計算機組成原理-第2章 信息表示與編碼

計算機組成原理第二章2023年9月28日信息表示與編碼1、進位計數(shù)制以及相互轉換 十進制，二進制，八進制，十六進制2、數(shù)值數(shù)據(jù)和非數(shù)值數(shù)據(jù)的表示方法 數(shù)值數(shù)據(jù)定點數(shù)----原反補移浮點數(shù)----IEEE754BCD碼非數(shù)值數(shù)據(jù)ASCII、漢字本講安排本講將解決的主要問題計算機中數(shù)值數(shù)據(jù)非數(shù)值數(shù)據(jù)

是如何表示？1、進位計數(shù)制進位計數(shù)制：用少量的數(shù)字符號，按先后次序把它們排成數(shù)位，由低到高進行計數(shù)，計滿進位，這樣的方法稱為進位計數(shù)制基數(shù)：進位制基本特征數(shù)，即所用到的數(shù)字符號個數(shù)例如10進制：0~9十個數(shù)碼表示，基數(shù)為10權：進位制中各位“1”所表示的值為該位的權常見的進位制：2，8，10，16進制十進制數(shù)的多項式表示:N10=dn-1×10n-1+

dn-2×10n-2+

??????d1×101+

d0×100+

d-1×10-1+

d-2×10-2+??????d-m×10-M

m,n為正整數(shù),其中n為整數(shù)位數(shù)；m為小數(shù)位數(shù)。Di表示第i位的系數(shù),10i稱為該位的權.1、十進制(Decimal)基數(shù):10;符號:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9計算規(guī)律:“逢十進一”或“借一當十”例如:一個十進制數(shù)123.45的表示123.45=1×102+2×101+3×100+4×10-1+5×10-2注：等式左邊為并列表示法等式右邊為多項式表示法2、二進制(Binary)二進制的多項式表示:N2=dn-1×2n-1+

dn-2×2n-2+

??????d1×21+

d0×20+

d-1×2-1+

d-2×2-2+??????d-m×2-m其中n為整數(shù)位數(shù)；m為小數(shù)位數(shù)。Di表示第i位的系數(shù),2i稱為該位的權.

基數(shù):2符號:0,1計算規(guī)律:逢二進一或借一當二3、十六進制(Hexadecimal)二進制的多項式表示:N16=dn-1×16n-1+

dn-2×16n-2+

??????d1×161+

d0×160+

d-1×16-1+

d-2×16-2+??????d-m×16-m

其中n為整數(shù)位數(shù)；m為小數(shù)位數(shù)。Di表示第i位的系數(shù),16i稱為該位的權.基數(shù):16符號:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F計算規(guī)律:逢十六進一或借一當十六例如十六進制數(shù)(2C7.1F)16的表示(2C7.1F)16=2×162+12×161+7×160+1

×16-1+15×16-24、進位計數(shù)制之間的轉換1）R進制轉換成十進制的方法按權展開法:先寫成多項式,然后計算十進制結果.N=dn-1dn-2??????d1d0d-1d-2??????d-m=dn-1×Rn-1+

dn-2×Rn-2+

??????d1×R1+

d0×R0+

d-1×R-1+

d-2×R-2+??????d-m×R-m例:寫出(1101.01)2,(237)8,(10D)16的十進制數(shù)(10D)16=1×162+13×160=256+13=269(1101.01)2=1×23+1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2=8+4+1+0.25=13.25(237)8=2×82+3×81+7×80=128+24+7=1592）十進制轉換成二進制方法一般分為兩個方法：方法1、整數(shù)部分的轉換除2取余法（基數(shù)除法）小數(shù)部分的轉換乘2取整法（基數(shù)乘法）方法2、減權定位法除基取余法：把給定的除以基數(shù),取余數(shù)作為最低位的系數(shù),然后繼續(xù)將商部分除以基數(shù),余數(shù)作為次低位系數(shù),重復操作直至商為0

