2022-2023學年江蘇省南京市玄武區(qū)九年級上學期數(shù)學期中試題及答案

2022-2023學年江蘇省南京市玄武區(qū)九年級上學期數(shù)學期中試題及答案一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知的半徑為，圓心到直線的距離為，直線與的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切 C.相交 D.無法確定【答案】A【解析】【分析】已知圓的半徑為，圓心到直線的距離為，那么：時，直線與圓相離，當時，直線與圓相切，當時，直線與圓相交，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可．【詳解】解：∵的半徑為，點O到直線的距離為，∴，∴與直線的位置關(guān)系是相離，故選：A．【點睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系的應用，能熟記直線和圓的位置關(guān)系內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：直線和圓有三種位置關(guān)系：相離，相交，相切，已知：圓的半徑為，圓心到直線的距離為，那么：時，直線與圓相離，當時，直線與圓相切，當時，直線與圓相交，2.若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用方程有兩個相等的實數(shù)根，得到=0，建立關(guān)于m的方程，解答即可．【詳解】∵一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴=0，∴，解得，故C正確．故選：C．【點睛】此題考查利用一元二次方程的根的情況求參數(shù)，一元二次方程的根有三種情況：有兩個不等的實數(shù)根時>0；當一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根時，=0；當方程沒有實數(shù)根時，<0，正確掌握此三種情況是正確解題的關(guān)鍵．3.用“配方法”解一元二次方程，下列變形正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先把常數(shù)項移到方程右側(cè)，再把方程兩邊加上，然后把方程左邊寫成完全平方形式．【詳解】解：，移項得：，配方得：，即．故選：D．【點睛】本題考查了解一元二次方程－配方法：熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關(guān)鍵．4.如圖，是直徑，點，在半圓上，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接BC，由直徑所對的圓周角是直角可求得∠B的度數(shù)，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求得∠ADC的度數(shù)．【詳解】解：連接，是直徑，，，，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，，，故選：．【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，連接BC并運用這兩個性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5.如圖，在一塊正三角形飛鏢游戲板上畫一個正六邊形（圖中陰影部分），假設(shè)飛鏢投中游戲板上的每一點是等可能的（若投中邊界或沒有投中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，則飛鏢投中陰影部分的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)正六邊形的邊長為，根據(jù)正三角形性質(zhì)和正六邊形的定義分別求出陰影部分的面積和正三角形的面積，再根據(jù)幾何概率的求法即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點作，交于點，設(shè)正六邊形的邊長為，∵六邊形為正六邊形，

∴，每個外角的度數(shù)為：，∴，∴，和都是等邊三角形，且邊長都等于，∵為正三角形，∴，在和和中∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵和都為正三角形且邊長分別為和，∴，，∴，，∴，，∴，∴，∴飛鏢投中陰影部分的概率為．故選：D．【點睛】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件；然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件發(fā)生的概率．本題還考查了等邊三角形的性質(zhì)，正六邊形的定義及外角和，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及正六邊形的定義得出陰影部分的面積解題的關(guān)鍵．6.如圖，在中，是直徑，點，，在圓上，，，，．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【答案】C【解析】【分析】如圖，連接，，在中，利用三邊關(guān)系可得，從而得出，則可判斷結(jié)論①；利用勾股定理求得，得到，則可判斷結(jié)論②；結(jié)合可判斷結(jié)論③；結(jié)合可判斷結(jié)論④．【詳解】解：如圖，連接，，∵在中，，，∴，即，∵，∴，∴，則結(jié)論①錯誤；∵在中，是直徑，，∴，∴，∴，∴，則結(jié)論②正確；∵，∴，∴，則結(jié)論③錯誤；∵，∴，∴，則結(jié)論④正確．故選：C．【點睛】本題考查弧和弦的關(guān)系．在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對應兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，推論中的兩條弧是指同為優(yōu)弧或劣?。