數(shù)學(xué)人教A版選修2-2課堂探究1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（第3課時）

課堂探究探究一求函數(shù)的最值求解函數(shù)在固定區(qū)間上的最值，在熟練掌握求解步驟的基礎(chǔ)上，還需注意以下幾點：(1)對函數(shù)進行準(zhǔn)確求導(dǎo)；(2)研究函數(shù)的單調(diào)性，正確確定函數(shù)的極值和端點的函數(shù)值；(3)比較極值與端點函數(shù)值的大小，有時需要利用作差或作商，甚至要分類討論．【典型例題1】求下列函數(shù)的最值：(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－eq\r(3)，eq\r(3)]；(2)f(x)＝sin2x－x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).思路分析：按照求函數(shù)最值的方法與步驟，通過列表進行計算與求解．解：(1)f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x－1)(x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝1，或x＝－1.當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x－eq\r(3)(－eq\r(3)，－1)－1(－1,1)1(1，eq\r(3))eq\r(3)f′(x)－0＋0－f(x)0－220由上表可知：當(dāng)x＝1時，f(x)取得最大值，[f(x)]max＝f(1)＝2.當(dāng)x＝－1時，f(x)取得最小值，[f(x)]min＝f(－1)＝－2.(2)f′(x)＝2cos2x－1，令f′(x)＝0，－eq\f(π,2)≤x≤eq\f(π,2)，得x＝－eq\f(π,6)或x＝eq\f(π,6).當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x－eq\f(π,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,6)))－eq\f(π,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6)))eq\f(π,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))eq\f(π,2)f′(x)－0＋0－f(x)eq\f(π,2)eq\f(π,6)－eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,6)－eq\f(π,2)由上表可知：當(dāng)x＝－eq\f(π,2)時f(x)取得最大值feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝eq\f(π,2)，當(dāng)x＝eq\f(π,2)時f(x)取得最小值feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(π,2).探究二含參數(shù)的函數(shù)最值問題由于參數(shù)的取值范圍不同會導(dǎo)致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化，從而導(dǎo)致最值變化．因此需要對參數(shù)進行分類討論，分類時常見于討論：①f′(x)的類型，如f′(x)＝ax2＋2x－1時，可以分a＞0，a＝0，a＜0三種情況討論；②當(dāng)f′(x)＝0時注意是否有解，若有解，則討論根是否在定義域內(nèi)，根的大小是否確定．③有時，可以用可能的極值或最值的大小關(guān)系分類．【典型例題2】已知函數(shù)f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值．解：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.當(dāng)x變化時，f(x)與f′(x)的變化情況如下：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，k－1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k－1，＋∞)．(2)當(dāng)k－1≤0，即k≤1時，函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)＝－k；當(dāng)0＜k－1＜1，即1＜k＜2時，由(1)知f(x)在[0，k－1)上單調(diào)遞減，在(k－1,1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在[0,1]上的最小值為f(k－1)＝－ek－1；當(dāng)k－1≥1，即k≥2時，函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1)＝(1－k)e.探究三函數(shù)最值與不等式恒成立問題1．不等式恒成立時求參數(shù)的取值范圍問題是一種常見的題型，這種題型的解法有多種，其中最常用的方法就是分離參數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，在求函數(shù)最值時，可以借助導(dǎo)數(shù)求解．2．一般地，若不等式a≥f(x)恒成立，a的取值范圍是a≥[f(x)]max；若不等式a≤f(x)恒成立，則a的取值范圍是a≤[f(x)]min.【典型例題3】設(shè)函數(shù)f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．(1)求函數(shù)f(x)的最小值h(t)；(2)由(1)若h(t)＜－2t＋m對t∈(0,2)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．思路分析：第(1)小題可通過配方法求f(x)的最小值；第(2)小題由h(t)＜－2t＋m，得h(t)＋2t＜m，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)＝h(t)＋2t在區(qū)間(0,2)上的最大值小于m時，實數(shù)m的取值范圍的問題．解：(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，∴當(dāng)x＝－t時，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t)＝－t3＋3t－1，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，及t＞0得t＝1.當(dāng)t變化時，g′(t)，g(t)的變化情況如下表：t(0,1)1(1,2)g′(t)＋0－g(t)極大值由上表可知當(dāng)t＝1時，g(t)有極大值g(1)＝1.又在定義域(0,2)內(nèi)，g(t)有唯一極值點，∴函數(shù)g(t)的極大值也就是g(t)在定義域(0,2)內(nèi)的最大值g(t)max＝1.h(t)＜－2t＋m在(0,2)內(nèi)恒成立，即g(t)＜m在(0,2)內(nèi)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)g(t)max＝1＜m，即m＞1時上式成立．∴實數(shù)m的取值范圍是(1，＋∞)．探究四易錯辨析易錯點：閉區(qū)間上求最值時忽略極值與區(qū)間端點值的大小比較【典型例題4】求函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋1在區(qū)間[－1,2]上的最大值與最小值．錯解：由已知得f′(x)＝3x2－4x.令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝eq\f(4,3).當(dāng)x∈(－1,0)時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2))時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，∴函數(shù)f(x)在x＝0處取得最大值f(0)＝1，在x＝eq\f(4,3)處取得最小值feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＝－eq\f(5,27).錯因分析：錯解中出錯的主要原因是誤認為極值就是最值，其實極值與最值是兩個不同的概念，函數(shù)極值反映的是函數(shù)在某一點上的局部性質(zhì)，而不是整個定義區(qū)間上的性質(zhì)，它可能有多個極值，函數(shù)的最值則反映的是整個定義區(qū)間上的性質(zhì)，對于連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值只能各有一個，只有當(dāng)在一個區(qū)間上極值只有一個時，這個區(qū)間上對應(yīng)的極值才是最值．正解：由已知得f′(x)＝3x2－4x.令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝eq\f(4,3).當(dāng)x∈(－1,0)時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(