誤差的基本性質(zhì)與處理

第1章緒論1-1研究誤差的意義是什么？簡述誤差理論的主要內(nèi)容。答：研究誤差的意義（1）正確認(rèn)識(shí)誤差的性質(zhì)，分析誤差產(chǎn)生的原因，以消除或減小誤差。（2）正確處理測(cè)量和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，合理計(jì)算所得結(jié)果，以便在一定條件下得到更接近于真值的數(shù)據(jù)。（3）正確組織實(shí)驗(yàn)過程，合理設(shè)計(jì)儀器或選用儀器和測(cè)量方法，以便在最經(jīng)濟(jì)的條件下，得到理想的結(jié)果。誤差理論的主要內(nèi)容：（1）討論形成誤差的原因；（2）各類誤差的特征及處理方法；（3）對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行評(píng)定。1-2試述測(cè)量誤差的定義及分類，不同種類誤差的特點(diǎn)是什么？答1：測(cè)量誤差的定義：誤差=測(cè)得值一真值。測(cè)量誤差的分類：隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差和粗大誤差。各類誤差的特點(diǎn)：（1） 隨機(jī)誤差：服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，具有對(duì)稱性、單峰性、有界性和抵償性；（2） 系統(tǒng)誤差：不服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，表現(xiàn)為固定大小和符號(hào)，或者按一定規(guī)律變化；（3） 粗大誤差：誤差值較大，明顯地歪曲測(cè)量結(jié)果。答2：測(cè)量誤差就是測(cè)的值與被測(cè)量的真值之間的差；按照誤差的特點(diǎn)和性質(zhì)，可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差、粗大誤差。系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)是在所處測(cè)量條件下，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持恒定，或遵循一定的規(guī)律變化（大小和符號(hào)都按一定規(guī)律變化）；隨機(jī)誤差的特點(diǎn)是在所處測(cè)量條件下，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)定方式變化；粗大誤差的特點(diǎn)是可取性。1-3試述誤差的絕對(duì)值與絕對(duì)誤差有何異同，并舉例說明。答1：相同點(diǎn)：都是測(cè)量值與真值之差。不同點(diǎn)：誤差的絕對(duì)值都是正值，而絕對(duì)誤差有正、有負(fù)，反映了測(cè)得值與真值的差異。例：某長度的絕對(duì)誤差為一0.05mm,而該誤差的絕對(duì)值為一0.05lmm=0.05mm。

(1)誤差的絕對(duì)值都是正數(shù)，只是說實(shí)際尺寸和標(biāo)準(zhǔn)尺寸差別的大小數(shù)量，不反映是“大了”還是“小了”，只是差別量；絕對(duì)誤差即可能是正值也可能是負(fù)值，指的是實(shí)際尺寸和標(biāo)準(zhǔn)尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。(2)就測(cè)量而言,前者是指系統(tǒng)的誤差未定但標(biāo)準(zhǔn)值確定的，后者是指系統(tǒng)本身標(biāo)準(zhǔn)值未定。1-4什么叫測(cè)量誤差？什么叫修正值？含有誤差的測(cè)定值經(jīng)修正后，能否獲得被測(cè)量的真值？1-4答：1)測(cè)量誤差：測(cè)得值與被測(cè)量真值之差。2)修正值：為消除固定系統(tǒng)誤差用代數(shù)法加到測(cè)量結(jié)果上的值，是誤差的相反數(shù)。3)經(jīng)修正后仍然不能得到被測(cè)量的真值，理由是修正值本身也含有誤差。1-51)測(cè)量誤差：測(cè)得值與被測(cè)量真值之差。2)修正值：為消除固定系統(tǒng)誤差用代數(shù)法加到測(cè)量結(jié)果上的值，是誤差的相反數(shù)。3)經(jīng)修正后仍然不能得到被測(cè)量的真值，理由是修正值本身也含有誤差。1-5測(cè)得某三角塊的三個(gè)角度之和為180°00＇02＇＇，試求測(cè)量的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。解：真值為180°絕對(duì)誤差：18°。°°'°2〃—18°。=2相對(duì)誤差：麗=而圖莎=°-°相對(duì)誤差：麗=而圖莎=°-°0031%1-6O1-6在萬能測(cè)長儀上，測(cè)量某一被測(cè)件的長度為50mm,已知其最大絕對(duì)誤差為1pm,試問該被測(cè)件的真實(shí)長度為多少？解：因?yàn)長=5°mm,<5=°.°°1mm所以L=L+6=(5°.°°°+°.°°l)mm°1-7用二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測(cè)量某壓力的100?2Pa,該壓力用更準(zhǔn)確的辦法測(cè)得為100?5Pa,問二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測(cè)量值的誤差是多少？解：以1°°.5Pa未約定真值,則二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測(cè)量值的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差為絕對(duì)誤差：1°°.2Pa－1°°.5Pa=－°.3Pa相對(duì)誤差：°.3-°.3%1°°.51-8在測(cè)量某一長度時(shí)，讀數(shù)為2.31m，其最大絕對(duì)誤差為20pm，試求其最大相對(duì)誤差。解：最大相對(duì)誤差為2°卩m2°卩m2.31m2°x1°-6m2.31m=°.°°°87%1-9使用凱特?cái)[時(shí)，g由公式g=4“2(h+h)T2給定。今測(cè)出長度他+h2)為(1?04230±0.00005)1212m，振動(dòng)時(shí)間T為(2.0480±0?0005)。試求g及其最大相對(duì)誤差。如果(h汁h(huán))測(cè)出為(1?04220±0.00005)12m,為了使g的誤差能小于0?001m/s2,T的測(cè)量必須精確到多少？

