第四章數(shù)學(xué)文化中的數(shù)學(xué)思維和方法

第四章數(shù)學(xué)文化中的數(shù)學(xué)思維和方法第一頁，共44頁。希臘邏輯傳統(tǒng)——三段論亞里士多德三段論：大前提：所有人都是要死的；

小前提：蘇格拉底是人；

結(jié)論：所以蘇格拉底是要死的。第一頁第二頁，共44頁。印度邏輯傳統(tǒng)——因明論印度新因明的推理形式。有三個部分（“支”）組成，即：宗（論題目）、因（理由）、喻（例證）。宗：此處有熱；因：由于有火的緣故；喻：有火的地方都有熱。宗：蘇格拉底是要死的。

因：人故。

同喻：有某個人是要死的，如張三。

異喻：不死的都不是人。

第二頁第三頁，共44頁。中國邏輯傳統(tǒng)——推類推類例1：關(guān)關(guān)雎鳩，在河之州。窈窕淑女，君子好逑。（《詩經(jīng)》）推類例2：“繪事后素”是孔子在《論語·八佾》中說的一句話：子夏問曰：“‘巧笑倩兮，美目盼兮，素以為絢兮。’何謂也？”子曰：“繪事后素?！痹唬骸岸Y后乎？”子曰：“起予者商也！始可與言《詩》已矣?！钡谌摰谒捻?，共44頁。中國邏輯傳統(tǒng)——推類推類例3：論語·述而》載:“子曰:‘不憤不啟,不悱不發(fā)。舉一隅而不以三隅反,則不復(fù)也’?！蓖祁惱?：《周易·說卦》有:“乾為天,為圓,為君,為父,為玉,為金,為寒,為冰,為大赤,為良馬,為老馬,為瘠馬,為駁馬,為木果?！薄吨芤住ふf卦》有“坤為地,為母,為臣,為釜,為吝嗇,為均,為子母牛,為大興,為文,為眾,為柄,其于地也為黑?！钡谒捻摰谖屙摚?4頁。中國邏輯傳統(tǒng)——推類推類例5：墨經(jīng)《小取》:(1)白馬,馬也;乘白馬,乘馬也;獲,人也;愛獲,愛人也。(2)白馬,馬也;乘白馬,乘馬也;盜人,人也;愛盜,愛人也。推類例6：《唐律疏議》對“舉重以明輕”的解釋：“依《賊盜律》：夜無故入人家，主人登時殺之，勿論。假有折傷，灼然不坐”。推類——依照類的同、異關(guān)系進行的推論被稱為“推類”第五頁第六頁，共44頁。第四章數(shù)學(xué)文化中的思維與方法※演繹推理

※歸納推理

※類比推理

※統(tǒng)計推理第六頁第七頁，共44頁。演繹推理★推理模式:

一般特殊★世界上第一個演繹體系

——歐幾里得《幾何原本》

●柏拉圖——

“理念世界”

▲亞里斯多德——

“三段論”第七頁第八頁，共44頁。演繹推理★公理化思想對人類思維的影響

愛因斯坦：一切科學(xué)的偉大目標(biāo)，即要從盡可能少的假說或者公理出發(fā)，通過邏輯的演繹，概括盡可能多的經(jīng)驗事實。

歐幾里得的《幾何原本》、牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》、馬克思的《資本論》、杰文斯的《政治經(jīng)濟學(xué)原理》、瓦爾拉斯的《純粹經(jīng)濟學(xué)要義》、斯賓諾沙的《論理學(xué)》、洛克的《人類理性論》、貝可萊的《人類知識原理》、休謨的《人性論》和《人類的理解研究》、邊沁的《道德與立法原理理論》、穆勒的《人性分析》等。第八頁第九頁，共44頁。演繹推理★公理化思想對人類思維的影響西爾伯特：“的確，不管在哪個領(lǐng)域，對于任何嚴正的研究精神來說，公理化方法都是并且始終是一個合適的不可或缺的助手；它在邏輯上是無懈可擊的，同時也是富有成果的；因此它保證了研究的完全自由。在這個意義上，用公理化進行研究就等于用已掌握了的東西進行思考。早年沒有公理化方法的時候，人們只能素樸地把某些關(guān)系作為信條來遵守，公理化的研究方法則可去掉這種素樸性而使信仰得到利益》”第九頁第十頁，共44頁。《幾何原本》的公理體系五個公設(shè)：1.過相異兩點，能作且只能作一直線（直線公理）。