例如：用基數(shù)除法將(327)10轉換成二進制數(shù)2327余數(shù)216312811240122002100250221210201(327)10=(101000111)2把給定的十進制小數(shù)乘以2,取其整數(shù)作為二進制小數(shù)的第一位,然后取小數(shù)部分繼續(xù)乘以2,將所的整數(shù)部分作為第二位小數(shù),重復操作直至得到所需要的二進制小數(shù)例如:將(0.8125)10轉換成二進制小數(shù)整數(shù)部分0. 2×0.8125=1.6251 2×0.625=1.251 2×0.25=0.50 2×0.5=11 (0.8125)10=(0.1101)2乘基取整法(小數(shù)部分的轉換)例:將(0.2)10轉換成二進制小數(shù)整數(shù)部分00.2×

2=0.4 00.4×2=0.8 00.8×2=1.6 10.6×2=1.2 10.2×2=0.4 00.4×2=0.8 00.8×2=1.6 10.6×2=1.2 1(0.2)10=[0.001100110011….]2減權定位法將十進制數(shù)依次從二進制的最高位權值進行比較，若夠減則對應位置1，減去該權值后再往下比較，若不夠減則對應位為0，重復操作直至差數(shù)為0。

5122561286432168421例如：將(327)10轉換成二進制數(shù)256<327<512327-256=711256 71<1280128 71-64=7164 7<32032 7<16016 7<808 7-4=314 3–2=112 1–1=011二進制(B)轉換成八進制(Q)例：(10110111.01101)2(10110111.01101)2=(267.32)8八進制:267.32二進制:010,110,111.011,010二進制:10,110,111

.011,013）其它進制之間的直接轉換法八進制(Q)轉換二進制(B)例如:(123.46)8 =(001,010,011

.100,110)2 =(1010011.10011)2二進制(B)轉換成十六進制(H)例：(110110111.01101)2(10110111.01101)2=(1B7.68)16十六進制:1B7.68二進制:0001,1011,0111.0110,1000二進制:1,1011,0111.0110,110110111.01101B

=1B7.68H十六進制(H)轉換成二進制(B)例:(7AC.DE)16 =(0111,1010,1100.1101,1110)2 =(11110101100.1101111)2常用信息分類及表示信息數(shù)值數(shù)據(jù)非數(shù)值數(shù)據(jù)--無符號數(shù)--有符號數(shù)浮點數(shù)定點數(shù)十進制數(shù)定點整數(shù)定點小數(shù)原碼補碼反碼移碼正整數(shù)字符、漢字等真值:正、負號加某進制數(shù)絕對值的形式稱為真值。如+3,-5等，即實際值。機器數(shù)：符號以及數(shù)值都數(shù)碼化的數(shù)稱為機器數(shù)如：X=01011Y=11011即真值在機器中的表示，稱為機器數(shù)名詞解釋：真值和機器數(shù)計算機中常用的數(shù)據(jù)表示格式有兩種:

?定點格式——容許的數(shù)值范圍有限，但要求的處理硬件比較簡單。

?浮點格式——容許的數(shù)值范圍很大，但要求的處理硬件比較復雜。1.定點數(shù)的表示方法定點表示：約定機器中所有數(shù)據(jù)的小數(shù)點位置是固定不變的。(由于約定在固定的位置，小數(shù)點就不再使用記號“.”來表示。)通常將數(shù)據(jù)表示成純小數(shù)或純整數(shù)。數(shù)據(jù)表示定點數(shù)：小數(shù)點位置固定不變的數(shù)定點整數(shù)：小數(shù)點固定在最低位數(shù)的右面(b)定點小數(shù)x7x6x5x4x3x2x1x0(a)定點整數(shù)x6x7x5x4x3x2x1x0數(shù)值范圍：純小數(shù)

0≤|x|≤1–2-n

純整數(shù)