4兀21解：設(shè)="+◎，則g二〒2.04802g=俎=4x3?141592xL。4230=9.8104m/s22.04802T2 ⑵根據(jù)相對(duì)誤差的概念：心106+f），T=T06+fT）其中：f、fT分別為1和T的相對(duì)誤差，如此有:4兀21 16+f）g= =4兀2—0 rT2 T2（1+f）0Tx2.2005x2.2005=0.051%2.0480fg=少2fT=船+2(3)要求&g<0.001m/s2，且(h]+h2)=(1.04220±0.00005)m根據(jù)f根據(jù)fg二f1+2fT以及fg弋可得=竺= =0.000048g 9.104220因此fT又fT==1f-f)=0.因此fT又fT=2g 1AT—，故AT=TfT=0.00005s。所以，T的測(cè)量必須精確到0.00005s。1-10檢定2?5級(jí)（即引用誤差為2.5%）的全量程為100V的電壓表，發(fā)現(xiàn)50V刻度點(diǎn)的示值誤差2V為最大誤差，問該電壓表是否合格？解：因?yàn)樽畲笳`差為2V,故該表的引用誤差為—=2%<2.5%100所以該電壓表示合格的。1-11為什么在使用微安表等各種電表時(shí)，總是希望指針在全量程的2/3范圍內(nèi)使用？答：對(duì)于一個(gè)確定的電表，其等級(jí)是一定的，此時(shí)最大絕對(duì)誤差：AX=±xxs%mmAx x~最大相對(duì)誤差：r=m=±fxs%xxx由此可見，隨著x（測(cè)量讀數(shù)）增大，相對(duì)誤差減小，超過2/3之后，最大相對(duì)誤差在可接受范圍內(nèi)。

所以總是希望指針在全量程的2/3范圍內(nèi)使用。1-12用兩種方法分別測(cè)量L]=50inm,L2=80mm。測(cè)得值各為50.004mm、80.006mm。試評(píng)定兩種方法測(cè)量精度的高低。解：由于使用兩種不同的方法，測(cè)量的是兩個(gè)不同的長度，故只能用相對(duì)誤差進(jìn)行比較。L: 50.004500.004mm —00048105“ 1 ，L501L: 80.006500.006mm —00067.51052? 2 'L802即：所以對(duì)即：所以對(duì)l2的測(cè)量精度較高。1-13多級(jí)彈道火箭的射程為10000km時(shí)，其射擊偏離預(yù)定點(diǎn)不超過0.1km;在射擊場(chǎng)中，優(yōu)秀射手能在距離50m遠(yuǎn)處準(zhǔn)確地射中直徑為2cm的靶心。試評(píng)述哪一個(gè)射擊精度高？解：多級(jí)彈道火箭：0.1100000.001%射手：0.01解：多級(jí)彈道火箭：0.1100000.001%射手：0.01"50"0.02%比較結(jié)果表明，多級(jí)彈道火箭的射擊精度較高。1-14若用兩種測(cè)量方法測(cè)量某零件的長度L1=110mm，其測(cè)量誤差分別為±11“1和±“m;而用第三種測(cè)量方法測(cè)量另一種零件的長度L2=150mm，其測(cè)量誤差為是比較三種測(cè)量方法精度的高低。解：第一、二種方法測(cè)量的是同一個(gè)零件的長度，因此，可以直接用其絕對(duì)誤差進(jìn)行比較。根據(jù)題意第二種測(cè)量方法精度高于第一種。第三中采用了其它方法，測(cè)量的是另一零件的長度，因此，用相對(duì)誤差進(jìn)行比較9m 12m因?yàn)?0.000082 0.00008。所以，第三種方法的測(cè)量精度最高，第二種次之,110mm 150mm第一種最低。1-15某量值y由被測(cè)量x表示為y4x2x，若x的相對(duì)誤差為1%時(shí)，求y的相對(duì)誤差是多少。解：設(shè)X的相對(duì)誤差為fx，則x=x0(1+fX)y4x1f0xx1f0x24x1f1f0xxx0=4x-JG+2f)0x xI xo丿所以，y的相對(duì)誤差為張=2%。1-16如何根據(jù)測(cè)量誤差的特點(diǎn)來減小或消除測(cè)量誤差？答：(1)隨機(jī)誤差：由于具有抵償性，可通過多次測(cè)量的算術(shù)平均值減小或消除測(cè)量誤差。(2)系統(tǒng)誤差：A.找出系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因，從根源上消除；B。找出系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律，在最后結(jié)果中加以修正。(3)粗大誤差：直接從測(cè)量數(shù)據(jù)中剔除掉。1-17什么是有效數(shù)字及數(shù)字舍入有哪些規(guī)則？答：(1)有效數(shù)字：含有誤差的任何近似數(shù)，若其絕對(duì)誤差界是最末位數(shù)的半個(gè)單位，則從這個(gè)近似數(shù)左方起的第一個(gè)非零數(shù)字稱為第一位有效數(shù)字。且從第一位有效數(shù)字起到最末一位數(shù)止的所有數(shù)字，無論是零還是非零的數(shù)字，都叫有效數(shù)字。(2)數(shù)字舍入規(guī)則：若舍去部分的數(shù)值大于保留部分的末尾的半個(gè)單位，則末尾加1。若舍去部分的數(shù)值小于保留部分的末尾的半個(gè)單位，則末尾不變。若舍去部分的數(shù)值等于保留部分的末尾的半個(gè)單位，則末尾湊成偶數(shù)，即末尾為偶數(shù)時(shí)不變，末位為奇數(shù)時(shí)加1。1-18根據(jù)數(shù)據(jù)運(yùn)算規(guī)則，分別計(jì)算下是結(jié)果：3151?0+65?8+7?326+0.416+152.28=?28.13X0.037X1.473=?解：以65.8為基準(zhǔn)，其余各數(shù)多取一位，則有原式=3151.0+65.8+7.33+0.42+152.28=3376.83~3376.8以28.13為基準(zhǔn)，其余各數(shù)多取一位，則有原式=28.13X0.037X1.473=1.041X1.473=1.5334^1.531-19在測(cè)量實(shí)踐中有效數(shù)字的作用以及它與測(cè)量精度的關(guān)系如何?