物理學(xué)中的對(duì)稱性與守恒定律

物理學(xué)中的對(duì)稱性與守恒定律

現(xiàn)代音樂家充分運(yùn)用類比原則，探索未知的基本原理。作為大學(xué)物理教學(xué),應(yīng)當(dāng)把對(duì)稱性原理及對(duì)稱性與守恒定律的關(guān)系介紹給學(xué)生,使他們學(xué)會(huì)從普通物理的對(duì)稱性理論去思考問題,充分利用守衡量,提出問題和分析問題,以達(dá)到對(duì)問題的一個(gè)總體估計(jì)和理解。所以,如何引入“對(duì)稱性”概念,給工科物理以新的視野,成為許多人關(guān)心的問題。一、變性、對(duì)稱和堅(jiān)守對(duì)稱性是人們?cè)谟^察和認(rèn)識(shí)自然過程中所形成的一種觀念。它最早是一個(gè)幾何學(xué)上的概念,其實(shí)就是某種不變性。比如,說某個(gè)圖形具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性,就意味著該圖形繞某一個(gè)固定的軸轉(zhuǎn)某一角度后,圖形保持不變。因此對(duì)稱性可概括為:如果某一系統(tǒng)(或現(xiàn)象)在某一變換下不改變,則說該系統(tǒng)(或現(xiàn)象)具有該變換條件下所對(duì)應(yīng)的某種對(duì)稱性(不變性)。在物理學(xué)中,對(duì)稱性具有深刻的含義,它指的是物理規(guī)律在某種變化下的不變性。比如力學(xué)規(guī)律在勻速坐標(biāo)系下的不變性,即伽里略變換下的不變性,它是牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)之一。對(duì)稱性原理則是對(duì)稱性理論的概括,它是由皮埃爾·居里(Pierrecunie)首先提出的。它的內(nèi)容是:原因中的對(duì)稱性必然反映在結(jié)果中,即結(jié)果中的對(duì)稱性至少有原因中對(duì)稱性那樣多。反過來說,結(jié)果中的不對(duì)稱性必然在原因中有所反映,即原因中的不對(duì)稱性至少有結(jié)果中的不對(duì)稱性那樣多。一般來說,自然界千變?nèi)f化的運(yùn)動(dòng),都會(huì)從一些方面顯現(xiàn)出各式各樣的對(duì)稱性,同時(shí)又通過對(duì)稱性的演化和破缺來反映運(yùn)動(dòng)演化的特點(diǎn)。在實(shí)際中人們對(duì)某一規(guī)律的認(rèn)識(shí),更多地是先認(rèn)識(shí)其中所包含的對(duì)稱性,并且對(duì)這些對(duì)稱性的認(rèn)識(shí)往往在進(jìn)一步認(rèn)識(shí)物理規(guī)律中起著重要作用。所以對(duì)稱性的研究是物理學(xué)規(guī)律探索的重要方面。對(duì)稱性制約作用量的形式,然而物理學(xué)家并不可能先驗(yàn)地知道我們這個(gè)世界所涉及到的全部對(duì)稱性,而已經(jīng)確實(shí)知道的對(duì)稱性又不足以完全確定作用量的形式。盡管作用量可能具有的形式已經(jīng)大大受到限制,但他們?nèi)匀豢梢跃哂性S許多多種可能的對(duì)稱形式。物理學(xué)家們不得不采用試探性的方法,根據(jù)物理上的可能性依次考察每一個(gè)作用量的候選者,這種試探性的方法艱巨而繁難,而且很難說是有成效的。1916年諾特(A·E·Noether)提出一個(gè)著名定理,給探尋作用量的形式帶來了曙光。諾特定理是說,作用量的每一種對(duì)稱性都對(duì)應(yīng)一個(gè)守恒定律,有一個(gè)守恒量。對(duì)稱和守恒這兩個(gè)概念是緊密地聯(lián)系在一起的。而且,當(dāng)代物理學(xué)已證明,每一種對(duì)稱性就相應(yīng)地存在一個(gè)守恒定律,這是一個(gè)普遍的物理學(xué)原理。二、學(xué)以十分困難描述對(duì)稱性的數(shù)學(xué)工具是群論,這對(duì)于工科物理教學(xué)是十分困難的。那么如何用普物的方法介紹對(duì)稱性原理在大學(xué)物理中的應(yīng)用呢?力學(xué)中的三大守恒定律與時(shí)空對(duì)稱性的密切關(guān)系就是一個(gè)很好的例子。