0≤|x|≤2n–1目前計算機中多采用定點純整數(shù)表示，因此將定點數(shù)表示的運算簡稱為整數(shù)運算。定點小數(shù)：小數(shù)點固定在最高位數(shù)的后面，即純小數(shù)表示 無符號數(shù)的編碼正整數(shù)

數(shù)值表示：

x=x0x1x2…xn xi={0,1},0≤i≤n

x02n+x12n-1+…+xn-121+xn

數(shù)值范圍 0≤x≤2n+1-1例如:x=010101其數(shù)值=24+22+20=21在數(shù)據(jù)處理的過程中，如不需要設置符號位可用全部字長來表示數(shù)值大小。如8位無符號數(shù)的取值范圍是0~255（2８－１）。計算機中定點數(shù)表示方法——

原碼、補碼、反碼、移碼。若定點小數(shù)的原碼形式為x0.x1x2···xn,（共n+1位）則原碼表示的定義是：式中[x]原是機器數(shù)，x是真值。1、原碼表示法(1)定點小數(shù)

x1–x=1+|x|-(1-2-n)<x

00

x<1-2-n[x]原=

數(shù)的機器碼表示若定點整數(shù)的原碼形式為x0x1x2···xn,則原碼表示的定義是：(2)定點整數(shù)

x2n–x=2n+|x|-2n<x

00

x<2n[x]原=例1:x=+0.1001,則[x]原=0.1001

x=-0.1001,則[x]原=1+|x|=1.1001

例2：x=0.10110；-0.10110；0.0000對于0，原碼機器中往往有“+0”、“-0”之分，故有兩種形式：[+0]原=0.000...0[-0]原=1.000...0[x]原=0.10110；1.10110；0.00001.0000

例3：x=+1011總共用5位表示，n=4

[x]原=01011

x=-1011

[x]原=2n+|x|=10000+|-1011|=11011原碼小數(shù)的表示范圍:最大值:1-2-n最小值:-(1-2-n)

若原碼小數(shù)的位數(shù)是8位時,其該數(shù)表示的最大值、最小值：8位:127/128，-127/128原碼整數(shù)的表示范圍:最大值:2n-1最小值:-(2n-1)

若原碼整數(shù)的位數(shù)是8位,其表示的最大值、最小值8位:127，-127原碼為符號位加上數(shù)的絕對值，0正1負;原碼零有兩個編碼，+0和-0編碼不同;原碼加減運算復雜，乘除運算規(guī)則簡單；原碼表示簡單，易于同真值之間進行轉換。

(3)結論2、補碼表示法(1)模的概念假設兩位十進制數(shù)計算:?77—38=？

?77+62=13977—38=77+62=39（mod100）

由此可以看出，減38和加62是等價的，前提是說對模為100是正確的。這個100在數(shù)學上稱為模數(shù)

計算機中運算器、寄存器、計數(shù)器都有一定的位數(shù)，不可能容納無限大的任意數(shù)。當運算結果超出實際的最大表示范圍，就會發(fā)生溢出，此時所產(chǎn)生的溢出量就是模（module）。因此，可以把模定義為一個計量器的容量。如：一個4位的計數(shù)器，它的計數(shù)值為0--15。當計數(shù)器計滿15之后再加1，這個計數(shù)器就發(fā)生溢出，其溢出量為16，也就是模等于16。?定點小數(shù)的溢出量為2，即以2為模；?一個字長為n+1位的定點整數(shù)的溢出量為2n+1，即以2n+1為模。模的概念定義:任意一個數(shù)X的補碼記為[x]補，

[x]補=X+M（ModM）當X>0時X+M>M自動丟失，[x]補=X（ModM）當X<0時X+M=M-|X|<M，[x]補=X+M（ModM）若定點小數(shù)的補碼形式為x0.x1x2···xn,則補碼表示的定義是：(2)定點小數(shù)

x0

x<12+x=2–|x|-1

x

0[x]補=（mod2）例:x=+0.1011,則[x]補=0.1011x=

-0.1011,則[x]補=10+x=10.0000-0.1011=1.0101對于0，[+0]補＝[-0]補＝0.0000

(mod2)

