必修533二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題

二元一次不等式與平面區(qū)域Email:jtongmath@授課人：童繼稀【背景材料】一家銀行的信貸部計劃年初投入不超過2500萬元用于企業(yè)和個人貸款，希望這筆資金至少可帶來3萬元的收益，其中從企業(yè)貸款中獲益12%，從個人貸款中獲益10%因此，信貸部應(yīng)如何分配貸款資金就成為一個實際問題探究1:基本概念思考1:設(shè)用于企業(yè)貸款的資金為萬元，用于個人貸款的資金為y萬元，從貸款總額的角度分析有什么不等關(guān)系？用不等式如何表示？＋y≤2500思考2:從銀行收益的角度分析有什么不等關(guān)系？用不等式如何表示？12%＋10%y≥3,即6＋5y≥150思考3:考慮到用于企業(yè)和個人貸款的資金數(shù)額都不能是負(fù)值，、y還要滿足什么不等關(guān)系？≥0，y≥0思考4:根據(jù)上述分析，銀行信貸部分配資金應(yīng)滿足的條件是什么？思考5:不等式＋y≤2500與65y≥150叫什么名稱？其基本含義如何？二元一次不等式:含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式思考6:二元一次不等式的一般形式如何？怎樣理解二元一次不等式組？二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組一般形式:A＋By＋C≤0或A＋By＋C≥0思考7:集合{,y|＋y≤2500}的含義如何？滿足不等式＋y≤2500的所有有序?qū)崝?shù)對,y構(gòu)成的集合思考8:怎樣理解二元一次不等式組的解集滿足二元一次不等式（組）的和y的取值構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對,y,所有這樣的有序?qū)崝?shù)對,y構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式（組）的解集x＞ax＜a思考1:在平面直角坐標(biāo)系中，方程＝a表示一條直線，那么不等式＞a和＜a表示的圖形分別是什么？xyox=axyox=a探究2:特殊不等式與平面區(qū)域思考2：在平面直角坐標(biāo)系中，不等式y(tǒng)≥a和y≤a分別表示什么區(qū)域？y≥axyoy=ay≤axyoy=ay＞x思考3：在平面直角坐標(biāo)系中，不等式y(tǒng)＞和y＜分別表示什么區(qū)域？xyoy=xy＜xxyoy=x思考4:在平面直角坐標(biāo)系中,不等式y(tǒng)＞－和y＜－分別表示什么區(qū)域？y＞－xxyoy=－xy＜－xxyoy=－x思考1:若從一次函數(shù)的觀點看待方程－y－6＝0,你會在直角坐標(biāo)系中表示出－y－6＝0的解嗎？yO探究3:一般不等式與平面區(qū)域y=-6思考2：y=-6與y>-6的解集有什么關(guān)系y=-6yOP,y1－y－6＜0y1＞y0A(x,y0)思考3：y>-6的解集表示的圖形呢思考4：y<-6的解集表示的圖形呢思考5：不等式＋y－6＜0表示的平面區(qū)域是直線＋y－6＝0的左下方區(qū)域？還是右上方區(qū)域？你有什么簡單的判斷辦法嗎？x＋y－6＝0xyO＋y－6＜0思考6：不等式＋y－6＜0和不等式＋y－6＞0分別表示直線l：＋y－6＝0左下方的平面區(qū)域和右上方的平面區(qū)域，直線l叫做這兩個區(qū)域的邊界那么不等式＋y－6＜0和不等式＋y－6≤0表示的平面區(qū)域有什么不同？在圖形上如何區(qū)分？＋y－6＝0yO＋y－6＜0＋y－6＞0x＋y－6＜0xyO包括邊界的區(qū)域?qū)⑦吔绠嫵蓪嵕€，不包括邊界的區(qū)域?qū)⑦吔绠嫵商摼€x＋y－6≤0xyO4x－3y≤12例畫出下列不等式表示的平面區(qū)域1＋4y＜4；24－3y≤12x＋4y＜4xyOxyO143－4理論遷移＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點P，y，將其坐標(biāo)代入A＋By＋C所得值的符號都相同在幾何上，不等式A＋By＋C＞0（或＜0）表示半平面2畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域，常采用“直線定界，特殊點定域”的方法，當(dāng)邊界不過原點時，常把原點作為特殊點總結(jié)Thans!作業(yè)：P二元一次不等式組與平面區(qū)域Email:jtongmath@授課人：童繼稀x≤2yy＜－3x＋121y＜－3＋12;2≤2y嘗試:畫出下兩不等式表示的平面區(qū)域:xyoy＝－3x＋12xyox＝2y探究1:兩個不等式與平面區(qū)域確定邊界線虛實→畫邊界→取特殊點定區(qū)域xyOx－2y＝0思考1:不等式組表示的平面區(qū)域與上述兩個平面區(qū)域有何關(guān)系？