部疾榱酥睆剿鶎Φ膱A周角為直角，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系定理等知識．正確理解和掌握同圓或等圓中的弧和弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫出解答過程中，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）7.一元二次方程的根是__________．【答案】，##，【解析】【分析】首先把移至方程左邊，再把方程左邊的多項式進行因式分解，即可得到答案．【詳解】解：，移項得：，∴，∴或，∴，．故答案為：，．【點睛】本題考查一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，本題運用的是因式分解法．結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．8.超市決定招聘一名廣告策劃人員，某應聘者三項素質(zhì)測試的成績?nèi)缦卤恚簻y試項目創(chuàng)新能力綜合知識語言表達測試成績/分將創(chuàng)新能力，綜合知識和語言表達三項測試成績按的比例計入總成績，則該應聘者的總成績是__________分．【答案】【解析】【詳解】解：5+3+2=10．,故答案為:77．9.已知，是一元二次方程的兩根，則________．【答案】【解析】【分析】先將化為一般式，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得和，最后代入即可求出代數(shù)式的值．【詳解】解：∵，∴，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，當，是一元二次方程的兩根時，則：，．熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10.一只不透明的袋子中共有個白球和若干個紅球，這些球除顏色外其他都相同．從袋中隨機摸出個球，恰好是紅球的概率為，則袋中紅球的個數(shù)是_________個．【答案】【解析】【分析】設(shè)紅球有個，根據(jù)概率公式列出算式，再進行計算即可得出答案．【詳解】解：設(shè)紅球的個數(shù)為個，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的解且符合題意，

則袋中紅球的個數(shù)是個．故答案為：．【點睛】本題考查概率公式的應用，隨機事件的概率事件可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．理解和掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．11.某地區(qū)新能源汽車保有量2020年底達到30萬輛，2022年底達到41萬輛．設(shè)該地區(qū)這兩年新能源汽車保有量的年平均增長率為，根據(jù)題意可列方程為___________．【答案】【解析】【分析】可先表示出2021年的產(chǎn)能，那么2021年的產(chǎn)能×（1＋增長率）＝41，把相應數(shù)值代入即可求解．【詳解】解：設(shè)該地區(qū)這兩年新能源汽車保有量的年平均增長率為，則2021年的產(chǎn)能為，2022年的產(chǎn)能在2021年產(chǎn)能的基礎(chǔ)上增加，為，則列出的方程是．故答案為：．【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，此題主要考查求平均變化率的方法．若設(shè)變化前的量為，變化后的量為，平均變化率為，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為．找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．12.如圖，在的內(nèi)接四邊形中，．若點在上，則的度數(shù)為__________°．【答案】##125度【解析】【分析】連接，先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計算出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計算出，然后再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得的度數(shù)．【詳解】解：連接，∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，∴，∴．故答案為：【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補．13.如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐母線l=6，扇形的圓心角，則該圓錐的底面圓的半徑r長為______．【答案】2【解析】【分析】結(jié)合題意，根據(jù)弧長公式，可求得圓錐的底面圓周長．再根據(jù)圓的周長的公式即可求得底面圓的半徑長．【詳解】∵母線l長為6，扇形的圓心角，∴圓錐的底面圓周長，∴圓錐的底面圓半徑．故答案為：2．【點睛】本題考查圓錐的側(cè)面展開圖的相關(guān)計算，弧長公式等知識．掌握圓錐側(cè)面展開圖的弧長等于圓錐底面圓的周長是求解本題的關(guān)鍵．14.如圖，是三角形紙片的內(nèi)切圓，在的右側(cè)沿著相切的直線剪下．若的周長為，，則剪下的的周長為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)切線長定理求得，，即可求解．【詳解】解：∵是三角形紙片的內(nèi)切圓，與相切，∴，，即剪下的的周長為，故答案為：．【點睛】本題考查了切線長定理，掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵．15.如圖，正五邊形和正三角形都內(nèi)接于，則的度數(shù)為________°．