1.u3000能量的守恒性只要實(shí)驗(yàn)條件相同,任何一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)的過程和結(jié)果都與它在什么時(shí)間做的沒有關(guān)系。因此,物理規(guī)律具有時(shí)間平移不變性。它要求物理定律不隨時(shí)間變化,即昨天、今天和明天的物理定律都應(yīng)該是相同的。時(shí)間平移不變性又稱時(shí)間均勻性或時(shí)間平移對(duì)稱性。此對(duì)稱性與能量守恒對(duì)應(yīng)。質(zhì)量為m的一個(gè)粒子,在勢(shì)能V(x,t)場(chǎng)中作一維運(yùn)動(dòng),其受力為F(x)則F做功AA=∫x2x1Fdx=-∫x2x1?V?xdx(1)?V?xdx(1)一般情況dV=?V?xdx+?V?tdt(2)dV=?V?xdx+?V?tdt(2)將(2)代入(1)得A=∫x2x1?dV+?V?tdt(3)-dV+?V?tdt(3)再由動(dòng)能定理A=E2-E1,(3)式變?yōu)?E為動(dòng)能)(E2+V2)-(E1+V1)=∫x2x1?V?tdt?V?tdt若熱能函數(shù)不隨時(shí)間t變化時(shí)即?V?t=0?V?t=0,則E2+V2=E1+V1=恒量。這說明當(dāng)勢(shì)能函數(shù)對(duì)時(shí)間平移具有不變性時(shí),能量具有守恒性。用對(duì)稱性原理可表述為,有勢(shì)能對(duì)時(shí)間平移的不變性,就必有能量的守恒性?？梢?如果物理定律隨時(shí)間變化,例如重力法則隨時(shí)間變化,那就可以利用重力隨時(shí)間的可變性,在重力變?nèi)鯐r(shí)把水提升到蓄水池中去,所需做的功較少;在重力變強(qiáng)時(shí)把蓄水池中的水泄放出來,利用水力發(fā)電,釋放出較多的能量。這是一架不折不扣的能創(chuàng)造出能量的第一類永動(dòng)機(jī),這是與能量守恒定律相違背的。這就清楚地說明時(shí)間平移對(duì)稱性與能量守恒之間的聯(lián)系。2.把握各奏動(dòng)量函數(shù)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)與它所處的空間位置沒有關(guān)系。只要實(shí)驗(yàn)條件相同,在兩個(gè)不同地方所做的實(shí)驗(yàn)結(jié)果都相同。因此,物理規(guī)律具有空間平移不變性?？臻g平移不變性也稱空間均勻性或空間平移對(duì)稱性。此對(duì)稱性與動(dòng)量守恒對(duì)應(yīng)。質(zhì)量為m的一個(gè)粒子,在勢(shì)能V(x,t)的場(chǎng)中作一維運(yùn)動(dòng),若P為粒子的動(dòng)量函數(shù),其運(yùn)動(dòng)由下面方程所決定。dpdt=F=??V?xdpdt=F=-?V?x若空間勢(shì)能函數(shù)V不隨位置x變化,即?V?x=0?V?x=0,則p=恒量。這說明,當(dāng)勢(shì)能函數(shù)對(duì)空間平移具有不變性時(shí),動(dòng)量具有守恒性。即有勢(shì)能對(duì)空間平移的不變性,必有動(dòng)量的守恒性。例如,考慮兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng),它們的相互作用能為U,U是這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)位置r1、r2的函數(shù)U(r1、r2),由于物理定律具有空間平移對(duì)稱性,質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)位置是一個(gè)不可觀測(cè)量,質(zhì)點(diǎn)間的相互作用勢(shì)能只能依賴質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置,即U(r1-r2)。將質(zhì)點(diǎn)1和質(zhì)點(diǎn)2移動(dòng)相同的小量,相互作用能U不變,則相互作用力做功的總和為零。