注意：0的補碼表示只有一種形式。若定點整數(shù)的補碼形式為x0x1x2···xn,則補碼表示的定義是：(3)定點整數(shù)

x2n+1+x=2n+1–|x|-2n

x

00

x<2n[x]補=（mod2n+1）例:x=+0111,則[x]補=00111

x=-0111,則[x]補=24+1–|-0111|=100000–0111=11001n+1位補碼整數(shù):-2n

___2n-1

n+1

位補碼小數(shù):-1

___1-2-n

若補碼小數(shù)的位數(shù)是8位時,其該數(shù)表示的最大值、最小值：

-1__1-2-7即-1—127/128

若補碼整數(shù)的位數(shù)是8位,其表示的最大值、最小值:-128--127補碼的表數(shù)范圍[+0]補=0.000…0=[+0]原[-0]原=1.000…0[-0]補=1.111…1+0.000…1=0.000…0=[+0]補在補碼表示法中1.000…0用作比最小的負數(shù)還小的一個數(shù)：-1補碼最高一位為符號位，0正1負；補碼零有唯一編碼；補碼能很好用于加減運算。(4)特點補碼滿足[-x]補+[x]補=0[+7]補=00111最高位參與演算，與其它位一樣對待。[-7]補=11001擴展方便。5位的補碼擴展為8位001110000011111001

11111001算術移位。假設[x]補=

x0.x1x2···xn,

[x/2]補=

x0.x0x1x2···xn-1最大的優(yōu)點就是將減法運算轉換成加法運算。[X+Y]補=[X]補+[Y]補[X-Y]補=[X]補+[-Y]補例如：X=(11)10=(1011)2Y=(5)10=(0101)2已知字長n=5位[X]補+[-Y]補=01011+11011=100110=00110=(6)10

注：最高1位已經(jīng)超過字長故應丟掉[X-Y]補=[0110]補=00110例

設x=1010，y=-1010，求[x]補和[y]補。解：根據(jù)補碼的編碼方法，正數(shù)的補碼與它的二進制表示相同，所以加上符號位0后得

[x]補=01010[x]補=00001010負數(shù)的補碼的編碼方法1）將二進制代碼前加0010102）再全部按位取反101013）然后在最低位上加110110[y]補=10110正數(shù)的補碼在其二進制代碼前加上符號位0；負數(shù)的補碼是將二進制代碼前加0后,再全部按位取反，然后在最低位上加1。補碼編碼的簡便方法原碼與補碼之間的轉換已知原碼求補碼正數(shù)[X]補=[X]原負數(shù)

符號除外，各位取反，末位加1例：X=-1001001

[X]原=11001001

[X]補=10110110+1=10110111

[X]補=27+1

+X=100000000-1001001=10110111100000000-100100110110111更簡單的方法是？由[X]補求[-X]補運算過程是：將[X]補連同符號一起將各位取反，末位再加1。例：設字長N=8位X=+1001001 [X]補=01001001各位取反10110110末位再加110110111

即：[-X]補=10110111求值方法x=-x02n+x12n-1+…+xn-12+xn例如：10000100的真值為-128+4=-124補碼與真值之間的轉換補碼符號位為“1”--負，余下求補為數(shù)值部分符號位為“0”--正，余下為數(shù)值部分例：[X]補=01001001X=01001001例：[X]補=10000000X=-10000000B=80H=-128(1)定點小數(shù)定義

x(2–2-n)+x-1

x

00

x<1[x]反=一般情況下,對于正數(shù)x=+0.x1x2

xn,則有：

[x]反=0.x1x2

xn

對于負數(shù)x=-0.x1x2

xn,則有

[x]反=1.x1x2

xn3、反碼表示法所謂反碼,就是二進制的各位數(shù)碼0變?yōu)?，1變?yōu)?。例：x=0.10110-0.101100.0000[x]反=(2)由反碼求補碼的公式(2-2-n)+x[x]反=2+x

