第6章 線(xiàn)性變換和特征值

第六章線(xiàn)性變換和特征值6.1n維空間的線(xiàn)性變換6.2方陣的特征值和特征向量6.3相似矩陣與矩陣的對(duì)角化6.4實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化6.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形6.6奇異值分解簡(jiǎn)介6.7應(yīng)用實(shí)例6.8習(xí)題6.1n維空間的線(xiàn)性變換定義6.1設(shè)X,Y是兩個(gè)非空集合。若對(duì)于X中的任一元素x,按照一定的對(duì)應(yīng)法則T，總有Y中一個(gè)確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)T為從集合X到集合Y的映射，記為或，稱(chēng)y是X在映射T下的像，x是y在映射T下的源,X稱(chēng)為映射T的源集，像的全體所構(gòu)成的集合稱(chēng)為像集，記作。定義6.2設(shè)是實(shí)數(shù)域上的向量空間，T是一個(gè)從到的映射，若映射T滿(mǎn)足

1)2)則稱(chēng)T為從到的線(xiàn)性映射，或稱(chēng)線(xiàn)性變換。線(xiàn)性映射就是保持線(xiàn)性組合的映射。例6.1試證所有矩陣相乘的關(guān)系式即都是的線(xiàn)性映射。證：利用矩陣的數(shù)乘及乘法運(yùn)算，是的映射。顯然有及即T是的線(xiàn)性映射。例6.2向量空間V中的恒等變換是線(xiàn)性變換。

證明：設(shè)，則有所以恒等變換E是線(xiàn)性變換。6.2方陣的特征值和特征向量6.2.1特征值和特征向量的定義和計(jì)算定義6.3設(shè)是階方陣，若存在數(shù)和維非零列向量，使得

（6-1）成立，則稱(chēng)數(shù)為方陣A的特征值，稱(chēng)非零向量為方陣A對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。將（6-1）式變形為(或)（6-2）

滿(mǎn)足這個(gè)方程的和就是我們要求的特征值和特征向量。（6-2）式是含個(gè)方程的元齊次線(xiàn)性方程組，它有非零解的充要條件是

（6-3)

記作（6-4）

稱(chēng)為方陣A的特征多項(xiàng)式，方程稱(chēng)為方陣A的特征方程，特征值即為特征方程的根。由于是的次多項(xiàng)式，所以方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）。矩陣A的特征值和特征向量的計(jì)算步驟：

第一步：求特征值。先通過(guò)行列式（6-4）的計(jì)算，寫(xiě)出其特征多項(xiàng)式，這一步的難度是計(jì)算一個(gè)高階的矩陣的行列式，需要很大的計(jì)算工作量；

第二步：并進(jìn)行因式分解然后求出特征方程的全部根這就是A的所有特征值；

第三步：把每個(gè)特征值分別代入方程，求齊次線(xiàn)性方程組的非零解，它就是A對(duì)應(yīng)于特征值的一個(gè)特征向量（不是惟一的）。例6.4求矩陣的特征值和特征向量。

解：A的特征多項(xiàng)式所以A的全部特征值為對(duì)于特征值解齊次線(xiàn)性方程組，即可得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系所以都不為零）是A對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量。對(duì)于特征值，解齊次線(xiàn)性方程組，得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系，所以是A對(duì)應(yīng)于特征值8的全部特征向量。6.2.2方陣的特征值和特征向量的性質(zhì)

性質(zhì)1階矩陣A與其轉(zhuǎn)置矩陣有相同的特征值。性質(zhì)2設(shè)是矩陣A的個(gè)特征值，則1)2)稱(chēng)為矩陣A的跡，記為性質(zhì)3設(shè)為方陣A的特征值，則1）當(dāng)A可逆時(shí)，是的特征值2）是A的伴隨矩陣的特征值3）是的特征值；進(jìn)而有矩陣A的次多項(xiàng)式的特征值為例6.5設(shè)矩陣1)求及的特征值；2)進(jìn)一步求矩陣的特征值。