2.線段(有限直線)可以任意地延長。

3.以任一點為圓心、任意長為半徑，可作一圓(圓公理)。

4.凡是直角都相等(角公理)。

5.兩直線被第三條直線所截，如果同側(cè)兩內(nèi)角和小於兩個直角，則兩直線作延長時在此側(cè)會相交。第十頁第十一頁，共44頁?！稁缀卧尽返墓眢w系五個公理：1.跟同一個量相等的兩個量相等；即若a=c且b=c，則a=b（等量代換公理）。2.等量加等量，其和相等；即若a=b且c=d，則a+c=b+d（等量加法公理）。3.等量減等量，其差相等；即若a=b且c=d，則a-c=b-d（等量減法公理）。4.完全疊合的兩個圖形是全等的（移形疊合公理）。5.全量大於分量，即a+b>a（全量大於分量公理）。第十一頁第十二頁，共44頁。《自然科學(xué)的數(shù)學(xué)原理》的公理化展開模式8個定義：物質(zhì)的量，運動的量，物體固有的力，外力，向心力，向心力的絕對度量，問心力的加速度，問心力的運動度量。公理（3條）：1°牛頓第一定律：每個物體都保持其靜止或勻速直線運動的狀態(tài)，除非有外力作用于它迫使改變那個狀態(tài)。2°牛頓第二定律：運動的變化正比于外力，變化的方向沿外力作用的直線方向。3°牛頓第三定律：每一種作用都有一個相等的反作用，或者兩個物體間的相互作用總是相等的而且指向相反。第十二頁第十三頁，共44頁。六個基本定理：l．力的平行四邊形法則：二力共同作用于一物體時，此物體沿二力組成的平行四邊形的對角線運動；運動所需的時間與它分別受到這兩個力作用時沿平行四邊形兩邊運動的時間相同。2．力的三角形法則：沿AD的力可由沿AB的力與沿BD的力合成；同樣沿AD的力也可分解為兩個任意的沿AB的力與沿BD的力。3．運動（動量）守恒，即在物體互相碰撞時，各方向運動（動量）的總和不變。第十三頁第十四頁，共44頁。4．二物體或多物體體系的公共重心，在無外力作用時，保持靜止或勻速直線運動，而不以體系內(nèi)的物體的作用而改變其狀態(tài)。5．當(dāng)某空間靜止或勻速直線運動時，該空間內(nèi)所有物體的運動不受影響。6．不管物體之間以任何方式運動，如果有相等的加速力以平行的方向?qū)χl(fā)生作用，則物體之間仍繼續(xù)以相同的方式運動著，就像沒有受到這個力的作用一樣。全書共88個定理。第十四頁第十五頁，共44頁?！锕砘枷雽θ祟愃季S的影響《獨立宣言》

美國1776年

▲在人類歷史事件的進程中，當(dāng)一個民族必須解除其與另一個民族之間迄今所存在著的政治聯(lián)系，而在世界列國之中取得“自然法則”和“自然神明”所規(guī)定給他們的獨立與平等的地位時，就有一種真誠的尊重人類公意的心理，要求他們一定要把那些迫使他們不得已而獨立的原因宣布出來。

第十五頁第十六頁，共44頁?！丢毩⑿浴?/p>

美國1776年▲我們堅信這些不言而喻的真理：人人生而平等，他們都從他們的“造物主”那里被賦予了某些不可轉(zhuǎn)讓的權(quán)利，其中包括生命權(quán)、自由權(quán)和追求幸福的權(quán)利。為了保障這些權(quán)利，所以才在人們中間成立政府。而政府的正當(dāng)權(quán)利，系得自被統(tǒng)治者的同意。如果遇有任何一種形式的政府變成是損害這些目的的，那么，人民就有權(quán)利來改變它或廢除它，以建立新的政府。這新的政府，必須是建立在這樣的原則的基礎(chǔ)上，并且是按照這樣的方式來組織它的權(quán)力機關(guān)，庶幾就人民看來那是能夠促進他們的安全和幸福的。第十六頁第十七頁，共44頁?！丢毩⑿浴返墓砘归_模式公理：人人生而平等：生命權(quán)、自由權(quán)和追求幸福的權(quán)利。定理：（1）為了保障這些權(quán)利，人民才組織成立政府，政府由人民同意后、取得正當(dāng)?shù)臋?quán)利。（2）任何政府一旦損害這些權(quán)利，人們就有權(quán)改換它或廢除它，建立新政府。（3）新政府所根據(jù)的原則及其組織權(quán)力的方式，務(wù)必使人民認為，唯有這樣才最有可能保障他們的安全與幸福。第十七頁第十八頁，共44頁。儒家文化的公理化模式