試舉例說明之。第2章誤差的基本性質(zhì)與處理2.1試述標(biāo)準(zhǔn)差b、平均誤差9和或然誤差P的幾何意義？答：從幾何學(xué)的角度出發(fā)，標(biāo)準(zhǔn)差可以理解為一個(gè)從N維空間的一個(gè)點(diǎn)到一條直線的距離的函數(shù)；從幾何學(xué)的角度出發(fā)，平均誤差可以理解為N條線段的平均長度；2.2試述單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差b和算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差b一，兩者的物理意義及實(shí)際用途有何不同？x2.3試分別求出服從正態(tài)分布、反正弦分布、均勻分布誤差落在［-v'2b,^.-'2b］中的概率？2.4測(cè)量某物體重量共8次，測(cè)得數(shù)據(jù)(單位為g)為236.45,236.37,236.51,236.34,236.39,236.48,236.47，236.40，求其算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差?！窘狻俊竣龠x參考值x二236.00，計(jì)算差值A(chǔ)x二x-x二x-236.00、Ax和殘差v等列于表中。0ii0i0i序號(hào)xiAxivi1236.450.450.020.00042236.370.37-0.060.00363236.510.510.080.00644236.340.34-0.090.00815236.390.39-0.040.00166236.480.480.050.00257236.470.470.040.00168236.400.40-0.030.0009求和1891.413.41-0.030.0251測(cè)量次數(shù)平均值平均值8236.430.43參考值236.00x=x+Ax=263.00+0.43=263.4300Ax二1工Ax二0.4308ii=1或依算術(shù)平均值計(jì)算公式，n=8，直接求得：x=工1/n=236.43(g)ii=1送V2②計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差：用貝塞爾公式計(jì)算:b=亠=z=0.0599(g)1n-1 8-12.5用別捷爾斯法、極差法和最大誤差法計(jì)算習(xí)題2-4的標(biāo)準(zhǔn)差,并比較之【解】(1)用別捷爾斯法計(jì)算c二1.253c二1.253了時(shí)xn(n-1)二1.253X041=0.0687(g)8x72)用極差法計(jì)算8個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)的極差為：°8個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)的極差為：°n=xmaxn max-x =xmin3-x=236.51-236.34=0.174查教材P20表2-4,n=8時(shí)d二2.85nc二°c二°=0.172.85=0.0596(g)3)最大誤差法計(jì)算8個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)的最大殘差為：|v8個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)的最大殘差為：|vimax|=0.09查教材P20表2-5,n=8時(shí)，1/k'=0.61nv.l/v.l/maxk'n=0.09x0.61=0.0549168.54，168.59，168.40，168.50，2.6測(cè)量某電路電流共5次，測(cè)得數(shù)據(jù)(單位為mA)為168.41,試求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差、或然誤差和平均誤差。168.54，168.59，168.40，168.50，【解】①選參考值x0=168.5,計(jì)算差值2—x—168.5、Ax和殘差v等列于表中。0 ii 0 i序號(hào)xAxivV.2iV」i1168.41-0.09-0.0780.0060840.0782168.540.040.0520.0027040.0523168.590.090.1020.0104040.1024168.40-0.10-0.0880.0077440.0885168.500.000.0120.0001440.012求和842.44-0.060.0000.027080.332算術(shù)平均值168.488-0.012或依算術(shù)平均值計(jì)算公式，n=5，直接求得：x=士工x=16&488(mA)5i|藝2②計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差：用貝塞爾公式計(jì)算：c—i—A—0.02708—0.0823(mA)TOC\o"1-5"\h\z1n-1 V4為vl[若用別捷爾斯法計(jì)算：c—1.253^!—1.253?—0.0930]■n(n-1) ■5x4[用極差法計(jì)算：n=5時(shí)dn=2.33，c—叫—168.59-168.40—0.0815(mA)]d 2.33n下面是以貝塞爾公式計(jì)算的或然誤差和平均誤差數(shù)據(jù)：或然誤差：pQ乞◎二2x0.0823=0.0549(mA)；33平均誤差：°Q垮c=-4x0.0823=0.06584(mA)55算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差c-:b-=w=00823=0.037x x>'n 、'5算術(shù)平均值或然誤差R：Rq仝c=壬x0.037=0.0247(mA)3x3算術(shù)平均值平均誤差T：Tq4c=4x0.037=0.0296(mA)5x52.7在立式測(cè)長儀上測(cè)量某校對(duì)量具，重復(fù)測(cè)量5次，測(cè)得數(shù)據(jù)(單位為nm)為20.0015,20.0016,20.0018，20.0015，20.0011。若測(cè)量值服從正態(tài)分布，試以99%的置信概率確定測(cè)量結(jié)果?！