離散型隨機變量的數(shù)學期望

離散型隨機變量的數(shù)學期望復習引入1獨立重復試驗定義：一般地，在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗1、每次試驗是在同樣條件下進行；2、每次試驗都只有兩種結果:發(fā)生與不發(fā)生；3、各次試驗中的事件是相互獨立的；4、每次試驗,某事件發(fā)生的概率是相同的。注：獨立重復試驗的基本特征：1基本概念基本概念2、二項分布：一般地，在n次獨立重復試驗中，設事件A發(fā)生的次數(shù)為，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生次的概率為此時稱隨機變量服從二項分布，記作~Bn,p,并稱p為成功概率。51概率分布列一般地，假定隨機變量有n個不同的取值，它們分別是1,2,…,n且P=i=pi,（i=1,2,…,n）則稱為隨機變量的分布列，簡稱為的分布列Xx1x2…xnPP1,p2…pn此表叫概率分布列，表格表示1、某人射擊10次,所得環(huán)數(shù)分別是:1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？把環(huán)數(shù)看成隨機變量的概率分布列：X1234P互動探索一、離散型隨機變量取值的均值一般地，若離散型隨機變量的概率分布為：則稱為隨機變量的均值或數(shù)學期望?！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁに从沉穗x散型隨機變量取值的平均水平。試問哪個射手技術較好例1誰的技術比較好乙射手甲射手解故甲射手的技術比較好3．2011·福建福州質檢已知某一隨機變量ξ的概率分布列如下，且Eξ＝63，則a的值為A5 B．6C．7 D．8解析：由分布列性質知：05＋01＋b＝1，∴b＝04∴Eξ＝4×05＋a×01＋9×04＝63∴a＝答案：Cξ4a9P0.50.1b類型一求離散型隨機變量的期望解題準備：求離散型隨機變量的期望，一般分兩個步驟：①列出離散型隨機變量的分布列；②利用公式Eξ＝1p1＋2p2＋…＋ipi＋…，求出期望值．【典例1】2011·福州市高中畢業(yè)班綜合測試卷口袋里裝有大小相同的卡片八張，其中三張標有數(shù)字1，三張標有數(shù)字2，兩張標有數(shù)字3，第一次從口袋里任意抽取一張，放回口袋后第二次再任意抽取一張，記第一次與第二次取到卡片上數(shù)字之和為ξ1ξ為何值時，其發(fā)生的概率最大？說明理由．2求隨機變量ξ的期望Eξ本題主要考查某事件發(fā)生概率的求法，以及離散型隨機變量分布列的數(shù)學期望的求法．問題1，對ξ的取值做到不重不漏，這是學生容易出錯的地方．利用好計數(shù)原理和排列、組合數(shù)公式，求事件發(fā)生的概率，問題2比較容易，用好離散型隨機變量分布列的數(shù)學期望公式即可．（廣東卷17）

隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設1件產(chǎn)品的利潤（單位：萬元）為．

（1）求的分布列；

（2）求1件產(chǎn)品的平均利潤（即的數(shù)學期望）；

（3）經(jīng)技術革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%．如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于473萬元，則三等品率最多是多少？高考鏈接：【解析】（1）的所有可能取值有6，2，1，-2；，，,