【答案】【解析】【分析】連接，，，，分別求出正五邊形和正三角形的中心角，結(jié)合圖形計算即可．【詳解】解：連接，，，，∵五邊形是正五邊形，∴，∴，∵是正三角形，∴，∴．∴的度數(shù)為．故答案為：．【點睛】本題考查圓心角和弧之間的關(guān)系，正多邊形與圓的有關(guān)計算．掌握正多邊形的中心角的計算公式是解題的關(guān)鍵．16.如圖，在中，，，是中線，分別為邊上的動點，且，直線與相交于點，連接．若，則線段的最小值為________．【答案】##【解析】【分析】證明，得出在以為直徑的上，從而計算出答案．【詳解】解：在中：，，是中線，∴,,又∵，∴，∴，又∵，∴，∴在以為直徑的上，取的中點,連接，當三點共線時，線段取得最小值，在中：,，，∴，∴，∵是的中點，∴，在中：，在中，，當三點共線時，線段取得最小值，．故答案為：．【點睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理，隱圓求線段最值問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知識．三、解答題（本大題共11小題，共88分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.解下列方程：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)配方法解一元二次方程；（2）根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．【小問1詳解】解：，，，∴，解得；【小問2詳解】解：，，，∴或，解得：．【點睛】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．18.甲、乙兩名運動員在相同條件下6次射擊成績的折線統(tǒng)計圖如下：

（1）填表（單位：環(huán)）平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲的射擊成績①________8③_________乙的射擊成績8②__________9（2）計算甲、乙射擊成績的方差，并判斷哪位運動員的射擊成績更穩(wěn)定？【答案】（1）①；②；③（2）乙運動員射擊成績更穩(wěn)定【解析】【分析】（1）先根據(jù)折線統(tǒng)計圖得出兩運動員的涉及環(huán)數(shù)，再依據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的定義求解即可；（3）先根據(jù)方差的定義計算，再依據(jù)方差的意義求解即可．【小問1詳解】解：由折線統(tǒng)計圖知，甲射擊環(huán)數(shù)為，乙射擊環(huán)數(shù)為，∴甲射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)，眾數(shù)為，乙射擊環(huán)數(shù)的中位數(shù)，故答案為：①；②；③【小問2詳解】甲射擊環(huán)數(shù)的方差乙射擊環(huán)數(shù)的方差，∵，∴乙運動員射擊成績更穩(wěn)定．【點睛】本題考查了折線統(tǒng)計圖，求平均數(shù)，中位數(shù)，方差，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．19.計劃選派護士支援某地的防疫工作，決定用隨機抽取的方式從4名護士中確定人選，其中1人是團員，其余3人均是黨員．（1）隨機抽取1人，恰好是黨員的概率為__________；（2）隨機抽取2人，求被抽到的兩名護士恰好都是黨員的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)概率公式即可解決問題；（2）設(shè)團員用T表示，其余3人均是黨員用G表示．從這4名護士中隨機抽取2人，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，然后利用樹狀圖即可解決問題．【小問1詳解】解：隨機抽取1人，恰好是黨員的概率為；故答案為：；【小問2詳解】解：團員用T表示，其余3人均是黨員用G表示．從這4名護士中隨機抽取2人，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，如圖所示：

它們出現(xiàn)的可能性相同，所有的結(jié)果中，被抽到的兩名護士都是黨員的（記為事件A）的結(jié)果有6種，則．【點睛】本題考查是用列表法或畫樹狀圖法求概率．解決本題的關(guān)鍵是掌握列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．20.如圖，弓形是由和弦所圍成的圖形，弓形的高是的中點到的距離，點是所在圓的圓心，，弓形的高為．（1）求的半徑；（2）經(jīng)測量的度數(shù)約為，則弓形的面積為__________．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）過點作于點，交于點，設(shè)的半徑為，根據(jù)垂徑定理可得，，從而得出，然后利用勾股定理建立關(guān)于的方程，最后解方程即可；（2）弓形面積看成扇形面積減去三角形面積即可．【小問1詳解】解：過點作于點，交于點，設(shè)的半徑為，∵點為圓心，，弓形的高為．∴，點是的中點，∴，，在中，，∴，解得：．∴的半徑為．【小問2詳解】∵，，∴．∴弓形的面積為．故答案為：．【點睛】本題考查垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理，扇形的面積，三角形的面積等知識，運用了分割法求不規(guī)則圖形面積的解題方法．解題的關(guān)鍵是過圓心作弦的垂線構(gòu)造直角三角形求出圓的半徑．21.已知關(guān)于的方程（為常數(shù)）．（1）求證：不論取何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若該方程的兩個實數(shù)根為和，且，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)根的判別式，據(jù)此可得答案；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出，，利用即可得到k的值．