——三綱五常君為臣綱──君臣義父為子綱──父子親夫為妻綱──夫妻順【仁】──親也。對人寬厚有愛心【義】──事之宜也。為人正派，愛憎分明【禮】──理也。待人彬彬有禮，行為端莊【智】──智慧也。處事果斷周密【信】──誠信也。做人誠實穩(wěn)重講信譽第十八頁第十九頁，共44頁。邏輯推理的力量

◎有這樣一個故事，國王有三個聰明的大臣，國王想知道他們?nèi)齻€人中誰更聰明。有一天，國王拿來三頂小白帽和兩頂小黑帽，讓大臣們看過之后閉上眼睛，國王給他們每個人都戴了一頂小帽，待大臣們睜開眼睛后，國王要三個大臣猜自己戴的是黑帽子，還是白帽子？當(dāng)國王第一次問大臣們時，無人回答；當(dāng)?shù)诙螌枙r，還是沒人回答，但當(dāng)國王剛要第三次尋問時，三個大臣卻異口同聲地答道：“我戴的是白色的帽子?！蹦忝靼灼渲械牡览韱?？第十九頁第二十頁，共44頁。邏輯推理的力量

◎人類對“無窮”的認識

★在我國戰(zhàn)國時期的《莊子·天下篇》中有這樣一句著名的話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！?/p>

★伽利略：“部分=整體”

1491625……12345…n…n2第二十頁第二十一頁，共44頁。◎人類對“無窮”的認識

★康托兒：自然數(shù)的個數(shù)=有理數(shù)的個數(shù)線段上的點的個數(shù)=直線上的點的個數(shù)

=平面上的點的個數(shù)=宇宙中的點的個數(shù)1/12/13/14/15/16/1…1/22/23/24/25/26/2…1/32/33/34/35/36/3…1/42/43/44/45/46/4…1/52/53/54/55/56/5…1/62/63/64/65/66/6……………………第二十一頁第二十二頁，共44頁。邏輯推理的困惑——數(shù)學(xué)悖論☆畢達哥拉斯悖論：√2不能用整數(shù)來表示☆芝諾悖論：阿基里斯（善跑的神）追不上烏龜☆羅素悖論：“宇宙不存在”：

若U=宇宙=｛物質(zhì)｝，則U∈U？集合悖論：若U=｛AA∈A｝，U∈U？理發(fā)師悖論：約定：理發(fā)師只給那些不給自己刮胡子的人刮胡子；問，理發(fā)師該不該給自己刮胡子？第二十二頁第二十三頁，共44頁。邏輯推理的困惑——數(shù)學(xué)悖論☆歌德爾的不完備性定理歌德爾第一定理：對于包含自然數(shù)系的任何相容的形式體系F，存在F中的不可判定的命題；即存在F中的命題S，使得S和非S都不是在F中可證的。歌德爾第二定理：對于包含自然數(shù)系的任何相容的形式體系F，F(xiàn)的相容性不能在F中被證明。第二十三頁第二十四頁，共44頁。邏輯與操作●在12個顏色與大小都一樣的乒乓球中有且只有一個次品，用一架沒有砝碼的天平，至少秤幾次才能將那個不合格的乒乓球找出來？●老虎過河

一天，有三對虎母子要通過一條河流，條件是：①有一只船，每次最多只能坐兩只老虎（不論大小）；②每一只老虎均會劃船；③只要小老虎不在媽媽身邊時，就回被身邊其它的虎媽媽吃掉。