窘狻俊啃蛱?hào)xiviV2i|v|i120.00150.00000.000000000.0000220.00160.00010.000000010.0001320.00180.00030.000000090.0003420.00150.00000.000000000.0000520.0011-0.00040.000000160.0004求和100.00750.00000.000000260.0008平均20.0015求算術(shù)平均值X:X=才x/n=10嚴(yán)=20?0015(mm)i=1求殘余誤差：各次測(cè)量的殘余誤差依次為0,0.0001，0.0003，0,-0.0004。求測(cè)量列單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差用貝塞爾公式計(jì)算?：C=\J=\乓唇=°.°°°255訕)工|v|用別捷爾斯公式計(jì)算：c'=^253—^=L253皿=O.。00244(mm)nn(n-1) ^'5x4求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差C= =0.000255=0.000144C'一= =0.000244=0.0001x-n ■■-5 ； n ■-5求單次測(cè)量的極限誤差和算術(shù)平均值的極限誤差因假設(shè)測(cè)量值服從正態(tài)分布，并且置信概率P=20(t)=99%，則①(t)=0.495,查附錄表1正態(tài)分布積分表，得置信系數(shù)t=2.6。故：單次測(cè)量的極限誤差：5x=土tc=2.6x0.000255=0.00066lim算術(shù)平均值的極限誤差：5x=+t6二2.6X0.000144二0.0003lim x⑥求得測(cè)量結(jié)果為：x二X±5X二X士t◎-二20.0015士0.0003(mm)lim x2.8對(duì)某工件進(jìn)行5次測(cè)量，在排除系統(tǒng)誤差的條件下，求得標(biāo)準(zhǔn)差O=0.005mm，若要求測(cè)量結(jié)果的置信概率為95%，試求其置信限。【解】因測(cè)量次數(shù)n=5，次數(shù)比較少，按t分布求置信限（極限誤差）。已知：P=95%,故顯著度a=l—P=0.05；而自由度v=n—l=5—l=4。根據(jù)顯著度a=0.05和自由度v查附錄表3的t分度表，得置信系數(shù)ta=2.78。所以算術(shù)平均值的置信限為：5limX=±taG廠士2.78X0005二±0.00622（mm）2.9用某儀器測(cè)量工件尺寸，在排除系統(tǒng)誤差的條件下，其標(biāo)準(zhǔn)差O=0.004mm，若要求測(cè)量結(jié)果的置信限為土0.005mm，當(dāng)置信概率為99%時(shí)，試求必要的測(cè)量次數(shù)。【解】①若測(cè)量誤差符合正態(tài)分布規(guī)律已知置信概率：P=99%,查正態(tài)分布表有：t=2.6，則置信限為：給定值）5兀=±心=±t孕=±2.6X =±0.005則置信限為：給定值）lim x ■-n '■n求得：n=4.32，取n=5.②若測(cè)量誤差符合t分布已知置信概率：P=99%，則顯著度a=0.01，由置信限：5limX=±taQ廣±：壬＜±0.005有關(guān)系：tW1.25楊=1.25vVT1lim ax u宅n a當(dāng)顯著度a=0.01時(shí)，v=7，查t分度表，有ta=3.50,滿足上述等式。即求得：n=v+1=8為必要的測(cè)量次數(shù)。2.10用某儀器測(cè)量工件尺寸，已知該儀器的標(biāo)準(zhǔn)差O=0.001mm,若要求測(cè)量的允許極限誤差為土0.0015mm，而置信概率P為0.95時(shí)，應(yīng)測(cè)量多少次?！窘狻勘绢}與2-9相似。①若測(cè)量誤差符合正態(tài)分布規(guī)律已知置信概率：P=0.95，查正態(tài)分布表有：t=1.96，則極限誤差為：5腫=±2-=±t^=±1.9X0001=±0?0015（給定值）lim x 7n 5求得：n=1.7，取n=2.②若測(cè)量誤差符合t分布已知置信概率：P=0.95，則顯著度a=0.05,

由極限誤差3limx=±yx=±：亠<±0.0015有關(guān)系：t<1.5Jn=1.5屮'v+1lim ax ayn a當(dāng)顯著度a=0.05時(shí)，v=3，查t分度表，t=3.18>1.5、；v+1=3（不合要求）av=4，查t分度表，t=2.78<1.5.v+1=3.354（滿足要求）a即求得：n=v+1=4+1=5為必要的測(cè)量次數(shù)?！窘狻?-11已知某儀器測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差為0.5卩m。①若在該儀器上，對(duì)某一軸徑測(cè)量一次，測(cè)得值為，【解】序號(hào)xiAxivv.2I126.20250.00050.00000.00000000226.20280.00080.00030.00000009326.20280.00080.00030.00000009426.20250.00050.00000.00000000526.20260.00060.00010.00000001626.20220.0002-0.00030.00000009726.20230.0003-0.00020.00000004826.20250.00050.00000.00000000926.20260.00060.00010.000000011026.20220.0002-0.00030.00000009求和262.0250.0050.00000.00000042算術(shù)平均值26.20250.0005參考值26.202測(cè)量次數(shù)10試寫出測(cè)量結(jié)果。②若重復(fù)測(cè)量10次，測(cè)得值（單位為mm）為26.2025,26.2028,26.2028,26.2025,26.2026,26.2022,26.2023,26.2025,26.2026,26.2022,試寫出測(cè)量結(jié)果。③若手頭無該儀器測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差值的資料，試由②中10次重復(fù)測(cè)量的測(cè)量值，寫出上述①、②的測(cè)量結(jié)果。①若按正態(tài)分布，§iimx=±2，x=X±5腫，取t=3x=x±§x=(26.2025±0.0015)mmlim②若按正態(tài)分布，§x=±矩，x=x±8x；lim lim單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差&-0,0005mm算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差&-=亠=0.000158mm兀 \n

