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-5-淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用中山市石歧張溪鄭二小學(xué)康火娣[摘要]數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中一種簡便而應(yīng)用廣泛的證明命題的方法,是解數(shù)學(xué)題最基本和最重要的方法之一.本文歸納總結(jié)了數(shù)學(xué)歸納法的解題步驟和數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)證明恒等式、不等式、整除問題、幾何問題的應(yīng)用.[關(guān)鍵詞]歸納法證明應(yīng)用歸納法的解題步驟數(shù)學(xué)歸納法的步驟非常嚴(yán)謹(jǐn),如果把證明的命題記作,那么數(shù)學(xué)歸納法的步驟為:(1)證明當(dāng)取允許值時(shí),正確;(2)假設(shè)時(shí),命題成立,即正確,證明當(dāng)時(shí),也正確;(3)根據(jù)(1)、(2),對(duì)任意正整數(shù)n都成立.數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于:將一個(gè)無法窮盡檢驗(yàn)證明的命題轉(zhuǎn)化為證明兩個(gè)普通的命題:“真”和“若真,則真”,從而達(dá)到證明的目的,所以說數(shù)學(xué)歸納法是“化歸方法”的一種,它把“無限”的東西轉(zhuǎn)化到“有限”上來.二、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種非常有效的方法,它在證明中的應(yīng)用是十分廣泛的,應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的恒等式、不等式、證明整除問題、證明幾何問題有關(guān)的問題等.用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式,證明過程中只要實(shí)現(xiàn)等式左右兩邊相等即可.例1證明:分析:這是一道關(guān)于正整數(shù)的等式,只要證左邊=右邊即可,故用數(shù)學(xué)歸納法.證明:(1)當(dāng)時(shí),左邊=右邊=,左邊=右邊,所以等式成立.(2)假設(shè)時(shí),等式成立.即有則當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),等式也成立.由(1)(2)可知,對(duì)于一切等式成立.點(diǎn)評(píng):用數(shù)學(xué)歸納法能有效簡單完成這種證明題.例2證明:已知,求證:,且.分析:本題要求證的等式是與自然數(shù)有關(guān)的命題,直接求證該等式有點(diǎn)難,需要用數(shù)學(xué)歸納法來證明.證明:(1)時(shí),左邊=,右邊.左邊=右邊,所以當(dāng)時(shí),等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)時(shí),等式成立,即有成立.則當(dāng)時(shí),整理得:因此時(shí)等式也成立.由(1)(2)知,對(duì)于一切大于等于2的正整數(shù),等式都成立.點(diǎn)評(píng):因?yàn)橐C明的等式中含有,所以先要找到等式的首項(xiàng),然后在第(2)步的證明中把用代換.例3用數(shù)學(xué)歸納法證明:分析:三角函數(shù)一般都要借助三角公式來化簡所證的命題.證明:(1)當(dāng)時(shí),左邊,右邊,左邊=右邊,所以等式成立.(2)假設(shè)時(shí),成立.則當(dāng)時(shí),有即當(dāng)時(shí),等式成立.由(1)(2)可知,對(duì)于任意命題都成立.點(diǎn)評(píng):對(duì)于這種三角證明題應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法來解答會(huì)更加容易.用數(shù)學(xué)歸納法解決不等式應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,分為嚴(yán)格不等式和非嚴(yán)格不等式兩種,嚴(yán)格不等式的證明,只要保證原不等式中或成立即可;對(duì)于非嚴(yán)格不等式而言,情況略顯復(fù)雜.例4若為大于1的自然數(shù),求證:.分析:這種不等式在運(yùn)用歸納假設(shè)后,再把式子適當(dāng)變形,湊成目標(biāo)的形式.本題要證明的不等式左邊是和的形式,可考慮加上歸納假設(shè)中需要的,再減去.證明:(1)當(dāng)時(shí),.(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立,即.則當(dāng)時(shí),.即當(dāng)時(shí),命題也成立.由(1)(2)可知,當(dāng)為大于1的自然數(shù)時(shí),不等式恒成立.點(diǎn)評(píng):對(duì)于這種不等式用數(shù)學(xué)歸納法更容易解答.例5求證:且.分析:若設(shè)時(shí)不等式成立,即,即有,無法推出時(shí)命題成立,由此,聯(lián)想到證明一個(gè)更加一般的假命題,若,則.證明:(1)當(dāng)時(shí),,結(jié)論成立.(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立,即有成立.當(dāng)時(shí),由(1)(2)可知,對(duì)于一切,不等式成立,又當(dāng)時(shí),原不等式顯然成立.從而且得證.點(diǎn)評(píng):比一般的命題提供了更強(qiáng)的歸納假設(shè),因而用數(shù)學(xué)歸納法證明會(huì)更加簡單明了.例6證明:.分析:對(duì)于這種三角函數(shù)不等式需要借助三角公式來解答.證明:(1)當(dāng)時(shí),上式左邊==右邊,不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立,即有.