立體幾何定理總復(fù)習(xí)

第二章點(diǎn)、線、平面之間的位置關(guān)系異面直線的定義不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線特點(diǎn)：既不平行也不相交異面直線所成的角b'a'αbao取值范圍3、空間線面的位置關(guān)系：lllA線在面內(nèi)線面相交線面平行線在面外4、空間兩平面的位置關(guān)系：αβ5、判斷點(diǎn)在線上的方法有：如果點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，直線是兩個(gè)平面的交線，則點(diǎn)在線上；BAP6、判斷線在面內(nèi)的方法有：1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)；2如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)且垂直于第二個(gè)平面的直線，必在第一個(gè)平面內(nèi)CβαPBPC7、確定平面或證點(diǎn)線共面的方法有：1過不共線三點(diǎn)；2過直線和直線外一點(diǎn)；3過兩條相交直線；4過兩條平行直線注：確定相當(dāng)于有且只有一個(gè)A．．．ABC8、判斷線線平行的方法有：2平行的傳遞性：平行于同一條直線的兩直線平行bac1在同一個(gè)平面不相交的兩條直線平行ab8、判斷線線平行的方法有：3線面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行αabβ符號(hào)語言8、判斷線線平行的方法有：4面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行abαβγ符號(hào)語言5線面垂直的性質(zhì)定理:垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行8、判斷線線平行的方法有：符號(hào)語言abα9、判斷線面平行的方法有：2判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行ab1定義法：若直線與平面沒有公共點(diǎn)符號(hào)語言9、判斷線面平行的方法有：3如果兩個(gè)平面平行，則在一個(gè)平面的任意一條直線都與另一個(gè)平面平行aαβ符號(hào)語言10、判斷面面平行的方法有：2判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行1定義：如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)abαβP符號(hào)語言10、判斷面面平行的方法有：3推論：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個(gè)平面平行αβab10、判斷面面平行的方法有：4平行的傳遞性：平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行符號(hào)語言10、判斷面面平行的方法有：5垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行βαl如何作直線和平面所成的角：αPAB直線與平面所成的角的取值范圍是11、判斷線線垂直的方法有：1若為兩條異面直線，則需判斷其所成的角為直角αba11、判斷線線垂直的方法有：2一條直線垂直于一個(gè)平面，則它和平面內(nèi)任意一條直線都垂直lm3三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直11、判斷線線垂直的方法有：逆斜線斜線的射影αOAP12、判斷線面垂直的方法有：1定義法：如果一條直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則稱這條直線與這個(gè)平面垂直12、判斷線面垂直的方法有：2判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直αmlPn符號(hào)語言12、判斷線面垂直的方法有：3兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面αab符號(hào)語言12、判斷線面垂直的方法有：4一條直線垂直兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則它也和另一個(gè)平面垂直βαl符號(hào)語言12、判斷線面垂直的方法有：5面面垂直的性質(zhì)定理:兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直αβlm符號(hào)語言12、判斷線面垂直的方法有：6如果兩個(gè)相交平面都垂直于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面的交線垂直于這個(gè)平面αβγl符號(hào)語言13、判斷面面垂直的方法有：1定義法：兩個(gè)相交平面所成的二面角是直二面角；lαβOAB二面角的平面角的取值范圍13、判斷面面垂直的方法有：2判定定理：一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直αβl符號(hào)語言空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)14、等角定理：人教A必修2第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系直線和直線的位置關(guān)系3種關(guān)系分類位置關(guān)系定義公共點(diǎn)共面直線相交直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)有公共點(diǎn)平行直線共面且沒有公共點(diǎn)異面直線異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)共面直線2個(gè)平面的位置關(guān)系3種關(guān)系位置關(guān)系定義公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)平面平行沒有公共點(diǎn)0個(gè)兩個(gè)平面相交有一條公共直線無數(shù)直線和平面的位置關(guān)系3種關(guān)系1、直線在平面α外，則二者的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A一個(gè)B至少一個(gè)C至多一個(gè)D無數(shù)個(gè)C練習(xí)2、兩條直線沒有公共點(diǎn)，則它們的關(guān)系是（）平行或異面線面平行線線平行面面平行判定1：如果平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線和這個(gè)平面平行。判定2：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這2個(gè)平面平行平行問題3種問題判定1判定2性質(zhì)1性質(zhì)2線面平行線線平行面面平行性質(zhì)1：如果直線a與平面α平行，若經(jīng)過a的平面β與α的交線為b，則a∥b性質(zhì)2：如果2個(gè)平面平行，則它們被第三個(gè)平面所截得的兩條交線平行平行問題3種問題判定1判定2性質(zhì)1性質(zhì)2如果平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線和這個(gè)平面平行。直線與平面平行的判定定理abα平行問題3種問題注意3個(gè)條件要寫全a線∥線的證明是關(guān)鍵！如何證明兩條直線平行？1利用三角形的中位線;3平行的傳遞性2利用平行四邊形；平行問題3種問題平行的傳遞性：a∥b，a∥c，則b∥c如何證明一個(gè)四邊形是平行四邊形？（1）一組對(duì)邊平行且相等；（2）兩組對(duì)邊分別平行平行問題3種問題四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E、F是所在側(cè)棱中點(diǎn)，求證：EF∥平面PAB證明：設(shè)，連接ME,MB,在△E平行且等于AD的一半，故ME平行且等于BF，故四邊形MEFB是平行四邊形，于是EF∥MB,又EF在平面B在平面PAB內(nèi)，故EF∥平面PAB平行問題3種問題典型例題1平行于同一平面的二直線的位置關(guān)系是）（A）一定平行（B）平行或相交（C）相交（D）平行，相交，異面D2判斷：直線a∥平面α，則直線a平行于α內(nèi)的任意直線錯(cuò)平行問題3種問題練習(xí)（A）平行（B）（C）（D）相交平行或相交平行或異面3、直線a//平面，那么直線a與平面內(nèi)直線b的位置關(guān)系是：平行問題3種問題ABCDEFGH4、空間四邊形ABCD中E，F(xiàn)，G，H分別是各邊中點(diǎn)。則圖中與面EFGH平行的邊有（）條。（A）1（B）2（C）0（D）4B平行問題4種問題5、平行于同一平面的二直線的位置關(guān)系是（）（A）一定平行（B）平行或相交（C）相交（D）平行，相交，異面D平行問題4種問題6、點(diǎn)A是平面外的一點(diǎn)，過A和平面平行的直線有條。無數(shù)平行問題3種問題線線垂直線面垂直面面垂直性質(zhì)1判定2判定1：如果一條直線與平面內(nèi)的2條相交直線垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直判定2：如果一個(gè)平面內(nèi)經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，則這2個(gè)平面垂直性質(zhì)2垂直問題3種問題判定1線線垂直線面垂直面面垂直性質(zhì)1判定2性質(zhì)1：如果兩條直線都與一個(gè)平面垂直，則這兩條直線平行性質(zhì)2：如果兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)與交線垂直的直線垂直于另一個(gè)平面性質(zhì)2垂直問題3種問題判定1直線與平面垂直的判定定理如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則直線與平面垂直。n,m,m與n相交，lm,ln,l1、如果直線和平面垂直，則直線垂直面內(nèi)的任意直線L性質(zhì)定理2、如果兩條直線都和某平面垂直，則這兩直線平行垂直問題3種問題線線垂直平面幾何的方法立體幾何的方法1、勾股定理2、等腰（邊）三角形底邊上的中線與底邊垂直3、正（長(zhǎng)）方形的特點(diǎn)兩條平行線中的一條與某直線，則另一條也垂直于該直線直線a與平面α垂直，則a垂直于α內(nèi)的任意直線）4、直徑對(duì)的圓周角為90度垂直問題3種問題（1）l,mlm（2）n,m,lm,ln,l（3）l,mlm（4）l//m,lm

