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認(rèn)證類型：個人認(rèn)證

認(rèn)證主體：陸**（實名認(rèn)證）

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IP屬地：江蘇 上傳時間：2023-09-29 格式：PPT 頁數(shù)：66 大?。?.11MB 積分：28 舉報 版權(quán)申訴

數(shù)學(xué)建模

實際問題中的數(shù)學(xué)奧妙不是明擺在那里等著你去解決，而是暗藏在深處等著你去發(fā)現(xiàn)，終身的受益和無窮的樂趣是屬于你的！11999年9月我校由徐州煤炭建筑工程學(xué)校更名為徐州建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院2000年9月我校首次參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（?？平M）獲得江蘇賽區(qū)一等獎一個（兩個隊參賽）2001年9月獲得全國二等獎一個（四個隊參賽）該隊獲得獎金3000元2第一章數(shù)學(xué)模型基本概念

§1引言一、《數(shù)學(xué)建?！氛n程的重要性1、科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)模型越來越起到重要作用；2、《數(shù)學(xué)建?！氛n程建設(shè)在全國各大專院校蓬勃開展；3、數(shù)學(xué)建模教育有利于學(xué)生解決實際問題的綜合能力的提高；4、我們身邊許多實際問題看起來與數(shù)學(xué)無關(guān)，但通過分析都可用簡捷數(shù)學(xué)方法完美的解決。3幾個簡單的實際問題。問題１已知甲桶中放有10000個藍(lán)色的玻璃球，乙桶中放有10000個紅色的玻璃球。任取甲桶中100個球放入乙桶中，混合后再任取乙桶中100個球放入甲桶中，如此重復(fù)3次，問甲桶中的紅球多還是乙桶中的藍(lán)球多怎樣用數(shù)學(xué)方法解決問題1？4解：設(shè)甲桶中有x個紅球;乙桶中有y個藍(lán)球因為對藍(lán)球來說，甲桶中的藍(lán)球數(shù)加上乙桶中的藍(lán)球數(shù)等于10000,所以10000-x+y=10000x=y故甲桶中紅球與乙桶中藍(lán)球一樣多。56解法一：

將兩天看作一天，一人兩天的運動看作一天兩人同時分別從山下和山頂沿同一路徑相反運動，因為兩人同時出發(fā)，同時到達(dá)目的地，又沿同一路徑反向運動，所以必在中間某一時刻t兩人相遇，這說明某人在兩天中的同一時刻經(jīng)過路途中的同一地點。

怎樣用數(shù)學(xué)方法解決？7解法二：

以時間t為橫坐標(biāo)，以沿上山路線從山下旅店到山頂?shù)穆烦蘹為縱坐標(biāo)，從山下到山頂?shù)目偮烦虨閐；

8第一天的行程可設(shè)為x=F(t)，則F(t)是單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，且F(8)=0,F(17)=d；

第二天的行程可設(shè)為x=G(t)，則G(t)是單調(diào)減少的連續(xù)函數(shù)，且G(8)=d,G(17)=0.在t時刻:

9在坐標(biāo)系中分別作曲線x=F(t)及x=G(t)，如下圖：

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嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證：令H(t)=F(t)-G(t)由F(t)、G(t)在區(qū)間[8,17]上連續(xù)，所以H(t)在區(qū)間[8,17]上連續(xù)，又H(8)=F(8)-G(8)=0-d=-d<0H(17)=F(17)-G(17)=d-0=d>0

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由零點定理知在區(qū)間[8,17]內(nèi)至少存在一點使即這人兩天在同一時刻經(jīng)過路途中的同一地點。

這說明在早8點至晚5點之間存在某一時刻

使得路程相等，

12思考題：

1、若下山時，這人下午3點就到達(dá)山下旅店，結(jié)論是否成立？2、若此人10點下山，下午3點到達(dá)旅店，結(jié)論是否成立？13問題３

在一摩天大樓里有三根電線從底層控制室通向頂樓，但由于三根電線各處的轉(zhuǎn)彎不同而有長短，因此三根電線的長度均未知。現(xiàn)工人師傅為了在頂樓安裝電氣設(shè)備，需要知道這三根電線的電阻。如何測量出這三根電線的電阻？電阻是怎樣測量的？14「方法」不妨用a、b、c及a*、b*、c*分別表示三根電線的底端和頂端，并用aa*、bb*、cc*分別表示三根電線,假設(shè)x,y,z分別是aa*,bb*,cc*的電阻，這是三個未知數(shù)。電表不能直接測量出這三個未知數(shù)。然而我們可以把a(bǔ)*和b*連接起來，在a和b處測量得電阻x+y為l；然后將b*和c*聯(lián)接起來，在b和c處測量得y+z為m，聯(lián)接c*和a*可測得x+z為n。