當(dāng)時(shí),有即當(dāng)時(shí),不等式成立.由(1)(2)可知,不等式對(duì)一切正整數(shù)n均成立.點(diǎn)評(píng):對(duì)于這種三角函數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法更簡便.用數(shù)學(xué)歸納法解決整除問題用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題,如:求證能被整除,設(shè)是隨自然數(shù)變化的已知整式(或整數(shù)),是給定的整式或整數(shù).由假設(shè)時(shí)命題成立,來推證時(shí)命題也成立,是關(guān)鍵的一步,也是最難證明的一步.例7用數(shù)學(xué)歸納法證明:能被13整除..分析:為了充分利用歸納假設(shè)在第(2)步要提公因子再湊假設(shè).證明:(1)當(dāng)時(shí),能被13整除;(2)假設(shè)當(dāng)時(shí),能被13整除;則當(dāng)時(shí),所以與都能被13整除.即能被13整除.由(1)(2)可知,命題成立.點(diǎn)評(píng):本題應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法能更便捷地解決問題.例8求證:能被整除,.分析:解這一道題關(guān)鍵在第(2)步,在第(2)步時(shí)化一個(gè)數(shù)的分式,通過增項(xiàng)或者減項(xiàng)等方法化為的倍數(shù)就容易解答了.證明:(1)當(dāng)時(shí),,命題成立.(2)假設(shè)時(shí),能被,命題成立.則當(dāng)時(shí),由歸納假設(shè),上式的兩項(xiàng)都能被整除,故時(shí)命題成立.點(diǎn)評(píng):數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)數(shù)或式整除的問題時(shí),要充分利用整除的性質(zhì),若干個(gè)數(shù)(或整式)都能被一個(gè)數(shù)(或整式)整除,則其和、差、積也能被這個(gè)數(shù)(或整式)整除.例9求證:對(duì)于整數(shù),能被133整除.證明:(1)當(dāng)時(shí),能被133整除.(2)假設(shè)時(shí),,命題成立.則時(shí),.所以因?yàn)?,?所以,即能被133整除,又由數(shù)學(xué)歸納假設(shè)可知能被133整除,再根據(jù)整除性質(zhì)可知也能被133整除.由(1)(2)可知,命題對(duì)任意的整數(shù)都成立.用數(shù)學(xué)歸納法解決幾何問題例10平面內(nèi)有條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不共點(diǎn),求證:這條直線把平面分割成個(gè)區(qū)域.分析:這是一道關(guān)于幾何上證明區(qū)域的問題,時(shí)是否成立,假設(shè)時(shí),推出時(shí)的情況,由小到大用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.證明:(1)當(dāng)時(shí),,即一條直線把平面分成兩個(gè)區(qū)域,命題成立.(2)假設(shè)時(shí),命題成立,即條滿足題意的直線把平面分割成了個(gè)區(qū)域.則當(dāng)時(shí),條直線中的條直線把平面分成了個(gè)區(qū)域,第條直線被條直線分成段,每段把它們所在區(qū)域分成了兩塊,因此增加了個(gè)區(qū)域,所以條直線把平面分成了個(gè)區(qū)域.這說明時(shí)命題也成立.由(1)(2)可知,對(duì)于一切,命題成立.點(diǎn)評(píng):這些存在正整數(shù)的題目,往往可以用數(shù)學(xué)歸納法證明.利用數(shù)學(xué)歸納法的注意事項(xiàng)利用數(shù)學(xué)歸納法證明命題注意事項(xiàng):數(shù)學(xué)歸納法只能解決與自然數(shù)有關(guān)的命題;數(shù)學(xué)歸納法證題的基本結(jié)構(gòu)是兩個(gè)步驟,一個(gè)結(jié)論.數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟是缺一不可的,因?yàn)橹挥械谝徊經(jīng)]有第二步,我們就無法遞推下去,所以對(duì)于取以后的值我們就無法判斷命題是否正確;同樣的只有第二步而沒有第一步,就是缺少了遞推依據(jù),那么第二步就沒有意義了.四、總結(jié)通過上述論證可以看出,數(shù)學(xué)歸納法是十分有效和廣泛的方法,也是一種認(rèn)識(shí)可數(shù)無限集合性質(zhì)的重要方法.使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行論證,將會(huì)更加深刻的理解所要論證的命題,實(shí)現(xiàn)有限到無限的飛躍.當(dāng)然,并非一切與自然數(shù)有關(guān)的命題的證明都一定要采用數(shù)學(xué)歸納法,有些命題雖與自然數(shù)有關(guān),但不用數(shù)學(xué)歸納法也可證明.另外,對(duì)于有些問題運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法比較簡單,而另一些則以不用數(shù)學(xué)歸納法較為方便,因此在具體問題中,何時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法比較捷,必須根據(jù)具體情況來定,而題設(shè)命題的可數(shù)性則是用數(shù)學(xué)歸納法的必要條件.總之,盡管數(shù)學(xué)歸納法是一種證明方法,但實(shí)質(zhì)是遞推思想,只要把握住“遞推”,巧妙地進(jìn)行轉(zhuǎn)化,以遞推分析為主,這樣就可以理解其實(shí)質(zhì)
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