【小問1詳解】證明：由題意知，，，，則，所以，無論k為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．【小問2詳解】解：由題意知，，，∵，∴，解得：．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式，當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，當，方程有兩個相等的實數(shù)根，當時，方程無實數(shù)根．22.如圖，在中，，以為直徑的與分別交于點，連接．（1）求證；（2）延長相交于點，若，則的度數(shù)為_________．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形可得，根據(jù)可得，等量代換可得，根據(jù)等角對等邊即可得證；（2）設(shè)，根據(jù)直徑所對的圓周角是90度，三線合一，可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得，根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對角互補可得，繼而根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出，進而建立方程，解方程即可求解．小問1詳解】證明：∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：如圖，連接到，延長相交于點，設(shè)，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∴，∵，∴，解得，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．23.某水果成本價為12元/千克．經(jīng)調(diào)研，該水果在某平臺上的售價為28元/千克時，可銷售300千克；售價每降2元，銷量將增加100千克．為了推廣宣傳，商家決定降價促銷，同時盡量減少庫存，若銷售該水果獲利6000元，則售價應降低多少元？【答案】售價應降低6元．【解析】【分析】設(shè)售價應降價x元，則每千克的利潤為元，每天的銷售量為千克，根據(jù)銷售該水果的利潤=每千克的利潤×每天的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合要盡可能減少庫存，即可確定x的值．【詳解】解：設(shè)售價應降價x元，則每千克的利潤為元，每天的銷售量為千克，

依題意得：，整理得：，解得：．又∵要盡可能減少庫存，∴．答：售價應降低6元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．24.已知直線與相切于點．用直尺和圓規(guī)完成下列作圖．（保留作圖痕跡，不寫作法）（1）在圖①中，作出直線，使與相切，且；（2）在圖②中，作出一條直線，使與相切，且與的夾角中有一個角為．【答案】（1）作圖見解析（2）作圖見解析【解析】【分析】（1）連接并延長交于點，過點作即可；（2）連接并延長交于點，以點為圓心，以的長為半徑畫弧交直線于點、，連接、分別交于點、，分別以點、為圓心以的長為半徑畫弧分別交于點、，過點、作直線，過點、作直線，過點作，過點作即可．【小問1詳解】解：連接并延長交于點，過點作，∵是的半徑，∴直線與相切，∵直線與相切于點，∴，∴．則直線即為所作．【小問2詳解】連接并延長交于點，以點為圓心，以的長為半徑畫弧交直線于點、，連接、分別交于點、，分別以點、為圓心以的長為半徑畫弧分別交于點、，過點、作直線，過點、作直線，過點作，過點作，設(shè)的半徑為，連接，，∴，，∵直線與相切于點，∴，∴，∴和都是直角三角形，且，∴，，，，，，∴，在和中，∵，，，又∵，即，，∴，且，，∴直線和直線都與相切，∴，，∴，，∴直線和直線即為所作；∵，，∵∴直線和直線都與相切，∴，∴，，∴直線和直線即為所作．綜上所述，直線，直線，直線和直線即為所作．【點睛】本題考查作圖—復雜作圖，切線的判定與性質(zhì)，勾股定理及逆定理，直角三角形度角的性質(zhì)及逆定理，三角形的內(nèi)角和定理，平行線的判定等知識．解題的關(guān)鍵是掌握尺規(guī)作圖的基本作圖．25.如圖，在中，是的直徑，是的切線，切點是，連接，過點作，與交于點，連接．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為3，，求的長度．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)是的切線，得出，證明，得出，即可得證；（2）根據(jù)是的直徑，得，進而得出，根據(jù)垂徑定理可得，勾股定理得出，等面積法求得的長，繼而求得的長，在中，勾股定理即可求解．【小問1詳解】證明：如圖，連接，∵是的切線，∴，∵，∴，∵，∴，，在與中，∴，∴，∴是的切線；【小問2詳解】解：如圖，連接交于點，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，在中，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，∴．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，垂徑定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．26.如圖，在一塊長m，寬m矩形綠地內(nèi)，建一個矩形花圃．（1）要使矩形花圃的面積是矩形綠地面積的一半，且矩形花圃四周的綠地等寬，求矩形花圃的周長；（2）要使矩形花圃的面積是矩形綠地面積的一半，且矩形花圃的周長是矩形綠地周長的一半，問這樣的矩形花圃能否圍出？如果能，請求出矩形花圃的長和寬；如果不能，請說明理由．【答案】（1）m（2）不能，理解見解析【解析】【分析】（1）設(shè)矩形花圃四周的綠地的寬為m，則矩形花圃的長為m，寬為m，然后根據(jù)矩形花圃的面積是矩形綠地面積的—半列出方程