由于位移相同,因此系統(tǒng)相互作用力之和為零,即兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的作用力與反作用力大小相等,方向相反,且在一條直線上,這正是牛頓每三定律。而我們知道,在力學(xué)范圍內(nèi)牛頓第三定律與動(dòng)量守恒是互為因果的?？梢娍臻g平移對(duì)稱性與能量守恒之間的聯(lián)系。3.時(shí)空對(duì)稱結(jié)構(gòu)的分布和作用原理只要實(shí)驗(yàn)條件相同,物理實(shí)驗(yàn)與空間的取向無關(guān)。把實(shí)驗(yàn)裝置轉(zhuǎn)換一個(gè)方向,并不影響實(shí)驗(yàn)過程和結(jié)果,因此,物理規(guī)律具有空間轉(zhuǎn)向不變性,空間轉(zhuǎn)向不變性也叫空間同向性或空間轉(zhuǎn)向?qū)ΨQ性。此對(duì)稱性與角動(dòng)量守恒對(duì)應(yīng)。一個(gè)質(zhì)量為m的粒子,在勢(shì)能V(x,y,t)的場(chǎng)中作二維運(yùn)動(dòng),且繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)如果用極坐標(biāo)(γ,θ)代替笛卡爾坐標(biāo)(x,y),則粒子的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為:dLzdt=γFθ=??V?θdLzdt=γFθ=-?V?θ其中L為角動(dòng)量,若勢(shì)能函數(shù)V(x,y,t)不隨空間變化時(shí),即?V?θ=0,?V?θ=0,則Lz=恒量。這說明,當(dāng)勢(shì)能函數(shù)對(duì)于空間轉(zhuǎn)向具有不變性時(shí),角動(dòng)量具有守恒性。即有勢(shì)能的空間轉(zhuǎn)向不變性,必有角動(dòng)量的守恒性。例如,考慮兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng),固定質(zhì)點(diǎn)1,將質(zhì)點(diǎn)2以質(zhì)點(diǎn)1為中心移動(dòng)一小段弧長S,如果相互作用力存在切向力分量,則相互作用能改變?yōu)閁=f切S?？臻g各向同性意味著兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相互作用勢(shì)能只與它們之間的距離有關(guān),與兩者聯(lián)線在空間的取向無關(guān),所以移動(dòng)操作不改變相互作用能,從而U=0,于是相互用力切向分量f切=0,或者說兩質(zhì)點(diǎn)的相互作用力沿兩者的聯(lián)線,這與“角動(dòng)量守恒”是等價(jià)的,從而空間各向同性與角動(dòng)量守恒是聯(lián)系在一起的。綜上所述,對(duì)力學(xué)三大守恒定律可以提高到時(shí)空對(duì)稱性的高度去理解,從而使學(xué)生明確三大守恒定律是比牛頓運(yùn)動(dòng)定律還要高一個(gè)層次的理論,它是物理學(xué)中最普遍的規(guī)律在經(jīng)典力學(xué)中的反映。當(dāng)然,如果還要展開講,那么對(duì)稱性原理在電磁學(xué)中的應(yīng)用,在量子力學(xué)中的應(yīng)用都可聯(lián)系工科物理的內(nèi)容來介紹。總之,揭示系統(tǒng)所具有的各種對(duì)稱性,尋求對(duì)應(yīng)的物理量,或者反過來用守恒量去探求系統(tǒng)所具有的對(duì)稱性,已成為當(dāng)代物理學(xué)重要而卓有成效的方法之一。對(duì)稱性在物理學(xué)中具有深刻的意義。一種對(duì)稱性的發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)比一種物理效應(yīng)或具體物理規(guī)律的發(fā)現(xiàn)的意義要重大得多!例如,源于電磁理論的洛侖茲變換變換不變性,導(dǎo)致力學(xué)的革命;愛因斯坦為尋找引力理論的不變性而創(chuàng)立了廣義相對(duì)論;狄拉克為使微觀粒子的波動(dòng)方程具有洛侖茲變換不變性,修正了薛定諤方程,并根據(jù)方程解的對(duì)稱性預(yù)言了反電子(正電子)的存在,進(jìn)而使人們開始了