解：

1）由A的特征方程可得A的全部特征值為1，2，-1。的特征值為，即-2,13,-8。2）

解法1：先計(jì)算，令，求出特征方程的根即可。

解法2：因?yàn)樗訟可逆，為對(duì)應(yīng)于A的特征值的特征向量，則又

所以

從而矩陣的特征值為，即定理6.1設(shè)為方陣A的互不相同的特征值，分別為對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，則線(xiàn)性無(wú)關(guān)。推論矩陣A的個(gè)互不相同特征值所對(duì)應(yīng)的組各自線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量并在一起仍是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的。6.2.3特征值和特征向量的MATLAB求法MATLAB提供了計(jì)算方陣的特征值和特征向量各步驟的函數(shù)。這三個(gè)步驟是：（1）用f=poly(A)可以計(jì)算方陣A的特征多項(xiàng)式系數(shù)向量f；（2）用lamda=roots(f)可以求特征多項(xiàng)式f的全部根lamda（表示為列向量）；（3）用函數(shù)p=null([lamda*I-A])直接給出基礎(chǔ)解p,將n個(gè)特征列向量p排在一起，就是的特征向量矩陣。取例6.4為典型，解題的程序ea604為A=[3,2,4;2,0,2;4,2,3];f=poly(A), r=roots(f),r=real(r)B1=r(1)*eye(3)-A;B1=rref(B1,1e-12),p1=null(B1,‘r’)B2=r(2)*eye(3)-A;p2=null(B2,‘r’)B3=r(3)*eye(3)-A;p3=null(B3,‘r’)程序運(yùn)行的結(jié)果為：f=1.0000-6.0000-15.0000-8.0000(特征多項(xiàng)式系數(shù)向量)

r=8.0000(三個(gè)特征根即特征值,后兩個(gè)是重根)

-1.0000+0.0000i (微小虛數(shù)可用r=real(r）去除)

-1.0000-0.0000i實(shí)際上MATLAB已經(jīng)把求特征根和特征向量的步驟集成化，其中也包括了處理計(jì)算誤差的功能，所以一條命令就解決問(wèn)題了。這個(gè)功能強(qiáng)大的子程序名為eig(特征值英文是eigenvalue,特征向量英文是eigenvector)，調(diào)用的形式是：[p,lamda]=eig(A)輸出變?cè)械膌amda是特征值，p是特征向量。把例6.4的系數(shù)矩陣A代入，即可得到：6.3相似矩陣與矩陣的對(duì)角化定義6.4設(shè)A和B是階方陣，若存在可逆矩陣P，使得，則稱(chēng)矩陣A與B相似，把A變成的變換稱(chēng)為相似變換，可逆矩陣P被稱(chēng)為把A變成B的相似變換矩陣。相似矩陣具有以下性質(zhì)。設(shè)矩陣A與B相似1)2)3)A與B的跡相同4)若A可逆，則B必可逆，且也相似定理6.2設(shè)矩陣A與B相似，則它們的特征多項(xiàng)式相同，從而有相同的特征值.推論若階方陣A與對(duì)角矩陣相似，則是矩陣A的全部特征值。此時(shí)，必存在可逆矩陣P，使得，稱(chēng)為把矩陣A對(duì)角化，也稱(chēng)矩陣A可對(duì)角化。定理6.3階方陣A可對(duì)角化的充分必要條件A是有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量。證明：

必要性設(shè)階方陣A可對(duì)角化，則存在可逆矩陣使，從而即于是有，所以是方陣A的特征值，是對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。由于矩陣P可逆，det(P)

0，必線(xiàn)性無(wú)關(guān)。充分性設(shè)是A的個(gè)特征值，是與之對(duì)應(yīng)的個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，令，則有即所以方陣A可對(duì)角化。推論若階方陣A的特征值互不相同，則方陣A一定可對(duì)角化。例6.7判斷矩陣能否對(duì)角化？解：由得A的特征值為求得對(duì)應(yīng)的特征向量，再求對(duì)應(yīng)的特征向量。把作行階梯變換，得到相當(dāng)于方程組它只有一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量,即A總共只有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，所以A不能對(duì)角化。用MATLAB解此題時(shí)，要檢驗(yàn)特征向量組的秩，判斷獨(dú)立的特征向量數(shù)。故程序如下：A=[-1,1,0;-4,3,0;1,0,2],[p,lamda]=eig(A),rp=rank(p)運(yùn)行的結(jié)果是：由于特征向量組的秩為2，說(shuō)明只有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，因此不能對(duì)角化。6.4實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化定理6.4實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值必為實(shí)數(shù)。定理6.5實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必正交。證明：

