第8章 第7課時 空間向量的應(yīng)用(一)平行與垂直

第八章立體幾何第7課時空間向量的應(yīng)用(一)平行與垂直1．能夠運用向量的坐標(biāo)判斷兩個向量的平行或垂直．2．理解直線的方向向量與平面的法向量．3．能用向量方法解決線面、面面的垂直與平行問題，體會向量方法在立體幾何中的作用．請注意本節(jié)知識是高考中的重點考查內(nèi)容，著重考查線線、線面、面面的平行與垂直，考查以選擇題、填空題形式，出現(xiàn)時靈活多變，以解答題出現(xiàn)時，往往綜合性較強屬于中檔題．1．直線的方向向量就是指和這條直線所對應(yīng)向量

(或共線)的向量，顯然一條直線的方向向量可以有

個．平行無數(shù)多2．平面的法向量(1)所謂平面的法向量，就是指所在的直線與平面垂直的向量，顯然一個平面的法向量也有

，它們是_____向量．(2)在空間中，給定一個點A和一個向量a，那么以向量a為法向量且經(jīng)過點A的平面是

確定的．無數(shù)多個共線唯一3．直線方向向量與平面法向量在確定直線、平面位置關(guān)系中的應(yīng)用直線l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直線l2的方向向量為u2＝(a2，b2，c2)．如果l1∥l2，那么u1∥u2?

．如果l1⊥l2，那么u1⊥u2?

.直線l的方向向量為u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量為n＝(a2，b2，c2)．若l∥α，則u⊥n?u·n＝0?

；若l⊥α，則u∥n?u＝kn?

；(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)a1a2＋b1b2＋c1c2＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)平面α1的法向量為u1＝(a1，b1，c1)，平面α2

的法向量為u2＝(a2，b2，c2)．若α1∥α2，則u1∥u2?u1＝ku2?__________________________．若α1⊥α2，則u1⊥u2?u1·u2＝0?

.(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)a1a2＋b1b2＋c1c2＝01．已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，則下列結(jié)論正確的是(

)A．a(chǎn)∥c，b∥c

B．a(chǎn)∥b，a⊥cC．a(chǎn)∥c，a⊥b D．以上都不對答案C2．若兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，則l1與l2的位置關(guān)系是(

)A．平行 B．相交C．垂直 D．不確定答案A解析v2＝－2v1，∴l(xiāng)1∥l2.3．若平面α，β垂直，則下面可以作為這兩個平面的法向量的是(

)A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)D．n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)答案A4．已知平面α內(nèi)有一個點M(1，－1,2)，平面α的一個法向量是n＝(6，－3,6)，則下列點P在平面α內(nèi)的是(

)A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4)答案A答案C6．若平面α，β的法向量分別為n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，則(

)A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不正確答案C例1

(1)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分別是AA1，D1C1，AB，CC1的中點，證明：PQ∥RS.題型一證明平行關(guān)系(2)在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD＝DC，E是PC的中點，求證：PA∥平面EBD.(3)在正方體AC1中，M，N，E，F(xiàn)分別是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點，求證：平面AMN∥平面EFDB.【答案】

(1)略(2)略(3)略探究1

(1)證明線線平行是證明線面平行和面面平行的基礎(chǔ)，要證線線平行，只需證明相應(yīng)的向量共線即可．(2)解決此類問題的依據(jù)還是要根據(jù)線面平行的判定定理，可證直線方向向量與面內(nèi)一向量平行，也可證直線方向向量與平面法向量垂直．(3)證明面面平行時，可以通過面面平行的判定定理，也可以用兩個平面的法向量互相平行來證． (1)如圖所示，在長方體OAEB－O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，點P在棱AA1上，且AP＝2PA1，點S在棱BB1上，且SB1＝2BS，點Q，R分別是O1B1，AE的中點，求證：PQ∥RS.思考題1(2)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點．求證：M