簡諧地震動作用下單自由度體系反應(yīng)譜特性研究

簡諧地震動作用下單自由度體系反應(yīng)譜特性研究

1976年唐山地震、1989年潘基蒂拉地震、1994年北科周期地震、1995年kober地震和1999年聯(lián)合地震發(fā)生在人口相對集中的城市和附近城市。然而，在地震振動模式中，關(guān)于近地地震的規(guī)定很少。對近場地震動的研究表明,地震應(yīng)力波沿斷層運(yùn)動方向傳播時產(chǎn)生的速度和位移脈沖,將導(dǎo)致斷層沿滑移方向產(chǎn)生不可恢復(fù)的位移變形。圖1為美國1992年Landers地震中LucerneValley臺站記錄到的水平分量地震記錄。從圖中可以看出,加速度時程中所包含的長周期分量在速度時程中明顯地表現(xiàn)了出來。通常認(rèn)為,斷層滑移時產(chǎn)生的地震動長周期分量會對長周期結(jié)構(gòu)造成嚴(yán)重的破壞。而地震波是一種十分復(fù)雜的波,實際地震波可以看成是由許多頻率不同的簡諧波分量組成的,因此,對最簡單的地震波——簡諧地震波反應(yīng)譜的研究不僅有助于認(rèn)識一般地震動反應(yīng)譜的特性,而且對認(rèn)識近場地震動及其反應(yīng)譜的特性有著重要意義。近場地震動長周期分量使長周期結(jié)構(gòu)產(chǎn)生類共振現(xiàn)象,從而引起這類結(jié)構(gòu)的破壞。而有關(guān)近場地震動高頻分量對長周期結(jié)構(gòu)作用的研究尚不可見。事實上,高頻簡諧加速度產(chǎn)生的速度脈沖也會引起長周期結(jié)構(gòu)產(chǎn)生很大的位移,而在對單自由度體系的簡諧作用動力分析中,往往只考慮體系的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),忽略其瞬態(tài)反應(yīng),這也就忽略了高頻簡諧加速度分量作用下長周期結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的位移反應(yīng)。本文基于結(jié)構(gòu)動力學(xué)的基本理論,詳細(xì)分析了簡諧地震動作用下單自由度體系的動力反應(yīng),討論了簡諧地震動反應(yīng)譜的特性以及影響諧波地震動反應(yīng)譜的因素。研究結(jié)果表明:輸入的高頻簡諧加速度會引起長周期結(jié)構(gòu)產(chǎn)生很大的位移,這種位移可能超過高頻激勵引起的結(jié)構(gòu)共振產(chǎn)生的位移,而高頻波引起長周期結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的最大位移反應(yīng)發(fā)生在結(jié)構(gòu)體系的瞬態(tài)響應(yīng)階段。因此,近場地震動情況下,結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計不僅要考慮共振,還應(yīng)充分考慮到結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)位移反應(yīng)。1振動方程的理論解圖2所示為一在地面加速度üg0sinθt作用下的單自由度振動體系。üg0、θ和t分別為簡諧地面加速度的幅值、頻率和作用時間;m、k和h分別為體系的質(zhì)量、彈簧剛度和阻尼系數(shù)。根據(jù)牛頓第二定律,單自由度體系的運(yùn)動方程為:式中:ü、、u分別為體系隨時間t變化的相對加速度、相對速度和相對位移;ω為不考慮阻尼時體系的自振頻率。方程(1)的理論解為:其中為考慮阻尼時體系的自振頻率。在零初始條件u=u()0=0,情況下,系數(shù)A、B、C和D分別為:可見方程(1)的理論解由瞬態(tài)自由振動解與穩(wěn)態(tài)受迫振動解組成。研究表明[3～5],地震動持時是影響反應(yīng)譜形狀的因素之一。本文對簡諧地震動反應(yīng)譜的討論中,在考慮地震動持時這一影響因素時,為了反映更一般的情況,對簡諧地震動的加速度、速度與位移反應(yīng)譜進(jìn)行了雙標(biāo)準(zhǔn)化(或雙規(guī)準(zhǔn)化)處理,即:用它們的縱坐標(biāo)值分別除以üg0,üg0/θ與üg0/θ2得到相應(yīng)反應(yīng)譜的標(biāo)準(zhǔn)化幅值;用它們的橫坐標(biāo)值除以簡諧波的振動周期Tg,從而用作用循環(huán)周期數(shù)i=t/Tg來反映簡諧地震動的作用持時。