算術(shù)平均值的極限誤差8x=±ZH-=0.000474mmlim x因此，取t=3,測(cè)量結(jié)果:x=x±8x=(26.2025±0.0005)mm。因此，取t=3,測(cè)量結(jié)果:lim單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差&—③根據(jù)貝塞爾公式G=單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差&—③根據(jù)貝塞爾公式G=昱V2丐h，可以求得=°.°°°216°25咖=°.°°°216咖算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差&x=蔦=0.000683mm單次測(cè)量的極限誤差8x=±t&lim算術(shù)平均值的極限誤差8x=±t&-lim x因此，取t=3，對(duì)①，測(cè)量結(jié)果：x=x±8x=(26.2025±0.0006)mmlim對(duì)②，測(cè)量結(jié)果：x=x±8x=(26.2025±0.0002)mm。lim2.12某時(shí)某地由氣壓表得到的讀數(shù)(單位為Pa)為102523.85,102391.30,102257.97,102124.65,101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，其權(quán)各為1，3，5，7，8，6，4，2，試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差?！窘狻啃蛱?hào)xipipxiiviV2iPV2ii|v|i1102523.851102523.85495.51245530.16245530.1601495.512102391.33307173.90362.96131739.962395219.8848362.963102257.975511289.85229.6352729.9369263649.6845229.634102124.657714872.5596.319275.616164929.312796.315101991.338815930.64-37.011369.740110957.920837.016101858.016611148.06-170.3329012.3089174073.8534170.337101724.694406898.76-303.6592203.3225368813.29303.658101591.362203182.72-436.98190951.52381903.0408436.98求和816463.16363673020.33平均102057.895102028.34加權(quán)102028.34236.441905077.147由計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差的公式直接計(jì)算。加權(quán)算術(shù)平均值為：p.x.x=p二=M02523.85+3辺02391.30+5辺0257.97+7辺02124.65+8辺01991.33+6辺01858.01+4辺01724.69+2辺01591.36Y 1+3+5+7+8+6+4+2pii=1=3673020.33=102028.3425沁102028.34(p)36 a加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算，先求各測(cè)量結(jié)果的殘余誤差(見上表中)：算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為：￡pv2=1x495.512+3x362.962+5x229.632+7x96.312+8x(-37.01)2iii=1+6x(-170.33)2+4x(-303.65)2+2x(-436.98)2=1905077.1471區(qū)pv2?O_=|—日'' =■'1905077.147=86.95(p)…X ￡ V(8-1)x36 a(m-1)p.2-13測(cè)量某角度共兩次，測(cè)得值為J=24。13'36〃,a=24。13'24'',其標(biāo)準(zhǔn)差分別為12=3.1；o=13.8〃，試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。2【解】：p:p= : =19044:9611 2o2o212X=24。13'20''+19044x16''+961x4”=2401335''19044+961o_=o_xSf19044p—=3.1''x q3.0''19044+961P.、i=12-14甲、乙兩測(cè)量者用正弦尺對(duì)一錐體的錐角a各重復(fù)測(cè)量5次，測(cè)得值如下:a:7。2'20〃,7。3'0〃,7。2'35〃,7。2'20〃,7。2'15〃;甲a:70225,70225,70220,70250,70245;乙試求其測(cè)量結(jié)果。解】甲：兀甲=72'+20"+60"+35"+20"+15"5=72'30"空空v.2I i(—10〃)2+(30〃)2+5〃2+(—10〃)2+(—15〃)24=18.4"o_X甲o(hù)18.4"鳶=r8.23"乙：兀乙=72'+25"+25"+20"+50"+45"=72'33"Op:p= 甲乙c_2x甲—=3648:67738.2326.042px甲+px乙 3648X30"+6773x33"3648+6773x=^甲^ 乙^= +72'=72'32"3648+6773p中+p中

甲 p中

