】BCD解：對于A，因?yàn)殡p曲線：的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴，故A錯；對于B，漸近線方程，故B正確；對于C，的最小值是，故C正確；對于D，焦點(diǎn)到漸近線的距離是，故D正確，故選；BCD.10.【答案】BD解；對選項(xiàng)A，小明得6分的概率為，故A錯誤；對選項(xiàng)B，小明得分低于6分的概率為，故B正確；對選項(xiàng)C，小明得分不少于3分的概率為，故C錯誤；在D中，小明恰好得3分的概率為，故D正確.故選：BD.11.【答案】ABD解：，可得的單詞遞減區(qū)間為，A項(xiàng)正確；又單調(diào)遞增區(qū)間為，，所以2是的極小值點(diǎn)，B項(xiàng)正確；又，，則有三個零點(diǎn)，C項(xiàng)錯誤；原點(diǎn)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)為，則，得，所以切點(diǎn)只有一個，D項(xiàng)正確.12.【答案】ABD解：∵，∴當(dāng)時，，兩式相減得，，即，當(dāng)時，，∴數(shù)列從第二項(xiàng)起為公比為3的等比數(shù)列，∴故C錯誤，D正確，由當(dāng)時，，所以，又滿足上式，所以，為等比數(shù)列，故A，B正確.故選ABD13.【答案】-540解：由的展開式中；二項(xiàng)式系數(shù)之和為64得，∴，∴的展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：-540.14.【答案】6解：函數(shù)，切點(diǎn)為，，，即切線的斜率為2，則切線方程為，又因?yàn)榍芯€過，所以，解得.故答案為6.15.【答案】解：因?yàn)椋?，令，即，，解得，在為上單調(diào)遞增，令，即，，解得，在上單調(diào)遞減，所以.故答案為.16.【答案】解：當(dāng)時，，即，∵，①，當(dāng)時，，②，由①-②可得，∴，當(dāng)時，上式也成立，∴，，∴，∴，∴，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，∴，①，②由①-②可得，∴，∴，故答案為：.17.【答案】解：（1）由題可得，即，∴數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，∵，；（2）由（1）知，∴，∴，∴.18.【答案】解：（1）的定義域?yàn)?，，，又，∴曲線在處的切線方程為，即；（2），令，得，列表如下：-1-0+逆減極小值遞增∴的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以，無極大值；（3）由（2）知在處取極小值，無極大值，則，無最大值，所以的值域?yàn)椋驗(yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)解，所以有實(shí)數(shù)解，所以的范圍就是函數(shù)的值域，所以實(shí)數(shù)的范圍為.19.【答案】解；（1）因?yàn)闉槿庵?，所以平面是平行四邊形，又交于點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又平面，又平面，所以平面.（2）在直三棱柱中，平面，而平面，故，，又，所以、、兩兩互相維直所以以為坐標(biāo)展點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)，則，，，，，所以，，，.設(shè)平面的一個法向量為，則，所以，不妨令，則.設(shè)平面的一個法向量為，則，所以，不妨令，則.所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為.20.【答案】解：（1）設(shè)“甲猜對燈迷”為事件，“乙猜對燈迷”為事件，“任選一道燈謎，恰有一個人猜對”為事件，由題意得，，，且事件、相互獨(dú)立，則，所以任選一道燈謎，恰有一個人猜對的概率為；（2）設(shè)“丙猜對燈迷”為事件，“任選一道燈謎，甲、乙、丙三個人部沒有猜對”為事件，則由題意，，解得.21.【答案】解；（1）根據(jù)題意，因?yàn)閿?shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的等整數(shù)列，所以，即得，設(shè)公整為，則有，，，又因?yàn)?，，?gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng)，所以，即，解之可得，或（合去），所以，即得數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的箏整數(shù)列，故可得，由題可得，，，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故可得.（2）設(shè)，則①，在上式兩邊同時乘以2可得，，②.①-②可得，，即得.22.【答案】解：（1）當(dāng)時，，則，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，