本文采用的地震波是理想情況下的簡諧波,因此其速度、位移時程可以通過分別對加速度時程的一次、二次積分并考慮零初始條件得到。以下的討論中體系的阻尼比都按ξ=0.05考慮。2簡單地震法震源的反應(yīng)譜2.1加速度譜的分析在給定簡諧地面運(yùn)動加速度時程的情況下,根據(jù)式(2)、(3),可求得自振頻率為ω,阻尼比為ξ的單自由度體系的最大位移反應(yīng)為:相應(yīng)地,體系的偽速度PSV與偽加速度PSA可以根據(jù)關(guān)系式:求出。圖3給出了不同簡諧波作用循環(huán)周期數(shù)(i=t/Tg=10,4,2和1)情況下的雙標(biāo)準(zhǔn)化反應(yīng)譜。從圖3中可以看出:(1)受阻尼和持時的影響,加速度譜的峰值發(fā)生在T/Tg<1的位置,而速度譜與位移譜的峰值出現(xiàn)在T/Tg>1的位置,隨阻尼比系數(shù)的減小和作用循環(huán)周期數(shù)的增大,反應(yīng)譜的峰值位置T/Tg→1。(2)相同作用循環(huán)周期數(shù)的加速度譜值的大小只與地面簡諧波的加速度幅值有關(guān),速度和位移譜的譜值不僅與地面加速度幅值有關(guān),還與波的振動頻率有關(guān)。(3)簡諧地震波的速度譜值在峰值與峰值以前的部分略小于偽速度譜值,在峰值以后的部分明顯大于偽速度譜值,速度譜值在長周期段(θ>>ω)趨于地面運(yùn)動速度的幅值。(4)簡諧地震波的反應(yīng)譜在共振區(qū)出現(xiàn)峰值,峰值隨作用循環(huán)周期數(shù)的增加明顯增大。在位移譜中,長周期段(θ>>ω)的譜值隨作用循環(huán)周期數(shù)的增加呈階梯狀上升的趨勢,當(dāng)作用循環(huán)周期數(shù)一定時,位移譜值逐漸趨于地面位移的幅值。作用循環(huán)周期數(shù)越多,長周期體系的位移反應(yīng)也越大,其譜值可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過引起共振體系的最大位移反應(yīng)。2.2加速度、速度和絕對加速度實際工程中通常認(rèn)為瞬態(tài)自由振動很快衰減掉從而可以忽略不計。若僅考慮方程(1)的穩(wěn)態(tài)解則有:系數(shù)C、D見式(3)。式(6)也可寫做:令頻比β=θ/ω,系數(shù)Ast和ε分別為:則任意時刻體系的穩(wěn)態(tài)位移、速度、加速度和絕對加速度反應(yīng)分別為:其中:RD、RV和RA分別為位移、速度和加速度動力放大系數(shù),且它們存在以下關(guān)系:系數(shù)C1和D1分別為:體系的絕對加速度幅值為:其中TR為加速度傳遞系數(shù),且:于是可求得體系的最大穩(wěn)態(tài)位移、速度和絕對加速度反應(yīng)分別為:則簡諧地震波的穩(wěn)態(tài)加速度、速度和位移譜(見圖4)之間存在以下關(guān)系:從圖4中可以看出:(1)僅考慮穩(wěn)態(tài)解時,忽略阻尼的影響,加速度譜與速度譜之間近似存在關(guān)系SAst≈ωSVst,這與全解反應(yīng)譜中偽加速度譜與偽速度譜之間的關(guān)系相同。而速度譜與位移譜之間在譜值上僅一常數(shù)θ之差,形狀完全相同。(2)簡諧波的穩(wěn)態(tài)速度譜與位移譜在過峰值以后的長周期段(θ>>ω)都趨于常數(shù)。2.3最大瞬態(tài)位移約發(fā)生時間由式(2)、(3)知,單自由度體系在任意時刻的瞬態(tài)位移解為:式(18)也可寫做:其中:由于瞬態(tài)解中包含隨時間t變化的衰減項,所以其最大反應(yīng)與式(19)中的相位角φ有關(guān)。但不難看出,當(dāng)ω<<θ時,相位角φ→0,最大瞬態(tài)位移約發(fā)生在t=T/4(T為體系的自振周期)時刻。當(dāng)?shù)孛婧喼C地震動加速度時程給定后,單自由度體系的最大瞬態(tài)位移反應(yīng)為:對式(19)分別求一次、二次導(dǎo)數(shù),忽略阻尼的影響,可得到瞬態(tài)解加速度、速度與位移反應(yīng)譜之間近似存在以下關(guān)系:圖5給出了不同作用循環(huán)周期數(shù)情況下的簡諧波瞬態(tài)解的雙標(biāo)準(zhǔn)化反應(yīng)譜。從圖5中可以看出:(1)簡諧地震波的瞬態(tài)解加速度、速度和位移譜之間與全解偽加速度譜、偽速度譜和位移譜之間有大致相同的關(guān)系。(2)簡諧地震波的瞬態(tài)解譜與全解譜的其它特征基本相同。2.4全解和瞬態(tài)解的比較由本文對單自由度體系的動力反應(yīng)分析可知,簡諧地震波全解反應(yīng)譜、穩(wěn)態(tài)解反應(yīng)譜和瞬態(tài)解反應(yīng)譜之間存在一定的差別。圖6是簡諧地震波三種雙標(biāo)準(zhǔn)化反應(yīng)譜之間的比較。這里全解譜和瞬態(tài)解譜采用的簡諧地震波的作用循環(huán)周期數(shù)都為i=10。由圖6可以看出:(1)簡諧地震波的全解反應(yīng)譜、穩(wěn)態(tài)解反應(yīng)譜和瞬態(tài)解反應(yīng)譜都在共振區(qū)出現(xiàn)峰值,且峰值大小都比較接近。(2)在簡諧地震波反應(yīng)譜峰值以前的高頻段(θ<ω),無論是加速度譜、速度譜還是位移譜,都以全解譜的譜值為最大,瞬態(tài)解譜的譜值最小。而在過峰值以后的長周期段(θ>>ω),全解譜譜值近似等于穩(wěn)態(tài)解譜值與瞬態(tài)解譜值之和。3列簡諧波的加速度特征工程地震中常用的傅里葉譜是把復(fù)雜的地震動時程a(t)展開為N個不同頻率三角級數(shù)的組合:式中A(ωj)與?(ωj)分別為頻率分量ωj的幅值和相位,稱為傅里葉幅值譜和傅里葉相位譜,兩者合稱為傅里葉譜,頻域中的傅里葉譜和時域中的時程是完全等價的。為了說明簡諧波與其疊加波之間的關(guān)系以及它們反應(yīng)譜的特性,本文在不考慮頻率分量相位的情況下,以三列振動幅值相同,振動周期分別為0.2s、0.4s和1s,且作用時間都為4s的簡諧波為例,三列簡諧波及其疊加波的加速度時程如圖7所示。圖8(a)、(b)和(c)分別為三列簡諧波及其疊加波的加速度標(biāo)準(zhǔn)化反應(yīng)譜、速度標(biāo)準(zhǔn)化反應(yīng)譜和位移標(biāo)準(zhǔn)化反應(yīng)譜(將它們的加速度、速度和位移反應(yīng)譜的縱坐標(biāo)值分別除以疊加波的最大加速度、速度和位移得到標(biāo)準(zhǔn)化幅值)。由圖8可以看出:疊加波的反應(yīng)譜明顯地表現(xiàn)出其所包含的各簡諧波分量;各簡諧波的反應(yīng)譜峰值與疊加波反應(yīng)譜中各對應(yīng)分量的峰值大小基本接近;疊加波的譜值不小于各組成諧波分量的譜值,在長周期段,疊加波的反應(yīng)譜值可近似表示為其各組成諧波分量反應(yīng)譜譜值之和,而在位移反應(yīng)譜中這一特點表現(xiàn)的更為明顯。眾所周知,在近斷層場地,地面結(jié)構(gòu)主要受來自地震動中產(chǎn)生的體波的影響,而體波中含有豐富的縱波和橫波分量,其中縱波的周期短,振幅小,而橫波的周期較長,振幅較大。盡管振幅較小的縱波本身不會使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大的位移反應(yīng),但如果再與橫波造成的結(jié)構(gòu)位移反應(yīng)進(jìn)行疊加,那么高頻分量豐富的體波對地面結(jié)構(gòu)的位移反應(yīng)影響將是十分顯著的。4反應(yīng)譜和解析法(1)在簡諧地震波引起的結(jié)構(gòu)體系的自由瞬態(tài)振動階段,其最大位移反應(yīng)與結(jié)構(gòu)的固有振動周期成正比。在高頻簡諧加速度波的作用下,長周期結(jié)構(gòu)的最大位移反應(yīng)會遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過高頻波引起的共振結(jié)構(gòu)的最大位移反應(yīng)。因此,近場地震動情況下,自由瞬態(tài)振動可以引起結(jié)構(gòu)產(chǎn)生很大的位移反應(yīng)。(2)抗震設(shè)計所關(guān)注的主要是結(jié)構(gòu)在地震作用下的最大反應(yīng),反應(yīng)譜恰好表現(xiàn)出了這一要求,而至于最大反應(yīng)究竟發(fā)生在結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)振動階段還是瞬態(tài)振動階段卻并不明確。從簡諧波的反應(yīng)譜來看,結(jié)構(gòu)的最大位移反應(yīng)不僅可能發(fā)生在共振情況下,還可能發(fā)生在自由瞬態(tài)振動階段,因此,結(jié)構(gòu)抗震不僅要避免共振發(fā)生,還須充分考慮到結(jié)構(gòu)瞬態(tài)自由振動階段的位移破壞