甲 x甲 p+p甲乙=8.23〃X3648+6773=4.87”X=x土3c_=72'32''±15''x2.15試證明n個(gè)相等精度測(cè)得值的平均值的權(quán)乘以任一個(gè)測(cè)量值的權(quán)。2.16重力加速度的20次測(cè)量具有平均值為9.811m/s2、標(biāo)準(zhǔn)差為0.014m/s2。另外30次測(cè)量具有平均值9.802m/s2、標(biāo)準(zhǔn)差為0.022m/s2。假設(shè)這兩組測(cè)量屬于同一正態(tài)總體。試求此50次測(cè)量的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差?！窘狻恳阎?0次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差q=0.014(m/s2),30次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差G2=0.022(m/s2)，由此可確定其權(quán)的大小。p:p=丄：丄=—i:―i=121:491 2 ci2丐 °?°142O.0222然后再按不精度測(cè)量有關(guān)公式直接計(jì)算。50次測(cè)量的加權(quán)算術(shù)平均值：為piv2x=,=|1'=121x9.811+49x9.802=9.8084歹 121+49 (m/s2)乙pii=150次測(cè)量的加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差：c_x或：c-x=0.014c_x或：c-x=0.014x=0.022x=0.012=0.0122.17對(duì)某量進(jìn)行10次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)為14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，試判斷該測(cè)量列中是否存在系統(tǒng)誤差?！窘狻肯扔?jì)算算術(shù)平均值：x=14.96。各測(cè)量數(shù)據(jù)的殘余誤差分別為:序號(hào)xiviV2i|v|i114.7-0.260.06760.26215.00.040.00160.04315.20.240.05760.24414.8-0.160.02560.16515.50.540.29160.54614.6-0.360.12960.36714.9-0.060.00360.06814.8-0.160.02560.16915.10.140.01960.141015.00.040.00160.04求和149.60.00.6242平均14.96從表中可以看出：v=—0.26v=0.04v=0.24v=—0.16v=0.5412345v=—0.36v=—0.06v=—0.16v=0.14v=0.04678910①根據(jù)殘余誤差觀察法：計(jì)算出的殘余誤差符號(hào)正負(fù)個(gè)數(shù)相同，且無顯著變化規(guī)律，因此可判斷該測(cè)量列無變化的系統(tǒng)誤差存在。②采用不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法。按貝塞爾公式：b1乙按貝塞爾公式：b1乙2i~T^1n—1=0.263用別捷爾斯法計(jì)算：b二用別捷爾斯法計(jì)算：b二1.253x-B二1.253x=二0.2642 '■■■n(n—1) 10x9令色=0,264=1.004=1+U令：巧0.263因?yàn)椋簠?0667因?yàn)椋簠?066710—1u=0.004，故無根據(jù)懷疑測(cè)量列存在系統(tǒng)誤差。③按殘余誤差校核法：前5個(gè)殘余誤差和與后5個(gè)殘余誤差的差值△為A二工v—藝v二0.4—(0.4)二0.8iji=1 j=6兩部分之差顯著不為0，則有理由認(rèn)為測(cè)量列中含有系統(tǒng)誤差。(為什么會(huì)得出互為矛盾的結(jié)論？問題出在本題給出的數(shù)據(jù)存在粗大誤差 這就提醒我們?cè)谂袛嗍欠裼邢到y(tǒng)誤差前，應(yīng)先剔除粗大誤差，然后再進(jìn)行系統(tǒng)誤差判斷。)

2.18對(duì)一線圈電感測(cè)量10次，前4次是和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，后6次是和另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，測(cè)得結(jié)果如下（單位為mH）：50.82,50.83,50.87,50.89,50.78,50.78,50.75,50.85,50.82，50.81。試判斷前4次與后6次測(cè)量中是否存在系統(tǒng)誤差。序號(hào)xiviV2i|v|i150.820.000.00000.00250.830.010.00010.01350.870.050.00250.05450.890.070.00490.07550.78-0.040.00160.04650.78-0.040.00160.04750.75-0.070.00490.07850.850.030.00090.03950.820.000.00000.001050.81-0.010.00010.01求和508.200.000.01660.32平均50.82解法一】用t用t檢驗(yàn)法進(jìn)彳丁檢驗(yàn)前4次測(cè)量的算術(shù)平均值后6次測(cè)量的算術(shù)平均值x=i工x=50.85254y=+工y=50.79836b2=i工(x—x)2=0.00082 b2=i工(y—y)2=0.00105x4i y6i 4%(4+62)———=2.44(4+6)(4X0.00082+6x0.00105)t=(x—y) "心n+ 4%(4+62)———=2.44(4+6)(4X0.00082+6x0.00105)("1+n2)(niXb2+n2Xb2)由v=4+6-2=8及取a=0.05，查t分布表，得ta=2.31。因|t|=2.44>：=2.31，可判斷兩組數(shù)據(jù)可能存在系統(tǒng)誤差解法二】用秩和檢驗(yàn)法進(jìn)彳檢驗(yàn)。將兩組數(shù)據(jù)按從小到大混合排列成下表T12345678910xi50.8250.8350.8750.89yi50.7550.7850.7850.8150.8250.85已知：n=4,n=6；計(jì)算秩和T：Tx=5.5+7+9+10=31.5,Ty=l+2+3+4+5.5+8=23.5（取測(cè)量次數(shù)較少一組12的秩）