設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，是矩陣A對(duì)應(yīng)的特征向量，即因?yàn)橛谑怯捎?，所以，即正交。定?.6設(shè)A為n階對(duì)稱(chēng)矩陣，則存在正交矩陣P，使得這里是以A的n個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣。推論1設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，是A的重特征值，則A必有個(gè)對(duì)應(yīng)于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.推論2實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定可對(duì)角化.推論3n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A，存在n個(gè)正交單位特征向量。n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化的步驟第一步：解特征方程，求出A的全部互不相等的特征值它們的重?cái)?shù)依次為

第二步：求出矩陣A的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，得到個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量；第三步：將每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量正交化、單位化，這樣得到n個(gè)兩兩正交的單位特征向量；第四步：令，P是正交矩陣，使得。必須注意：中對(duì)角元素的排列次序與P中列向量的排列次序要一致。例6.10設(shè)解：

當(dāng)時(shí)，，即解得單位特征向量可取為解得為任意常數(shù)?；A(chǔ)解系中的兩個(gè)向量恰好正交,只需單位化,可得兩個(gè)單位正交的特征向量從而得到正交矩陣有本例用MATLAB解時(shí)的程序?yàn)椋篈=[4,0,0;0,3,1;0,1,3];[p,lamda]=eig(A)程序運(yùn)行的結(jié)果與筆算的相同，為：

6.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形

6.5.1二次型的概念

定義6.5含有n個(gè)變量的二次齊次函數(shù)：

(6-10)稱(chēng)為n元二次型，簡(jiǎn)稱(chēng)二次型。為實(shí)數(shù)時(shí)，稱(chēng)為實(shí)二次型；為復(fù)數(shù)時(shí)，稱(chēng)為復(fù)二次型。本章書(shū)僅討論實(shí)二次型。令，則二次型（6.10）可寫(xiě)成用矩陣形式表示為（6-11）其中例6.13寫(xiě)出下列二次型的矩陣

解：由已知的二次型系數(shù)，得矩陣元素為：

故得的矩陣為6.5.2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形及慣性定理

定義6.6若秩為r的二次型通過(guò)可逆線(xiàn)性變換x=Cy可化為只含平方項(xiàng)的二次型，即

(6-12)那么，此二次型稱(chēng)為的標(biāo)準(zhǔn)形，標(biāo)準(zhǔn)形中所含平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)等于二次型的秩.例6.15設(shè)二次型

分別作下列二個(gè)可逆線(xiàn)性變換，求新二次型.1)=2)解：

1）將線(xiàn)性關(guān)系直接代入并化簡(jiǎn)、整理

2）由于因此，此例表明：二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的。*實(shí)二次型的規(guī)范形的定義：對(duì)秩為r的實(shí)系數(shù)二次型，設(shè)它通過(guò)可逆線(xiàn)性變換x=Cy化為下面的標(biāo)準(zhǔn)形：其中()>0，若再作如下的可逆變換：

則上面的標(biāo)準(zhǔn)形可進(jìn)一步化為如下的形式：這個(gè)二次型稱(chēng)為實(shí)二次型的規(guī)范形，顯然它是唯一的.定理6.7（慣性定理）設(shè)秩為r的實(shí)二次型，通過(guò)可逆線(xiàn)性變換，可化為如下的標(biāo)準(zhǔn)形：其中>0()，則數(shù)p稱(chēng)為實(shí)二次型的正慣性指數(shù)，q=r-p稱(chēng)為負(fù)慣性指數(shù).慣性定理是指：實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中正系數(shù)的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是唯一確定的，它等于正慣性指數(shù)，而系數(shù)為負(fù)的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)也是唯一確定的，它就等于負(fù)慣性指數(shù)。6.5.3化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法

1）正交變換法

正交變換法的具體步驟與求特征值和特征向量相仿第一步：寫(xiě)出二次型的矩陣A,并由特征方程求出全部互不相同特征值第二步：求出A的對(duì)應(yīng)于的特征向量，即求齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系。如果某些是重根，則將其對(duì)應(yīng)的特征向量正交化、單位化。這樣便可得到n個(gè)兩兩正交的單位特征向量第三步：令，則P是正交矩陣，二次型通過(guò)正交變換x=Py化為標(biāo)準(zhǔn)形上述步驟也可用eig函數(shù)來(lái)完成。其調(diào)用格式為： [P,lamda]=eig(A)P和lam