淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

-5-淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用中山市石歧張溪鄭二小學(xué)康火娣[摘要]數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中一種簡便而應(yīng)用廣泛的證明命題的方法，是解數(shù)學(xué)題最基本和最重要的方法之一.本文歸納總結(jié)了數(shù)學(xué)歸納法的解題步驟和數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)證明恒等式、不等式、整除問題、幾何問題的應(yīng)用.[關(guān)鍵詞]歸納法證明應(yīng)用歸納法的解題步驟數(shù)學(xué)歸納法的步驟非常嚴(yán)謹(jǐn)，如果把證明的命題記作,那么數(shù)學(xué)歸納法的步驟為：（1）證明當(dāng)取允許值時，正確；（2）假設(shè)時，命題成立，即正確，證明當(dāng)時，也正確；（3）根據(jù)（1）、（2）,對任意正整數(shù)n都成立.數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)在于：將一個無法窮盡檢驗證明的命題轉(zhuǎn)化為證明兩個普通的命題：“真”和“若真，則真”，從而達(dá)到證明的目的，所以說數(shù)學(xué)歸納法是“化歸方法”的一種，它把“無限”的東西轉(zhuǎn)化到“有限”上來.二、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種非常有效的方法，它在證明中的應(yīng)用是十分廣泛的，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的恒等式、不等式、證明整除問題、證明幾何問題有關(guān)的問題等.用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式，證明過程中只要實現(xiàn)等式左右兩邊相等即可.例1證明：分析：這是一道關(guān)于正整數(shù)的等式，只要證左邊=右邊即可，故用數(shù)學(xué)歸納法.證明：（1）當(dāng)時，左邊=右邊=，左邊=右邊，所以等式成立.（2）假設(shè)時，等式成立.即有則當(dāng)時，即當(dāng)時，等式也成立.由（1）(2)可知，對于一切等式成立.點評：用數(shù)學(xué)歸納法能有效簡單完成這種證明題.例2證明：已知，求證:，且.分析：本題要求證的等式是與自然數(shù)有關(guān)的命題，直接求證該等式有點難，需要用數(shù)學(xué)歸納法來證明.證明：（1）時，左邊=，右邊.左邊=右邊，所以當(dāng)時，等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即有成立.則當(dāng)時，整理得：因此時等式也成立.由（1）（2）知，對于一切大于等于2的正整數(shù)，等式都成立.點評：因為要證明的等式中含有，所以先要找到等式的首項，然后在第（2）步的證明中把用代換.例3用數(shù)學(xué)歸納法證明：分析：三角函數(shù)一般都要借助三角公式來化簡所證的命題.證明：（1）當(dāng)時，左邊，右邊，左邊=右邊，所以等式成立.（2）假設(shè)時，成立.則當(dāng)時,有即當(dāng)時，等式成立.由（1）（2）可知，對于任意命題都成立.點評：對于這種三角證明題應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法來解答會更加容易.用數(shù)學(xué)歸納法解決不等式應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，分為嚴(yán)格不等式和非嚴(yán)格不等式兩種，嚴(yán)格不等式的證明，只要保證原不等式中或成立即可；對于非嚴(yán)格不等式而言，情況略顯復(fù)雜.例4若為大于1的自然數(shù)，求證：.分析：這種不等式在運用歸納假設(shè)后，再把式子適當(dāng)變形，湊成目標(biāo)的形式.本題要證明的不等式左邊是和的形式，可考慮加上歸納假設(shè)中需要的，再減去.證明：（1）當(dāng)時，.（2）假設(shè)當(dāng)時命題成立，即.則當(dāng)時，.即當(dāng)時，命題也成立.由（1）（2）可知，當(dāng)為大于1的自然數(shù)時，不等式恒成立.點評：對于這種不等式用數(shù)學(xué)歸納法更容易解答.例5求證：且.分析：若設(shè)時不等式成立，即，即有，無法推出時命題成立，由此，聯(lián)想到證明一個更加一般的假命題，若，則.證明：（1）當(dāng)時，，結(jié)論成立.（2）假設(shè)當(dāng)時結(jié)論成立，即有成立.當(dāng)時，由（1）（2）可知，對于一切，不等式成立,又當(dāng)時，原不等式顯然成立.從而且得證.點評：比一般的命題提供了更強的歸納假設(shè)，因而用數(shù)學(xué)歸納法證明會更加簡單明了.例6證明：.分析：對于這種三角函數(shù)不等式需要借助三角公式來解答.