查表：T=14,T=30；-+因：T=31.5>T=30,可判斷兩組數(shù)據(jù)可能存在系統(tǒng)誤差。+b=b=^n=50.8950.82=0.034；1d2.06n第一組數(shù)據(jù)：X=+工x=50.8525；4b=X'5?n-1J3.7257x103=0.033第二組數(shù)據(jù)：y=十工y=50.7983；b=\目=62.8334x104=0.0356y 1n-16-1［注：若以極差法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差,計(jì)算結(jié)果也相近：b=叫=50.8550.75=0.04]2d' 2.53n兩組數(shù)據(jù)算術(shù)平均值之差為：A=X-y=50.8525-50.7983=0.0542其標(biāo)準(zhǔn)差為：b=Jb2+b2=$0.0332+0.0352=0.0481因：A=0.0542<2沖+b2=0.0962，故兩組數(shù)據(jù)間無系統(tǒng)誤差。（以上計(jì)算,本人經(jīng)過多次推導(dǎo),應(yīng)該無誤！解法三得出了與前兩種方法互為矛盾的結(jié)論,原因何在？請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)分析。）（本人分析原因如下：①所給兩組數(shù)據(jù)包含的誤差并不是服從正態(tài)分布，因此不能用t檢驗(yàn)法檢驗(yàn)；②解法三在計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，因測(cè)量次數(shù)少，用貝塞爾公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差誤差大；極差法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差也是要求測(cè)量誤差服從正態(tài)分布；③解法二適合非正態(tài)分布的誤差，得出的結(jié)論正確；④以上幾種系統(tǒng)誤差的判別法具有一定的適應(yīng)范圍，有局限性。）2.19等精度測(cè)得某一電壓10次，測(cè)得結(jié)果（單位為V）為25.94,25.97,25.98,26.01,26.04,26.02，26.04，25.98，25.96，26.07。測(cè)量完畢后，發(fā)現(xiàn)測(cè)量裝置有接觸松動(dòng)現(xiàn)象，為判明是否因接觸不良而引入系統(tǒng)誤差，將接觸改善后，又重新做了10次等精度測(cè)量，測(cè)得結(jié)果（單位為V）為25.93,25.94,25.98,26.02,26.01,25.90,25.93,26.04,25.94,26.02。試用t檢驗(yàn)法（取a=0.05）判斷兩組測(cè)量值之間是否有系統(tǒng)誤差?！窘狻坑?jì)算兩組測(cè)量結(jié)果的算術(shù)平均值：1組 2組序號(hào)xiviV2i|v|i一序號(hào)xiViV2i|v|i125.94-0.060.00360.06125.93-0.040.00160.04225.97-0.030.00090.03225.94-0.030.00090.03325.98-0.020.00040.02325.980.010.00010.01

426.010.010.00010.01426.020.050.00250.05526.040.040.00160.04526.010.040.00160.04626.020.020.00040.02625.90-0.070.00490.07726.040.040.00160.04725.93-0.040.00160.04825.98-0.020.00040.02826.040.070.00490.07925.96-0.040.00160.04925.94-0.030.00090.031026.070.070.00490.071026.020.050.00250.05求和260.010.000.01550.35259.710.000.02150.43平均26.00125.97x二26.001y=25.971b2二十工(x-x)2=0.00155b2二十工(y-y)2=0.00215xni y ny ixynn(n亠n—2)xyxy(n+n)(nn(n亠n—2)xyxy(n+n)(nb2+nb2)xyxxyy由v=10+10-2=18及取a=0.05，查t分布表，得t=2.1。a(10+10)(10x0.00155+10x0.00215)因|t|=1.48<t=2.1，故無根據(jù)懷疑兩組數(shù)據(jù)間存在線性系統(tǒng)誤差。a2.20對(duì)某量進(jìn)行了12次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)為20.06，20.07，20.06，20.08，20.10，20.12，20.11，20.14，20.18，20.18，20.21，20.19，試用兩種方法判斷該測(cè)量列中是否存在系統(tǒng)誤差?！窘狻肯扔?jì)算算術(shù)平均值：x=20.125。各測(cè)量數(shù)據(jù)的殘余誤差分別為：序號(hào)xiviV2i|v|i120.06-0.0650.0042250.065220.07-0.0550.0030250.055320.06-0.0650.0042250.065420.08-0.0450.0020250.045520.10-0.0250.0006250.025620.12-0.0050.0000250.005720.11-0.0150.0002250.015820.140.0150.0002250.015920.180.0550.0030250.0551020.180.0550.0030250.0551120.210.0850.0072250.0851220.190.0650.0042250.065求和241.500.0000.0321000.55平均值20.125根據(jù)殘余誤差觀察法：計(jì)算出的殘余誤差有規(guī)律地遞增，在測(cè)量開始與結(jié)束時(shí)誤差符號(hào)相反，故可判斷該測(cè)量列存在線性系統(tǒng)誤差。按殘余誤差校核法：前6個(gè)殘余誤差和與后6個(gè)殘余誤差的差值△為