[x]補=由反碼與補碼的定義得：

[x]反+2-n

[x]補=

即：若要一個負數(shù)變補碼，其方法是符號位置1，其余各位0變1，1變0，然后在最末位(2-n)上加1。0.101101.010010.00001.1111(3)定點整數(shù)定義

x(2n+1–1)+x-2n

x

00

x<2n[x]反=(4)

結論

負數(shù)反碼為符號位跟每位數(shù)的反，0正1負；

反碼零有兩個編碼，+0和-0的編碼不同；

反碼難以用于加減運算；反碼的表數(shù)范圍與原碼相同。4、移碼表示法移碼通常用于表示浮點數(shù)的階碼。假設定點整數(shù)移碼形式為x0x1x2···xn時，移碼的定義是：

2n+x

-2n

x

2n[x]移=(1)移碼定義

8位移碼表示的機器數(shù)為數(shù)的真值在數(shù)軸上向右平移了128個位置。0-128+127負數(shù)正數(shù)機器數(shù)表示范圍：00000000~11111111例1：當正數(shù)x=+10101時,[x]移=25+10101=1,10101；例2：當負數(shù)x=-10101時,[x]移=25+ｘ=25–10101=0,01011例3：0的移碼是唯一的，即：[+0]移=[-0]移=100…00

[注意]:移碼中符號位x0表示的規(guī)律與原碼、補碼、反碼相反——“1”正，“0”負。補碼的定義：

x2n+1+x-2n

x

00

x<2n[x]補=移碼的定義:2n+x-2n

x

2n[x]移=當0

x<2n時，[x]補+

2n[x]移=當-2n

x

0時，2n+[x]補-

2n+1=[x]補-

2n[x]移=(2)移碼和補碼的關系:移碼、補碼和真值之間的關系真值（十進制）真值（二進制）[x]補（補碼）[x]移（移碼）-128-1000,00001000,00000000,0000-127-0111,11111000,00010000,0001…………-1-0000,00011111,11110111,111100000,00000000,00001000,000010000,00010000,00011000,0001………1270111,11110111,11111111,1111?在移碼中，最高位為0表示負數(shù)，最高位為1表示正數(shù)，這與原碼、補碼、反碼的符號位取值正好相反。

?移碼為全0時所對應的真值最小，為全1時所對應的真值最大!因此，移碼的大小直觀地反映了真值的大小，這將有助于兩個浮點數(shù)進行階碼大小比較。

?真值0在移碼中的表示形式是唯一的，即：

[+0]移=[-0]移=100…00

?移碼把真值映射到一個正數(shù)域，所以可將移碼視為無符號數(shù)，直接按無符號數(shù)規(guī)則比較大小。?同一數(shù)值的移碼和補碼除最高位相反外，其他各位相同。(3)移碼的特點碼制表示法小結[X]原、[X]反、[X]補用“0”表示正號，用“1”表示負號；[X]移用“1”表示正號，用“0”表示負號。如果X為正數(shù)，則[X]原=[X]反=[X]補。如果X為0，則[X]補、[X]移有唯一編碼，[X]原、[X]反有兩種編碼。移碼與補碼的形式相同，只是符號位相反。

數(shù)據(jù)四種機器表示法中：(1)移碼表示法主要用于表示浮點數(shù)的階碼。(2)補碼表示對加減法運算十分方便，因此目前機器中廣泛采用補碼表示法。(3)在一些機器中,數(shù)用補碼表示,補碼存儲,補碼運算。在有些機器中，數(shù)用原碼進行存儲和傳送，運算時改用補碼。還有些機器在做加減法時用補碼運算，在做乘除法時用原碼運算。5、小結

例：設機器字長16位,定點表示,尾數(shù)15位,數(shù)符1位,問：

(1)定點原碼整數(shù)表示時,最大正數(shù)是多少?最小負數(shù)是多少?