15這樣得三元一次方程組

由三元一次線性方程組解出x,y,z即得三根電線的電阻。16說明：

此問題的難點也是可貴之處是用方程“觀點”、“立場”去分析，用活的數(shù)學(xué)思想使實際問題轉(zhuǎn)到新創(chuàng)設(shè)的情景中去。17問題４氣象預(yù)報問題

問題：在氣象臺A的正西方向300km處有一臺風(fēng)中心，它以40km/h的速度向東北方向移動；根據(jù)臺風(fēng)的強(qiáng)度，在距其中心250km以內(nèi)的地方將受到影響，問多長時間后氣象臺所在地區(qū)將遭受臺風(fēng)的影響？持續(xù)時間多長？18

現(xiàn)此問題是某氣象臺所遇到的實際問題，為了搞好氣象預(yù)報，建立解析幾何模型加以探討。

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以氣象臺A為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)臺風(fēng)中心為B,如下圖:20由題意：

B點的坐標(biāo)為(-300,0)，單位為km，臺風(fēng)中心的運動軌跡為直線BC,這里的∠CBA=；

當(dāng)臺風(fēng)中心在運動過程中處于以A為園心半徑為250km的園內(nèi)（即MN上）時，氣象臺A所在地區(qū)將遭受臺風(fēng)的影響。21

因為圓的方程為

直線BC的方程為其中參數(shù)t為時間（單位為h）。當(dāng)臺風(fēng)中心處于園內(nèi)時，有解得2.0≤t≤8.6（精確到0.1）222324

幾道國際、全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽試題問題1：鎖具裝箱某廠生產(chǎn)一種彈子鎖具，每個鎖具的鑰匙有5個槽，每個槽的高度從{1，2，3，4，5，6}6個數(shù)（單位略）中任取一數(shù)。由于工藝及其它原因，制造鎖具時對5個槽的高度還有兩個限制：至少有3個不同的數(shù)，相鄰兩槽的高度之差不能為5。滿足以上條件制造出來的所有互不相同的鎖具稱為一批。25從顧客的利益出發(fā)，自然希望在每批鎖具中“一把鑰匙開一把鎖”。但是在當(dāng)前工藝條件下，對于同一批中兩個鎖具是否能夠互開，有以下試驗結(jié)果：若二者相對應(yīng)的5個槽的高度中有4個相同，另一個槽的高度差為1，則可能互開；在其它情形下，不可能互開。26原來，銷售部門在一批鎖具中隨意地取每60個裝一箱出售，團(tuán)體顧客往往購買幾箱到幾十箱，他們抱怨購的鎖具會出現(xiàn)互開的情形。現(xiàn)聘你為顧問，回答并解決以下的問題：

1）每一批鎖具有多少個，裝多少箱。

2）為銷售部門提出一種方案，包括如何裝箱，（仍是60個鎖具一箱），如何給箱子以標(biāo)志，出售時如何利用這些標(biāo)志，使團(tuán)體顧客不再或減少抱怨。27

3）采取你提出的方案，團(tuán)體顧客的購買量不超過多少箱，就可以保證一定不會出現(xiàn)互開的情形。

4）按照原來的裝箱辦法，如何定量地衡量團(tuán)體顧客抱怨互開的程度（試對購買一、二箱者給出具體結(jié)果）。28問題2：排名問題

一些大學(xué)校長為難的是，具有優(yōu)秀班級（簡稱ABC）大學(xué)中各學(xué)生的給分情況。通常，ABC班級中學(xué)生分?jǐn)?shù)都給得高（現(xiàn)給定平均分?jǐn)?shù)為），因此很難區(qū)分出優(yōu)秀學(xué)生和中等學(xué)生。一項豐厚的獎學(xué)金只能獎給大學(xué)中總?cè)藬?shù)的10%，并且是最優(yōu)秀的學(xué)生。所以需要班級學(xué)生總排名情況。29