A二》v-國v=-0.26-0.26=-0.52iji=1 j=7兩部分之差顯著不為0，則有理由認(rèn)為測(cè)量列中含有線性系統(tǒng)誤差采用不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法。按貝塞爾公式：按貝塞爾公式：b=1用別捷爾斯法計(jì)算：b2=1.253啟=1.253%肯=0.06令:七=-0^=1.11=1+0.11=1+ub1 0.054因?yàn)椋?*=0.603> =0.11，故無根據(jù)懷疑測(cè)量列存在系統(tǒng)誤差。、'n-1' 叫1（又出現(xiàn)互為矛盾的結(jié)論，如何解釋呢？）2.21對(duì)某量進(jìn)行兩組測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.261.301.341.391.411.57yi0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.501.591.601.601.841.95試用秩和檢驗(yàn)法判斷兩組測(cè)量值之間是否有系統(tǒng)誤差。解】將兩組數(shù)據(jù)按從小到大混合排列成下表：T123456789101112131415xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.261.30yi0.991.121.211.25T161718192021222324252627282930xi1.341.391.411.57yi1.311.311.381.411.481.501.591.601.601.841.95已知n=n=15，因x?組數(shù)據(jù)的秩和較小，故以其數(shù)據(jù)的次序計(jì)算秩和:12iTx=l+2+5+6+7+8+9+10.5+12+14+15+18+20+21.5+25=174（取秩較小的一組的秩）Ty=3+4+10.5+13+16+17+19+21.5+23+24+26+27+28+29+30=291因n=n=15>10,秩和T近似服從正態(tài)分布。12N（a,b）=N（竹（n+n+1）,時(shí)2（ni+n+1））2*12其中數(shù)學(xué)期望a和標(biāo)準(zhǔn)差。分別為:a—a—竹(n+勺+1)—15(15+15+1)—232.5,b—22n$2(n+\+1)= 15x15(15+15+1)=24.111212則置信系數(shù)t為:t—T=^—174—232.5——2.43則置信系數(shù)t為:b24.11選取置信概率99%(p—1—a,a—1—p，顯著度0.01),即取①(t)=0.495,由附錄表1查得：ta=2.60因|t|—2.43<ta—2.60，故無根據(jù)懷疑兩組數(shù)據(jù)間有系統(tǒng)誤差。2.22對(duì)某量進(jìn)行15次測(cè)量,測(cè)得數(shù)據(jù)為28.53,28.52,28.50,29.52,28.53,28.53,28.50,28.49,28.49,28.51,28.53,28.52,28.49,28.40,28.50,若這些測(cè)得值已消除系統(tǒng)誤差,試用萊以特準(zhǔn)則、格羅布斯準(zhǔn)則和狄克松準(zhǔn)則分別判別該測(cè)量列中是否含有粗大誤差的測(cè)量值?！窘狻繉⒂嘘P(guān)計(jì)算數(shù)據(jù)：平均值、殘差Vj等列于表中:序號(hào)xvV2Ivl剔去4V'V'2128.53-0.040.00160.0428.530.030.0009228.52-0.050.00250.0528.520.020.0004328.50-0.070.00490.0728.500.000.00429.520.950.90250.950.000.000.00528.53-0.040.00160.0428.530.030.0009628.53-0.040.00160.0428.530.030.0009728.50-0.070.00490.0728.500.000.00828.49-0.080.00640.0828.49-0.010.0001928.49-0.080.00640.0828.49-0.010.00011028.51-0.060.00360.0628.510.010.00011128.53-0.040.00160.0428.530.030.00091228.52-0.050.00250.0528.520.020.00041328.49-0.080.00640.0828.49-0.010.00011428.40-0.170.02890.1728.40-0.100.011528.50-0.070.00490.0728.500.000.00求和428.560.000.98031.90399.040.000.0148平均值28.5728.50直接求得15個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差fv2x—28.57；b—亠——0.26515i n—1 15—1i—1用萊以特準(zhǔn)則判別粗大誤差因|v4|—0.95>3b—0.795，故第4個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)含測(cè)量粗大誤差，應(yīng)當(dāng)剔除。再對(duì)剩余的14個(gè)測(cè)得值重新計(jì)算,得：

14 ［牙v'2 x'=丄才x'=28.50b'=、日’=/0.0148=0.033714 i ； n-1 '14-1i=1由表知第14個(gè)測(cè)得值的殘余誤差：|v'14|=0.17>3b=0.1011，故也含粗大誤差，應(yīng)剔除。再重復(fù)驗(yàn)算，剩下的13個(gè)測(cè)得值已不包含粗大誤差。用格羅布斯準(zhǔn)則判別已經(jīng)計(jì)算出15個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征量：x=28.57，b=0.265。將測(cè)得的數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，有：x=28.40, X—x=28.57—28.40=0.17(1)(1)x=29.52,x—x=29.52—28.57=0.95(15) (15)首先判別x首先判別x()是否含有粗大誤差:(15)g=x(15)—x=0.95=3.585(15)b 0.265查表2-13得：g(15,0.05)=2.410則：g=3.585>g(15,0.05)=2.41則：(15) 0故第4個(gè)測(cè)得數(shù)據(jù)包含粗大誤差，應(yīng)當(dāng)剔除。再對(duì)剩下的14個(gè)測(cè)得值計(jì)算，判斷x(i)是否含有粗大誤差。已知：x'=2