3＋y－12＝0思考2：兩條相交直線y＝－3＋12和＝2y將坐標(biāo)平面分成4個角形區(qū)域，其余三個平面區(qū)域不含邊界用不等式組分別如何表示？3＋y－12＝0－2y＝0xyOOy－y＝0－y－1＝0例1畫出不等式表示的平面區(qū)域理論遷移1【背景材料】要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：321第二種鋼板112第一種鋼板C規(guī)格B規(guī)格A規(guī)格探究2:多個不等式與平面區(qū)域思考1:用第一種鋼板張，第二種鋼板y張，可截得A、B、C三種規(guī)格的小鋼板各多少塊？321第二種鋼板112第一種鋼板C規(guī)格B規(guī)格A規(guī)格A種:2＋y塊B種:＋2y塊C種:＋3y塊思考2：生產(chǎn)中需要A、B、C三種規(guī)格的成品分別15，18，27塊，那么、y應(yīng)滿足什么不等關(guān)系？用不等式如何表示？A種:2x＋y塊B種:x＋2y塊C種:x＋3y塊思考3：考慮到、y的實際意義，、y還應(yīng)滿足什么不等關(guān)系？思考4：按實際要求，、y應(yīng)滿足不等式組，如何畫出該不等式組表示的平面區(qū)域？2x＋y＝15x＋3y＝27x＋2y＝18Oxy例2一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t、硝酸鹽18t；生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t、、硝酸鹽66t，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)兩種混合肥料列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域理論遷移2xyO設(shè)，y分別為計劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車皮數(shù)，則6x＋5y＝224x＋y＝10相應(yīng)的平面區(qū)域如下圖:例3求不等式組表示的平面區(qū)域的面積xyOx＋y－2＝0x－y＋2＝0x＝2理論遷移31不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的交集，即各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分2不等式組表示的平面區(qū)域可能是一個多邊形，也可能是一個無界區(qū)域，還可能由幾個子區(qū)域合成若不等式組的解集為空集，則它不表示任何區(qū)域總結(jié)Thans!作業(yè):P86練習(xí)：4 P93習(xí)題33B組：1，2線性規(guī)劃的基本原理Email:jtongmath@授課人：童繼稀【背景材料】某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個A配件耗時1h；配件，每天工作時間按8h計算探究1:線性規(guī)劃的實例分析思考1：設(shè)每天分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品、y件，則該廠所有可能的日生產(chǎn)安排應(yīng)滿足的基本條件是什么？思考2：上述不等式組表示的平面區(qū)域是什么圖形？x＋2y＝8xOyy＝3x＝4思考3：圖中陰影區(qū)域內(nèi)任意一點的坐標(biāo)都代表一種生產(chǎn)安排嗎？陰影區(qū)域內(nèi)的整點（坐標(biāo)為整數(shù)的點）代表所有可能的日生產(chǎn)安排x＋2y＝8xOyy＝3x＝4思考4：若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的總利潤為萬元，那么與、y的關(guān)系是什么？＝2＋3y思考5：將＝2＋3y看作是直線l的方程，那么有什么幾何意義？直線l在y軸上的截距的三倍，或直線l在軸上的截距的二倍思考6：當(dāng)、y滿足上述不等式組時，直線l：的位置如何變化？經(jīng)過對應(yīng)的平面區(qū)域，并平行移動x＋2y＝8xOyy＝3x＝4思考7：從圖形來看，當(dāng)直線l運動到什么位置時，它在y軸上的截距取最大值？經(jīng)過點M（4，2）x＋2y＝8xOyy＝3x＝4M思考8：根據(jù)上述分析，工廠應(yīng)采用哪種生產(chǎn)安排才能使利潤最大？其最大利潤為多少？每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件，乙產(chǎn)品2件時，工廠可獲得最大利潤14萬元