問，這三對老虎如何利用這條船，才能安全地渡過這條河？第二十四頁第二十五頁，共44頁。歸納推理★推理模式:

特殊一般★歸納推理的特點：

合情性猜測性超越性第二十五頁第二十六頁，共44頁。歸納推理歸納法的分類：

不完全歸納法猜想歸納法完全歸納法真理

數(shù)學(xué)歸納法證明第二十六頁第二十七頁，共44頁。歸納的魅力●已知12=3×41122=33×34111222=333×334

………………●已知

37×3=11137×6=22237×9=33337×12=444

…以上兩例，你能延續(xù)下去嗎？第二十七頁第二十八頁，共44頁。歸納的魅力●已知

1=1………3+5=8………7+9+11=27………13+15+17+19=64………21+23+25+27+29=125………

……………………你能寫出第6個，第7個等式嗎？一般式呢？1323334353第二十八頁第二十九頁，共44頁。哥德巴赫猜想☆起源

德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫在1742年6月7日致大數(shù)學(xué)家歐拉的信中說：“看起來至少好像每個大于5的奇數(shù)是三個素數(shù)的和?！睔W拉在當(dāng)年6月30日的回信中說：“雖然我不能證明，但我肯定每個大于2的偶數(shù)是兩個素數(shù)之和?！薄绲掳秃詹孪?。

第二十九頁第三十頁，共44頁。哥德巴赫猜想☆發(fā)現(xiàn)過程

4=2+26=3+38=3+510=3+7=5+5

……………由此可以推測：任何一個大于2的偶數(shù)都等于兩個素數(shù)之和

第三十頁第三十一頁，共44頁。哥德巴赫猜想☆證明歷程1920年挪威數(shù)學(xué)家布朗證明了（9+9）；1924年德國數(shù)學(xué)家拉德馬哈爾證明了（7+7）；1932年英國數(shù)學(xué)家麥斯特曼證明了（6+6）；1938年前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家布赫斯塔勃證明了（5+5），1940年又證明了（4+4）；1956年前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉托夫證明了（3+3）；（陳景潤挑戰(zhàn)的對象）1957年中國數(shù)學(xué)家王元證明了（2+3）；1948年匈亞利數(shù)學(xué)家蘭恩依證明了（1+6）；1962年中國數(shù)學(xué)家潘承洞證明了（1+5），后又與王元共同證明了（1+4）；1965年布赫斯塔勃，維諾格拉托夫與意大利的龐皮艾黎都證明了（1+3）；1966年中國數(shù)學(xué)家陳景潤證明了（1+2）。

第三十一頁第三十二頁，共44頁?！昂汀?“積”2個數(shù)2+2=2×23個數(shù)

1+2+3=1×2×34個數(shù)？+1+2+4=？×1×2×45個數(shù)？+？+1+2+5=？×？×1×2×5

……………………n個數(shù)呢？結(jié)論：若n個自然數(shù)的和等于它們的積，則這n個自然數(shù)只能是（1，1，…，2，n）第三十二頁第三十三頁，共44頁。倒霉的費馬數(shù)費馬數(shù)：★費馬素數(shù)：

=3，=5，=17，=257，

=65537★1732年歐拉證明：=641×6700417★1880年路加（法）證明：=274177×67280421310721★1971年莫利遜，1981年勃蘭特分別證明了與是合數(shù)，1980年與1984年開勒分別證明了與是合數(shù)。★現(xiàn)在，仍不能確定，，是否為素數(shù)?！锿茰y：費馬素數(shù)只有上述五個。

FnF0F1F2F3F4F5F6F7F8F9448F23471F22F24F28第三十三頁第三十四頁，共44頁。數(shù)學(xué)黑洞●任意寫出一個自然數(shù)N，并按照下列規(guī)則進行變換：

①如果N是一個奇數(shù)，則下一步將其變?yōu)?N+1；②如果N是一個偶數(shù)，則下一步將其變?yōu)镹/2。結(jié)果：不論你寫出多么大的自然數(shù)，最后必然會落到谷底1，或者說落如底部的4—2—1循環(huán)，而永遠跳不出這個小圈子。

雅號：冰雹猜想，角谷猜想，西方寶樹聞?wù)f道/西方寶樹喚婆娑/上結(jié)著/長生果。

——《紅樓夢·