(2)定點原碼小數(shù)表示時,最大正數(shù)是多少?最小負數(shù)是多少?;解：(1)定點原碼整數(shù)表示

最大正數(shù)值＝(215－1)10＝(＋32767)10

0111111111111111

最小負數(shù)值＝－(215－1)10＝(－32767)10

1111111111111111(2)定點原碼小數(shù)表示

最大正數(shù)值＝(1－2－15)10＝(＋0.111...11)2

最小負數(shù)值＝－(1－2－15)10＝(－0.111..11)2

任意一個十進制數(shù)Ｎ可以寫成

Ｎ＝10E×Ｍ

計算機中一個任意進制數(shù)Ｎ可以寫成

Ｎ＝Ｒe×mm：尾數(shù)，是一個純小數(shù)。

e：浮點的指數(shù),是一個整數(shù)。

R：基數(shù)，對于二進計數(shù)值的機器是一個常數(shù)，一般規(guī)定Ｒ為2，8或16。浮點數(shù)的表示方法9×10－28=0.9×10-272×1033=0.2×1034

——Ｎ=10E·Ｍ（十進制表示）

尾數(shù)：用定點小數(shù)表示，給出有效數(shù)字的位數(shù)，決定了浮點數(shù)的表示精度；階碼：用定點整數(shù)形式表示，指明小數(shù)點在數(shù)據(jù)中的位置，決定了浮點數(shù)的表示范圍。EsE1E2……EmMsM1M2……Mn階符階碼數(shù)符尾數(shù)一個機器浮點數(shù)由階碼和尾數(shù)及其符號位組成：(2)浮點數(shù)的標準格式

（Ｎ＝Ｒe.m）為便于軟件移植，使用IEEE（電氣和電子工程師協(xié)會）標準IEEE754標準：尾數(shù)用原碼；階碼用移碼；基為2

S——尾數(shù)符號，0正1負；M——尾數(shù),純小數(shù)表示,小數(shù)點放在尾數(shù)域的最前面。采用“原碼”表示。E——階碼，采用“移碼”表示;

階符采用隱含方式，即采用“移碼”方法來表示正負指數(shù)。?按照IEEE754的標準，32位浮點數(shù)和64位浮點數(shù)的標準格式為：SEM31302322032位SEM63625251064位(3)浮點數(shù)的規(guī)格化表示一個浮點數(shù)有不同的表示：0.5；0.05101；0.005102；5010-2為提高數(shù)據(jù)的表示精度，需做規(guī)格化處理。浮點數(shù)是數(shù)學中實數(shù)的子集合，由一個純小數(shù)乘上一個指數(shù)值來組成。浮點數(shù)的規(guī)格化規(guī)格化目的：為了提高數(shù)據(jù)的表示精度為了數(shù)據(jù)表示的唯一性尾數(shù)為R進制的規(guī)格化：絕對值大于或等于1/R二進制原碼的規(guī)格化數(shù)的表現(xiàn)形式：

正數(shù)0.1xxxxxx負數(shù)1.0xxxxxx正數(shù)0.1xxxxxx負數(shù)1.1xxxxxx補碼尾數(shù)的規(guī)格化的表現(xiàn)形式：尾數(shù)的最高位與符號位相反把不滿足這一表示要求的尾數(shù)，變成滿足這一要求的尾數(shù)的操作過程，叫作浮點數(shù)的規(guī)格化處理，通過尾數(shù)移位和修改階碼實現(xiàn)。在計算機內，其純小數(shù)部分被稱為浮點數(shù)的尾數(shù)，對非0值的浮點數(shù)，要求尾數(shù)的絕對值必須>=1/2，即尾數(shù)域的最高有效位應為1,稱滿足這種表示要求的浮點數(shù)為規(guī)格化表示: