高中數(shù)學(xué)奇偶性的概念理解

函數(shù)的基本性質(zhì)主講老師：蔣建平函數(shù)性質(zhì)奇偶性觀察下列函數(shù)圖象，從圖形對稱的角度把這些函數(shù)圖象進(jìn)行分類：函數(shù)性質(zhì)奇偶性第一類：關(guān)于y軸對稱函數(shù)性質(zhì)奇偶性第二類：關(guān)于原點(diǎn)對稱函數(shù)性質(zhì)奇偶性首先從第一類函數(shù)圖象中選取一個我們熟悉的代表：x-3-2-10123f(x)=x29410149通過表格和圖象，我們可以觀察到代數(shù)特征：當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的函數(shù)值相同．列表函數(shù)性質(zhì)奇偶性圖象結(jié)論：當(dāng)自變量在定義域內(nèi)任取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的兩個函數(shù)值相同；即：函數(shù)性質(zhì)奇偶性偶函數(shù)定義：一般地，如果對于函數(shù)f的定義域內(nèi)的任意一個都有f-=f，那么函數(shù)f就叫做偶函數(shù)．如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱或者說一個函數(shù)是偶函數(shù)，那么它的定義域應(yīng)該有什么特點(diǎn)？定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．函數(shù)性質(zhì)奇偶性注意：1偶函數(shù)指的是函數(shù)的整體性質(zhì)，針對整個定義域內(nèi)來說的．2偶函數(shù)的前提條件是：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．要注意關(guān)于原點(diǎn)對稱的含義，如區(qū)間-2，0與區(qū)間0，2關(guān)于原點(diǎn)對稱．3在前提條件下：偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱函數(shù)性質(zhì)奇偶性我們繼續(xù)觀察：第二類圖象我們能否按照推導(dǎo)偶函數(shù)的方法和步驟，歸納出奇函數(shù)的定義呢？函數(shù)性質(zhì)奇偶性答案是肯定的類比偶函數(shù)定義的由來，在第二類函數(shù)圖象中選取一個代表：x-3-2-10123f(x)=x3-27-8-101827通過表格和圖象，我們可以觀察到奇函數(shù)代數(shù)特征：當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的函數(shù)值相反．列表函數(shù)性質(zhì)奇偶性圖象由此我們可以得到奇函數(shù)的定義：一般地，如果對于函數(shù)f的定義域內(nèi)任意一個，都有____________，那么函數(shù)f就叫做奇函數(shù)．f-=-f如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱或者說一個函數(shù)是奇函數(shù)，那么它的定義域應(yīng)該有什么特點(diǎn)？定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．應(yīng)用同樣的方法我們可以得出奇函數(shù)的注意事項(xiàng)．函數(shù)性質(zhì)奇偶性注意：1奇函數(shù)指的是函數(shù)的整體性質(zhì)，針對整個定義域內(nèi)來說的．2奇函數(shù)的前提條件是：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．3在前提條件下：奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱函數(shù)性質(zhì)奇偶性函數(shù)名稱圖例圖象特點(diǎn)定義

偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱對定義域內(nèi)任意一個x，都有

奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱對定義域內(nèi)任意一個x，都有函數(shù)性質(zhì)奇偶性例1根據(jù)定義判斷下列函數(shù)的奇偶性．函數(shù)性質(zhì)奇偶性函數(shù)性質(zhì)奇偶性例1根據(jù)定義判斷下列函數(shù)的奇偶性．函數(shù)性質(zhì)奇偶性例1根據(jù)定義判斷下列函數(shù)的奇偶性．奇偶性例1根據(jù)定義判斷下列函數(shù)的奇偶性．奇偶性例1根據(jù)定義判斷下列函數(shù)的奇偶性．奇偶性例1根據(jù)定義判斷下列函數(shù)的奇偶性．用定義法判斷函數(shù)奇偶性解題步驟：1先確定函數(shù)定義域，并判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱;2求f-，找f與f-的關(guān)系;若f-=f，則f是偶函數(shù);若f-=-f，則f是奇函數(shù)．3作出結(jié)論：f是偶函數(shù)或奇函數(shù)或非奇非偶函數(shù)或即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．函數(shù)性質(zhì)奇偶性給出函數(shù)判斷定義域是否對稱驗(yàn)證f-與f的關(guān)系結(jié)論定義法判斷函數(shù)奇偶性解題步驟函數(shù)性質(zhì)奇偶性例2已知函數(shù)的右半部分圖象，根據(jù)下列條件把函數(shù)圖象補(bǔ)充完整．1f是偶函數(shù);2f是奇函數(shù)．函數(shù)性質(zhì)奇偶性奇偶性通過例2的學(xué)習(xí)我們知道，可以通過奇函數(shù)和偶函數(shù)的圖象性質(zhì)解決：已知奇函數(shù)（或者偶函數(shù)）定義域右邊圖象可畫出對應(yīng)定義域左邊的函數(shù)圖象．思考：如果我們知道奇偶函數(shù)定義域右左邊的解析式，能否利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)求出對應(yīng)定義域左右邊的解析式呢？函數(shù)性質(zhì)奇偶性解：例3已知函數(shù)f是奇函數(shù)，且當(dāng)≥0時，f=2，求f的解析式．函數(shù)性質(zhì)奇偶性解：練習(xí)已知函數(shù)f是偶函數(shù)，且當(dāng)≥0時，f=22-3，求f的解析式．奇偶性與單調(diào)性通過前面的學(xué)習(xí)我們知道：如果已知奇偶函數(shù)定義域左右邊的圖象（或解析式），我們可以畫出它右左邊的圖象（或求出右左邊的解析式）．思考：奇函數(shù)與偶函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間的圖像走勢有什么聯(lián)系呢？思考：偶函數(shù)中，y軸兩側(cè)的圖象走勢有何不同？可得出什么結(jié)論？奇偶性與單調(diào)性結(jié)論：偶函數(shù)在y軸兩側(cè)圖象的升降方向是相反的．即偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反．奇偶性與單調(diào)性思考：奇函數(shù)是否具有相同的性質(zhì)？如圖思考：y軸兩側(cè)的圖象走勢有何不同？可得出什么結(jié)論？奇偶性與單調(diào)性奇偶性與單調(diào)性結(jié)論：奇函數(shù)在y軸兩側(cè)圖象的升降方向是相同的．即奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同．奇偶性與單調(diào)性通過圖形語言我們得出了奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性的關(guān)系：奇函數(shù)對稱的區(qū)間單調(diào)性相同，偶函數(shù)對稱的區(qū)間單調(diào)性相反．之前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過用函數(shù)單調(diào)性的定義證明單調(diào)性，我們能否從定義上給予結(jié)論嚴(yán)格的邏輯證明呢？奇偶性與單調(diào)性取值定號變形作差結(jié)論例4已知偶函數(shù)f在區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明．分析：通過前面的觀察得出的結(jié)論我們知道，f在區(qū)間上是增函數(shù)，接下來我們一起分析如何利用單調(diào)性的定義來證明我們的結(jié)論．奇偶性與單調(diào)性證明：奇偶性與單調(diào)性類比分析：通過前面的觀察得出的結(jié)論我們知道，f在區(qū)間上是減函數(shù)．接下來我們類比“偶函數(shù)在對稱區(qū)間單調(diào)性證明”來證明奇函數(shù)在對稱區(qū)間單調(diào)性的結(jié)論．取值定號變形作差結(jié)論練習(xí)已知奇函數(shù)f在區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明．奇偶性與單調(diào)性證明：分析：由于奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，所以在-1，0]上也是增函數(shù)．我們可以利用函數(shù)單調(diào)性去掉對應(yīng)關(guān)系f的作用轉(zhuǎn)化為自變量來解決．奇偶性與單調(diào)性例5已知函數(shù)f是奇函數(shù)，其定義域?yàn)?1，1，且在[0，1上為增函數(shù)．若fa-2f3-2a<0，試求a的取值范圍．奇偶性與單調(diào)性解：奇偶性與單調(diào)性解：練習(xí)設(shè)定義在區(qū)間上單調(diào)遞減，若fm>f2m-2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．1奇偶性定義：對于函數(shù)f，在它的定義域內(nèi)，①若有f-=-f，