院長認(rèn)為應(yīng)將各班的每一學(xué)生同本班其它學(xué)生進(jìn)行比較，并通過比較結(jié)果而得出最終排名情況。比如，如果一個班中所有學(xué)生均為A，則得A的同學(xué)只能列為“一般”，而如果一個班中只有一個學(xué)生得A，則這個學(xué)生被列為“超出一般”，將多個班級所得的信息綜合起來，則有可能將所有同學(xué)以百分?jǐn)?shù)的形式列出（一等10%，其次10%，等等）。30問題：1．假設(shè)成績以A+，A-，B+，B-，……的等級形式給出，院長的設(shè)想能否實現(xiàn)？2．假設(shè)成績以A，B，C……的等級形式給出，院長的設(shè)想能否實現(xiàn)？3．能否有其他排名的方法？4．類似問題是如果只有一個班，則你的算法是否穩(wěn)定？數(shù)據(jù)集：各組應(yīng)設(shè)計出數(shù)據(jù)集來檢驗和證明其算法，并且要給出算法適用范圍？31§2數(shù)學(xué)模型基本概念

一、模型什么叫模型？模型就是對現(xiàn)實原型的一種抽象或模仿。模型既反映原型，又不等于原型，或者是原型的一種近似。如地球這個模型，就是對地球這一原型的本質(zhì)和特征的一種近似和集中反映；一個人的塑像就是這個人的一個模型。32模型的含義非常廣泛，如自然科學(xué)和工程技術(shù)中的一切概念、公式、定律、理論，社會科學(xué)中的學(xué)說、原理、政策，甚至小說、美術(shù)、表格、語言等都是某種現(xiàn)實原型的一種模型。如：牛頓第二定律就是“物體在力作用下，其運動規(guī)律”這個原型的一種模型（數(shù)學(xué)模型）?！俺燥垺边@句話就是人往嘴里送東西到達(dá)充饑的動作的抽象，如此等等都可看作是模型。33二、數(shù)學(xué)模型的幾個簡單例子

341、冷卻問題將溫度為T。=150℃的物體放在溫度為24℃的空氣中冷卻，經(jīng)10分鐘后，物體溫度降為T=100℃，問t=20分鐘時，物體的溫度是多少？35牛頓冷卻定律：物體在空氣中的冷卻速度與該物體溫度和空氣溫度之差成正比36解：設(shè)物體的溫度T隨時間t的變化規(guī)律為T=T(t)則由冷卻定律及條件可得：其中K>0為比例常數(shù)，負(fù)號表示溫度是下降的，這就是所要建立的數(shù)學(xué)模型。37由于這個模型是一階線性微分方程，很容易求出其特解為由T(10)=100,可定出K≈0.05當(dāng)t=20時38

思考題：估計兇殺的作案時間某天晚上11:00時，在一住宅內(nèi)發(fā)現(xiàn)一受害者的尸體，法醫(yī)于11:35分趕到現(xiàn)場，立刻測量死者的體溫為30.8℃，一小時后再次測量體溫為29.1℃，法醫(yī)還注意到當(dāng)時室溫為28℃，試估計受害者的死亡時間。392、七橋問題

18世紀(jì)著名古典數(shù)學(xué)問題之一。在哥尼斯堡的一個公園里，有七座橋?qū)⑵绽赘駹柡又袃蓚€島及島與河岸連接起來

1).能否不重復(fù)的一次走完七座橋？2).能否不重復(fù)的一次走完七座橋又回到原地？40〔歐拉方法〕島A、B和陸地C、D無非都是橋的聯(lián)結(jié)點，因此不妨把A、B、C、D看成4個點，把七橋看成聯(lián)結(jié)這些點的七條線，如圖。

41這樣當(dāng)然不改變問題的實質(zhì)，于是一人能否不重復(fù)一次通過七座橋的問題等價于其網(wǎng)絡(luò)圖能否一筆畫成的問題（這是思維的飛躍），此網(wǎng)絡(luò)圖就是七橋問題的數(shù)學(xué)模型。歐拉證明了七橋問題是無解的，并給出了一般結(jié)論：1)聯(lián)接奇數(shù)個橋的陸地僅有一個或超過兩個以上，不能實現(xiàn)一筆畫。2)聯(lián)接奇數(shù)個橋的陸地僅有兩個時，則從兩者任一陸地出發(fā)，可以實現(xiàn)一筆畫而停在另一個陸地。42

3)每個陸地都聯(lián)接有偶數(shù)個橋是，則從任一陸地出發(fā)都能實現(xiàn)一筆畫，而回到出發(fā)點。

說明：

(1)數(shù)學(xué)模型不一定都是數(shù)學(xué)表達(dá)式，如七橋問題的數(shù)學(xué)模型是一個網(wǎng)絡(luò)圖。43(2)歐拉解決七橋問題時，超出了過去解決問題所用數(shù)學(xué)方法的范疇，充分發(fā)揮自己的想象力，用了完全嶄新的思想方法（可稱為幾何模擬方法），從而使問題解