M（4，2）x＋2y＝8xOyy＝3x＝4（1）線性約束條件：上述關(guān)于、y的一次解析式＝2＋y是關(guān)于變量、y的二元一次函數(shù)，是求最值的目標(biāo),稱為線性目標(biāo)函數(shù)．在上述問題中，不等式組是一組對變量、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于、y的一次不等式，稱為線性約束條件．（2）線性目標(biāo)函數(shù)：探究2:線性規(guī)劃的有關(guān)概念滿足線性約束條件的解（，y）叫做可行解（3）線性規(guī)劃問題：在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題．（4）可行解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫做最優(yōu)解．由所有可行解組成的集合叫做可行域．（5）可行域：（6）最優(yōu)解：，求的最大值和最小值=2－y，變量、y滿足下列條件yX0123456712345x-4y+3=03x+5y-25=0x=1理論遷移5yX012346712345x-4y+3=03x+5y-25=0x=12-y=0BAC最大值為8，最小值為.，求的最大值和最小值=2－y，變量、y滿足下列條件2x＋y＝0xOyy＝xx＋y＝2y＝3x－6、y滿足：求＝2＋y的最大值最優(yōu)解3,3,最大值9M1在線性約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值，是一種數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，它將目標(biāo)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為動直線在y軸上的截距的最值問題來解決：＝A＋By，若B＞0，則當(dāng)直線l在y軸上的截距最大小時，取最大小值；若B＜0，則當(dāng)直線l在y軸上的截距最大小時，取最小大值總結(jié)Thans!作業(yè)：P線性規(guī)劃的實際應(yīng)用Email:jtongmath@授課人：童繼稀【背景材料】營養(yǎng)學(xué)家指出，的碳水化合物，的蛋白質(zhì)，碳水化合物，蛋白質(zhì)，脂肪，花費28元；碳水化合物，蛋白質(zhì)，脂肪，花費21元探究1:營養(yǎng)配制問題思考1：背景材料中有較多的相關(guān)數(shù)據(jù)，你有什么辦法理順這些數(shù)據(jù)？0.070.140.105B0.140.070.105A脂肪/kg蛋白質(zhì)/kg碳水化合物/kg食物/kg思考2：設(shè)每天食用g食物A,yg食物B,問題中的約束條件用不等式組怎樣表示？思考3：設(shè)總花費為元,則目標(biāo)函數(shù)是什么？＝28＋21y思考4：為了滿足營養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時使花費最低，需要解決什么問題？在線性約束條件下,求目標(biāo)函數(shù)最小值思考5：作可行域，使目標(biāo)函數(shù)取最小值的最優(yōu)解是什么？目標(biāo)函數(shù)的最小值為多少？7x＋14y＝67x＋7y＝514x＋7y＝6Oxy最優(yōu)解，最小值16.28x＋21y=0A思考6：上述分析得出什么結(jié)論？每天食用食物A約143g，食物B約571g，不僅能夠滿足日常飲食要求，同時使花費最低，且最小花費為16元【背景材料】要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：321第二種鋼板112第一種鋼板C規(guī)格B規(guī)格A規(guī)格生產(chǎn)中需要A、B、C三種規(guī)格的成品分別15，18，27塊，問分別截這兩種鋼板各多少張，才能使所用鋼板張數(shù)最小？探究2:產(chǎn)品數(shù)量控制問題思考1：設(shè)用第一種鋼板張，第二種鋼板y張，則、y滿足的約束條件是什么？目標(biāo)函數(shù)是什么？約束條件：z＝x＋y.

目標(biāo)函數(shù)：在可行域內(nèi)取與點M最臨近的整點，并比較值的大小最優(yōu)解（3，9）和（4，8）思考2：作可行域，如何確定最優(yōu)解？xOyx＋3y＝27x＋2y＝18x＋y=0

2x＋y＝15M思考3：如何回答原來的問題？結(jié)論：截第一種鋼板3張，第二種鋼板9張，或截第一種鋼板4張，第二種鋼板8張，才能使所用鋼板張數(shù)最小，且兩種截法都至少要兩種鋼板12張最優(yōu)解：（3，9）和（4，8）z＝x＋y.

目標(biāo)函數(shù)：例一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t、硝酸鹽18t；生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t、、硝酸鹽66t若生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