故的分布列為：0.020.10.250.63P-2126X（2）（3）設技術革新后的三等品率為x，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為依題意，，即，解得所以三等品率最多為3%設Y＝a＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機變量．（1）Y的分布列是什么？（2）EY=？思考：···························Y＝a＋b一、離散型隨機變量取值的均值············二、隨機變量數(shù)學期望的性質（線性性質）即時訓練：1、隨機變量的分布列是X135P0.50.30.21則E=2、隨機變量ξ的分布列是242若Y=21，則EY=58ξ47910P0.3ab0.2E（ξ）=75,則a=b=0401例1：已知隨機變量的分布列如下：例1籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運動員罰球命中的概率為07，則他罰球1次的得分的均值是多少？一般地，如果隨機變量服從兩點分布，X10Pp1－p則三、例題講解兩點分布的期望三、例題講解變式1籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運動員罰球命中的概率為07，則他連續(xù)罰球3次的得分的均值是多少？X0123P分析：～B（3，07）為什么呢？E=例1籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運動員罰球命中的概率為07，則他罰球1次的得分的均值是多少？三、例題講解變式2籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運動員罰球命中的概率為p，則他連續(xù)罰球n次的得分的均值是多少？x01…k…np……的概率分布如下：~Bn,p為什么呢？能證明它嗎？E=np證明：所以若ξ～Bn，p，則E（ξ）＝np．證明：若ξ～Bn，p，則Eξ＝np2；一般地，如果隨機變量服從二項分布，即～B（n,p），則E=np結論：1；一般地，如果隨機變量服從兩點分布（1，p，則E＝p3，一個袋子里裝有大小相同的3個紅球和2個黃球，從中有放回地取5次，則取到紅球次數(shù)的數(shù)學期望是3即時訓練：4，隨機變量~B（8，p），已知的均值E=2，則P（=3=例2一個袋子里裝有大小相同的3個紅球和2個黃球，從中摸出3個球（1）求得到黃球個數(shù)ξ的分布列；（2）求ξ的期望。小結：一般地,如果隨機變量X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布,則超幾何分布的數(shù)學期望例3假如你是一位商場經(jīng)理，在五一那天想舉行促銷活動，根據(jù)統(tǒng)計資料顯示，若在商場內舉行促銷活動，可獲利2萬元；若在商場外舉行促銷活動，則要看天氣情況:不下雨可獲利10萬元，下雨則要損失4萬元。氣象臺預報五一那天有雨的概率是40%，你應選擇哪種促銷方式？解：設商場在商場外的促銷活動中獲得經(jīng)濟效益為萬元，則的分布列為0406－410PXE=10×06＋－4×04=44萬元＞2萬元,故應選擇在商場外搞促銷活動。例4：一次單元測驗由20個選擇題構成，每個選擇題有4個選項其中僅有一個選項正確，每題選對得5分不選或選錯不得分，滿分100分學生甲選對任一題的概率為09，學生乙則在測驗中對每題都從各選項中隨機地選擇一個分別求學生甲和學生乙在這次測驗中的成績的均值思路分析：設甲、乙選對題數(shù)分別為X1、X2，則甲、乙兩人的成績分別為Y1=5X1、Y2=5X2，問題轉化為求:E(Y1)=E(5X1)=E(Y2)=E(5X2)=思考：X1、X2服從什么分布？5E(X1)5E(X2)解：設學生甲和學生乙在這次單元測驗中選對的題數(shù)分別是1和2，則1～B20，09，2～B20，025，E1＝20×09＝18，E2＝20×025＝5．由于答對每題得5分，學生甲和學生乙在這次測驗中的成績分別是51和52。所以，他們在測驗中的成績的期望分別是E51＝5E1＝5×18＝90，E52＝5E2＝5×5＝25．布置作業(yè)謝謝！2010·衡陽模擬一廠家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共10件，其中有n件次品，用戶先對產(chǎn)品進行抽檢以決定是否接收．抽檢規(guī)則是這樣的：一次取一件產(chǎn)品檢查取出的產(chǎn)品不放回箱子，若前三次沒有抽查到次品，則用戶接收這箱產(chǎn)品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽檢，并且用戶拒絕接收這箱產(chǎn)品．1若這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率是，求n的值；2在1的條件下，記抽檢的產(chǎn)品次品件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．作業(yè)：【解】1設“這箱產(chǎn)品被用戶接收”為事件A，∴n＝22的可能取值為1,2,3PA=P=1=P=2=P=3=∴的概率分布列為：X123P1．2010·河南六市聯(lián)考甲、乙、丙、丁四人參加一家公司的招聘面試．公司規(guī)定面試合格者可簽約．甲、乙面試合格就簽約；丙、丁面試都合格則一同簽約，否則兩人都不簽約．設每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響．求：1至少有