//

判斷對(duì)錯(cuò)對(duì)對(duì)垂直問題3種問題如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直ABDC兩個(gè)平面垂直的判定定理αβABβABαβ垂直問題3種問題線⊥面得到面⊥面在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求證：ABCDA1B1C1D1垂直問題3種問題典型例題證明：因?yàn)槭钦襟w，所以AC⊥BD，又AA1⊥平面ABCD，故AA1⊥BD，因?yàn)锳C∩BD=O,所以BD⊥平面ACC1A1故命題得證O四邊形ABCD是平行四邊形，直線SC⊥平面ABCD，E是SA的中點(diǎn)，求證：平面EBD⊥平面ABCD證明：連接AC，BD，交點(diǎn)為F，連接EF，EF是△SAC的中位線，∴EF//SC直線EF⊥平面ABCD直線EF在平面EBD內(nèi)故平面EBD⊥平面ABCD垂直問題3種問題（1）兩條異面直線成的角將兩條異面直線平移為相交直線，所成的不大于90°的角即為二者所成的角ab（1）作，作出所求的角；（2）證明該角是所求；（3）在三角形中計(jì)算該角的大小或用余弦定理計(jì)算余弦；若異面直線a，b成的角為直角，則稱a垂直b，記為a⊥b成角問題3種問題在求解異面直線所成的角時(shí)有時(shí)需要用到余弦定理△ABC中，abcC成角問題3種問題例：如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，異面直線AC與BC1所成角的大小是（）．A．30°B．45°C．60°D．90°解：在圖形中，將AC平行移動(dòng)到A1C1，再連接A1B，則△A1BC1是一個(gè)等邊三角形，A1C1與BC1所成的角為60°,所以AC與BC1所成角的大小也是60°，選C.成角問題3種問題（2）A1B1與CC1所成的角是多少度？例

正方形ABCD－A1B1C1D1．求：BB1∥CC1,所以∠A1BB1為所求，大小為45°BB1∥CC1,所以∠A1B1B為所求，大小為90°（3）A1B與B1C所成的角是多少度？A1B∥D1C,所以∠D1CB1為所求，易知△D1B1C為正三角形，故所求角大小為60°（1）A1B與CC1所成的角是多少度？成角問題3種問題2、四棱柱求異面直線A1B與AD1所成的角的余弦成角問題3種問題正方體中，E,M為所在棱中點(diǎn)，求AE與BM所成角的余弦成角問題3種問題（2）線面角---直線和平面所成的角

AB直線L是的斜線時(shí),作AB⊥α于B，直線L與平面α的交點(diǎn)是O∠AOB（銳角）即為與所成的角成角問題3種問題直線與平面所成角斜線與平面所成角注意:成角問題3種問題判斷①兩平行線和同一平面所成的角相等②兩條直線和同一平面所成的角相等，則這兩條直線是平行直線③一條直線和兩個(gè)平行平面所成的角相等√×√成角問題3種問題（1）A1B與平面ABCD所成的角在正方體中，求（2）A1B與平面BDD1B1所成的角∠A1BA=45°∠A1EB=30°E成角問題3種問題3、二面角成角問題3種問題成角問題3種