證明：(1)當(dāng)時，上式左邊==右邊，不等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)時，命題成立，即有.當(dāng)時，有即當(dāng)時，不等式成立.由（1）（2）可知，不等式對一切正整數(shù)n均成立.點評：對于這種三角函數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法更簡便.用數(shù)學(xué)歸納法解決整除問題用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題，如：求證能被整除，設(shè)是隨自然數(shù)變化的已知整式（或整數(shù)），是給定的整式或整數(shù).由假設(shè)時命題成立，來推證時命題也成立，是關(guān)鍵的一步，也是最難證明的一步.例7用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被13整除..分析：為了充分利用歸納假設(shè)在第（2）步要提公因子再湊假設(shè).證明：(1)當(dāng)時，能被13整除；(2)假設(shè)當(dāng)時，能被13整除；則當(dāng)時，所以與都能被13整除.即能被13整除.由（1）（2）可知，命題成立.點評：本題應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法能更便捷地解決問題.例8求證：能被整除，.分析：解這一道題關(guān)鍵在第（2）步，在第（2）步時化一個數(shù)的分式，通過增項或者減項等方法化為的倍數(shù)就容易解答了.證明：(1)當(dāng)時，，命題成立.(2)假設(shè)時，能被，命題成立.則當(dāng)時，由歸納假設(shè)，上式的兩項都能被整除，故時命題成立.點評：數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)數(shù)或式整除的問題時，要充分利用整除的性質(zhì)，若干個數(shù)（或整式）都能被一個數(shù)（或整式）整除，則其和、差、積也能被這個數(shù)（或整式）整除.例9求證：對于整數(shù)，能被133整除.證明：(1)當(dāng)時，能被133整除.(2)假設(shè)時，，命題成立.則時，.所以因為，且.所以，即能被133整除，又由數(shù)學(xué)歸納假設(shè)可知能被133整除，再根據(jù)整除性質(zhì)可知也能被133整除.由（1）（2）可知，命題對任意的整數(shù)都成立.用數(shù)學(xué)歸納法解決幾何問題例10平面內(nèi)有條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點，求證：這條直線把平面分割成個區(qū)域.分析：這是一道關(guān)于幾何上證明區(qū)域的問題，時是否成立，假設(shè)時，推出時的情況，由小到大用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.證明：(1)當(dāng)時，，即一條直線把平面分成兩個區(qū)域，命題成立.(2)假設(shè)時，命題成立，即條滿足題意的直線把平面分割成了個區(qū)域.則當(dāng)時，條直線中的條直線把平面分成了個區(qū)域，第條直線被條直線分成段，每段把它們所在區(qū)域分成了兩塊，因此增加了個區(qū)域，所以條直線把平面分成了個區(qū)域.這說明時命題也成立.由（1）（2）可知，對于一切,命題成立.點評：這些存在正整數(shù)的題目，往往可以用數(shù)學(xué)歸納法證明.利用數(shù)學(xué)歸納法的注意事項利用數(shù)學(xué)歸納法證明命題注意事項：數(shù)學(xué)歸納法只能解決與自然數(shù)有關(guān)的命題；數(shù)學(xué)歸納法證題的基本結(jié)構(gòu)是兩個步驟，一個結(jié)論.數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟是缺一不可的，因為只有第一步?jīng)]有第二步，我們就無法遞推下去，所以對于取以后的值我們就無法判斷命題是否正確；同樣的只有第二步而沒有第一步，就是缺少了遞推依據(jù)，那么第二步就沒有意義了.四、總結(jié)通過上述論證可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是十分有效和廣泛的方法，也是一種認(rèn)識可數(shù)無限集合性質(zhì)的重要方法.使用數(shù)學(xué)歸納法進行論證，將會更加深刻的理解所要論證的命題，實現(xiàn)有限到無限的飛躍.當(dāng)然，并非一切與自然數(shù)有關(guān)的命題的證明都一定要采用數(shù)學(xué)歸納法，有些命題雖與自然數(shù)有關(guān)，但不用數(shù)學(xué)歸納法也可證明.另外，對于有些問題運用數(shù)學(xué)歸納法比較簡單，而另一些則以不用數(shù)學(xué)歸納法較為方便，因此在具體問題中，何時運用數(shù)學(xué)歸納法比較捷，必須根據(jù)具體情況來定，而題設(shè)命題的可數(shù)性則是用數(shù)學(xué)歸納法的必要條件.總之，盡管數(shù)學(xué)歸納法是一種證明方法，但實質(zhì)是遞推思想，只要把握住“遞推”，巧妙地進行轉(zhuǎn)化，以遞推分析為主，這樣就可以理解其實質(zhì)